Warten auf eine vollständige Serie Vorschläge zur Umsetzung im Unterricht

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1 Titel Vorschläge zur Umsetzung im Unterricht S. I S. I + II S. II MATHEMATIK HEINZ KLAUS STRICK Beim geht es darum, einen Zufallsversuch so lange durchzuführen, bis jedes der möglichen Ergebnisse mindestens einmal aufgetreten ist. Diese auch als Sammelbilderproblem bezeichnete Alltagssituation lässt sich im Unterricht für bestimmte Anzahlen mithilfe von Würfeln experimentell nachspielen. Im Folgenden soll daher am Beispiel des Werfens eines regelmäßigen bzw. eines gezinkten Tetraeders erläutert werden, wie die Behandlung des Themas umgesetzt werden kann. 1 Untersuchungen am regelmäßigen Tetraeder 1.1 Darstellung des Zufallsprozesses mithilfe eines Übergangsdiagramms Beim Würfeln mit einem regelmäßigen Tetraeder wartet man darauf, dass jede der vier Augenzahlen 1, 2, 3, mindestens einmal gefallen ist; dabei spielt die Reihenfolge, in der die verschiedenen Augenzahlen auftreten, keine Rolle. Der Zufallsprozess kann verschiedene Zustände annehmen, durch die die Anzahl der schon gefallenen verschiedenen Augenzahlen beschrieben werden (Abb. 1). Mit Sicherheit (also mit der Wahrscheinlichkeit 1) fällt beim ersten Wurf des Tetraeders eine Augenzahl, die bisher noch nicht gefallen ist. Abb. 1. Übergangsdiagramm für das Warten auf eine vollständige Serie beim Tetraeder ISSN Verlag Klaus Seeberger, Neuss 17

2 Dass beim nächsten Wurf die gleiche Augenzahl wieder fällt, hat nur die Wahrscheinlichkeit 1 ; d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Prozess nach dem 2. Wurf im Zustand 2 (= 2 verschiedene Augenzahlen) befindet, ist gleich 3 usw. Wenn das System im Zustand ist, sind alle Augenzahlen mindestens einmal vorgekommen. Das System hat einen absorbierenden Zustand erreicht. 1.2 Mittlere Wartezeit bis zum Vorliegen einer vollständigen Serie Wenn ein Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit 1 auftritt, benötigt man im Mittel vier Versuche, bis es tatsächlich vorliegt. Beim dauert also der letzte Schritt im Mittel am längsten. Wenn ein Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit 2 = 1 2 auftritt, benötigt man im Mittel 2 = 2 Versuche, bis es tatsächlich vorliegt, 1 usw. Insgesamt benötigt man also für das Warten auf eine vollständige Serie beim Werfen eines regelmäßigen Tetraeders bis zum Vorliegen einer vollständigen Serie im Mittel = Bei ungefähr einem Viertel der 096 Versuchsreihen wird beim 2. Wurf die gleiche Augenzahl fallen wie beim 1. Wurf; deshalb werden etwa 102 der 096 Versuchsreihen nach dem 2. Wurf noch im Zustand 1 sein; in etwa drei Viertel der Versuchsreihen fällt beim 2. Wurf eine Augenzahl, die bisher noch nicht gefallen war, also in etwa 3072 Fällen. In etwa der Hälfte dieser 3072 Versuchsreihen fällt auch beim 3. Wurf eine Augenzahl, die bisher nicht gefallen war (dies betrifft also etwa 1536 der insgesamt 096 Fälle). Bei der anderen Hälfte fällt eine Augenzahl, die bereits vorhergefallen war; d. h. man bleibt im Zustand 2. Allerdings kommen noch in etwa drei Viertel der 102 Versuchsreihen, bei denen bisher erst eine Augenzahl gefallen war, eine zweite Augenzahl dazu, so dass sich insgesamt = 230 von 096 Versuchsreihen nach dem 3. Wurf im Zustand 2 befinden Wahrscheinlichkeitsberechnungen zum Ablauf des Zufallsprozesses Statt der zu erwartenden absoluten Häufigkeiten kann man in diesem Schema auch zu erwartende relative Häufigkeiten eintragen, also die Wahrscheinlichkeiten (Abb. 3). Am rechts unten stehenden Kästchen des Schemas kann man ablesen, dass die Wahrscheinlichkeit, nach spätestens sieben Würfen eines regelmäßigen Tetraeders eine vollständige Serie zu haben, etwas größer ist als 50 %, d. h., wenn man eine Wette darauf abschließen würde, wäre man geringfügig im Vorteil. Würfe. = = 25 8, Man beachte: Dies ist ein Mittelwert! Es könnte sein, dass man bereits nach vier Würfen alle vier Augenzahlen geworfen hat; es könnte aber auch sehr lange dauern, bis es endlich so weit ist. 1.3 Häufigkeitsabakus für das Warten auf eine vollständige Serie beim Tetraederwurf Der zu erwartende Ablauf des Zufallsprozesses kann mithilfe eines Häufigkeitsabakus (ENGEL, 1975) verdeutlicht werden (Abb. 2). Dazu betrachte man beispielsweise 096 Versuchsreihen mit jeweils sieben Würfen eines regelmäßigen Tetraeders: Nach jedem Wurf wird notiert, wie viele verschiedene Augenzahlen bis zu diesem Wurf (einschließlich) zu erwarten sind. Nach dem 1. Wurf ist mit Sicherheit bei allen 096 Versuchsreihen eine Augenzahl gefallen, die bis dahin noch nicht gefallen war. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(m; k), dass sich das System nach m Stufen im Zustand k befindet, kann eine Tabellenkalkulation verwendet werden (Tab. 1). P(m; k) ergibt sich rekursiv aus den Wahrscheinlichkeiten der vorherigen Stufe, nämlich aus P(m 1; k 1) und P(m 1; k). Diese werden mit den Übergangswahrscheinlichkeiten gewichtet, die sich in Abhängigkeit vom jeweiligen Zufallsgerät und dem betrachteten Zustand ergeben. Abb. 2. Häufigkeitsabakus für das 18

3 Abb. 3. Wahrscheinlichkeitsabakus Die Anfangswerte in der ersten Spalte ergeben sich aus den Definitionen P(1; 1) = 1 und P(m; 1) = 1 P(m 1; 1) für m 2. In den weiteren Spalten der Tabelle sind die Rekursionsgleichungen einen Wettsieg etwa wie 62 zu 38, also ungefähr wie 5 zu 3, obwohl der Erwartungswert μ der Anzahl der notwendigen Würfe für eine vollständige Serie etwas größer als 8 ist. Der Grund für das Abweichen des Erwartungswerts μ (= gewichteter Mittelwert einer Verteilung) vom Median x Q2 (= 50 %- Wert der Verteilung) ist die fehlende Symmetrie der zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung, wie man auch aus Abbildung 5 ablesen kann. Dort ist dargestellt, wie sich die Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen einer vollständigen Serie beim regelmäßigen Tetraeder von Wurf zu Wurf verändert. 1.5 Berechnung des Erwartungswerts μ mithilfe des Wahrscheinlichkeitsabakus Der Erwartungswert μ der Anzahl m der notwendigen Versuchsdurchführungen kann gemäß Definition auch wie folgt bestimmt werden: Man berechnet für jede Stufenzahl m die im Vergleich zur vorangegangenen Stufe hinzugekommene Wahrscheinlich- P(m; k) = k n für 2 k m zu verwenden. P(m 1; k) + n k + 1 n P(m 1; k 1) Tab. 1. Excel-Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten Abb.. Entwicklung der Wahrscheinlichkeiten für eine vollständige Serie bei wachsender Anzahl von Würfen Die weitere Entwicklung der Wahrscheinlichkeiten lässt sich übersichtlich in einem Graphen (Abb. ) darstellen, der aus den Werten der letzten Spalte der Tabelle entsteht. Bemerkenswert ist die Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit, nach spätestens acht Würfen eine vollständige Serie zu haben, bereits auf ca. 62 % angestiegen ist, also bessere Wettchancen verspricht. Dies steht scheinbar im Widerspruch zu der Erkenntnis, dass man im Mittel μ 8,3 Würfe benötigt, um bei den Tetraederwürfen eine vollständige Serie zu erhalten. Würde man eine Wette abschließen, dass spätestens nach acht Würfen eine vollständige Serie vorliegt, dann ständen die Chancen für Abb. 5. Wahrscheinlichkeitsverteilung 19

4 keit für das Vorliegen einer vollständigen Serie und gewichtet diese mit der Anzahl m der Stufen. Man multipliziert also die Wahrscheinlichkeit, dass man genau m Stufen benötigt, mit der Anzahl m der Stufen. Da der Zufallsversuch im Prinzip unendlich lange dauern kann, muss eine unendliche Summe gebildet werden: μ = m (P(m; n) P(m 1; n). m=2 An der EXCEL-Tabelle, von der ein Ausschnitt in Abbildung 6 dargestellt ist, kann man ablesen, dass sich die Folge der kumulierten Produkte dem in 1.2 berechneten Wert μ = 25 3 nähert. bzw. 3 der Bilder Nr.1 bis Nr. 3 beschrieben. Sobald das Bild Nr. auftaucht, wechselt man im Diagramm in die untere Reihe. Danach sind nur noch Übergänge vom Zustand 1* nach 2*, von 2* nach 3*, von 3* nach * bzw. zu sich selbst möglich. 2.2 Wahrscheinlichkeitsberechnung für das gezinkte Tetraeder Aus dem Übergangsdiagramm ergeben sich entsprechend veränderte Rekursionsformeln P(1; 1) = 2n 2 2n 1 und P(m; 1) = 2 für m 2, P(m 1; 1) P(1; 1*) = 1 und P(m; 1*) = 1 P(m 1; 1*) für m 2, P(m; k) = 2k für 2 k m, P(m 1; k) + 2n 2k P(m 1; k 1) P(m; k*) = 2k* 1 P(m 1; k*) n 2k* + 2 P(m 1; k* 1) für 2 k* m. P(m 1; k 1) Abb. 6. Berechnung des Erwartungswertes 2 Untersuchungen am gezinkten Tetraeder Die Untersuchung des Problems der vollständigen Serie wird aufwendiger, wenn die Sammelbilder nicht mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Am Beispiel des Sammelns einer Serie von vier Bildern wird exemplarisch gezeigt, wie man vorgehen kann. Die Tabelle 2 zeigt die Entwicklung der Wahrscheinlichkeiten bis zum Vorliegen einer vollständigen Serie. In der Spalte rechts stehen zum Vergleich die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten beim Werfen eines nicht gezinkten Tetraeders. Der Vergleich der Wahrscheinlichkeiten zeigt, dass es hier in der Regel erst nach einer größeren Anzahl von Versuchen zu einer vollständigen Serie kommt bedingt dadurch, dass Bild Nr. nur halb so häufig auftritt wie die anderen Bilder. In Abbildung 8 sind die einzelnen Punkte miteinander verbunden, damit die beiden Entwicklungen besser verfolgt werden können. 2.1 Übergangsdiagramm beim Werfen eines gezinkten Tetraeders Angenommen, die Sammelbilder Nr. 1 bis 3 sind gleich häufig auf die Kaufpackungen verteilt, Bild Nr. jedoch nur halb so oft (vergleichbar mit einem»gezinkten«tetraeder, bei dem die Augenzahlen 1, 2 und 3 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten und Augenzahl nur mit halb so großer Wahrscheinlichkeit). Dann ergeben sich Übergänge wie in Abbildung 7 dargestellt. Unterschieden werden die Zustände 1 bis 3, in denen gezählt wird, wie viele der Bilder Nr. 1 bis Nr. 3 aufgetreten sind, sowie die Zustände 1*, 2*, 3*, *, bei denen Bild Nr. sowie außerdem auch 0, 1, 2, 3 der Bilder Nr. 1 bis Nr. 3 aufgetreten sind. In der oberen Reihe des Diagramms sind die Zustände für 1 bzw. 2 Abb. 7. Übergangsdiagramm beim Werfen eines gezinkten Tetraeders 20

5 eignet sich hervorragend zur Einführung von Median und Quartilen sowie von Boxplots. Beispielsweise kann man in Klassenstufe 7 einen Dodekaeder-Würfel so lange werfen lassen, bis jede der 12 Augenzahlen mindestens einmal gefallen ist. Die Schüler/innen machen dabei die Erfahrung einer nicht symmetrischen Verteilung, deren arithmetisches Mittel sich vom Median unterscheidet. Erfahrungsgemäß kann man davon ausgehen, dass man bei 50 Durchführungen des Versuchs in einer Klasse einen Median erhält, der bei 3 liegt, das untere Quartil liegt bei 27, das obere bei. Das arithmetische Mittel wird etwa 37 betragen. Tab. 2. EXCEL-Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für das gezinkte Tetraeders Abb. 8. Entwicklung der Wahrscheinlichkeiten für eine vollständige Serie bei wachsender Anzahl von Würfen eines gezinkten Tetraeders Wie man mithilfe der in 1.5 dargestellten Methode ausrechnen kann, liegt der Erwartungswert μ der Anzahl der Versuche hier bei μ 9,62; man benötigt also im Mittel ungefähr 1,3 Versuche mehr als beim regelmäßigen Tetraeder (Abb. 9). Vor der Durchführung des Versuchs werden die Schüler/innen kaum in der Lage sein, abzuschätzen, wie viele Würfe sie benötigen werden, und dann überrascht sein, dass man in 10 % der Fälle das Dodekaeder sogar mehr als 55-mal werfen muss, bis jede Augenzahl mindestens einmal aufgetreten ist. 3.2 Simulation des Problems mithilfe von Zufallszahlen Mit geringerem Zeitaufwand kann das Problem der vollständigen Serie auch mithilfe des Zufallszahlengenerators einer Tabellenkalkulation untersucht werden. Auch dies kann erfahrungsgemäß bereits in der Sekundarstufe I umgesetzt werden, etwa in Phasen zur Einführung digitaler Werkzeuge. Die Tabelle 3 zeigt am Beispiel des Werfens eines regelmäßigen Tetraeders, wie man dabei vorgehen kann. Spalte 2: Erzeugen einer Zufallszahl z aus dem Intervall [0; 1[. Hieraus erhält man die Augenzahl, indem man den ganzzahligen Anteil von z + 1 berechnet. Spalte 3 bis 6: Überprüfen, welche Augenzahl geworfen wurde; fortlaufendes Addieren der Häufigkeit. Spalte 7: Überprüfen der Vollständigkeit der Serie, indem man das Produkt der Häufigkeiten aus den Spalten 3 bis 6 bildet. Spalte 8: Wenn das Produkt in Spalte 7 gleich 0 ist, wird nichts notiert, sonst die laufende Nummer aus Spalte 1. Die kleinste dieser Nummern gibt dann die Länge der vollständigen Serie an. 3 Hinweise zur Behandlung des Themas im Unterricht 3.1 Erste Erfahrungen mit dem Sammelbilderproblem in der Sekundarstufe I Bereits in der Sekundarstufe I können die Schüler/innen erste Erfahrungen mit dem Problem der vollständigen Serie sammeln. Die Simulation des Problems Abb. 9. Berechnung des Erwartungswertes für eine vollständige Serie bei einem gezinkten Tetraeder 21

6 Es ist sogar bereits hier möglich, ein gezinktes Tetraeder zu betrachten: Dazu muss in Spalte 2 statt z + 1 der Term 3,5z + 1 betrachtet werden, sodass die Augenzahl mit halb so großer Wahrscheinlichkeit erzeugt wird. Abb. 11. Berechnung des ersten Folgezustandes Tab. 3. Ergebnis einer Simulation des Werfens eines Tetraeders Abb. 12. Berechnung weiterer Folgezustände 3.3 Untersuchungen im Rahmen des Unterrichts der Sekundarstufe II Leider lassen die in den verschiedenen Bundesländern geltenden Lehrpläne und Vorgaben für die zentrale Abschlussprüfung nur wenig Raum für die ausführliche Behandlung des Themas im Rahmen des Stochastikunterrichts. Das Thema eignet sich jedoch hervorragend für eine Facharbeit oder ein Schülerreferat, wobei die Ausführungen dieses Beitrags oder die zusätzlichen Darstellungen wie z. B. Lösung mithilfe der Mittelwertregeln in STRICK (2015) als Grundlage verwendet werden können. Statt eine Tabellenkalkulation zu nutzen was sich ja wegen der rekursiven Struktur anbietet, kann im Falle des Tetraeders auch eine Untersuchung mithilfe von Übergangsmatrizen erfolgen (Abb ). Analog zum Beispiel in STRICK (2013) bzw. STRICK (201) ergibt sich für das regelmäßige Tetraeder eine -Übergangsmatrix, im Falle des oben betrachteten gezinkten Tetraeders eine 8 8-Matrix. Im ersten Fall wird eigentlich eine 5 5-Matrix zur Beschreibung der Übergänge benötigt; aber auf die Betrachtung des Zustands 0 kann verzichtet werden, da der Übergang zum Zustand 1 mit Wahrscheinlichkeit 1 erfolgt. Abb. 10. Definition der Übergangsmatrix für das regelmäßige Tetraeder In der Übergangsmatrix des zweiten Falls sind die Zustände 0, 1, 1*, 2, 2*, 3, 3*, berücksichtigt. Literatur ENGEL, A. (1975). Der Wahrscheinlichkeitsabakus. MU, 21(2), STRICK, H. K. (2013). Stochastik mit dem TI-Nspire TM CX (GTR), Texas Instruments. STRICK, H. K. (201). Übergangsmatrizen. In: Elemente der Mathematik, Unterrichtsmaterialien S II, Analytische Geometrie/Matrizen, Schroedel. STRICK, H. K. (2015). Erläuterungen zu den Kalendern Mathematik ist schön, Selbstverlag, ( ). OStD i. R. HEINZ KLAUS STRICK, Pastor-Scheibler-Str. 10, Leverkusen, strick.lev@t-online.de. gc 22