Projektionen. wie schon immer... Page 1. Computergraphik
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- Christoph Breiner
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1 Projektionen wie schon immer... Comutergrahik Page
2 Bilereugung? Welt & Bilmoell Comutergrahik Grahics Piline Moeling Transformations Illumination (Shaing) Viewing Transformation (Persctive / Orthograhic) Cliing Projection (to Screen Sace) Scan Conversion (Rasteriation) Visibilit / Disla Inut: Geometrische Moelle: Beschreibung aller Objekte, Oberflächen, Position er Lichtquellen. Beleuchtungsmoell: Rechenvorschriften ur Simulation er Interaktion von Materie un Licht Blickwinkel: Kamera oer Augenosition, "viewing frustum" Raster Bereich "Viewort", Pielgri in welches ie Bileben abgebilet wir Outut: Farben / Intensitäten: Angeasst an en Framebuffer un en Bilschirm (.B. 24-bit RGB Werte). Page 2
3 Moeling Transformations Moeling Transformations Illumination (Shaing) Viewing Transformation (Persctive / Orthograhic) Cliing 3D Moelle haben eigenes Koorinatensstem (object sace) "Moeling transforms" orientieren ie Moelle in einem gemeinsamen Koorinatensstem (worl sace) Projection (to Screen Sace) Scan Conversion (Rasteriation) Visibilit / Disla Object sace Worl sace Persktivische Projektion 3D => 2D Page 3
4 Viewing Transformation Moeling Transformations Illumination (Shaing) Viewing Transformation (Persctive / Orthograhic) Cliing Abbilung er Weltkoorinaten in Kamerakoorinaten. Blickrichtung wir i.a. in en Ursrung un entlang einer Koorinatenachse gewählt. Ee sace Projection (to Screen Sace) Scan Conversion (Rasteriation) Visibilit / Disla Worl sace Betrachten reiimensionaler Senen Ebene geometrische Projektionen: Der Wechsel von 3D- Koorinaten u 2D Bilschirmkoorinaten! rsktivisch arallel Der Unterschie wischen arallel un rsktivischer Projektionen liegt im Abstan es Projektionsentrums (Augunkt) ur Projektionsebene un um Objekt. Page 4
5 Parameter einer 3D-Ansicht. Bil-, Projektions-ebene (viewing lane VP ) Blickunkt (view reference oint VRP) Normale er Bilebene (viewing lane normal VPN) Abstan er Bilebene um Augunkt (viewing lane istance VPD) Oben Richtung (viewing u VUP) Bilschirmmitte (center of winow CW) Projektionsrichtung (irection of rojection DOP) Augunkt (rojection referenec oint PRP) Vorere un hinter Cliingebene (front an back lane FP BP) Betrachten reiimensionaler Senen (3) Die Parallel- als auch ie rsktivische Projektion weren in viele Projektionstn aufgesalten. Parallelrojektionen Rechtwinklig: Hautriss Aionometrische: iso-,itri-metrische Persktivische Projektionen Punkt, 2Punkt, 3Punkt Schiefwinklig: Kavalier, Kabinett Page 5
6 Page 6 Homogene Koorinaten 2D beschreiben. en selben Punkt un w obei, P h k h h 2D Kartesische Koorinaten ---> Homogene Koorinaten Persktivische Projektion Projektion von 3D-Koorinaten u 2D Bilschirmkoorinaten! (,, ) Strahlensat: P= (,,) Annahmen: Augunkt auf er -Achse (,, ) Projektions Ebene Projektionsebene -Achse Z Z = -
7 Persktivische Projektion Homogenen Koorinaten h h h M rsktiv h h Persktivische Projektion Homogenen Koorinaten h h h M rsktiv h h h h mit h h h Page 7
8 Persktivische Projektion (Sonerfall ) Bisherige Annahmen: Augunkt auf er -Achse (,, ), Projektionsebene -Achse M r A) mit = un = - ' un h ' M' r ' Persktivische Projektion Projiiere alle Punkte entlang er -Achse auf ie = Ebene, Augunkt im Ursrung homogenie / / = / = / Page 8
9 Page 9 Persktivische Projektion (Sonerfall 2 ) M r Bisherige Annahmen: Augunkt auf er -Achse (,, ), B) mit = - un = r M' ' ' ' un ' h Projektionsebene -Achse Grenübergang, /...ist eine orthograhische Projektion iese rsktivische Projektionsmatri...
10 Persktivische Projektion (allgemein) Annahmen: Projektionsebene -Achse Augunkt auf er -Achse (,, ) P liegt auf er Strecke S wischen PZ un P PZ t( P PZ ), t PZ Q PZ (,, ) Projektions- Ebene P =(,, ) (,, ) P= (,,) mit PZ (,, ) Q(,, ) folgt für einen Punkt P ' ( ', ', ') auf S. ' Q Q ' Q t Q ' Q Q löse ie Gleichungen für ' nach t, ' un ' Persktivische Projektion (allgemein) ' Q Q () ' Q t Q (2) ' Q (3) Q für ' Q (3) t Q PZ Q (,, ) Projektions- Ebene P =(,, ) (,, ) P= (,,) (3) in () Q, (3) in (2) Q Page
11 Page Persktivische Projektion (allgemein) Q, Q Q Q Q Q? r M h Q 2 r M Q Q Q Q 2 Q Q Q Q Persktivische Projektion (allgemein) 2 allgemein Q Q Q Q M Z Q [ ] - M ort - M r - M ' r
12 Page 2 Parallel Projektion 2 allgemein Q Q Q Q M Z Q [ ] - sin c os Cav alier - 2 sin 2 cos Cabinet Was ist falls Auge ist? (ee, ee, ee ) image lane ais
13 Was ist falls Auge ist? (ee, ee, ee ) ais image lane Was ist falls Auge ist? (ee, ee, ee ) ais image lane Page 3
14 Was ist falls Auge ist? (ee, ee, ee ) ais??? image lane Was ist falls Auge ist? Ausweg: beschränken er Geometrie auf as " view frustum" (ee, ee, ee ) ais image lane Page 4
15 Projektionen er "iline"? Moeling Transformations Illumination (Shaing) Viewing Transformation (Persctive / Orthograhic) Cliing Projection (to Screen Sace) Scan Conversion (Rasteriation) Camera /ee Sace Normalie Device Cooriantes Screen Sace Visibilit / Disla Normaliing the Viewing Volume Orthograhic viewing volume: = l := left lane = r := right lane = b := bottom lane = t := to lane = n := near lane = f := far lane 2 l r r l 2 normalie 2 b t normalie t b 2 normalie 2 n f n f 2 Page 5
16 Orthograhic Projection iel normalie iel normalie Msreeen Mo normalie normalie 2 l r r l 2 iel 2 b t iel M screen r b 2 normalie 2 n f r f 2 2 l r n n r l 2 iel b t n n iel r b normalie 2 n f r f 2 Viewing Transformation Welt Koorinaten Kamera koorinaten Positionieren er Kamera - w Translation + Änerung er orthonormal Basis Gegeben: Fine: Koorinaten & uvn, un er Punkt = (,,) = (u,v,w) v u v u Page 6
17 Viewing Transformation Positionieren er Kamera Gegeben: Fine: Koorinaten & uvw, e un er Punkt = (,,) = (u,v,w) M v u u u e v v v e w w w e Full orthorahic rojection iline comute: M v comute: M o M = M o M v For each line segment ( a i, b i ) o = M a i q = M b i raw line (,, q, q ) Page 7
18 Persctive Projection h ' h ' M P h ' h n f M P f n n Full rsctive rojection iline comute: M v comute: M o comute: M P M = M o M P M v For each line segment ( a i, b i ) o = M a i q = M b i raw-line ( /h, /h, q /h q, q /h q ) M o M P is often calle the rojection matri Page 8
19 The ongl rojection Mati M o M P is often calle the rojection matri M ongl 2n r l r l r l 2n t b t b t b f n 2 fn f n f n Grahics Piline Moeling Transformations Illumination (Shaing) Viewing Transformation (Persctive / Orthograhic) Cliing Projection (to Screen Sace) Effiientes Cliing wir NICHT in einem einelne Proessschritt urchgeführt! Scan Conversion (Rasteriation) Visibilit / Disla Page 9
20 Full Cliing "cli" geometr to view frustum (ee, ee, ee ) ais image lane Front- & Backlane cliing "cli" geometr to near lane (ee, ee, ee ) ais image lane Page 2
8. Projektionsarten und Perspektive
8. Projektionsarten un Perspektive Projektionen: transformieren 3D-Objekte in 2D-Biler (mathematisch: lineare Abb., aber nicht bijektiv ugehörige Matri singulär,.h. Determinante ) Projektion ist Grunaufgabe
0 1 0 b Die inverse Funktion muss die Translation um b sein und hat daher die homogene Matrix b b 1
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