Unterrichtskonzept Das Verfahren der kleinen Schritte

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1 Link-Ebene Physik Lehrplananbindung: 10. Die Mechanik Newtons Die Methode der kleinen Schritte Unterrichtskonzept Das Verfahren der kleinen Schritte Anhand eines typischen Beispiels aus der Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler wird die Methode der kleinen Schritte entwickelt, die sich nicht nur auf echanische Problee, sondern beispielsweise auch auf den Strofluss durch eine Induktivität (Physik 11), das Lade- und Entladeverhalten von Kondensatoren (Lehrplan Biophysik) und viele weitere Problee anwenden lässt, die in der Physik durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden. Der freie Fall it Luftwiderstand als Anwendungsbeispiel Aus Ihrer eigenen Erfahrung wissen die Schülerinnen und Schüler, dass der freie Fall unter Vernachlässigung des Luftwiderstands eine Idealisierung darstellt und beispielsweise bei Fall einer Daunenfeder zu völlig falschen Ergebnissen führt. Möchte an diese Bewegung exakt beschreiben, ist es notwendig vo Modell einer konstanten Kraft abzurücken, der Luftwiderstand uss berücksichtigt werden. Es ist naheliegend, dass der Luftwiderstand it steigender Geschwindigkeit zunit (der Fahrtwind brest bei geringen Geschwindigkeiten kau, bei hohen stellt er die doinierende Breswirkung dar). Dass der Zusaenhang zwischen Kraft und Geschwindigkeit quadratisch ist, uss den Schülerinnen und Schülern itgeteilt werden. Eine besonders anschauliche Bewegung, die vielen Schülerinnen und Schülern geläufig ist, ist die Bewegung eines Fallschirspringers i freien Fall, wobei angenoen wird, dass dieser senkrecht, beispielsweise aus eine Hubschrauber springt. In diese Fall wirken auf den Fallschirspringer die konstante Gewichtskraft und die durch den Luftwiderstand geschwindigkeitsabhängige Kraft F g = g Fr = k v it k = 0,3 N s = 0,3 kg 1 Diese Werte liefern bei einer Masse von 90 kg eine Maxialgeschwindigkeit von etwa 00 k / h; ein der Realität entsprechender Wert. Erste Übungen Als erste Übung bietet es sich an, die auf den Fallschirspringer wirkenden Kräfte und die zugehörige Geschwindigkeit it Pfeilen darzustellen. Gewichtskraft rot Luftwiderstandskraft grün Geschwindigkeit blau Aus den Skizzen wird klar, dass für die auf den Fallschirspringer wirkende Gesatkraft gilt: F = F g F r = g k v². Mithilfe des. newtonschen Gesetzes können die Schülerinnen und Schüler den Ausdruck für die Beschleunigung bestien:

2 a = g - k v it v( t = 0) = 0 und ( ) a t = 0 = g Dabei ist die beschleunigende Kraft für große Zeiten praktisch 0, da die Geschwindigkeit des Fallschirspringers sich nicht ehr ändert. Entsprechend gilt für große Zeiten F g = F r, zu Zeitpunkt t = 0 ist F = F g. In eine qualitativen Diagra kann dann das t-a bzw. das t-v-diagra skizziert werden (dass die Beschleunigung bei t = 0 zunächst quadratisch abnit, uss nicht berücksichtigt werden). g v(t) a(t) Die Bestiung der Geschwindigkeitsfunktion v(t) Zwar ist die Beschleunigung nun keine Konstante ehr, doch ändern sich Geschwindigkeit und Beschleunigung nicht sprunghaft. Für sehr kurze Zeiträue kann also die Kurve, die qualitativ bereits das richtige Beschleunigungsverhalten wiedergibt, durch Bereiche konstanter Beschleunigungen angenähert werden, wenn an nur die Zeitintervalle klein genug wählt (Stufen i Diagra). I Verlauf eines solchen Intervalls ändert sich die Geschwindigkeit geäß der Beschleunigungsdefinition: Δv k (Ia) a = bzw. vneu valt = a Δt bzw. vneu = a Δ t+ valt = g valt t valt Δt Δ + bzw. aus den Bewegungsfunktionen für eine konstante Beschleunigung: k (Ib) v() t = a t+ v0 bzw. v( t+δ t) = vneu = a ( t+δ t) + v0 = a Δ t+ valt = g valt Δ t+ valt Zur Berechnung der Geschwindigkeiten aus den alten Werten ist es offensichtlich unerheblich, ob von der Beschleunigungsdefinition oder der Bewegungsfunktion ausgegangen wird. Mit den Gleichungen (Ia) bzw. (Ib) hat an nun die Möglichkeit, aus de bekannten Geschwindigkeitswert zu Zeitpunkt t die Geschwindigkeit zu Zeitpunkt t + Δt zu bestien, was a sinnvollsten in einer Tabelle geschieht und die zunächst ithilfe des Taschenrechners vollzogen werden kann. Wählt an den Startwert v 0 = 0, führt dies zur folgenden Tabelle Schritt Zeit / s Beschleunigung a / s Geschwindigkeit v / s , ,50 9,9 5,00 1,00 9,67 9,96 3 1,50 9,7 14,80 4,00 8,74 19,44 5,50 8,11 3,81 6 3,00 7,41 7,87 7 3,50 6,68 31,56 8 4,00 5,94 34,90 9 4,50 5, 37,87 = 90 kg, k = 0,3 kg 1, Δt = 0,5 s, g = 10,00 s

3 Die Bestiung der Ortsfunktion x(t) Völlig analoge Betrachtungen führen zu zurückgelegten Weg. Innerhalb eines sehr kurzen Zeitintervalls ändert sich die Geschwindigkeit nur geringfügig, sodass sich aus der Definition für die Geschwindigkeit der folgende Ausdruck ergibt. Δx (IIa) v = bzw. xneu xalt = v Δ t bzw. xneu = v Δ t + xalt Δt bzw. aus den Bewegungsfunktionen a a a xt= x = t + v t+ x bzw.xt+δ t= x = t+δ t + v t+δ t+ x = Δ t + v Δ t+ x alt 0 0 neu 0 0 alt alt (IIb) () ( ) ( ) ( ) ( ) Während bei Gleichung (IIa) keine Aussage darüber geacht wird, welches v zu verwenden ist, hat an bei Gleichung (IIb) einen quadratischen Ter it zu berücksichtigen. Da letztendlich alles in eine Tabellenkalkulationsprogra errechnet werden soll, bei de die Schrittweite Δt beliebig klein geacht werden kann, wird durch Gleichung (IIb) plausibel, dass bei Geschwindigkeiten v alt > 0 der Ter a ( t) Δ gegenüber de Ter valt Δt vernachlässigt werden kann. Ebenso kann an wenige Schritte zur Berechnung der Orte durchführen, wobei einal zur Berechnung v alt und einal v neu zugrunde gelegt wird. Wählt an Δt = 0,01 s erhält an die folgende Tabelle, die bereits nahelegt, dass der Ortsfehler dann axial 1 beträgt. Schritt t / s a / s v / s 1 x / (Rechn.. v neu ) x / (Rechn.. v alt ) ,00 0, ,01 9, , , ,0 9, , , , Tatsächlich gilt stets x x ( v v ) t g ( t) neu alt = Δ Δ = 1, da die Beschleunigung nie größer als die Erdbeschleunigung ist. Für ausreichend kleines Δt ist es denach legiti zu schreiben (II) xneu = valt Δ t+ xalt Selbstverständlich ist es öglich, die ursprüngliche For der Gleichungen (IIa) bzw. (IIb) beizubehalten, was zu etwas geringeren nuerischen Fehlern führt. Bei Gleichung (IIa) liegt es dann nahe den Mittelwert für die Geschwindigkeit zu wählen, was zu sogenannten Halbschrittverfahren bei der Tabellenkalkulation führt. Gleichung (IIb) kann direkt so übernoen und in eine Tabellenkalkulation eingearbeitet werden, allerdings ist bei der Berechnung der quadratische Ter zu berücksichtigen. Beide Verfahren sind etwas anspruchsvoller und sperriger als das hier vorgestellte, sodass die Gefahr besteht, dass die Schülerinnen und Schüler zu eine erheblichen Teil it der Bewältigung von Coputerprobleen beschäftigt sind. Aus diese Grund wird an dieser Stelle epfohlen die it eine größeren nuerischen Fehler behaftete Gleichung (II) zu verwenden. Wenn die Gleichungen (Ia) bzw. (Ib) und (II) verstanden sind, können die Schülerinnen und Schüler die Bewegung des Fallschirspringers in einer Tabellenkalkulation odellieren und bei einer Schrittweite (z. B. 0,1 s) Ort und Geschwindigkeit bestien. In der wissenschaftlich-technischen Praxis sind Siulationsrechnungen von allergrößter Bedeutung. Die Schülerinnen und Schüler sollen deshalb an dieser Stelle ein einfaches nuerisches Verfahren kennenlernen und dabei Sein und Ziel einer Siulationsrechnung durchschauen.

4 Realisierung in Tabellenkalkulationsprograen Das Progra Vivitab (einen freien Download findet an auf der Hoepage des Gynasius Berchtesgaden ) ist für die physikalische Modellrechnung besonders geeignet; es wurde extra zu diese Zweck erstellt und weist deshalb gegenüber anderen Tabellenkalkulationsprograen bei dieser Art der Verwendung einige Vorteile auf. Es benötigt nälich lediglich eine Syntaxvereinbarung, die auf die Vorgängerzelle verweist: v = v + a Δ t wird syntaktisch zu = #v+ a Δ t neu alt Das Modell des Falls it Reibung erhält an einfach durch die Hinzufügung der Reibungskraft zur Gewichtskraft. In Vivitab kann an dazu sehr einfach durch Nennung eines Naens in den Konstantenvereinbarungen eine globale Variable, hier R genannt, festlegen. a = (Fg R #v^)/ Das t-v-diagra zeigt die nuerisch genäherte Funktion v(t). Zur Erprobung eignet sich die rechnerische Bestiung von v nach de Ende der Beschleunigungsphase i Kräftegleichgewicht. Es gilt dann in bester Übereinstiung it de Siulationsergebnis g= R v g 0,5kg 9,81 v s = = = kg R,5 1,4s 1

5 Die Schülerinnen und Schüler haben in der Regel Erfahrung it eine Tabellenkalkulationsprogra (i. d. R. Excel oder open-office-produkte), sodass an auf dieses Wissen aufbauen kann. Aus diese Grund kann es zeitsparend und sinnvoll sein, it diesen Tabellenkalkulationsprograen zu arbeiten, sofern die Schülerinnen und Schüler entsprechende Vorkenntnisse besitzen. I Unterricht können bei Bedarf noch weitere Fälle von Bewegungen it nicht konstanter Kraft oder nicht konstanter Masse besprochen werden, z. B. Bewegung von Körpern bei Reibung durch lainare Uströung F r = k v (langsa fallende Kugel in einer Flüssigkeit) Körper it variabler Masse (Raketengleichung it und ohne Luftreibung, it und ohne ges höhenabhängig Luftdichte) a F = t start λ Die Behandlung dieser Bewegungen kann in For von Schülerreferaten erfolgen. Durch Variation der Paraeter können die Schülerinnen und Schüler anhand der entstehenden t-x- Diagrae und t-v-diagrae diskutieren, wie sich Änderungen von Paraetern auf die Bewegung auswirken. Weitere Verwendung der Methode der kleinen Schritte Die Methode der kleinen Schritte kann äußerst gewinnbringend bei den echanischen Schwingungen eingesetzt werden. Setzt an für das Kraftgesetz durch F = - Dx und entsprechend die Zeile für die Beschleunigung durch a = x, so ergibt sich die Siulationsrech- D nung einer haronischen Schwingung in völlig analoger Weise. Weitere Ausführungen dazu finden sich bei Link-Ebenen-Beitrag zu den Schwingungen.