Linienladungen D Q A Q. U Pa P a E r dr E r dr. electric line charge. 2 rl Q
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- Anna Biermann
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1 Linienladungen electric line charge Seite 6.1 von 6.13 Führer Heidemann Nerreter Grundgebiete der Elektrotechnik Band 1 0 8, Vs Am Ziel: Berechnung der Kapazität einer Doppelleitung Verschiebungsflußdichte D Feldstärke E displacement flux density D electric field intensity E Wir betrachten zunächst eine dünne Koaxialleitung r L Radius des dünnen Innenleiters r a Radius des sehr großen Außenleiters, r a >> r L und r a >> r P r P Radius eines Punktes P, für den das Potential und Feld E berechnet wird l Länge der koaxialen Leitung D A 2rl E D rl r P r a r a U Pa P a Er dr Er dr r a r P r P 2 0 lr dr 2 0 l ln r a r P Als nächstes werden 2 dünne Leiter mit Abstand a in einem gemeinsamen grossen Aussenrohr mit Radius r a betrachtet.
2 Das Potential im Punkt P wird von den Ladungen 1 und 2, bestimmt. r a Radius des sehr großen Außenleiters, r a >> und r a >> r 2 Radius von Lage 1 bis zum Punktes P r 2 Radius von Lage 2 bis zum Punktes P l Länge der koaxialen Leitung l >> r a >>, r 2 Seite 6.2 von l ln r a l ln r a r2 1 2 P l ln r a l ln r a r 2 P P P P 2 0 l ln r a 2 0 l ln r a r l ln r a ln r a r l ln r a ln r 2 ra 2 0 l ln r a r 2 ra Das Potential P im Punkt P, erzeugt von den beiden Linien-Ladungen 1 /l und 2 /l, welche auf den beiden Leitungen liegen, beträgt: P 2 0 l ln r 2
3 Seite 6.3 von 6.13 Finden eines Potentialpunktes mit einem vorgegebenen Wert, Bestimmung der Koordinaten (x,y) bzw. der Radien und r 2 Gegeben: Gesucht P const....v...cm a...cm r 2?cm Lösung ln r 2 P 2 0 l P2 0 l r 2 exp P2 0 l r 2 exp P2 0 l Mit a, r1 und r2 läßt sich jetzt der Punkt P mit Potential bestimmen!
4 Kapazität der Doppelleitung (siehe Bild Führer, Heidemann, Nerreter, GGET1) Seite 6.4 von 6.13 Linke Leitung l, für die Berechnung des Potentials benutzen wir: = r L r 2 = a l l 2 0 l ln a r L a Abstand der Mittelachse der Leiter, r L Radius der Leiter Rechte Leitung r, für die Berechnung des Potentials benutzen wir: r 2 = r L = a r 2 0 l ln r L a 2 0 l ln r a L U l r 2 0 l ln a r L 2 0 l ln a r L U l r 0 l ln a r L Damit ergibt sich die Kapazität der Doppelleitung, also die Kapazität zwischen 2 langen, runden, parallelen Leitern, zu: C U 0l ln a r L
5 Berechnung der elektrischen Feldstärke E als Vektor im Aufpunkt P Seite 6.5 von 6.13 E 1 D l E 2 D r 2 l Beträge der Feldstärken Cosinus-Satz allgemein: a 2 b 2 c 2 2bc cos Winkel zwischen b und c Cosinus-Satz hier a = r 2 ; b = ; c = s s im Bild a Abstand der Leiter) Beispiel zur Berechnung von E in der Vorlesung.
6 Übung zu Kapitel 06 Seite 6.6 von Linienladungen im Abstand von a = 10 cm, wobei der Radius r L << a ist. bei x = -a/2 = -5cm liegt 1 = + = 10 nc/m ; bei x = a/2 = +5cm liegt 2 = - = -10 nc/m Radius des Leiters r L = 1 mm ; Äußerer Zylinder r a = 1000 km Länge der Leitung l = 1000m Aufpunkt: = 3,5 cm ; r 2 = 6,5 cm ; x = - 1,5 cm 6.1 Berechnen Sie die Kapazität C DL der Doppelleitung 6.2 Berechnen Sie die Spannung U DL zwischen den 2 Leitern! 6.3 Berechnen Sie das Potential (, r 2 ) P 2 0 l ln r l 2 0 lr Berechnen Sie die Feldstärke E (, r 2 )! E P Vorzeichen je nach Lage Anderer Aufpunkt, in welchem und E berechnet werden soll: xp = -1,5 cm ; yp = 4 cm 6.5 Berechnen Sie das Potential (xp,yp)! 6.6 Berechnen Sie die Feldstärke E(xP,yP) als Vektor und als Betrag!
7 Seite 6.7 von 6.13 r1 r2 E1 E2 x Eg phi cm cm V/m V/m cm V/m V , , ,34 394, ,1 8, , ,67-3, ,68 375, ,2 8, , ,63-3, ,88 358, ,3 8, , ,10-3, ,11 341, ,4 8, , ,13-3, ,49 326, ,5 8, , ,72-3, ,12 311, ,6 8, , ,89-3, ,33 298, ,7 8, , ,68-3, ,27 285, ,8 8,2 9986, ,09-3, ,25 272, ,9 8,1 9460, ,15-3, ,73 260, , , ,44 249, ,1 7,9 8559, ,33-2, ,90 238, ,2 7,8 8170, ,50-2, ,00 227, ,3 7,7 7815, ,43-2, ,69 217, ,4 7,6 7489, ,15-2,6 9854,77 207, ,5 7,5 7190, ,68-2,5 9586,72 197, ,6 7,4 6913, ,07-2,4 9342,57 188, ,7 7,3 6657, ,34-2,3 9119,79 178, ,8 7,2 6419, ,54-2,2 8916,22 169, ,9 7,1 6198, ,70-2,1 8730,02 160, , , ,57 152, ,1 6,9 5798, ,09-1,9 8403,51 143, ,2 6,8 5617, ,40-1,8 8260,62 135, ,3 6,7 5447, ,85-1,7 8129,85 127, ,4 6,6 5286, ,50-1,6 8010,30 119, ,5 6,5 5135, ,40-1,5 7901,14 111, ,6 6,4 4993, ,61-1,4 7801,69 103, ,7 6,3 4858, ,19-1,3 7711,33 95, ,8 6,2 4730, ,21-1,2 7629,50 87, ,9 6,1 4609, ,74-1,1 7555,74 80, , , ,63 72, ,1 5,9 4384, ,63-0,9 7430,80 65,
8 Seite 6.8 von parallele Linienleiter s=10nc/m E / (V/m) U / V Eg V/m phi V x / cm -400
9 Seite 6.9 von e+001 : >1.000e e+001 : 9.000e e+001 : 8.000e e+001 : 7.000e e+001 : 6.000e e+001 : 5.000e e+001 : 4.000e e+001 : 3.000e e+001 : 2.000e e+000 : 1.000e e+001 : 0.000e e+001 : e e+001 : e e+001 : e e+001 : e e+001 : e e+001 : e e+001 : e e+001 : e+001 <-1.000e+002 : e+001 Density Plot: V, Volts Bild: Äquipotential-Linien von 2 Linien-Ladungen; links +100V ; rechts -100V ; Abstand 10cm
10 Langer Einzelleiter über Erde Philippow, Taschenbuch Elektrotechnik Band 1, Seite 54 Berechnung von C LE, (x) und E(x) Seite 6.10 von 6.13 Beispiel Kapitel 06 Kapazität Leiter gegen Erde As ULE 100V Vm Spannung Leiter gegen Erde hl 1m Höhe Leiter über Erde r0 0.01m Radius des Leiters ll 1m Länge des Leiters 20 ll CLE CLE F ln hl 2 hl r0 r0 1 LE ULE CLE LE C Kapazität Leiter gegen Erde Ladung auf dem Leiter
11 Langer Einzelleiter über Erde, Berechnung von (x) und E(x) Seite 6.11 von 6.13 xl 0.99m hl 1m ln xl hl2 r0 2 xl hl 2 r0 2 vonxleu ULE vonxleu 100V hl r0 hl 2 r0 2 ln hl r0 hl 2 r0 2 Potential bei x = xl, mit ULE berechnet LE vonxle ln xl hl2 r0 2 vonxle 100V 20 ll xl hl 2 r0 2 Potential bei x = xl, mit LE berechnet LE hl 2 r0 2 EvonxLE 0 ll hl 2 r0 2 xl 2 EvonxLE m V Feldstärke bei x = xl, mit ULE berechnet hl 2 r0 2 2ULE hl 2 r0 2 xl 2 EvonxLEU EvonxLEU hl r0 hl 2 r ln hl r0 hl 2 r0 2 1 m V Feldstärke bei x = xl, mit LE berechnet Die Verläufe (x) und E(x) werden mit MathCad berechnet und werden mit EXCEL dargestellt. x läuft von 0 bis 99 cm.
12 Seite 6.12 von 6.13 Leiter_Erde_Anordnung phi(x) / V x / cm E(x) / (V/m) phi(xl) V E(xL) V/m Bild: (x) und E(x) Langer Einzelleiter über Erde, Leiterradius r L = 1 cm, Höhe über Erde h L = 1m
13 Berechnung der Kapazität eines einzelnen Leiters gegen Erde. Siehe Bild 2.34 rechts. Hier wird der Radius r L des Leiters berücksichtigt. Seite 6.13 von 6.13 Die Kapazität von 2 Leitern im Abstand a beträgt: C U 0l Für die Berechnung der Kapazität eines einzelnen Leiters gegen Erde berechnet man zunächst die Kapazität zwischen den beiden Leitern 1 und 1. Man benutzt a = 2*h 1 und erhält C 11 0l ln 2h 1 ln a Die Kapazität des einzelnen Leiters gegen Erde ist im Vergleich dazu doppelt so gross: C 1E 2 0l ln 2h 1 r L
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