1. Mathematikschulaufgabe

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1 Klasse 0. Faktorisiere und vereinfache so weit wie möglich: n+ xy x x y x y+ x n n n =. Fasse zusammen und schreibe die Ergebnisse ohne Nenner: (Die Variablen in der Basis repräsentieren stets nichtnegative Zahlen.) a) 4 t t t t + b) n+ n n 0,5t t t n 4n 8x y ay : a x. Für welchen Mittelpunktswinkel α ist in der nebenstehenden Figur der Umfang des Kreissektors gerade so groß wie der Umfang des gleichschenkligrechtwinkligen Dreiecks? (Runde das Ergebnis auf eine Dezimale!) 4. Der Scheibenwischer eines Autos dreht sich um jeweils 05. Das Wischerblatt ist 50 cm lang, sein inneres Ende 5 cm vom Drehpunkt entfernt. (Skizze!) Berechne übersichtlich, a) wie groß (in m ) die Fläche ist, die gewischt wird und b) wie lang (in m) der Rand der gewischten Fläche ist! GM_A0008 **** Lösungen Seiten

2 Klasse 0. Forme um und vereinfache: a) (a - m - a m ) = b) (b - a) 8 (a - b) -8 = c) ( xy) : xy ( ab) ( abc) = d) a b ab + + = n n n n n n a b b a a b e) n n a a a a + a n n n =. a) Licht legt in der Sekunde,0 0 8 m zurück. Der Abstand zwischen Sonne und Mars beträgt,8 0 m. Wie lang ist das Licht der Sonne bis zum Mars unterwegs? b) Der Mars umkreist die Sonne. Wie lang ist der Weg einer Umkreisung und wie groß ist die Geschwindigkeit des Mars, wenn er dafür 686,7 Tage braucht?. a) Leite eine Formel her für den Umfang eines Kreises bei gegebener Fläche. b) Wieviel mal größer wird der Umfang eines Kreises, wenn man die Fläche von m auf 8 m vergrößert? GM_A008 **** Lösungen Seiten

3 Klasse 0 Hinweis: Keine Näherungswerte! Die Gedankengänge müssen aus der Bearbeitung (Texte, Zwischenschritte, beschriftete Skizzen o.ä.) klar nachvollziehbar sein.. Vereinfache die Terme soweit wie möglich! x x = a) ( ) 5 7 k k+ k b) c ( c 6c 7c ) + = k k k k k c) ( a a )( 6a 4a 7a + ) + =. Berechne den Radius r eines Kreises, dessen Fläche der eines Sektors von 7 in einem Kreis mit dem Radius R gleich ist.. Berechne Inhalt und Umfang der in Abb. schraffierten Fläche! 4. Bei der Bestimmung der Kreiszahl π geht man vom einbeschriebenen regelmäßigen n-eck über zum regelmäßigen n-eck. (vgl. Abb. ) a) Bestimme den Flächeninhalt A des einbeschriebenen regelmäßigen n-ecks in Abhängigkeit von s n und r! b) Bestimme den Umfang u n des einbeschriebenen regelmäßigen n-ecks in Abhängigkeit von s n und r! Welcher Wert ergibt sich für r = und s n =? GM_A0074 **** Lösungen Seiten

4 Klasse 0. Vereinfache so weit wie möglich: a) b) ( ) n b n+ 8a b : : n = 5 b a a a + a x+ a x 4p+ a a x 4p+ 4 p+ 4 4 =. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 0,5x + 7x = 4x +.. Im Fantasialand gibt es Schallplatten mit 7, Radius, die am äußeren Rand mit einer Relativgeschwindigkeit von 95,8 cm/s von einer Nadel abgetastet werden. Mit wie vielen Umdrehungen in der Minute wird die Platte abgespielt? ( = Zoll =,54 cm) 4. Berechne den Flächeninhalt der unten abgebildeten Figur in Abhängigkeit von a. (Zerlege dazu die Figur in sinnvolle Teilflächen. Die eingekreisten Punkte sind Mittelpunkte von Kreisbögen.) GM_A0085 **** Lösungen Seiten

5 Klasse 0 Hilfsmittel: Taschenrechner!. Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen: a) f(x) = x² + x b) f(x) = x² x c) f(x) = 6x² + 4x + 6. Von einem rechtwinkligen Dreieck sind bekannt: p = 5 cm; c = 5 cm. Berechne die Länge beider Katheten, die Höhe h auf die Hypotenuse und den Flächeninhalt des Dreiecks!. Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung 4x 6 + x x = Gegeben ist die Funktion f(x) = x 7, x \ {0} a) Zeichne den Funktionsgraphen! b) Gib die Wertemenge der Funktion an! 5. Bestimme durch Rechnung die Symmetrieeigenschaft des Graphen der Funktion f(x) = x x, x \ {0} 6. Für welche x sind die folgenden Funktionen jeweils definiert? a) f(x) = b) f(x) = (x )³ x² 9 GM_A06 **** Lösungen Seiten

6 Klasse 0. a) Fasse soweit wie möglich zusammen. (a, b > 0) 0 0 y y : y 4 6a+ b 5a+ b 5a+ b + = b) Bringe auf einen gemeinsamen Nenner und fasse zusammen. + x x = n n n x x x. Fasse soweit wie möglich zusammen und ersetze im Endergebnis Potenzen mit Bruchexponenten durch Wurzeln. (alle Variablen > 0) y a) x = b) x x y 4 4 0,5 0,5 x y = c) x z 4 ( 8x y z ) = y Gegeben sei die nebenstehende Figur. Berechne in Abhängigkeit von r: a) den Flächeninhalt der schraffierten Fläche. b) den Umfang U der schraffierten Fläche. Der Rechenweg muß klar hervorgehen. Die Ergebnisse sind soweit wie möglich zu vereinfachen. 4. Ein Messbecher in der Form eines Zylinders hat auch einen zylinderförmigen Hohlraum. Das Gefäß steht genau senkrecht auf seiner Grundfläche. Der Durchmesser des Hohlraums beträgt,00 cm. Der ursprünglich leere Behälter wird mit 0 cm Alkohol gefüllt. a) Wie hoch (auf mm gerundet) steht die Flüssigkeitssäule im Becher? b) Wie groß ist die Fläche im Becher, die vom Alkohol benetzt wird? (in cm auf Dezimalstelle gerundet) GM_A069 **** Lösungen 4 Seiten

7 Klasse 0. Vereinfachen Sie: (a0 + b0 a0):(c0) =. Eine alte Anekdote berichtet, dass der indische König Sheram den Erfinder des Schachs Sessa Ebn Daher für das geistreiche Spiel belohnen wollte. Sessa wünschte sich für das erste Feld des Schachbretts ein Reiskorn und für jedes weitere Feld doppelt so viele Körner wie für das vorhergehende. a) Wie viele Reiskörner wollte er für das.,., 4., 64. Feld? b) Wie viele Reiskörner wollte er für alle 64 Felder zusammen?. Der mittlere Abstand der Erde von der Sonne beträgt etwa 50 Millionen km. a) Wie lange benötigt das Licht von der Sonne bis zur Erde? 8 m (c =,00 0 S ) b) Die Erde umläuft die Sonne annähernd auf einer Kreisbahn. Berechnen Sie ihre Geschwindigkeit auf dieser Bahn in Kilometer pro Sekunde. c) Die Erdkugel dreht sich auch um ihre eigene Achse (die durch Nord- u. Südpol verläuft). Berechnen Sie die Geschwindigkeit eines Menschen am Äquator in km/h, wenn der Erdradius dort ca. 678 km beträgt. 4. Das gleichschenklig - rechtwinklige Dreieck ABC hat die Kathetenlänge BC = a. Der Punkt M halbiert [BC] und ist der Mittelpunkt eines Kreisbogens BC, der [AB] in N schneidet. Dieser Punkt N ist der Mittelpunkt des Kreisbogens AB. Berechnen Sie jeweils in Abhängigkeit von a a) den Umfang b) den Flächeninhalt des schraffierten Flächenstücks. 5. Berechnen Sie den Radius r eines Kreises, dessen Fläche der eines Kreissektors mit Radius R und Mittelpunktswinkel 7 gleich ist. GM_A076 **** Lösungen Seiten

8 Klasse 0. Vereinfache möglichst weitgehend: n k k n+ k+ n k+ a b a + b a + b a b a b b + = n+ a ( )( ). Fasse zusammen und vereinfache: ( ) ( x) ( y )( y + ) n n n n n 6 4xy y :y = y y. Ein Zebra läuft mit sechs Kilometern in der Stunde durch die Steppe. Welche Kreisfläche könnte es in acht Stunden umrunden (gleiche Geschwindigkeit vorausgesetzt)? 4. Bestimme die Lösungsmenge ohne weitere Rechnung: ( )( )( ) x x + 4 x 7 = 0; D= 5. In nebenstehender Figur ist ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge a gegeben. a) Bestimme die Höhe h im gleichseitigen Dreieck. b) Berechne in Abhängigkeit von a den Umfang der schraffierten Figur. c) Berechne in Abhängigkeit von a den Flächeninhalt der schraffierten Figur. GM_A09 **** Lösungen Seiten (GM_L09)

9 Klasse 0. Vereinfache! 6 a) ( m) k 4 m ( k) = 4n 6 n n+ + + = n b) ( ) ( ) ( ) ( ). a) Vereinfache so weit wie möglich! 4 ( k ) ( m ) 4 ( ) ( ) 5 k m 8b 6 = b) Berechne ohne den TR zu benutzen (Rechenschritte angeben!) ( 7 99 ) : 0 ( 7 ) =. Schreibe ohne Klammern! (Fälle beachten!) ( k 7 ) n = n 4. Aus einem kreisförmigen Blech mit dem Umfang,50 m soll ein möglichst großes quadratisches Blechstück herausgeschnitten werden. a) Berechne den Radius und die Fläche des kreisförmigen Bleches. b) Berechne die Fläche des herausgeschnittenen quadratischen Bleches. c) Wie hoch ist der Abfall in Prozent? 5. Einem Kreis mit Radius r = 8 cm ist ein regelmäßiges Viereck einbeschrieben. a) Berechne die Länge der Viereckseite. b) Nun wird durch Eckenverdoppelung dem Kreis ein regelmäßiges Achteck einbeschreiben. Berechne seine Fläche! GM_A09 **** Lösungen Seiten (GM_L09)

10 Klasse 0. Vereinfache: n n+ n =. Berechne - ohne ETr - (Rechenschritte angeben): ( 5 ) :( 5 ) =. Fasse so weit wie möglich zusammen: a + b b n : a a n+ m 4 m+ 5 n = 4. Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a. Berechne die Fläche und den Umfang der schraffierten Figur in Abhängigkeit von a. 5. Einem Kreis ist ein gleichseitiges Dreieck umbeschrieben. a) Berechne den Kreisradius r. Hinweis: Die Seitenhalbierenden eines gleichseitigen Dreiecks teilen sich im Verhältnis :. b) Welchen Flächeninhalt hat das schraffierte Flächenstück? (Ausführliche Rechnung!) GM_A094 **** Lösungen Seiten (GM_L094)

11 Klasse 0. Vereinfache so weit wie möglich; rechne dabei ausführlich und schrittweise: a) x x x 9 = b) k+ k k+ =. Bestimme in ausführlichen Rechnungen die Lösungsmenge: 5 x = = 9 x ( 6x ) 5x D \ { 0}. Zeige durch geeignete Umformungen die Gültigkeit der folgenden Formel: tan α+ sinα= tan α (0 <α< 90 ) 4. Beim Pumpspeicherwerk im Sindersbachtal (bei Lohr am Main) führen 584 m lange Fallrohre mit einem Durchmesser von,05 m Oberbecken in das 97 m tiefer gelegene Unterbecken. Berechne: Welchen Steigungswinkel und welche Steigung in Prozent haben diese Rohre? (jeweils Dez.) 5. In einem Rechteck sind die beiden Diagonalen je 6,55 m lang. Sie bilden mit ihrem Schnittpunkt miteinander einen 5 - Winkel. Berechne den Flächeninhalt dieses Rechtecks. (Übersichtlicher Rechenweg; Zeichnung mit entsprechenden Bezeichnungen) 6. Gegeben ist das nebenstehende gleichschenklig rechtwinklige Dreieck mit dem Schenkel s. Berechne den Umfang und die Fläche der schraffierten Figur in Abhängigkeit von s. GM_A095 **** Lösungen Seiten (GM_L095)

12 Klasse 0 Alle Ergebnisse dürfen nur positive Exponenten haben und müssen gekürzt sein!. Vereinfache so weit wie möglich: a) b) 4y 9x 4y : x n n+ n n+ m n n+ n b c a c : : : n+ n a b c b. Faktorisiere: a) 4x + 4x + x n+ n n b) c) b n+ b n u u + u 9 4 k k+ m m. Kürze: a) b) x x n+ n x x n n n+ n y y y 4y + 4y n n n+ 4. Vereinfache: a) ( ) n + a+ a( a+ ) n b) 64 6 n+ n+ GM_A06 **** Lösungen Seite (GM_L06)

13 Klasse 0. Vereinfache und schreibe das Ergebnis ohne Bruchstrich! a) n n x : x n = y y 5 4 x 6 b) ( x ) ( x) ( x ) : ( ) + = x x. Fasse zusammen und vereinfache soweit wie möglich! 7 + a 6 a + a 0 a n+ n+ 4 n = a a a 5. Ein Liter einer Flüssigkeit enthält ca.,6 0 Moleküle. Wir schütten die Flüssigkeit 6 in den Ozean (Inhalt des Weltmeeres: ca km Wasser). Dort wird unsere Flüssigkeit gleichmäßig verteilt. Am anderen Ende der Welt entnehmen wir wieder einen Liter Ozeanwasser. Wie viele Moleküle unserer Ausgangsflüssigkeit befinden sich theoretisch im entnommenen Liter? Hinweis: Berechne zuerst das Ozeanvolumen in dm! V 4 mittelpunkt aus geschnitten. Berechne die Größe der Schnittfläche. 4. Eine Kugel mit 4 = π wird von einer Ebene im Abstand π vom Kugel- 5. Zusatzaufgabe: Bestimme das Volumen der zylindrisch durchbohrten Kugel in Abhängigkeit von h. GM_A000 **** Lösungen Seiten (GM_L000)

14 Klasse 0. Berechnen Sie folgenden Term durch Polynomdivision: ( 60x + 5x 6 5x ) : ( 75x 45 ). Fassen Sie folgende Terme so weit wie möglich zusammen: a) b) a + 6a a a + a n+ 4 n a a a 4 n n 7 bc a a 6 5 a b c : ac b. Ein über Quito (liegt ungefähr auf dem Äquator) stationärer Satellit fliegt in,6 0 Höhe. Berechnen Sie seine Geschwindigkeit in km/min, wobei der Erdradius als 6,4 0 km angenommen werden kann. 4 km 4. Welchen Umfang darf eine Tonne höchstens haben, damit sie durch eine,0 m breite Kellertür passt? 5. a) Berechnen Sie Umfang U und Inhalt A der unten gezeichneten Figur in Abhängigkeit von a. b) Zeigen Sie, dass die Gerade g die Figur in zwei inhaltsgleiche Teilfiguren zerlegt, wenn 45 α= ist. c) Wie groß muss α sein, damit g die Figur in zwei Teilfiguren gleichen Umfangs zerlegt? (Begründung durch Überlegung, oder rechnerische Bestimmung von α!) GM_A00 **** Lösungen Seiten (GM_L00)

15 Klasse 0. Berechne: a) b) 6 4 b a b : a z x z 5 5 9y z y x. Fasse so weit wie möglich zusammen: a) b) n n n+ m m+ y y + y y y + + m m m+ y y y. Das Dreieck ABC ist gleichseitig mit der Seitenlänge a. Bestimme in Abhängigkeit von a den Umfang U und den Flächeninhalt A der schraffierten Figur. 4. Das Dreieck ABC ist gleichschenklig-rechtwinklig mit der Schenkellänge s. Bestimme in Abhängigkeit von s den Umfang U der schraffierten Figur. GM_A00 **** Lösungen Seiten (GM_L00)

16 Klasse 0. Berechne x. a) log x 6 =,5 log = x 4 5 b) ( ). Vereinfache so weit wie möglich. k k+ 5 r : 5 5 st rs t ( r 0, s 0, t 0; k ). Berechne das Quotientenpolynom. ( a b 5 a b 4 a 4 b + a 5 b ) : ( ab + a b ) 4. Der sechszackige Stern (siehe Abbildung) hat zwölf Seiten der Länge s. a) Drücke den Flächeninhalt des Sterns durch s aus. b) Drücke den gesamten Flächeninhalt der sieben dem Stern einbeschriebenen Kreise durch s aus. 5. Die Bogenlänge eines Kreissektors ist zweieinhalb mal so lang wie sein Radius. Wie groß (in Prozent) ist der Anteil der Sektorfläche an der gesamten Kreisfläche? GM_A00 **** Lösungen Seiten (GM_L00)

17 Klasse 0 / (G8). Die USA haben eine Ausdehnung von 6,6% der Landfläche der Erde. Wie viele km² gehören zum Staatsgebiet der USA, wenn 7% der Erdoberfläche von Wasser bedeckt sind? Für die Erde kann ein Durchmesser von 740 km angesetzt werden.. Die nebenstehende Skizze zeigt einen Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel, wobei diese oben abgeschnitten wurde (Maße in mm). a) Berechne das Volumen des skizzierten Körpers. b) Bestimme die gesamte Oberfläche des Körpers. c) Wie hoch wären die Materialkosten, würde man den 6 Körper mit einer Schichtdicke von ca. 0, 0 m vergolden? Dichte von Gold: 9, g / cm Goldpreis ca / kg. In einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel ϕ ist ein Kreis einbeschrieben. Wie viel Prozent des Sektors bedeckt die Kreisscheibe für ϕ= 0? 4. Grundwissen: a) Vereinfache den Term so weit wie möglich, ohne ihn zu berechnen. b) Berechne die Nullstellen der quadratischen Funktion f:x x x. GM_A004 **** Lösungen Seiten (GM_L004)

18 Klasse 0 / (G8). Aus,6 kg Kupfer wurde eine innen hohle Kugel mit dem Außendurchmesser 4,0 cm gefertigt. Die Wandstärke der Hohlkugel ist überall gleich. Dichte von Kupfer: 8,9 g / cm a) Wie groß ist das Volumen der gesamten Kugel? Wie viele cm³ Kupfer wurden verwendet? b) Berechne die Wandstärke der Kugel.. In einem rechtwinkligen Dreieck sind beide Katheten,0 cm lang. Um die Eckpunkte des Dreiecks zeichnet man drei Kreisbögen mit gleichen Radien, die sich gerade berühren (siehe Skizze). a) Berechne den Flächeninhalt den die drei Kreissektoren zusammen haben. b) Welcher Prozentsatz des Dreiecks wird nicht von den Kreissektoren überdeckt?. a) Bei einer Wanduhr überstreicht die Spitze des Minutenzeigers in 0 Minuten einen Bogen von 5 cm Länge. Fertige eine Skizze an und berechne die Länge des Minutenzeigers. b) Während Willi seine Hausaufgaben macht, überstreicht der Minutenzeiger einen Winkel von 0,49 (rad). Wie groß ist dieser Winkel im Gradmaß und wie lange hat Willi demnach gearbeitet? 4. Zwei in einer Ebene liegende Riemenscheiben haben die Radien r r = 5cm. Ihr Mittelpunktsabstand beträgt l= 80cm. Berechne die Länge des straff gespannten Riemens. = 0cm und GM_A005 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L005)

19 Klasse 0 / (G8). Vervollständigen Sie folgende Tabelle: Winkel im Gradmaß Winkel im Bogenmaß 7π 40,. Welche Größe (auf Grad genau) hat der Mittelpunktswinkel zu einem Kreisbogen, dessen Bogenlänge gleich dem Durchmesser des Kreises ist?. Gegeben ist nebenstehende achsensymmetrische Figur. Das Dreieck ist gleichseitig und hat die Seitenlänge a. a) Berechnen Sie den Umfang der gesamten schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der weißen Fläche innerhalb des Dreiecks in Abhängigkeit von a. 4. Man rollt einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel 70 0 und dem Radius 6 cm zu einem Kegelmantel. Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Mantellinien gegen die Grundfläche und das Volumen des Kegels. 5. Im Märchen Froschprinz hatte die Prinzessin ihre goldene Kugel in den Brunnen fallen gelassen die nun vollständig unter Wasser lag. Dabei stieg der Wasserstand um 0, mm an. Welchen Radius hatte die Kugel, wenn man von einem zylinderförmigen Brunnenschacht mit dem Innendurchmesser 0,8 m ausgeht? GM_A006 **** Lösungen Seiten (GM_L006)

20 Klasse 0 / (G8). In einen wassergefüllten zylinderförmigen Messbecher mit einem Radius von 7 cm wird eine Metallkugel geworfen. Die Kugel geht vollständig unter, der Wasserspiegel steigt dabei um 4 cm an. Berechnen Sie den Radius der Kugel. Runden Sie das Ergebnis auf Dezimale.. a) Bestimmen Sie x [ 0; π [ : tanx =,8504 b) Bestimmen Sie β [ 0; 60 [ : 7 sin( β ) =,5 c) Vereinfachen Sie nur mit Berechnungsformeln: cos5 sin45 = d) Geben Sie in Polarkoordinaten an (D): B ( ). Gegeben ist ein Winkel im Bogenmaß x =. a) Zeichnen Sie farbig ein (nicht rot), wo das Maß x erscheint! Kurze Erläuterung. b) Wie groß ist der Winkel im Gradmaß? Geben Sie auf Dezimale an. 4. Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC mit der Hypotenuse [ AB ], deren Länge a ist. Der Winkel CBA hat den Wert 0. a) Begründen Sie, dass der Winkel BMC den Wert 0 besitzt. b) Berechnen Sie in Abhängigkeit von a den Flächeninhalt der grauen Figur. Vereinfachen Sie das Ergebnis soweit wie möglich. Bei der Beziehung von Teilflächen muss klar ersichtlich sein, welche Fläche gemeint ist. GM_A007 **** Lösungen Seiten (GM_L007)

21 Klasse 0 / G8 Geben Sie alle wichtigen Zwischenschritte an; arbeiten Sie nachvollziehbar.. Grundwissen Äquivalenzumformung und Bruchrechnen Lösen Sie die Gleichungen nach x auf: a) k 8x k x 5x k b) 5 x x x x Wahrscheinlichkeitsrechnung Mitglieder (Damen und Herren) eines Skivereins, insgesamt 60 Teilnehmer, fahren gemeinsam ins Skilager. Alle können entweder Skifahren (Sk) oder Snowboardfahren (Sb). 55% der Teilnehmer fahren Snowboard, der Rest Ski. a) Berechnen Sie die Anzahl der jeweiligen Sportgruppe (Ski oder Snowboard). b) 8 Damen fahren Ski, während Herren Snowboardfahrer sind. Stellen Sie diese Zahlen in einer Vier-Felder-Tafel dar und vervollständigen Sie diese. c) Berechnen Sie den Prozentsatz der Damen die Snowboard fahren. d) Alle Teilnehmer sitzen beim Abendessen an Vierer-Tischen. An einem dieser Tische sitzen nur zwei Personen, A und B. Skizzieren Sie ein Baumdiagramm, mit dem Sie bestimmen können, wie viele Möglichkeiten A und B haben, sich am Tisch zu platzieren.. Kreisberechnung Berechnen Sie Umfang und Inhalt der grauen Fläche in Abhängigkeit von a bei nebenstehender Figur. 4. Anwendung der Trigonometrie Die Höhe h CD eines Turms soll bestimmt werden. Der Turm steht senkrecht auf der Ebene ABC. Von A aus erscheint der Turm unter dem Winkel. Gegebene Werte: AB 0 m, 65, 8, Bestimmen Sie zunächst die Länge der Strecke [AC] in allgemeiner Form. Berechnen Sie damit die Höhe h des Turms. GM_A008 **** Lösungen Seiten (GM_L008)

22 Klasse 0 / G8. a) Dreieck ABC ist gleichseitig. b) Begründen Sie, dass für den Radius r Berechnen Sie den Umfang des Sektors gilt: r a. und den Flächeninhalt der grau Berechnen Sie den Winkel so, dass der markierten Fläche, jeweils in Umfang des Sektors das - fache des Abhängigkeit von a. Quadratumfangs beträgt.. In einem Zylinder befindet sich eine volumengleiche Kugel (vgl. Skizze). a) Berechnen Sie die Höhe des Zylinders in Abhängigkeit von r. b) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die entsprechende Zylinderoberfläche (nur Außenfläche) größer als die Kugeloberfläche ist. r Zyl r Kug. Ein Platz soll mit kreisförmigen Steinen gleicher Größe gepflastert werden, wobei die Zwischenräume frei bleiben. Für das Verlegen werden 6 Stunden veranschlagt. Alternativ können Steine gewählt werden, deren Durchmesser um 0% größer ist. Berechnen Sie, mit welcher Arbeitszeit man für die größeren Steine rechnen muss, wenn ein solcher Stein genauso schnell verlegt wird wie ein kleiner Stein. 4. Lösen Sie folgende Gleichungen. a) x 5 00 b) x 5 4 c) n x 5, n 5. Bei Onkel Otto gibt es immer nur eine von drei Beilagen: an 4 Tagen einer Woche Kartoffeln, an Tagen Nudeln und an einem Tag gibt es Reis. An zwei beliebigen Tagen der Woche kommt Jana unangemeldet zum Essen, sie mag aber keine Kartoffeln. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Jana an beiden Tagen keine Kartoffeln bekommt. GM_A009 **** Lösungen Seiten (GM_L009)

23 Klasse 0 / G8. Ergänzen Sie die Tabelle. Runden ist dabei nicht erlaubt. Geben sie den Rechenweg nachvollziehbar an. DEG 5 08 RAD,4 80. Berechnen Sie den Umfang und den Inhalt der farbigen (oder je nach Drucker auch grau) markierten Fläche in Abhängigkeit von r (vgl. Skizze). (Der Kreissektor hat einen Sektorwinkel von 90 ).. Bestimmen Sie die Lösungsmenge (Rechenschritte angeben!) für x ; für 0; 60 für 0; 60. a) sinx 0,56464 b) sin sin5 c) cos 0,8 ; (auf DZ runden). ; sin5 darf dabei nicht ausgerechnet werden. 4. Beschreiben Sie, wie die vier Graphen aus der Sinuskurve entstehen und ordnen Sie dann den passenden Funktionsterm zu. () y sin x () y sin x () y sin x (4) y sin x (5) y sin x (6) y sin x (7) y sin x (8) y sin x G G G G y x 5. Die Kreiszahl kann mit Hilfe des Tangens ermittelt werden. Um einen Kreis mit Radius r 0,5 wird ein 48 - Eck umbeschrieben. Die Seitenlänge des 48 - Ecks wird mit S 48 bezeichnet. a) Berechnen Sie den Winkel. b) Berechnen Sie die Länge von S 48. c) Wie viel Prozent weicht der Umfang des 48 - Ecks vom Umfang des Kreises ab? (Ergebnis auf DZ runden!) GM_A00 **** Lösungen Seiten (GM_L00)

24 Klasse 0 / G8. Bestimmen Sie alle Winkel zwischen 0 und 60 für die gilt: a) sin 0,46 b) cos 0,588. Ist folgende Aussage wahr oder falsch? cos5 cos45 Begründen Sie ohne Verwendung des Taschenrechners.. Gegeben ist das nebenstehende gleichschenklig rechtwinklige Dreieck ABC mit dem Schenkel s. Berechnen Sie den Umfang und den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von s. 4. Der dänische Astronom Tycho Brahe (546 60) verwendete als Näherung für den Wert 88. Bestimmen sie die Güte dieses Näherungswertes, indem Sie 785 den prozentualen Fehler des Näherungswertes berechnen. 5. Gegeben ist ein spitzwinkliges Dreieck. Zeigen Sie allgemein die Gültigkeit folgender Flächenformel: A a c sin 6. Aus einem kugelförmigen Glastropfen (Masse g, Dichte,8 g / cm ) wird eine Hohlkugel mit einer Wandstärke von d 0,mm hergestellt. a) Berechnen Sie den Durchmesser des ursprünglichen Glastropfens. b) Berechnen Sie den Außendurchmesser der Hohlkugel. 7. Ein Ikosaederwürfel (Zwanzigflächner) ist mit den Zahlen bis 0 beschriftet ( 0 rot, 0 gelb). Es wird zweimal gewürfelt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse. A: Die Zahlenwerte sind gerade und rot. B: Die Augensumme ist ungerade GM_A0 **** Lösungen Seiten (GM_L0)

25 Klasse 0 / G8. Finden Sie alle Lösungen im Intervall 0;60 a) sin 0,5 b) cos für die gilt:. a) Bestimmen Sie auf drei Dezimale genau alle x mit x für die gilt: cos x 0,55 b) Wahr oder falsch? Begründen Sie, ohne den Taschenrechner zu verwenden. (I) sin 0,8 4 (II) cos 4 cos0. Ermitteln Sie den Flächeninhalt und 4. Die gefärbte (graue) Fläche rotiert Umfang der schraffierten Fläche um die Achse a. in Abhängigkeit von r. Berechnen Sie das Volumen und die Die Ergebnisse sollen möglichst weit Oberfläche des Rotationskörpers in zusammengefasst werden. Abhängigkeit von s. 5. Berlin und Palermo liegen auf demselben Längenkreis (,5 Ost). Berlin hat die geographische Breite 5 ', Palermo 8 7'. Welchen Abstand haben die beiden Städte voneinander? Nehmen Sie für die Erde eine ideale Kugel an, mit r 670 km; 60'. E 6. Von einer quadratischen Funktion sind bekannt: der Scheitel des Graphen hat die x - Koordinate,5, der Wertebereich hat das Intervall ;4, der Graph ist eine Normalparabel Geben Sie die quadratische Funktion in der Normalform an. 7. Aus einer Urne mit 5 gleichartigen Kugeln (davon sind rot und blau) werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Zeichnen Sie ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm, das den Sachverhalt wiedergibt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der mindestens eine rote Kugel gezogen wird. GM_A0 **** Lösungen Seiten (GM_L0)

26 Klasse 0 / G8. a) Bestimmen Sie die beiden Winkel zwischen 0 und 60 für die gilt: (I) sin 8 (II) cos 4 b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge von sinx 0,8888 für x 0;. Geben Sie die Winkel im Grad- und Bogenmaß an. c) Rechnen Sie den Punkt P,5 5 7 in Polarkoordinaten um.. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von s den Inhalt und den Umfang der farbigen (bzw. grauen) Fläche in nebenstehend abgebildeter Figur. Die Ergebnisse sind so weit wie möglich zu vereinfachen.. Die Mittelpunkte zweier gleich großer Kreise mit den Radien r,5cm haben den Abstand d 4cm. Zeichnen Sie eine saubere Figur und berechnen Sie anschließend die gemeinsame Fläche der beiden Kreise. 4. In einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a wird eine Seite in drei gleiche Abschnitte unterteilt. Die Teilpunkte und die gegenüberliegende Ecke werden mit Geraden verbunden (vgl. Skizze). Berechnen Sie die Teilwinkel, und. 5. Ein kugelförmiger Ballon ist mit Gas gefüllt. 5% des Gases wird nun abgelassen wobei die Kugelform des Ballons erhalten bleibt. Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Kugelradius dadurch kleiner wird. GM_A0 **** Lösungen Seiten (GM_L0)

27 Klasse 0 / G8. Berechnen Sie ohne Taschenrechner durch Zurückführen auf spitze Winkel. a) sin50 b) cos0 c) tan00. Bestimmen Sie (auf zwei Nachkommastellen genau) alle Lösungen x mit 0;, für die folgende Gleichung gilt: a) sin x 0,99 b) cos x 4 y. Bestimmen Sie Amplitude, Periodendauer und ggf. Verschiebungen auf der x - Achse oder y - Achse. Geben Sie die Funktionsgleichung des dargestellten Graphen an. 0 x 4. Die nebenstehende Fläche rotiert um die Achse a. Berechnen Sie die Oberfläche des Rotationskörpers in Abhängigkeit von r. Vereinfachen Sie das Ergebnis soweit wie möglich. 5. Das Dreieck in der nebenstehenden Abbildung ist gleichseitig mit der Seitenlänge a. a) Berechnen sie in Abhängigkeit von a den Umfang der farbigen (grauen) Fläche. b) Berechnen Sie in Abhängigkeit von a den Inhalt der farbigen (grauen) Fläche. 6. Die beiden Raumdiagonalen eines Würfels (Kantenlänge a) schneiden sich im Punkt M. Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels. GM_A04 **** Lösungen Seiten (GM_L04)

28 Klasse 0 / G8. Gegeben ist: cos0 0,5. Tragen Sie die fehlenden Sinus- und Kosinuswerte in die Tabelle ein, ohne den Taschenrechner zu benutzen. sin60 sin0 sin40 sin00 cos60 cos0 0,5 cos40 cos00. Von einem Kreisausschnitt ( = Kreissektor) kennt man die Bogenlänge b 6cm und den Radius r 8 cm. Berechne den Sektorwinkel und den Flächeninhalt des Kreissektors... Berechnen Sie die Polarkoordinaten von P,5. 4. Finden Sie alle Lösungen im Intervall 0; für die gilt: a) sin x 0,5 b) cos x 5. Berechnen Sie in nebenstehender Figur den Umfang und den Inhalt der farbig (oder je nach Drucker auch grau) markierten Fläche in Abhängigkeit von a. Die Ergebnisse sind möglichst weit zu vereinfachen. 6. Die nebenstehende farbige (graue) Fläche rotiert um die Achse a. a) Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von r. b) Berechnen Sie die Oberfläche des Rotationskörpers in Abhängigkeit von r. Die Ergebnisse sind jeweils möglichst weit zu vereinfachen. 7. Gibt es eine Kugel, deren Oberfläche und Volumen die gleiche Maßzahl haben? Begründe durch Rechnung. GM_A05 **** Lösungen Seiten (GM_L05)

29 Klasse 0 / G8.. Berechnen Sie ohne Taschenrechner, für sin( ), 0 ; 60. Lösen Sie graphisch: sin x 0,4x,5. Eine Kugel hat ein Volumen von 00 Litern. Berechnen Sie die Oberfläche der Kugel in dm auf Nachkommastellen. 4. Bestimmen Sie für den nebenstehend abgebildeten Graphen eine Funktionsgleichung der y a sin bx d. Form 5. Löse folgende Gleichungen für 0 ; 60 auf zwei Nachkommastellen. a) cos 0,85 b) 8 tan 6 c) 9sin sin y x 6. Die nebenstehende farbige (graue) Fläche rotiert um die Achse s. a) Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von a. b) Berechnen Sie die Oberfläche des Rotationskörpers in Abhängigkeit von a. Die Ergebnisse sind jeweils möglichst weit zu vereinfachen. 7. Wie dick ist die Wand s einer kugelförmigen Seifenblase, die aus einem 8 mm dicken kugelförmigen Tropfen entstanden ist und einen Durchmesser von 40 mm hat? GM_A06 **** Lösungen Seiten (GM_L06)