Geometric Algebra Computing
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- Georg Fischer
- vor 8 Jahren
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1 Geometric Algebra Computing Dr. Dietmar Hildenbrand Technische Universität Darmstadt
2 Organisatorisches Mündliche Prüfung am Ende des Semesters Im Seminar-Raum Cocoon Wann wären gute Termine? Bonus durch Übung möglich (Vorstellung aktueller Stand in Vorlesung/Übung) Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 2
3 Übersicht Das konforme Modell im Detail Transformationen Molekulardnamik-Simulation Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 3
4 Literatur Aspects of Geometric Algebra in Euclidean, Projective and Conformal Space Christian Perwass and Dietmar Hildenbrand, Tutorial auf der DAGM 23, Stand 4. Jan Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 4
5 The conformal model in more detail Embedding of Euclidean space. Stereographic projection 2. Homogeniation Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 5
6 Stereographic projection Note: Nurbs parametriation of circle/sphere Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 6
7 Homogeniation of the Embedding of Euclidean Space Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 7
8 Homogeniation of the Embedding of Euclidean Space Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 8
9 Homogeniation of the Embedding of Euclidean Space Homogenous vectors = null vectors Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 9
10 Embedding Euclidean Space Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand
11 Embedding Euclidean Space Computer Science Interactive-Graphics Sstems Group (GRIS) Dietmar Hildenbrand
12 Embedding Euclidean Space Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 2
13 Embedding Euclidean Space Note: Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 3
14 Transformationen In linearer Algebra Homogene Koordinaten Transformationen in linearer Algebra Transformationen in geometrischer Algebra Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 4
15 3..22 Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 5 s s s s Homogene Koordinaten definiere Äquivalenklasse: 3D (inhomogene) Koordinaten 4D homogene Koordinaten Skalierungsfaktor s bw. Gewicht w ungleich w / w / w / w
16 3..22 Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 6 Translation Translation als Matri-Multiplikation in homogenen Koordinaten Bsp. Translation um den Vektor (,, ) t Homogene Koordinaten sind einfach deutbar als ein erweitertes Rechenschema! = = ' ' '
17 3..22 Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 7 Translation Translation als Matri-Multiplikation in homogenen Koordinaten Bsp. Translation um den Vektor (,, ) t Homogene Koordinaten sind einfach deutbar als ein erweitertes Rechenschema! = = ' ' '
18 3..22 Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 8 Translation Translation als Matri-Multiplikation in homogenen Koordinaten Bsp. Translation um den Vektor (,, ) t Homogene Koordinaten sind einfach deutbar als ein erweitertes Rechenschema! = = ' ' '
19 3..22 Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 9 Translation Translation als Matri-Multiplikation in homogenen Koordinaten Bsp. Translation um den Vektor (,, ) t Homogene Koordinaten sind einfach deutbar als ein erweitertes Rechenschema! = = ' ' '
20 3..22 Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 2 Translation Translation als Matri-Multiplikation in homogenen Koordinaten Bsp. Translation um den Vektor (,, ) t Homogene Koordinaten sind einfach deutbar als ein erweitertes Rechenschema! = = ' ' '
21 Rotation Eine Rotation R um den Winkel um die -Achse in mathematisch positive Richtung ergibt für die Basisvektoren folgende Beiehung: R ((,, ) t ) = ( cos, sin, ) R ((,, ) t ) = (-sin, cos, ) R ((,, ) t ) = (,, ) Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 2
22 3..22 Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 22 Rotation Die ugehörige 3 3 Matri ergibt sich daher u In homogenen Koordinaten folgt für die Rotation R um die -Achse cos sin sin cos = cos sin sin cos ' ' '
23 3..22 Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 23 Rotation Bei Rotation R um die -bw. -Achse ergeben sich analog folgende homogene Darstellungen. Drehung mit dem Winkel um die -Achse Drehung mit dem Winkel um die -Achse = cos sin sin cos ' ' ' = cos sin sin cos ' ' '
24 Rotation um beliebige Achse (durch Ursprung) Berechnung von R Drehung R(,,) um beliebige Achse in Richtung des normierten Vektors r=(,,) t um den Winkel Orthonormale Basis (r,s,t) bestimmen erster Basisvektor ist r weiter Basisvektor s soll senkrecht auf r stehen: dritter Basisvektor t = r s s s = t r e r e r oder ( falls r ) R R - t Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 24 r e R () s s = r e r e s t r
25 Rotation um beliebige Achse (durch Ursprung) Berechnung von R Vektoren (r,s,t) werden in die Spalten der Transformationsmatri geschrieben T-Matri ist orthogonal und transformiert e r, e s, e t. (das ist R - ) Für orthonormierte Matrien A gilt stets A - =A t. Also: R ergibt sich, indem man die Vektoren (r,s,t) in die Zeilen von A schreibt s t r R R - t r s R () s t r Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 25
26 3..22 Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 26 Rotation um beliebige Achse (durch Ursprung) Dreht man im Uhreigersinn um den Vektor (,,) und den Winkel, so gilt mit den Abkürungen s=sin(), c=cos() und t=-cos() Für kleine Winkel ( < ) kann man sin durch die Bogenlänge und cos durch approimieren ( ), 2 2 2,, = c t s t s t s t c t s t s t s t c t R ( ),, R
27 Rotation um beliebige Raumachse Die bisher diskutierten Rotationen lassen den Ursprung fest Rotationsachse durch eine beliebige Achse im Raum Verschiebung des Rotationsentrums in den Ursprung anschließende Rotation und Zurückverschiebung in das Rotationsentrum s r T T - r s s r t R(r) t t Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 27
28 3..22 Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 28 Rotation um beliebige Raumachse Beispiel Rotation in positiver Richtung um eine Achse durch den Punkt (,, ) und um den Winkel Die Richtung der Rotationsachse sei die -Richtung. p p = cos sin sin cos
29 Transformationen in geometrischer Algebra Siehe CluCalc-Script ConformalTransformations.clu Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 29
30 Transformations in geometric algebra Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 3
31 RotationAis Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 3
32 CLUScript eample RotationAis.clu Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 32
33 Rotor Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 33
34 CLUScript eample Rotor.clu Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 34
35 Translator Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 35
36 Rigid Bod Motion Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 36
37 CLUScript eample RigidBod.clu Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 37
38 Screw Motion Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 38
39 Interpolation of motions Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 39
40 Velocities Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 4
41 Dnamics Technische Universität Darmstadt Computer Science Department Dietmar Hildenbrand 4
42 Molekulardnamik-Simulation mit Gaalop-Precompiler for OpenCL Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
43 Gaalop Precompiler (revisited) Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
44 Gaalop Precompiler (revisited) Visualiation of the horion eample Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
45 Gaalop Precompiler (revisited) Horion computations in C++ Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
46 Gaalop Precompiler (revisited) Gaalop GPC for OpenCL Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
47 Gaalop Precompiler (revisited) Horion eample in OpenCL Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
48 List of Precompiler Functions Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
49 Gaalop GPC for OpenCL available for Windows and Linu ( Application eample: Molecular dnamics Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
50 Molecular Dnamics in a Nutshell A Molecule is a compound of several atoms, which are assumed to be static inside the molecule. Ever atom sends out attraction or repulsion forces to ever other atom. These forces then result in a movement of the molecules according to Newton's and Euler's laws. This is simulated for s of molecules in parallel. Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
51 Molecular Dnamics in a Nutshell A Molecule is a compound of several atoms, which are assumed to be static inside the molecule. Ever atom sends out attraction or repulsion forces to ever other atom. These forces then result in a movement of the molecules according to Newton's and Euler's laws. This is simulated for s of molecules in parallel. Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
52 Molecular dnamics simulation Lennard Jones potential Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
53 Molecular dnamics simulation Lennard Jones force is the negative gradient of the Lennard Jones potential and results in the following force vector acting upon a pair of atoms All forces (and torques) acting on a particular molecule can be summed up to a single net force. With Newton's law F=m*a this force results in an accelaration of the molecule. Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
54 Conventional molecular dnamics solver Conventional Velocit Verlet timestep integration method Note that those steps have to be computed separatel. for the translation part 2. for the rotational part Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
55 CGA molecular dnamics solver Velocit Verlet in Conformal Geometric Algebra: Florian Sebold (HLRS), based on David Hestenes's work CGA combines translational and rotational parts into one compact algorithm. Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
56 General Solver concept solver is separated into 3 parts. molecule verlet time integration step updates the molecule's position and orientation N computations for N molecules 2. computation of potential forces updates each molecule's force and torque n (n-) computations for n atoms 3. molecule verlet time integration step 2 updates the molecule's linear and angular velocit N computations for N molecules Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
57 OpenCL-Solver concept CPU Initialiation OpenCL enabled GPU Upload Data Loop Kernel Call Kernel Call Kernel Call Verlet Step N threads Compute Potential Forces - n threads Verlet Step 2 N threads Download Data Visualiation (optional) Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
58 Implementation Gaalop Precompiler for OpenCL code: Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
59 Results Better runtime performance Better Numerical Stabilit (Energ Conservation) Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
60 Reference Foundations of Geometric Algebra Computing Dietmar Hildenbrand Springer, Nov. 22 Master thesis Patrick Charrier Article in Elektronik-Prais: Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
61 Thanks a lot Dietmar Hildenbrand "Foundations of Geometric Algebra Computing" TU Darmstadt
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