In der Klasse sind 11 der 27 Schüler Jungen. Der Anteil der Jungen an allen Schülern dieser Klasse beträgt 11 27

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1 Prozentrechnung I Anteile - Berechnung des Prozentsatzes In der Klasse 8a mit 30 Schülern sind 12 Jungen. Der Anteil der Jungen an allen Schülern dieser Klasse beträgt also = = Um die Größe eines Anteils besser einschätzen zu können und um verschiedene Anteile besser vergleichen zu können, gibt man sie oft als Bruch mit dem Nenner 100 an: = = = 40 hundertstel = 40 je hundert = 40 pro cent = 40 Prozent = 40 % % der Schüler in der Klasse 8a sind also Jungen. In der Klasse 8b mit 40 Schülern sind 21 Jungen. Der Anteil der Jungen an allen Schülern dieser Klasse ,5 52,5 beträgt also. Wir rechnen in Prozent um: = = = 52,5 %, , ,5 21 0,525 0, ,5 oder: = = = = 52,5%, oder: = = 0,525 = = = = 52,5 % In der Klasse sind 11 der 27 Schüler Jungen. Der Anteil der Jungen an allen Schülern dieser Klasse beträgt 11 0,407 40,7 also = = 0, ,407 = = = 40,7 % A1.1. In die Klasse 8d gehen 21 Jungen und 7 Mädchen. Berechne den Anteil der Jungen an allen Schülern der Klasse 8d! A1.2. In die Klasse 8e gehen 31 Schüler, davon 19 Jungen. Berechne den Anteil der Jungen! A1.3. In der abgelaufenen Fußballsaison haben in der C-Klasse des FC Veichten Anton 3 Tore, Hans 7 Tore, Bernd 12 Tore, Uwe 11 Tore und Paul 2 Tore erzielt. Wie viel Prozent aller Tore hat Bernd erzielt (2D)? II Berechnung des Prozentwertes 2 (also 40 %) der 60 Lehrer an einer Schule tragen eine Brille von 60 = 60 = = = Lehrer an dieser Schule tragen also eine Brille Oder: 40 % von 60 = 60 = 0,4 60 = Merke: Die Größe, auf die sich die Prozentangabe bezieht, nennt man Grundwert. Dem Grundwert entsprechen 100 Prozent. Im obigen Beispiel beträgt der Grundwert 60 Lehrer. Der Prozentwert beträgt hier 24 Lehrer und der Prozentsatz beträgt hier 40 %. A2.1. Berechne ohne Taschenrechner: 30 % von 440! 1

2 A2.2. Berechne mit Taschenrechner: 35 % von 182! III Berechnung des Grundwertes 21 Lehrer an einer anderen Schule tragen eine Brille, das entspricht einem Anteil von 30 %. Wie viele Lehrer sind an der Schule? Lösung mit dem Dreisatz: Die Gesamtzahl der Lehrer entspricht dem Grundwert und damit 100 %. 30% 1% 21 Lehrer 21Lehrer 30 = 0,7 Lehrer 100% 0,7 Lehrer 100 = 70 Lehrer Natürlich hätte es hier auch gereicht, auf 10 % statt auf 1 % herunter zu rechnen. Lösung mit Hilfe einer Gleichung: Bezeichnen wir mit x die Anzahl aller Lehrer, dann gilt: 30 % von x ergeben 21 Lehrer 30 x = ,3 x = 21 0,3 x = 21 0,3 = = 70 Natürlich ist hier die Dreisatzrechnung anschaulicher und einfacher. Bei nicht so schönen Zahlen und komplexeren Aufgaben liegen die Vorteile aber eindeutig bei der Lösungsmethode mit der Gleichung!!!! 5 A3.1. aller Mitglieder eines Vereins, nämlich 55 Mitglieder, sind zur Jahreshauptversammlung 7 erschienen. Wie viele Mitglieder hat dieser Verein? A3.2. Im Schnitt gehen 21 monatlich fürs Handy drauf, das entsprechen 35 Prozent von Steffis Taschengeld. Wie viel Taschengeld bekommt sie? IV Steigerung Reduzierung Der Preis einer Jeans (70 ) wird um 20 % reduziert. Wie viel kostet sie jetzt noch? 20 % von 70 = 0,2 70 = = 56 Oder besser: Der Grundwert ist der reguläre Preis 70, das sind die 100 %. Wenn 20 % vom Grundpreis wegfallen, dann sind noch 80 % vom Grundwert übrig: 80 % von 70 = 0,80 70 = 56. Die Jeans kostet jetzt noch 56. Vorsitzender Hans Huber kauft für seinen Tennisverein Sportartikel für 260. Er bekommt einen Preisnachlass (Rabatt) von 15 %. Wie viel muss er bezahlen? 85 % von 260 = 0, = 221. Er muss 221 bezahlen. Karin verdiente bisher 2100 monatlich. Nun bekommt sie eine Lohnerhöhung von 5 %. Wie viel verdient sie jetzt? 5 % von 2100 = 0, = = Oder: 105 % von 2100 = 1, = Sie verdient jetzt A4.1. Ein Baumarkt wirbt: 35 % auf alles. Außer Tiernahrung. Ein Schneeschieber kostet regulär 30. Wie viel muss man bezahlen? 2

3 A4.2. Ute hat das ganze Jahr über 2500 auf dem Sparbuch. Am Jahresende erhält sie davon 4 % Zinsen. Wie hoch ist nun ihr Guthaben? Der Preis einer anderen Jeans wurde um 25 % gesenkt. Sie kostet jetzt noch 45. Wie viel hat sie regulär gekostet? Der reguläre Preis ist der Grundwert. Ihm entsprechen die 100 %. Da der Preis um 25 % gesenkt wurde, muss man jetzt noch 75 % des ursprünglichen Preises bezahlen, nämlich 45. Also: 75 % vom regulären Preis ergeben 45. 0,75. x = 45 :0,75 x = 45 : 0,75 = 60. Regulär hat die Jeans 60 gekostet. Am Jahresende erhält Uwe 6 % Zinsen auf sein Guthaben. Es beträgt jetzt 7640,48. Wie hoch war es vor der Zinszahlung? Zu dem ursprünglichen Guthaben (x) kommen noch mal 6 % davon dazu, also hat man nun 106 % des urprünglichen Guthabens: 106 % von x ergeben 7640,48 1,06. x = 7640,48 x = 7640,48 : 1,06 = Vor der Zinszahlung betrug das Guthaben Eine Nussecke kostet nach einer Preiserhöhung von 20 % jetzt 90 Ct. Wie viel hat eine Nussecke vorher gekostet? Bisheriger Preis = Grundwert = 100 %. Dazu kommen 20 %, das sind zusammen 120 %, also: 120 % von x = 90 Ct 1,2. x = 90 Ct x = 90 Ct : 1,2 = 75 Ct. Eine Nussecke hat vorher 75 Ct gekostet. A4.3. Ein Gebrauchtwarenhändler kauft ein Auto für 7400 und verkauft es 20 % teurer. Wie viel verlangt er also dafür? A4.4. Auch ein zweites Auto kauft der Händler und verkauft dieses aber 30 % teurer, nämlich für Für wie viel hat der Händler es gekauft? Bernd schafft bei einem Computerspiel im ersten Versuch 400 Punkte. Im zweiten Versuch kann er seine Punktzahl um 50 % verbessern, also um die Hälfte, also um 200. Er schafft also im zweiten Versuch 600 Punkte. Oder: 100 % + 50 % = 150 %. 150 % von 400 Punkten = 1, Punkte = 600 Punkte. Auch Uwe versucht sich in diesem Computerspiel. Er kann sich im zweiten Versuch ebenfalls um 50 % steigern und schafft 750 Punkte. Die 50 % Steigerung beziehen sich auf das Ergebnis im ersten Versuch, welches wir mit x bezeichnen wollen. Dann gilt: x + 50 % von x = 100 % von x + 50 % von x = 150 % von x ergeben 750 Punkte (genauso gut kann man auch schreiben: 100 % + 50 % = 150 % 150 % von x ergeben 750 Punkte). Also: 1,50. x = 750 Punkte x = 750 Punkte : 1,5 = 500 Punkte. Uwe erreichte also im ersten Versuch 500 Punkte. Manch einer rechnet vielleicht so: Ich ziehe einfach von den 750 Punkten 50 % davon ab, das ist die Hälfte von 750 Punkten, das sind 375 Punkte. Dann hätte Uwe im ersten Versuch 375 Punkte erreicht, was aber natürlich falsch ist. Warum ist diese Art der Berechnung falsch? Weil sich doch die 50 % auf das Ergebnis des ersten Versuchs beziehen und nicht auf das höhere Ergebnis des zweiten Versuchs!!! Ein Mantel (regulärer Preis 300 ) kostet im Winterschlussverkauf nur noch 240. Um wie viel Prozent wurde der Preis herabgesetzt? Der Preis wurde um 60 herabgesetzt. Im Vergleich zu den ursprünglichen 300 entsprechen diese einem Anteil von = = 20 %. Der Preis wurde also um 20 % reduziert

4 Oder: Im Vergleich zu den ursprünglichen 300 entsprechen die zu zahlenden 240 einem Anteil von = = = = 80 %. Man muss also nicht den ganzen Preis (also 100 %) zahlen, sondern nur % davon. D.h., man spart 20 % vom ursprünglichen Preis. Uwe verdient nicht mehr 2000, sondern Gib die Lohnerhöhung in Prozent an! Die 300 mehr entsprechen im Vergleich zu den bisherigen 2000 einem Anteil von = = 15% Oder: Im Vergleich zu den bisherigen 2000 ( = Grundwert = 100 %) entsprechen die 2300 einem Anteil von = = = 115 %. Das sind im Vergleich zu vorher 15 % mehr A4.5. Eine Jeans kostet nicht mehr 80, sondern nur noch 68. Um wie viel Prozent wurde der Preis reduziert? A4.6. Der Preis einer Kastanie im Pausenverkauf wurde von 40 Ct auf 45 Ct erhöht. Berechne die Preiserhöhung in Prozent! Wenn in einem Geschäft etwas verkauft wird, dann wird auf den eigentlichen Warenwert noch die Mehrwertsteuer draufgeschlagen, sie beträgt seit dem % des Warenwertes. In den meisten Geschäften, z.b. im Supermarkt, beim Bäcker oder im Cafe sind die Preise inclusive Mehrwertsteuer ausgezeichnet, wenn man aber z.b. eine Badewanne kaufen will, dann nennt einen der Verkäufer zunächst den Preis ohne MWSt.. Eine Badewanne ist mit 449,- zzgl. MWSt. ausgezeichnet. Was muss man bezahlen? 19 % von 449 = 0, = 85,31, das ist der Betrag der Mehrwertsteuer. Also: ,31 = 534,31. Oder besser: 119 % von 449 = 1, = 534,31 muss man bezahlen. Der Preis einer Waschmaschine beträgt inclusive MWSt Wie groß ist der Warenwert ohne MWSt.? Der Preis ohne MWSt. ist der Grundwert, das sind 100 %. Dazu kommen noch 19 % dazu. Also: 119 % von x = 476 1,19. x = 476 x = 476 : 1,19 = 400. Ohne MWSt. beträgt der Warenwert 400. A4.8. Eine Duschkabine ist mit 880 zzgl. MWSt. ausgezeichnet. Was muss man bezahlen? A4.9. Eine Sauna kostet 5712 inclusive MWSt.. Du sollst sie aber mit einem Preisschild versehen, auf dem der Preis ohne MWSt steht! Eine Badewanne kostet inclusive MWSt Wie hoch ist der Betrag der MWSt.? Preis ohne MWSt.: x Also: 119 % von x = 714 x = 714 : 1,19 = = 114. Der Betrag der Mehrwertsteuer ist 114. (Die Badewanne kostet 600 ohne MWSt.) 4

5 V Mehr als - weniger als Ute hat 8 Bonbons, Werner hat 10 Bonbons. Um wie viel Prozent hat Werner mehr Bonbons als Ute? Merke: Der Grundwert (also die 100 %), auf den sich die Prozentfrage bezieht, steht im Aufgabentext nach dem Wort als. Mit dem Dreisatz: Werner hat 2 Bonbons mehr als Ute. 8 B. 100 % 1 B. 2 B. 100 % 8 = 12,5 % 12,5 % 2 = 25 % Nochmal Dreisatz: 8 B. 1 B. 100 % 100 % 8 = 12,5 % 10 B. 12,5 % 10 = 125 % Im Vergleich zu Utes 8 Bonbons entsprechen die 10 Bonbons von Werner 125 %, das sind 25 % als Utes 100 % Um wie viel Prozent hat eigentlich Ute weniger Bonbons als Werner? 5 Mit Anteilen: Werner hat 2 Bonbons mehr als Ute. Im Vergleich zu Utes 8 Bonbons entsprechen diese 2 Bonbons einem Anteil 2 1 von = = 25 % 8 4 Nochmal mit Anteilen: Im Vergleich zu Utes 8 Bonbons entsprechen die 10 Bonbons von Werner einem Anteil von 10 5 = = 125 %. Im 8 4 Vergleich zu Utes 100 % sind das 25 % mehr. Bei dieser Fragestellung ist der Grundwert, also die Bezugsgröße, die 10 Bonbons vom Werner. Also: Utes 8 Bonbons entsprechen im Vergleich zu den 10 Bonbons vom Werner nur einem Anteil von 8 = 80 %. Im Vergleich zu Werners 100 % hat also Ute 20 % weniger. 10 Oder: Ute hat 2 Bonbons weniger als Werner. Im Vergleich zu den 10 Bonbons von Werner entsprechen diese 2 Bonbons einen Anteil von 2 = 20 %. Ute hat also 20 % weniger Bonbons als Werner. 10 A5.1. Uwe bekommt 25 Taschengeld, Beate aber 40. a. Um wie viel Prozent bekommt Beate mehr Taschengeld als Uwe? b. Um wie viel Prozent bekommt Uwe weniger Taschengeld als Beate? A5.2. Herr Müllers Grundstück ist 1200 m 2 groß, das von Familie Söllner nur 950 m 2. Um wie viel Prozent ist das Grundstück von Familie Söllner kleiner als das von Herrn Müller? A5.3. Utes Ritter hat Erfahrungspunkte, Werners Zauberer hat 30 % mehr. Wie viele Erfahrungspunkte hat Werners Zauberer? Media Markt-Werbung: Wir schenken Ihnen die Mehrwertsteuer sparen Sie 19 %! Angenommen, wir kaufen einen Artikel mit dem Warenwert 200 ohne Mehrwertsteuer. Die Mehrwertsteuer hat dann den Betrag 19 % von 200 = 38. Der reguläre Preis beträgt also 238. Wir müssen aber nur 200 bezahlen, denn Media-Markt schenkt uns ja die MWSt.. Wir sparen also 38. Im Vergleich zum regulären Preis von 238 entsprechen diese 38 einem Anteil von = 0, ,16 = 16%. Tatsächlich sparen wir also nur knapp 16 % und nicht wie angepriesen 19 %. Das ist nicht nur irreführende Werbung, das ist eine Schweinerei. (In der Zeitungswerbung heißt es zusätzlich: * Sparen Sie volle 19 % vom Verkaufspreis. Das ist dann sachlich richtig, denn im Vergleich zu den zu zahlenden 200 entspricht der Sparbetrag von einem Anteil von = = 19%. Eine derartige Angabe ist aber völlig unüblich und deshalb auch irreführend.)

6 VI Mehrere Prozentberechnungen hintereinander Wenn man in einem Sportgeschäft für einen Sportverein einkauft, dann bekommt man vielerorts einen Preisnachlass, einen sogenannten Rabatt, z.b. von 15 %. Wie viel muss man dann bezahlen, wenn man Waren im Gesamtwert von 350 einkauft? 85 % von 350 = 297,50 muss man dann bezahlen. Wir kaufen ein Schlafzimmer. Mit der Lieferung erhalten wir die Rechung. Der Rechnungsbetrag lautet: Bei Bezahlung innerhalb von acht Tagen gewähren wir 3 % Skonto. Wenn wir also schnell bezahlen, dann schenkt uns das Möbelhaus 3 % von 5400 = 162, d.h., wir brauchen in diesem Fall nur 5238 zu bezahlen. A6.1. Wir erhalten eine Rechnung: Rechnungsbetrag 450, 2 % Skonto bei Bezahlung innerhalb einer Woche. Wie viel müssen wir in diesem Fall bezahlen? Wir kaufen einen Whirlpool. Der Listenpreis im Katalog der Sanitärfirma beträgt Davon erhalten wir 30 % Rabatt: 30 % von 2500 = 0, = = Da drauf kommt dann die MWSt.: 19 % von 1750 = 332, ,50 = 2082,50. Oder: 119 % von 1750 = 1, = 2082,50. Das ist dann der Rechnungsbetrag. Schließlich erhalten wir noch 2 % Skonto, wenn wir innerhalb von 10 Tagen bezahlen. In diesem Fall sparen wir noch mal 2 % von 2082,50 = 41,65 und müssen also nur 2082,50-41,65 = 2040,85 zahlen. Man kann die ganzen Rechnungen auch folgendermaßen schreiben: 70 % von 2500 = 0, = 1750 Rabatt abziehen (30 % Rabatt heißt, dass man nur 70 % bezahlen muss) 119 % von 1750 = 1, = 2082,50 MWSt. drauf 98 % von 2082,50 = 0, ,50 = 2040,85 Skonto abziehen (2 % Skonto heißt, dass man nur 98 % bezahlen muss) Man kann auch einen Gesamtterm angeben: [ 119% von ( 70% 2500 )] = 0,98 [ 1,19 ( 0, )] = 98% von von Weil dies ein reines Produkt ist, braucht man natürlich die Klammern gar nicht! = 0,98 1,19 0, Ist das nicht elegant? Ja, das ist es. Und so kurz. Und übersichtlich. Wir stellen uns die Frage, ob es nicht besser gewesen wäre, erst die MWSt. draufzuschlagen und danach die 30 % Rabatt abzuziehen. In diesem Fall ist dann zu rechnen: 0,98 [ 0,7 ( 1, )] = 0,98 0,7 1, Das liefert aber doch das gleiche Ergebnis, denn wegen des Kommutativgesetzes der Multiplikation kann man die Faktoren beliebig umstellen. A6.2. Konstantin kauft einen Wohnzimmerschrank. Der Listenpreis beträgt Der Verkäufer gewährt einen Rabatt von 15 %. Anschließend wird die MWSt. draufgeschlagen. Wie viel muss Konstantin bezahlen? A6.3. Sabine kauft eine Kücheneinrichtung für Der Händler gewährt einen Rabatt von 25 %. Anschließend kommt die MWSt. drauf. Bei Bezahlung innerhalb von acht Tagen gewährt der Verkäufer 3 % Skonto. Wie viel ist in diesem Fall zu zahlen? A6.4. Anne kauft einen Elektroherd für Der Verkäufer gewährt einen Rabatt von 19 %. Anschließend werden 19 % MWSt. draufgeschlagen. Wie viel muss Anna dann bezahlen doch 1200, oder? A6.5. Ein Autohaus verlangt für einen Audi Im Mai wird der Preis um 20 % erhöht. Wegen manglender Nachfrage wird der Preis im August um 20 % gesenkt. Wie viel kostet er nun? 6

7 Der Rechnungsbetrag lautet 75. Weil man gleich überweist, muss man nur 72 bezahlen. Wie viel Prozent Skonto durfte man abziehen? Man durfte 3 abziehen. Im Vergleich zu den regulären 75 entsprechen diese 3 einem Anteil von = = = 4%. Man durfte also 4 % Skonto abziehen Oder: p % von 75 ergeben 3 p %. 75 = 3 p % = 3 : 75 = 0,04 = 4 %. Oder: 75. p = 3 p = 3 : 75 = 0,04 = 4 %. Wir kaufen eine Couch. Der Listenpreis beträgt Nach Abzug eines Rabatts und Draufschlagen der MWSt. bekommen wir die Rechnung präsentiert: 1820,70. Wie viel Prozent Rabatt haben wir erhalten? 2250 p 1,19 = 1820, ,50 p = 1820,70 p = 1820, ,50 = 0,68 = 68% 100 % 68% = 32%. Wir haben 32 % Rabatt erhalten. A6.6. Wir kaufen eine Waschmaschine. Der Listenpreis beträgt 800. Nach Abzug eines Rabatts und Draufschlagen der MWSt. bekommen wir die Rechnung präsentiert: 809,20. Wie viel Prozent Rabatt haben wir erhalten? Wiederholung: Otto hat um 50 % zugenommen und wiegt jetzt 120 kg. Wie viel wog er vorher? Sehr schnell geht es, wenn man einfach von den 120 kg 50 % davon, also 60 kg, abzieht. Otto wog also vorher 60 kg. Das war sehr schnell aber auch sehr falsch, denn die 50 % dürfen nicht vom Endgewicht, sondern müssen vom Anfangsgewicht berechnet werden. Richtig geht es so: Anfangsgewicht = x = Grundwert entspricht 100 %. Weil Otto um 50 % zunimmt, entspricht sein Endgewicht (also 120 kg) 150 % vom Anfangsgewicht: 150 % von x ergeben 120 kg. 1,5 x = 120 kg x = 120kg 1,5 = 80kg. Otto wog vorher 80 kg. Probe: 50 % von 80 kg sind 40 kg und 80 kg + 40 kg sind 120 kg passt! A6.7. Der Profiringer William Cobb hat von sein Körpergewicht um 71,2 % reduziert. Von da an hat er bis 1973 um 87 % zugenommen und wog dann 196 kg. Wie schwer war er 1965? Wir legen 2000 bei einer Bank zu einem festen Zinssatz von 5 % an und buchen den Zins jeweils zum Guthaben dazu. Nach einem Jahr beträgt unser Guthaben dann % von 2000 = = 2100 oder ,05 = Nach zwei Jahren beträgt unser Guthaben dann ,05 = ( ,05) 1,05 = ,05 2 = Der Zins im zweiten Jahr ist größer als der im ersten Jahr, weil dieser ja im zweiten Jahr mitverzinst wird (Geldanlage mit Zinseszins). Nach sechs Jahren beträgt unser Guthaben dann ,05 6 = 2680,19. A6.8. Der Kurs einer Aktie ist 2004 um 22 % gestiegen, 2005 um 7,5 % und 2006 um 13 % und beträgt Anfang ,44. Wie hoch war er Anfang 2004? A6.9. Die von Gelbalgen in einem See bedeckte Fläche vergrößert sich Woche für Woche um 20 %. Wie groß ist dann die von diesen Algen bedeckte Fläche nach vier Wochen, wenn sie zu Beginn 300 m 2 groß war? A6.10. Zwischen Privatpersonen ist ein Darlehen mit Zinseszins verboten. Das ist auch gut so. Ein Beispiel: Nehmen wir an, Bernd leiht seinem Freund Uwe zu einem jährlichen Zinssatz von 8 %, wobei dieser Zins dem Darlehen zugeschlagen wird. Eine bestimmte Laufzeit oder ein fester Betrag für 7

8 eine jährliche Tilgung wird nicht festgelegt. Das Darlehen gerät zusehends in Vergessenheit. 80 Jahre später findet Bernds Sohn den Darlehensvertrag und fordert nun das Darlehen mit Zinseszins von Uwes Tochter zurück. Wie viel wird er verlangen? 8