Torsionsmodul Seite 1

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1 . Aufgabensteung Torsionsmodu eite.. Für zwei Metastäbe ist der Torsionswinke bei unterschiedichen angreifenden rehmomenten zu bestimmen. er Zusammenhang ist grafisch darzusteen und der Torsionsmodu G aus dem Anstieg der Ausgeichsgeraden zu berechnen... Für dieseben Metastäbe wie in. ist der Torsionsmodu vergeichend aus der Periodendauer von rehschwingungen zu bestimmen. Literatur: chenk, W. Kremer, F. (Hrsg.) Wacher, W. troppe, H. aisches Praktikum Vieweg+Teubner Verag pringer Fachmedien Wiesbaden GmbH 3., überarbeitete Aufage 0, , Praktikum der B. G. Teubner tuttgart Leipzig Wiesbaden 8. Aufage 00,. 6-66, tudenten der Natur- und Technikwissenschaften Fachbuchverag Leipzig im Car Hanser Verag. Aufage 999,. 0-. Grundagen Feste Körper werden unter dem Einfuss mechanischer pannungen deformiert. ind diese hinreichend kein, ist die eformation eastisch, d. h. der Körper nimmt nach seiner Entastung wieder die ursprüngiche Form an. Bei Überschreiten eines bestimmten pannungswertes treten zunehmend pastische Verformungen auf, es kommt schießich zum Bruch bzw. Zerreißen des Materias. Innerhab der Eastizitätsgrenze des Körpers gibt es einen inearen Zusammenhang zwischen einwirkender pannung und resutierender Verformung, es git das Hooksche Gesetz. as eastische Verhaten homogener, isotroper Körper wird durch vier Materiagrößen charakterisiert: den Eastizitätsmodu E, den Torsions- oder chubmodu G, den Kompressionsmodu K und die Poissonsche Zah µ. abei reicht die Kenntnis von zwei Größen, z. B. E und G aus, um die beiden anderen zu berechnen. Bei der Torsion iegt eine eformationseastizität vor, bei der das Voumen des beasteten Objektes beibehaten wird und fächenhafte chichten desseben parae aneinander vorbei geiten (Abb. ). ie chubspannung τ denkt man sich so, dass eine Kraft F rein tangentia auf die Fäche A (agemein infinitesima) einwirkt. Man berechnet τ forma as Betrag der chubkraft F, bezogen auf das Fächenstück A : Abb. : Modeskizze zum Torsionsmodu df τ=. () da γ A F etzte Änderung:

2 Torsionsmodu eite as Hooksche Gesetz, gütig keine auftretende Verformungswinke γ, autet in diesem Fa: τ= G γ. () G ist der chub- oder Torsionsmodu. Charakteristische Werte G von Metaen iegen bei einigen 0 0 N m. Zur experimenteen Überprüfung des Zusammenhanges nach () und zur Messung des chubmodus G werden die oben beschriebenen Vorsteungen wie fogt auf die Verdriung eines tabes bzw. eines angen rahtes (d. h. in diesem Fae: ie Länge des betrachteten Probekörpers sei sehr groß gegen seinen Außendurchmesser R) angewendet. d d γ dβ d β df dβ s ϕ Abb. a: Geschichtete Ringe Abb. b: Einzener Ring mit infinitesimaer ektorfäche. er tab wird in dünne cheibchen mit infinitesimaer Höhe d geschnitten.. Jedes cheibchen wird in viee Ringe mit jeweis dem mitteren Radius und der infinitesimaen icke d zeregt (Abb. a). 3. Jeder Ring wird weiterhin radia in egmente bei einem Zentrawinke β mit der infinitesimaen Breite dβ zerteit. anach assen sich infinitesimae Fächeneemente erkennen (Abb. b). da =dβd (3) Nur übereinander iegende Fächeneemente werden beim Einwirken der Kraft df tangentia verschoben. ie Ringe innerhab eines cheibchens bewegen sich reativ zueinander nicht!. Bezügich der ymmetrieachse wird einen spezieen ektor, gekennzeichnet durch den Radius und den Winke β, ein infinitesimaes rehmoment mit dem Betrag wirksam. dm = β df () etzte Änderung:

3 Torsionsmodu eite 3 5. Ae im unverspannten Zustand übereinander iegenden Fächeneemente markieren eine Manteinie, die dann bei Verspannung einen Winke γ gegen ihre vorhergehende Lage bidet. 6. Gemäß Abb. a git der Zusammenhang Aus (), () und (5) gewinnt man zunächst um es zusammen mit (3) in () einzusetzen. Es entsteht γ= s=ϕ. (5) G ϕ df = da, (6) G ϕ = β. (7) dmβ d d as infinitesimae rehmoment eines ganzen Ringes gewinnt man durch Aufsummieren (Integration) über β von 0 π, d. h. dm G ϕ 3 = π d. (8) ie nachfogende Integration über von 0 R iefert schießich den experimente nachprüfbaren Ausdruck: π GR M = ϕ. (9) Im Tei des Versuches wird eine statische Methode an den Metastäben angewendet, bei der entsprechend G. (9) die Aufnahme der inearen Abhängigkeit M( ϕ ) und daran anschießend eine grafische bzw. computergestützte Gewinnung der teigung der zu erwartenden Geraden vorgenommen wird: ie Messgrößen sind: πgr πgd = =. (0) 3 die angehängten Massen m, der Radius R des Fadenführungskreises zur Erzeugung eines statischen rehmomentes M, der rehwinke ϕ sowie Länge und urchmesser d= R des untersuchten tabes. Im Tei des Versuches wird dieseben täbe eine dynamische Methode angewendet, die sich auf das zurücktreibende dynamische rehmoment M und die einsetzenden mechanischen chwingungen einer am tab hängenden und um den Anfangswinke ϕ 0 ausgeenkten Masse gründet. azu wird G. (9) im inne der rehung eines starren Körpers aufgefasst: π GR J ϕ= M= ϕ= ϕ. () etzte Änderung:

4 Torsionsmodu eite abei ist J das nicht bekannte Trägheitsmoment der am tab hängenden chwungmasse und das so genannte irektionsmoment des tabes. Es entspricht dem Anstieg aus Versuchstei. Ohne Berücksichtigung der ämpfung, was hier berechtigt ist, hat die sich einsteende rehschwingung die Periodendauer: Wird eine Zusatzmasse mit bekanntem Trägheitsmoment J J J = + und die Anordnung schwingt mit T T J = π. () J J mit an den tab gehängt, dann git = π. (3) Aus () und (3) kann durch ubstitution das unbekannte J eiminiert und nach umgestet werden, wobei eine Bestimmungsgeichung G entsteht: J π GR T T = π =. () Für G enthät die Geichung nunmehr die Messgrößen J, dt,, und T: J G = 8π d T T. (5) 3. Messaneitung und Auswertung 3.. tatische Methode Am Umfang der Kreisscheibe mit dem Radius R der Fadenführung wird über eine chnur mit Hife angehängter Massestücke die Tangentiakraft F G = m ges g und damit das rehmoment M= mges gr erzeugt. er Torsionswinke ϕ ist an der Winketeiung der Kreisscheibe in Grad abesbar. ie Länge und der urchmesser d= R des tabes werden mit Linea bzw. Messbügeschraube bestimmt. er urchmesser ist an mindestens 0 verschiedenen teen des tabes zu messen, die Rechnung wird der arithmetische Mittewert benutzt. ϕ wird 5 bis 0 unterschiediche Massen m in chritten von m= 00g abgeesen, wobei darauf ges zu achten ist, dass ϕ max von etwa 5 50 wegen der Gefahr beibender eformationen des tabes nicht überschritten werden darf. Bereits gegeben sind fogende Größen: Radius des Fadenführungskreises: R = (88,0 ± 0,) mm Masse des Hakens mit Aufageteer: m= 00g keine Massestücke: m= 00g große Massestücke: m= 00g ie Masseangaben sind as Nennwerte zu verstehen und durch Wägung zu überprüfen! etzte Änderung:

5 In eine vorbereitete Messwerttabee werden außer Torsionsmodu eite 5 m ges und ϕ das berechnete rehmoment M sowie der in Bogenmaß umgerechnete Torsionswinke eingetragen. ie grafische arsteung M( ϕ ) iefert Messpunkte, durch die eine Ausgeichsgerade (nicht durch den Koordinatenursprung) gezeichnet und aus deren Anstieg nach G. (0) der Torsionsmodu berechnet werden kann. ie Angaben der Länge und des urchmessers d= R des tabes sowie des Anstiegs der Ausgeichsgeraden haben Unsicherheiten, d und, die zu ermitten bzw. vom Praktikumsprogramm angegeben sind. Hieraus ist die kombinierte Unsicherheit des gefundenen Torsionsmodus zu berechnen. 3.. ynamische Methode Zur Bestimmung der Periodendauern T stoppt man nach Ausenkung der drehbaren cheibe um maxima ca. 5 mindestens zweima die Gesamtzeit 50 chwingungen. Ergeben sich im Rahmen der erwarteten Messabweichungen keine größeren ifferenzen zwischen den Messergebnissen, wird der Mittewert T die weiteren Berechnungen verwendet. ie Ermittung der Periodendauern T erfogt auf geiche Weise, wobei die hier erforderiche Zusatzmasse as facher Hohzyinder gefertigt ist, der auf die Kreisscheibe aufgeegt werden kann. Zur Berechnung seines Trägheitsmomentes wird mz J = ( da + di ) (6) 8 verwendet, die benötigten Größen Zyindermasse m Z, Außendurchmesser d a und Innendurchmesser d i sind sebst zu bestimmen (Längenmessungen mit Messschieber). Zusammen mit (5) erhät man schießich: m d G = π + d Z a i 6 d T T. (7) Zur Berechnung der kombinierten Unsicherheit geht man am besten von den reativen Unsicherheiten der eingehenden Messgrößen aus, spezie ist hierbei da = di = d sowie T = T = T anzusetzen. Tipp: ie Rechnung vereinfacht sich erhebich, wenn zunächst von den ubstitutionen da + di = u und T T = v Gebrauch gemacht wird. ie gefundenen Werte den Torsionsmodu G sind untereinander (Messmethoden) und mit den Erwartungswerten die vermuteten Metae (Tabeenwerte) zu vergeichen. etzte Änderung: