r 3 2 r 2 2 A r r 2 r 2 2 Bei der Integration gehört zum Radius r ein Teil der Ringfläche mit r 2 < r < r 3 r 2 < r < r 3

Transkript

1 Magnetfeld einer koaxialen Leitung Seite.1 von Innenleiter I 0 < r < r1 Hr ri r r 1 r 1 r. Zwischenraum Hr I r r1 < r < r 3. Aussenleiter H ds I S A r Stromdichte im Aussenleiter S I r 3 r A r r r Bei der Integration gehört zum Radius r ein Teil der Ringfläche mit r < r < r 3 I S A r I 1 1 r 3 r r r I 1 r r r 3 r I 1 r r r 3 r I r 3 r r 3 r r r r 3 r I r 3 r r 3 r r < r < r 3 4. Aussenraum Hr0 r 3 < r Die Integration auf einer Feldlinie umfasst den Hin- und Rückleiter, die Summe dieser Ströme ist Null!

2 Seite. von.11 Die Magnetische Feldstärke H(r) einer koaxialen Leitung bei I = 1 A 1. Innenleiter Hr I r 1 r 0 < r < r 1. Zwischenraum Hr I r r 1 < r < r 3. Aussenleiter Hr I r < r < r 3 4. Aussenraum Hr0 r 3 < r r r 3 r r 3 r 0<r<0,3m 0,3m<r<0,8m 0,8m<r<1,0m r H H H m A/m A/m A/m 0, ,76839E-06 0,1 0, , 0, ,3 0, , ,4 0, ,5 0, ,6 0, ,7 0, ,8 0, , ,9 0,

3 Seite.3 von.11 H(r) Koaxialer Leiter 0,6 0,5 0,4 H(r) / (A/m) 0,3 0<r<r1 r1<r<r r<r<r3 0, 0, ,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 r / m Verlauf der magnetichen Feldstärke H(r) in einer Koaxialleitung

4 Magnetfeld und Elektrisches Feld einer Koaxialleitung Der Poyntingvektor beschreibt die Leistungstromdichte im elektromagnetischen Feld: S E H Seite.4 von.11 Das elektrische Feld E ist im Innenleiter und im Aussenleiter gleich Null. Wir betrachten daher nur E und H im Zwischraum r 1 < r < r Hier stehen E und H senkrecht aufeinander. Für die Beträge gilt: SrEr Hr U rln r r1 I r Einheit der Leistungsstromdichte W m Die Gesamtleistung P ist das Integral über die Fläche des Zwischenraumes r P r Sr da r 1 r 1 U rln r r1 I r r dr r P UI 1r ln r dr UI lnr r1 ln r r 1 r r1 1 r UIln r r1 ln r r1 U I Dies besagt, dass die Leistung P im Zwischenraum, also im Feldraum, fliesst! Die Richtung der Leistung ist die Achsenrichtung.

5 Übung 0: Koaxiale Leitung Seite.5 von.11 Im Innenleiter I 0 < r < r 1 Hrr r 1 Hr I Im Zwischenraum r r 1 < r < r Im Aussenleiter Hr I r r 3 r r < r < r 3 r 3 r Im Aussenraum Hr0 r 3 < r Hinstrom im Innenleiter I H = 10 A, Rückstrom im Aussenleiter I R = 10 A Radien r 1 = 1 mm ; r = 5 mm ; r 3 = 6 mm 1. Berechnen Sie H(r) für r = 0mm ; 0,5mm ; 1mm, also im Innenleiter!. Berechnen Sie H(r) für r = 1 ; ; 3 ; 4 ; 5mm, also im Zwischenraum! 3. Berechnen Sie H(r) für r = 5 ; 5,5 ; 6mm, also im Aussenleiter! 4. Die Feldstärke am Innenleiter beträgt E(r1) = 500 V/cm. Berechnen Sie die übertragene Leistung P! 5. Der magnetische Fluss in den 3 Bereichen soll berechnet werden. 6. Berechnen Sie die gesamte Induktivität L g!

6 Lösung zu Übung Seite.6 von.11 0<r<1mm 1mm<r<5mm 5mm<r<6mm r H H H mm A/m A/m A/m 0,0 0,00 0,5 795,775 1,0 1591, ,549,0 795,775 3,0 530,516 4,0 397,887 5,0 318, ,310 5,5 151,63 6,0 0,000 Lösung magnetischer Fluß im Innenleiter: Magnetischer Fluss im Leiter 01 bei 1 m Länge r1 IH0 ll 01a r dr 01a Wb r1 0 IH0 ll 01b 01b Wb 4

7 Seite.7 von.11 Magnetischer Fluß im Zwischenraum und im Aussenleiter Magnetischer Fluss im Zwischenraum pro 1 m Länge r IH0 ll 1a dr 1a Wb r r1 IH0 ll 1b ln r 1b Wb r1 Magnetischer Fluss im Aussenleiter pro 1 m Länge r3 IH0 ll r3 r 3a r r r3 r d 3a Wb r IH0 ll r3 3b1 r3 r ln r3 3b Wb r IH0 ll 1 r3 r 3b r3 r 3b Wb 3b 3b1 3b 3b Wb

8 Seite.8 von.11 H(r) Koaxialer Leiter H(r) / (A/m) ,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 r / m 0<r<r1 r1<r<r r<r<r3 Bild: Verlauf der magnetischen Feldstärke H(r) in der koaxialen Leitung

9 Seite.9 von.11 Der Skineffekt im runden Leiter bei hohen Frequenzen Magnetische Feldkonstante Spezifische Leitfähigkeit zb für Kupfer r 0 r Vs Am S m Eindringtiefe des Stromes R 0 = R DC ist der Gleichstromwiderstand des runden Innenleiters Mit dem Koeffizienten r 1 erhält man die Abhängigkeit des ohmsches Widerstandes R(f) bzw R() R R R R für < 1 für > 1

10 Seite.10 von.11 Bild: Ohmscher Widerstand R(f) eines Kupferdrahtes mit r = 1mm in Abhängigkeit von der Frequenz f

11 Seite.11 von.11 f eta 1. R/R0. R/R0 HZ ,00E+0 7,434E-0 1,000E+00,00E+0 1,051E-01 1,000E+00 5,00E+0 1,66E-01 1,000E+00 1,00E+03,351E-01 1,001E+00,00E+03 3,35E-01 1,004E+00 5,00E+03 5,57E-01 1,05E+00 1,00E+04 7,434E-01 1,10E+00 1,81E+04 9,999E-01 1,333E+00 1,333E+00,00E+04 1,051E+00 1,385E+00 5,00E+04 1,66E+00 1,996E+00 1,00E+05,351E+00,684E+00,00E+05 3,35E+00 3,658E+00 5,00E+05 5,57E+00 5,590E+00 1,00E+06 7,434E+00 7,768E+00,00E+06 1,051E+01 1,085E+01 5,00E+06 1,66E+01 1,696E+01 1,00E+07,351E+01,384E+01,00E+07 3,35E+01 3,358E+01 5,00E+07 5,57E+01 5,90E+01 1,00E+08 7,434E+01 7,468E+01,00E+08 1,051E+0 1,055E+0 5,00E+08 1,66E+0 1,666E+0 1,00E+09,351E+0,354E+0 Tabelle zu R(f)