Lösungen der Übungsaufgaben V

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1 Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben V C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim

2 15.1 Dividieren Sie x 3,x,4x + 1,8 durch (x + 1). Schließen Sie aus dem Ergebnis auf eine Nullstelle. (x 3,x,4x + 1,8):(x + 1) = x 4,x + 1,8 Da die Division ohne Rest aufgeht, ist bei x = -1 eine Nullstelle. 15. Dividieren Sie x 5 x 4 + 3x 6 durch (x ). Schließen Sie aus dem Ergebnis auf eine Nullstelle. (x 5 x 4 + 3x 6):(x ) = x Nullstelle bei x = 15.3 Lösen Sie a) c) und prüfen Sie die Lösungen mit den Sätzen von Vieta. a) x + x 8 = 0 x 1 =, x = -4 Vieta: x 1 + x = -p, x 1 x = q x 1 + x = -, x 1 x = -8 : richtig b) x 9 = 0 x 1 = 3, x = -3 Vieta: x 1 + x = 0, x 1 x = -9 : richtig c) x + 9 = 0 x 1 = 3i, x = -3i Vieta: x 1 + x = 0, x 1 x = 9 : richtig 15.4 Finden Sie eine Lösung der kubischen Gleichung x 3 + x + 30 = 0. [Hinweis: Suchen Sie zunächst einen negativen und einen positiven Wert des Polnoms. Verkleinern Sie das Intervall (x, x + ). Vermuten Sie, dass die Lösung ganzzahlig ist.] p(5) = -100, p(0) = 30. Nach dem Satz auf S. 137 (Buch) kommen für ganzzahlige Lösungen nur eiler von 30 in Frage, im geratenen Intervall also nur { -3, -, -1 }. Durch Ausprobieren x 1 = -3 gefunden Finden Sie eine Lösung der kubischen Gleichung x 3 x 100 = 0. [Hinweis: Suchen Sie zunächst einen negativen und einen positiven Wert des Polnoms. Verkleinern Sie das Intervall (x, x + ). Vermuten Sie, dass die Lösung ganzzahlig ist.] p(0) = -100, p(10) = 800. Nach dem Satz auf S. 137 (Buch) kommen für ganzzahlige Lösungen nur eiler von 100 in Frage, im geratenen Intervall also nur { 1,, 4, 5 }. Durch Ausprobieren x 1 = 5 gefunden a) Approximieren Sie eine Nullstelle von p(x) = x 3 + 5,7x 0,6x 0,4 zwischen 0 und mit Hilfe der Regula falsi auf 1 % genau. * px ( + ) px ( + ) px ( ) Regula falsi: x = x+, m= m x+ x 1. Näherung: p(0) < 0 x - = 0, p() > 0 x + = m 1 = 14,8, x 1 * = 1, Näherung: p(x 1 * ) < 0 x - = x 1 *, x + = m = 7,3134, x * = 1, Näherung: p(x * ) < 0 x - = x *, x + =

3 m 3 = 30,375, x 3 * = 1, Näherung: p(x 3 * ) < 0 x - = x 3 *, x + = m 4 = 30,7476, x 4 * = 1,7007 Die genauer ausgerechneten Lösungen lauten -5, , , Die gewünschte Genauigkeit von 1 % erfordert eine Approximation im Intervall 1,684 1,701 0,017 1,718. Dieses Kriterium wird bereits von x * 3 erfüllt. b) Die Ableitung lautet dp/dx = 3x + 11,4x 0,6. Führen Sie die Approximation mit dem Newtonschen Näherungsverfahren durch. p = x 3 + 5,7x 0,6x 0,4, p = 3x + 11,4x 0,6 * px ( + ) Newton: x = x+ p ( x+ ) 1. Näherung: x * 1 =. Näherung: x * = 1, Näherung: x * 3 = 1, Näherung: x * 4 = 1,701 Die gewünschte Genauigkeit von 1 % erfordert eine Approximation im Intervall 1,684 1,701 0,017 1,718. Dieses Kriterium wird bereits von x * 3 erfüllt. c) Führen Sie die Approximation mittels Intervallhalbierungen durch. p = x 3 + 5,7x 0,6x 0,4 * x + x+ Intervallhalbierung: x = Start: x - = 0, x + = : x - x + x* p( x*) ,3 1 1,5-5,1 1,5 1,75 1,4 1,5 1,75 1,65 -,0 1,65 1,75 1,6875-0,4 1,69(#) 1,75 1,7 0,5 1,69 1,7 1,705 0,1 1,69 1,705 1,6975-0,1 1,698(#) 1,705 1,7015 0,01 (#) Zur Vermeidung zu vieler Stellen kann bei Bedarf gerundet werden. Die gewünschte Genauigkeit von 1 % erfordert eine Approximation im Intervall 1,684 1,701 0,017 1,718. Dieses Kriterium wird von den gelb unterlegten und allen folgenden Näherungen erfüllt.

4 16.1 Beweisen Sie anhand der folgenden Gleichung: Bei der Drehung einer smmetrischen -Matrix bleibt die Spur erhalten cos ϕ sin ϕ a11 a1 cos ϕ sin ϕ c11 c1 =. sin ϕ cos ϕ a1 a sin ϕ cos ϕ c1 c Spur der ursprünglichen Matrix: a 11 + a Spur der gedrehten Matrix: c 11 + c = a 11 cos ϕ + a 1 cos ϕ sin ϕ + a 1 cos ϕ sin ϕ + a sin ϕ + a 11 sin ϕ a 1 cos ϕ sin ϕ a 1 cos ϕ sin ϕ + a cos ϕ = a 11 + a = 5x + 3x + 7. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage. 5 1,5 x 5 1,5 5x + 3x+ 7 = ( x, ) A= 1, 5 7 1,5 7 cosϕ sin ϕ 5 1,5 cosϕ sin ϕ 5cos ϕ+ 3cosϕsin ϕ+ 7sin ϕ 1,5cos ϕ+ cosϕsin ϕ 1,5sin ϕ C = = sin cos 1,5 7 sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ 1,5cos ϕ + cosϕsin ϕ 1,5sin ϕ 7cos ϕ 3cosϕsin ϕ+ 5sin ϕ C soll Diagonalmatrix sein 1,5 cos ϕ + cos ϕ sin ϕ 1,5 sin ϕ = 0 : cos ϕ 1,5 + tan ϕ 1,5 tan ϕ = 0 tan ϕ =: x 1,5 + x 1,5 x = 0 tan ϕ = ± 13 3 ϕ 1 = 6, ϕ = -8 7,80 0 C = 0 4, = 3x x +. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage. 3 1 x 3 1 3x x+ = ( x, ) A= cosϕ sin ϕ 3 1 cosϕ sin ϕ 3cos ϕ cosϕsin ϕ+ sin ϕ cos ϕ cosϕsin ϕ+ sin ϕ C = = sin cos 1 1 sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ cos ϕ cosϕsin ϕ+ sin ϕ cos ϕ+ cosϕsin ϕ+ 3sin ϕ C soll Diagonalmatrix sein cos ϕ cos ϕ sin ϕ + sin ϕ = 0 : cos ϕ 1 tan ϕ + tan ϕ = 0 tan ϕ =: x 1 x + x = 0 tan ϕ = 1± ϕ 1 = 67,5, ϕ = -,5 0,59 0 C = 0 3,41

5 = x + x +. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage. 1 1 x 1 1 x + x+ = ( x, ) A= cosϕ sin ϕ 1 1 cosϕ sin ϕ cos ϕ+ cosϕsin ϕ+ sin ϕ cos ϕ sin ϕ C = = sin cos 1 1 sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ cosϕsin ϕ+ sin ϕ C soll Diagonalmatrix sein cos ϕ sin ϕ = 0 cos ϕ = sin ϕ 1. Fall: sin ϕ = cos ϕ ϕ 1 = 45, ϕ = 5 0 C = 0 0. Fall: sin ϕ = cos ϕ ϕ 3 = 135, ϕ 4 = C = Gegeben ist die allgemeine Gleichung zweiten Grades 0 = 9x x Formen Sie um in Mittelpunktslage. Bestimmen Sie B, B 33 und Spur (B 33 ). Skizzieren Sie die quadratische Form im kartesischen Koordinatensstem. Umformung in Mittelpunktslage: 9(x 6 x )+ 4( 8 ) = 0 9(x 3) + 4( 4) = 0 9(x 3) + 4( 4) = 36 x = 1 3 Ellipsengleichung mit den Halbachsen a =, b = 3 und dem Mittelpunkt M (3;4) B = , B = -196, B 33 = 36, Spur (B 33 ) = B 33 > 0 und B Spur (B 33 ) < 0 Ellipse

6 16.6 a) Gegeben ist die quadratische Form 4 = x + 3(x ). Man bestimme die Art des Kegelschnittes und die Richtung seiner Achsen. Skizzieren Sie die quadratische Form im kartesischen Koordinatensstem. Art des Kegelschnitts: x + 3x = 0 Lage der Achsen: 1 1,5 0 B = 1,5 3 0, B = -1 0, B 33 = -1/4 < 0 Hperbel ,5 x 1 1,5 x + 3 x 3 = ( x, ) A= 1,5 3 1,5 3 cosϕ sin ϕ 1 1,5 cosϕ sin ϕ cos ϕ+ 3cosϕsin ϕ 3sin ϕ 1,5cos ϕ 4cosϕsin ϕ 1,5sin ϕ C = = sin cos 1,5 3 sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ 1,5cos ϕ 4cosϕsin ϕ 1,5sin ϕ 3cos ϕ 3cosϕsin ϕ+ sin ϕ C soll Diagonalmatrix sein 1,5cos ϕ 4cos ϕ sin ϕ 1,5sin ϕ = 0 : cos ϕ 3 8 tan ϕ 3 tan ϕ = 0 tan ϕ =: x 3 x + 8 x 3 = 0 tan ϕ 1 = 1/3, tan ϕ = -3 ϕ 1 = 18,4, ϕ = -71,6 1,5 0 C = 0 3,5 Im u-v-sstem lautet die Kegelschnitt-Gleichung: 1,5 u 3,5 v = -4 Normalform: u v + = 1 8/3 8/7 Asmptoten: v = ± u (b/a) mit a= 8/3, b= 8/7 v u x b) Zur alternativen Berechnung der C-Matrix benutze man C = A und Spur (C) = Spur (A). (1) C = A c 11 c = -1/4 () Spur (C) = Spur (A) c 11 + c = - c 11 = - c in (1) 1. Fall: c 11 = -3,5, c = 1,5. Fall: c 11 = 1,5, c = -3,5

7 = x. Bestimmen Sie B, B 33 und Spur (B 33 ). Finden Sie die Diagonalmatrix C. Skizzieren Sie die quadratische Form im kartesischen Koordinatensstem. x 1 = 0 0 0,5 0 B = 0,5 0 0, B = 0,5 0, B 33 = -0,5 < 0, Spur (B 33 ) = 0 Hperbel ,5 x 0 0,5 x = ( x, ) A = 0,5 0 0,5 0 cosϕ sin ϕ 0 0,5 cosϕ sin ϕ cosϕsin ϕ 0,5cos ϕ 0,5sin ϕ C = = sin cos 0,5 0 sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ 0,5cos ϕ 0,5sin ϕ cosϕsin ϕ C soll Diagonalmatrix sein 0,5cos ϕ 0,5sin ϕ = 0 cos ϕ = sin ϕ 0 ϕ π : ϕ 1 = 45, ϕ = 135 Für ϕ 1 = 45 folgt 0,5 0 C = 0 0,5 Im u-v-sstem lautet die Kegelschnitt-Gleichung: v u v = 1 u x

8 17.1 x = 0 ist die Gleichung der -Achse in der x,-ebene. Welche Geraden beschreiben die folgenden Gleichungen in der x,-ebene? a) x 3 = 0 x = 3 : Parallele zur -Achse durch x = 3 b) + 5 = 0 = -5 : Parallele zur x-achse durch = -5 c) = 3(x 5) + 3 = 3 x 10 : Gerade durch (0; -10) und (10/3; 0) 17. x + = 0 ist die Ursprungsgleichung eines entarteten Kreises, also eines Punktes. Welche Punkte beschreiben die folgenden Gleichungen in der x,-ebene? a) (x 3) + = 0 : Punkt (3; 0) b) x + ( + 5) = 0 : Punkt (0; -5) c) (x + 1) + ( ) = 0 : Punkt (-1; ) 17.3 Wo schneiden sich die Ellipsen 1 = (x/10) + (/5) und 1 = ((x 5)/10) + (/5)? (x/10) + (/5) = ((x 5)/10) + (/5) x = (x 5) x = ± (x 5) : + führt auf einen Widerspruch: 0 = 5 x = (x 5) x =,5 in Ellipsengleichung eingesetzt: = ± Schnittpunkte: 5 5 ; 15 4 und 5 5 ; Wo schneiden sich die quadratische = 5 (x/) und die lineare Form = x + 1? Skizzieren Sie die Formen! (x + 1) = 5 (x/) = x1=, x = x x Schnittpunkte: (1,95 4,90) und (-,89-4,79)

9 17.5 Welche Kegelschnitte beschreiben die folgenden quadratischen Formen? a) x x = = 1 1 Hperbel b) (x ) = 0 x =, beliebig Gerade parallel zur Achse c) x 3 = 0 x = 1 /3 Hperbel d) 4x = 0 x + = 1 1/ Ellipse 17.6 Eine Ellipse besitzt den Parameter p = 3, und die Fläche 0 π. a) Bestimmen Sie die Halbachsen und geben Sie die explizite Mitttelpunktsgleichung an, so dass die Hauptachse in der x-achse liegt. b pa A 3 p =, A abπ b 4, a 5 a = = π = = bπ = explizite Mittelpunktsgleichung: b 4 5 =± a x =± x a 5 b) Wie lautet diese Gleichung, wenn die Ellipse so weit verschoben wird, dass ihr linker Scheitel die Koordinaten x = und = besitzt? vorher: linker Scheitel bei (-5, 0), d.h. die Ellipse muss um 7 Einheiten in x-richtung und um Einheiten in - Richtung verschoben werden 4 =± 5 ( x 7) 5 c) Bestimmen Sie lineare und numerische Exzentrizität der Ellipse. lineare Exzentrizität: e= a b = 3 e 3 numerische Exzentrizität: ε = = a 5 d) Bestimmen Sie den Abstand ihrer Brennpunkte. Abstand der Brennpunkte = doppelte lineare Exzentrizität = 6 e) ragen Sie die berechneten Größen in eine Skizze ein. siehe Abb. 17. im Buch 17.7 Die Fläche einer Ellipse beträgt A = 50 π, ihre numerische Exzentrizität ist ε = ( 3)/. Im Mittelpunkt der Ellipse ist eine Höhe h = 10 errichtet. Von ihrem oberen Punkt führen Geraden zu den Scheiteln der Ellipse. a) Wie groß sind die Winkel zwischen den Geraden? b) Wie groß sind die Winkel zwischen den Geraden und der Höhe? Aus den Angaben wird berechnet: a = 10 und b = 5 Damit ergibt sich ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck (a = h = 10).

10 17.8 a) Berechnen Sie die charakteristischen Größen (a, b, e, ε) für eine Ellipse, deren Fläche A = 5 beträgt und deren Schmiegekreis im Hauptscheitel den Radius besitzt. b A r= p= und A= abπ a= 3 = 3,164, b =,515, e = 1,919, ε = 0,606 a rπ b) Der Mittelpunkt der Ellipse besitzt die Koordinaten (1, 3). Wie lautet die implizite Mittelpunktsgleichung dieser Ellipse? x = 1 3,164, a) Berechnen Sie die charakteristischen Größen (a, b, e, ε) für eine Ellipse, deren Fläche A = 17 beträgt und deren Schmiegekreis im Hauptscheitel den Radius besitzt. a =,446, b =,1, e = 1,045, ε = 0,47 b) Der Mittelpunkt der Ellipse besitzt die Koordinaten (1, 3). Wie lautet die implizite Mittelpunktsgleichung dieser Ellipse? x = 1,446, Eine Hperbel besitzt den Parameter p = 8 und die numerische Exzentrizität ε = 3. Ihre Brennpunkte liegen auf der x-achse. Stellen Sie die Polargleichung auf, tabellieren Sie die Radiuslängen r(ϕ) für ϕ = 0, 30, 10, 150, 180 und skizzieren Sie die Hperbel mit ihren Bestimmungsgrößen (a, e) sowie die Endpunkte der berechneten Radien. Polargleichung: p 8 r = = 1 εcosϕ 1 3cosϕ abelle: ϕ Bestimmungsgrößen: r -4,00-5,01 3,0,,00 b p = = 8, a e e= a + b, ε = = 3 a1= 0, a = 1 a Da a immer positiv ist, kommt nur die Lösung a = 1 in Frage. Dann ist e = 3.

11 Die Ergebnisse für negative Radien befinden sich auf dem linken Ast der Hperbel. Die Punkte für 0 und 30 ergeben sich durch Auftragung in negativer Richtung. Skizze (nicht maßstäblich). Die Ergebnisse für negative Radien befinden sich auf dem linken Ast der Hper-bel. Der Punkt für ϕ = +30 ergibt sich bei Spiegelung des (aus Platzgründen) eingetragenen o Punktes für ϕ = -30 an der Abszisse Eine Ellipse besitzt den Parameter p = 30/7 und die numerische Exzentrizität ε = 4/7. Skizzieren Sie einige Punkte der Ellipse mit Hilfe der Polargleichung. Berechnen Sie a, b und die lineare Exzentrizität e. Polargleichung: p 30 r = = 1 εcosϕ 7 4cosϕ abelle: ϕ Bestimmungsgrößen: r 10 8,48 6 4,9 3,33 b 30 e 4 p e a b a 7 a 7 = =, =, ε= =, a= = 6,36, b= 10 =5,, e = =3, Die Polargleichung einer Ellipse liefert r(0) = 10, r(π/3) = 6. Was wissen Sie über diese Ellipse? Polargleichung: p r = 1 ε cos ϕ Einsetzen von 0 ergibt: 10 = p 1 ε Einsetzen von 60 ergibt: 6 p = 1 0,5ε Aus diesen beiden Gleichungen lässt sich berechnen: 4 30 ε =, p = Es handelt sich um die Ellipse aus Konstruieren Sie mit Hilfe der Polargleichung die Ellipse mit p = 5 und ε = 1/ und die Hperbel mit p = 5 und ε =. Ellipse: p 5 r = = Hperbel: 1 εcosϕ 1 0,5cosϕ p 5 r = = 1 εcosϕ 1 cosϕ Eine Hperbel besitzt den Parameter p = 3 und die numerische Exzentrizität ε = 1/3. Was stimmt nicht an diesem Aufgabentext? Für jede Hperbel ist ε > 1! Eine Straße soll in 50 m Höhe verlaufen. Ihre Stützpfeiler besitzen einen Abstand von 10 m voneinander und ruhen auf einer Parabel (s. folgende Abbildung). Die markierten Punkte besitzen die Koordinaten in der Einheit Meter: P 1 = (30, 0), P = (60, 40), P 3 = (10, 30). Wie lang müssen die Pfeiler bei 30, 40, 50,, 10 m sein?

12 Parabelgleichung: + = ax bx+ c Einsetzen der drei Punkte führt auf das Gleichungssstem 0 = 900a +30b + c 40 = 3600a +60b + c 30 = 14400a +10b + c 1 3 x Ergebnis: = x + x Länge der Pfeiler: l = 50 m x (in m) l (in m) 30 1,5 14, ,9 6,7 9,3 13, Skizzieren Sie eine Parabel mit p = 10 mittels Schnellkonstruktion. Zur Schnellkonstruktion einer Parabel schlägt man einen Kreis mit dem Radius p um den Mittelpunkt M. Der Kreis schneidet die x-achse im Scheitel der Parabel. Dies ist der Ursprung O des Koordinatensstems. Der Brennpunkt F liegt bei x = p/, genau in der Mitte zwischen O und M. Die Ordinate im Brennpunkt F an der Stelle x = p/ ist = p. Die Ordinate bei p ist p Gegeben ist eine Ellipse mit den Halbachsen a = 5 (in der x-richtung) und b = 3 (in der -Richtung). Ihr Mittelpunkt besitzt die Koordinaten (x M, M ) = (3, ). Die Ellipse wird von einer Geraden geschnitten, welche die Punkte (1, 1) und (3, 7) enthält. a) Wie lautet die implizite Mittelpunktsgleichung der Ellipse? x = b) Wie lautet die Gleichung der Geraden? = 3x c) In welchen Punkten (x 1, 1 ) und (x, ) schneidet die Gerade die Ellipse? Ersetzen von durch 3x in der Mittelpunktsgleichung führt auf die Gleichung 13x 3x 8 = 0 mit den Lösungen 3 ± Das ergibt die Schnittpunkte (0,908 0,74) und(-0,678-4,034) Man berechne alle Bestimmungsgrößen der folgenden quadratischen Formen und skizziere sie unter Verwendung der Schmiegekreise: a) 0,3ÿx + 0,5ÿ 8 = 0 Ellipse : a = 5, b = 4, e = 3, ε = 0,6, p = 3, (= Radius Schmiegekreis) (Ellipse aus Aufgabe 17.6) b) 0,3ÿx 0,5ÿ 8 = 0 Hperbel : a = 5, b = 4, e = 41, ε = 41 / 5, p = 3, (= Radius Schmiegekreis) c) 0,3ÿx 0,5ÿ + 8 = 0

13 zu b) konjugierte Hperbel (Koordinaten vertauscht) d) 8x = 0 Parabel : p = 4 (= Radius Schmiegekreis) a) Wie lauten die Gleichungen der angenten durch den Punkt (x, ) = (7, 3) an den Kreis x K + K = 1? Berührungspunkte der angenten mit dem Kreis: (x 1, 1 ) und (x, ) Das führt auf die Gleichung 7x + 3 = 1 für die Bestimmungspunkte (Buch, Gl ). Da sie auch auf dem Kreis x + = 1 liegen, ergibt sich durch Einsetzen von 3 = 1-7x in die mit 9 erweiterte quadratische Gleichung des Kreises 9x + 9 = 9 9x + ( 1-7x) = 9 58x 14x 8 = 0 fl x xÿ7/9 4/9 = ± ± ± 3 57 mit den Lösungen x = ± + = = = Berührungspunkte der angenten mit dem Kreis: (x 1, 1 ) = (0,511-0,859) und (x, ) = (-0,70 0,963) 1 x1 angentengleichungen: = x bzw. 1 x = x 1 1 b) Man bestimme die Gleichungen der vom Punkt (8, 13) an den Kreis x K + K = 5 gelegten angenten. Das führt auf die Gleichung 8x + 13 = 5 für die Bestimmungspunkte (Buch, Gl ). Da sie auch auf dem Kreis x + = 5 liegen, ergibt sich durch Einsetzen von 13 = 5-8x in die mit 13 erweiterte quadratische Gleichung des Kreises 13 x + 13 = 13 ÿ5 13 x + (5-8x) = 13 ÿ5 fl 33x 400x + 65 = 45 fl 33x 400x 3600 = 0 00 ± mit den Lösungen 33 Berührungspunkte der angenten mit dem Kreis: (x 1, 1 ) = (-3,165 3,871) und (x, ) = (4,88-1,081) 5 x1 angentengleichungen: = x bzw. 5 x = x a) Wie lautet die Gleichung einer angente, die in x E = die Ellipse x E /16 + E /5 = 1 berührt? 5 3 x E = E =± =± 4,330 Das führt auf die beiden angenten 5 10 = x und = x b) Berechnen Sie eine angente, die in x E = 3 dieselbe Ellipse berührt.

14 5 7 x E = 3 E =± =± 3,307 4 Das führt auf die beiden angenten 15 0 = x und = x c) Und dasselbe noch einmal für x E = 4. x E = 4 E = 0 Hier gibt es nur eine angente, x = 4, die Gerade parallel zur -Achse durch x E = Wie lautet die Gleichung einer angente, welche die Hperbel x H /16 H /5 = 1 in H = 0 berührt? H = 0 x H =± 4 17 =± 16,49 Das führt auf die beiden angenten = x und = x Wie lauten die Gleichungen der angenten, welche den Kreis (x K 1) + ( K + 3) = 9 bei x K = berühren? Der Kreismittelpunkt besitzt die Koordinaten (x M M ) = (1-3) der Kreisradius ist R = 3. x K = K =± 8 3 Dies führt mit (x K x M )ÿ(x x M ) + ( K M )ÿ( M ) = R ( 1)ÿ(x 1) + ( )ÿ( + 3) = 9 8ÿ( + 3) = 10 x auf die beiden angenten x 10 = + 3 und 8 8 x 10 = Der Kreis x K + K = 36 wird von der Geraden = 3x + 1 geschnitten. In welchem Punkt S schneiden sich die in den Schnittpunkten R 1 und R an den Kreis gelegten angenten t 1 und t (vgl. Abb )? Wie lang ist die Sehne (die Sekante p im Kreisinnern)? Schnittpunkte Kreis Gerade: (x 1, 1 ) = (1,595 5,784) und (x, ) = (-,195-5,584) 36 x1 Das führt auf die beiden angenten = x 1 und 36 x = x , ,195 Die x-koordinate des Schnittpunktes ergibt sich aus x = x, x 5,784 5,784 5,584 5,584 S = -108 Die beiden angenten schneiden sich im Punkt (x S S ) = ( ) Die Länge der Sehne beträgt: L= ( x x ) + ( ) = 11,

15 18.1 Wie groß ist die Fläche des Kugeldreiecks ( R = 1) mit α = π/, β = π/3, γ = π/4? 1 Ω ( ABC,, ) = α+ β+ γ π= π Bestimmen Sie die Seitenlängen im Kugeldreieck aus Übung Winkelkosinussatz: cosα= cosβcosγ+ sin βsin γcosa cosβ = cosαcosγ+ sinαsin γcosb cos γ= cosαcosβ+ sinαsin βcosc Einsetzen der Winkel führt auf 1 1 cos a=, cos b=, cosc=. 3 6 Daraus ergeben sich die Seitenlängen im Bogenmaß a = 0,955, b = 0,785 und c = 0, Der Mond hat einen Radius von 1738 km. Da die Erde ausgedehnt ist und der Mond etwas schwankt, sind nur 41 % seiner Fläche für uns unsichtbar. a) Welchem Kugelzweieck entspricht das? Kugelzweieck mit dem Winkel ϕ= 0,41 π=,576 und der Fläche Ω = ϕ R = km. (oder Fläche aus 0,41 4R π ) b) Welches gleichseitige Kugeldreieck auf dem Mond besitzt dieselbe Fläche? Ω = 0,41ÿ4π = (α+β+γ π) = (3α π) wegen Gleichseitigkeit (α=β=γ) 3α = 0,41ÿ4π + π α =,765 = 158,4 (1 = π/180) 18.4 Neapel (14 östliche Länge) und New York (76 westliche Länge) liegen beide auf 41 nördlicher Breite. a) Wie groß ist der Abstand zwischen den Orten auf der Erdoberfläche? b) Wie lang ist der Weg von Neapel bis New York auf dem 41. Breitengrad? [Hinweis: Die Zählung der Breitengrade beginnt am Äquator, nicht wie in Abb am Nordpol. Die Erde kann als Kugel mit Radius 6370 km angenommen werden.] a) Die Entfernung zum Pol beträgt in beiden Fällen (auf den Meridianen) b = c = 49, der Winkel zwischen den Meridianen ist α = 90. Gesucht ist der Großkreisabschnitt a. cosa = cosbcosc fl a = 1,16 = 64,5 Der kürzeste Abstand beider Orte voneinander ist auf dem Großkreis: aÿr = 7171 km b) Breitengrad: Kreis mit Radius 6370 km cos 41 = 4807,5 km = 90 Strecke beträgt ein Viertel des Breitenkreisumfangs: 7551,6 km 18.5 Berechnen Sie die Fläche des Kugeldreiecks, dessen Eckpunkte im mathematischen Sstem (θ, ϕ) durch A = (π/, 0), B = (π/, π/3), C = (π/6, 0) gegeben sind. [Hinweis: Zwei Seiten stehen senkrecht aufeinander und besitzen die Länge π/3.] Fläche Kugeldreieck: Ω = α+β+γ π Bestimmung der Winkel: Aus den Koordinaten ist ersichtlich: Der Winkel bei A beträgt π/ (= α). Die Seiten c und b haben damit die Länge π/3.

16 Mit dem Seitenkosinussatz cosa= cosb cosc+ sinb sin ccosα = 1/ + 0 folgt a = 1,318 = 75,5. sinα sin β sin γ Mit dem Sinussatz = = lässt sich β = γ =1,107 = 63,4 berechnen. sin a sinb sin c Damit Ω = π/ + β + γ - π = 0,644.