Kryptographie. eine kurze Einführung von Christof Schowalter A. WOZU KRYPTOGRAPHIE? 2 B. BEZEICHNUNGEN UND FACHBEGRIFFE 2

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1 Kryptographie eine kurze Einführung von Christof Schowalter A. WOZU KRYPTOGRAPHIE? 2 B. BEZEICHNUNGEN UND FACHBEGRIFFE 2 C. KLASSISCHE KRYPTOGRAPHIE 3 1. Verschiebechiffre 3 2. Schlüsselwort 4 3. Tauschchiffren 4 4. Vigenère-Chiffre 5 5. One-Time-Pad (Einmalblock) 6 6. Symmetrische Chiffrierverfahren 7 D. MODERNE KRYPTOGRAPHIE 8 1. Asymmetrische Chiffrierverfahren 8 2. Authentikation 10 E. AUFGABEN 13 F. LITERATUR 14

2 A. Wozu Kryptographie? Schon zu allen Zeiten war es wichtig, Nachrichten sicher und vertraulich zu übermitteln, d.h. zu verhindern, dass Unbefugte den Inhalt einer Nachricht in die Hände bekamen. Eine Möglichkeit dazu besteht im Verbergen der Nachricht (z.b. durch Geheimtinte). Diese Kunst nennt man Steganografie. Die andere Möglichkeit ist das Verschlüsseln. Die Nachricht wird dabei so verändert, dass nur Eingeweihte sie entschlüsseln können. Die Wissenschaft vom Verschlüsseln heißt Kryptographie, ein Wort, das aus dem griechischen kryptos (geheim) und graphein (schreiben) zusammengesetzt ist. In früheren Zeiten wurde Kryptographie vor allem im diplomatischen und militärischen Bereich benötigt. Heute ist Kryptographie von viel größerem allgemeinen Interesse: Es wird eine Unmenge von mehr oder weniger vertraulichen Informationen verarbeitet, übertragen und gespeichert (z.b. im Bankwesen), was durch die Entwicklung der elektronischen Datenverarbeitung und der Computernetze ermöglicht wurde. Des Weiteren ermöglicht die Computertechnik die Entwicklung besserer Verschlüsselungsverfahren, steigert jedoch auch die Möglichkeiten, dieselben zu knacken. Daher geraten durch immer schnellere Rechner bisher als sicher geltende Verschlüsselungsverfahren in Gefahr, geknackt zu werden. Die Kryptographie ist also gefragt, immer bessere Verfahren zu entwickeln. Die moderne Kryptographie befasst sich nicht nur damit, wie das Entschlüsseln durch Unbefugte verhindert werden kann, sondern auch damit, wie die Echtheit einer Nachricht und ihres Senders gewährleistet werden kann. Dies ist das Problem der Au th e n tikation oder Authentifikation (s. S. 11): Ist die Nachricht wirklich von dem, der sich als Absender ausgibt? Oder: Handelt es sich um die wahre Nachricht oder wurde sie von Dritten manipuliert? Es gilt als sicher, dass die Bedeutung der Kryptographie in Zukunft noch wachsen wird. Jeder Nutzer von elektronischer Post ist jetzt davon schon betroffen. Es ist auch immer noch so, dass viele Forschungen auf diesem Gebiet, das zum großen Teil der reinen Mathematik entstammt, aus sicherheitspolitischen Gründen der Geheimhaltung unterliegen. B. Bezeichnungen und Fachbegriffe Klären wir zu Beginn erst einmal ein paar Fachausdrücke: Die zu übermittelnde Nachricht wird Klartext genannt. Das Verschlüsseln nennt man auch Chiffrieren. Dabei wird der Klartext in einen Geheimtext umgewandelt. Das Entschlüsseln heißt auch Dechiffrieren. Von den vielen kryptographischen Methoden seien nur folgende erwähnt: Früher wurden oft sogenannte Codes oder Codesysteme benutzt. Darunter versteht man ein Wörterbuch, in dem hinter jedem Wort eine Zahlen- oder Zeichenfolge steht, mit der das entsprechende Wort verschlüsselt wird. Solche Systeme sind sehr unflexibel, denn wenn der Code geknackt ist, braucht man ein neues Codebuch. Außerdem können nicht beliebige Wörter verschlüsselt werden, sondern nur solche, die in dem Wörterbuch verzeichnet sind. 2

3 Wir befassen uns daher nur mit den vorteilhafteren Chiffren. Dabei werden beim Verschlüsseln jeweils ein (oder mehrere) Zeichen durch eins (oder mehrere) ersetzt. Wir beschränken uns hier auf solche Chiffren, bei denen jeweils ein Zeichen durch ein anderes ersetzt wird. Eine Chiffre besteht aus einer Chiffriermethode und einem Schlüssel. Der Schlüssel gibt an, wie die Chiffriermethode angewandt werden soll. Da Schlüssel gewechselt werden können, sind die Chiffren flexibel. Die Chiffriermethode braucht und kann im Übrigen nicht geheim gehalten werden (da im Allgemeinen zu viele Leute davon wissen). Das Geheimnis besteht daher in der Kenntnis des Schlüssels, der deswegen auf einem sicheren Weg übermittelt werden muss. Ein berechtigter Einwand lautet nun: Dann kann man ja gleich die ganze Nachricht auf diesem sicheren Weg senden! Das ist sicher richtig, jedoch ist es schwieriger, eine mitunter lange Botschaft sicher zu übertragen als einen kurzen Schlüssel. Außerdem müssen dringende Meldungen oft sehr eilend gesendet werden, während ein Schlüssel vorher in Ruhe ausgetauscht werden kann. C. Klassische Kryptographie Klassische Kryptographie befasst sich mit den sogenannten symmetrischen Kryptosystemen (s. S. 7), die bis 1976 die einzig denkbaren Systeme waren. Schon aus dem Altertum sind uns kryptographische Verfahren überliefert. Ein besonders bekanntes beschreibt Julius Cäsar in "De Bello Gallico". Dabei ersetzt man jeden Buchstaben des Klartextes mit demjenigen Buchstaben, der im Alphabet an drei Stellen weiter hinten folgt. Es handelt sich hier jedoch nicht um eine Chiffre im eigentlichen Sinn, da es keinen Schlüssel gibt. Wenn man jedoch zwischen verschiedenen Verschiebungen wählen kann, ergibt sich die 1. Verschiebechiffre Methode: Verschieben des Alphabets Schlüssel: Verschiebungsstrecke Zahl der Schlüssel: 25 (bzw. 26, wenn man die Verschiebung um 0 Buchstaben dazu zählt) Beispiel mit Schlüssel 3 (Das ist die bei Cäsar erwähnte Methode): Klartextalphabet Geheimtextalphabet A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C Dies bedeutet, dass z.b. der Klartext ABEND mit dem Geheimtext DEHQG verschlüsselt wird. Es ist klar, dass dies keine ernst zu nehmende Chiffre ist, man braucht nur alle 25 Möglichkeiten durchzuprobieren. Ein besseres Verfahren ist 3

4 2. Schlüsselwort Methode: (Teilweise) Vertauschen der Buchstaben des Alphabets Schlüssel: Schlüsselwort Zahl der Schlüssel: Ziemlich viele (so viele, wie es Schlüsselwörter gibt) Beispiel: Schlüsselwort KEPLRGYMNASIU (doppelte Buchstaben werden weggelassen): Klartextalphabet Geheimtextalphabet A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z K E P L R G Y M N A S I U B C D F H J O Q T V W X Z Das Schlüsselwort wird unter das Klartextalphabet geschrieben, die übrigen Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge angehängt. Jetzt wird z.b. ABEND durch KERBL verschlüsselt. Man braucht das Schlüsselwort nicht bei A anfangen zu lassen, es geht auch ein beliebiger anderer Buchstabe, zum Beispiel so: Klartextalphabet Geheimtextalphabet Sowohl Verschiebechiffren als auch Chiffren mit Schlüsselwort sind Spezialfälle der A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z V W X Z K E P L R G Y M N A S I U B C D F H J O Q T 3. Tauschchiffren Methode: Vertauschen der Buchstaben des Alphabets Schlüssel: Durcheinander gewürfeltes Alphabet Zahl der Schlüssel: Alle 26! Vertauschungen des Alphabets Beispiel: Klartextalphabet Geheimtextalphabet (bzw. Schlüssel) A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z H F V Z B G W Y A I R E M S L P U D Q J X N T C K O Die drei bisher erwähnten Chiffren nennt man monoalphabetische Chiffren, d.h. es gibt genau ein (mono) Geheimalphabet. Jedem Klartextbuchstaben wird immer derselbe Geheimbuchstaben zugeordnet, d.h. ein A wird z.b. immer mit einem H verschlüsselt. Da es in deutschen Texten (wie auch in anderen Sprachen) eine charakteristische Buchstabenhäufigkeit gibt (so ist E der am häufigsten auftretende Buchstabe, gefolgt vom N usw.) kann man davon ausgehen, dass der am meisten vorkommende Buchstabe für das E steht usw. Monoalphabetischen Chiffren kann man also leicht mit einer Analyse der Buchstabenhäufigkeiten beikommen, und das trotz der astronomischen Schlüsselzahl (26! bei den Tauschchiffren). Eine Verbesserung stellen die im 16. Jahrhundert erfundenen polyalphabetischen Chiffren dar. Hier wird ein Klartextbuchstabe nicht immer mit 4

5 demselben Geheimbuchstaben verschlüsselt, sondern es wird mit vielen (poly) Geheimalphabeten gearbeitet. Eine bekannte Chiffre dieser Art ist die 4. Vigenère-Chiffre Diese Chiffre ist nach dem französischen Diplomaten Blaise de Vigenère ( ) benannt. Wir benötigen ein Schlüsselwort und das Vigenère-Quadrat: Klartextalphabet A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Geheimtextalphabete A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Im Vigenère-Quadrat steht in der ersten Zeile das gewöhnliche Alphabet, darunter das um einen Buchstaben verschobene, dann das um zwei verschobene usw. Es sind also alle 26 Verschiebechiffren untereinander geschrieben. Das Schlüsselwort gibt an, welches der 26 Alphabete zum Verschlüsseln benutzt wird. Ein erhellendes Beispiel: Nehmen wir als Schlüsselwort HEFEZOPF (es darf doppelte Buchstaben besitzen). Das Schlüsselwort wird unter den Klartext geschrieben: Klartext Schlüsselwort B A C K E B A C K E K U C H E N H E F E Z O P F H E F E Z O P F Jetzt steht also unter dem B ein H, d.h. das B wird mit demjenigen Alphabet verschlüsselt, das mit H beginnt, also wird B mit I verschlüsselt. Man kann auch sagen, dass H als achter Buchstabe des Alphabets für eine Verschiebung um acht Buchstaben steht. 5

6 Klartext Schlüsselwort Geheimtext B A C K E B A C K E K U C H E N H E F E Z O P F H E F E Z O P F I E H O D P P H R I P Y B V T S Das sieht schon sehr geheimnisvoll aus. Aber auch diese Chiffre ist zu knacken, da es vor allem bei langen Texten gewisse Regelmäßigkeiten gibt, die es ermöglichen, die Schlüsselwortlänge und damit das Schlüsselwort selbst zu ermitteln. Eine Verbesserung ist daher das 5. One-Time-Pad (Einmalblock) Der Pferdefuß des Vigenère-Verfahrens ist das sich wiederholende Schlüsselwort. Die Idee beim One-time-pad besteht darin, die Verschiebungen nicht periodisch, sondern zufällig vorzunehmen. Der Schlüssel ist also eine Zufallsfolge. Wenn der Text n Zeichen besitzt, gibt es also 26 n mögliche Schlüssel. Ansonsten läuft die Verschlüsselung wie bei Vigenère. Klartext Schlüssel Geheimtext B A C K E B A C K E K U C H E N P V F O B B A W D S L S K N T G Q V H Y F C A Y N W V M Z U X T Dieses 1917 von Gilbert Vernam entwickelte Verfahren ist absolut sicher, wenn der Schlüssel nur einmal benutzt wird. Der Name One-Time-Pad (Einmal-Schreibblock) rührt daher, dass man sich einen Notizblock vorstellt, auf dessen Blättern je ein Zufallszeichen steht. Nach Gebrauch wird der Zettel dann weggeworfen. Der Preis für die Sicherheit ist jedoch der sehr lange Schlüssel. Das One-Time-Pad lässt sich auch für den Computer verwenden. Ein Text wird im Speicher ja als Folge von Bits gespeichert, daher wird bitweise verschlüsselt: Der Schlüssel ist ebenfalls eine Bitfolge, genauso lang wie der Klartext, jedoch pseudozufällig erzeugt. (Eine Pseudozufallsfolge ist eine Folge, die zufällig aussieht, aber nach einer bestimmten Vorschrift durch ein Programm (einem Zufallsgenerator) gebildet wird. Eine echte Zufallsfolge ist im Computer softwaremäßig nicht erzeugbar.) Das Verschlüsseln läuft nun so, wie in der folgenden Abbildung dargestellt: Abbildung 1: One-Time-Pad Je ein Bit des Klartextes und ein Bit der Pseudozufallsfolge werden beim Senden durch XOR verknüpft. XOR steht für das exklusive OR (ausschließliches Oder). Es 6

7 gilt: 1 XOR 1 = 0 XOR 0 = 0 und 1 XOR 0 = 0 XOR 1 = 1, d.h. das Ergebnis ist genau dann 1, wenn genau (nur) eines der beiden Bits eine 1 ist. Der Witz dabei ist, dass wenn der Empfänger die verschlüsselte Bitfolge wieder mit genau derselben Pseudozufallsfolge durch XOR verknüpft, wieder den ursprünglichen Klartext erhält. Da eine Pseudozufallsfolge durch ihren Startwert eindeutig bestimmt ist, reicht als Schlüssel dieser Startwert aus. Der Schlüssel ist also erheblich kürzer als beim ursprünglichen One-Time-Pad. Jedoch geht dies auf Kosten der Sicherheit. 6. Symmetrische Chiffrierverfahren Alle bisher behandelten Chiffriermethoden fallen unter die Kategorie der symmetrischen Verfahren, d.h. 1. Sender und Empfänger haben beide denselben geheimen Schlüssel. Sowohl Ver- als auch Entschlüsseln findet im Geheimen statt. 2. Wer verschlüsseln kann, kann auch entschlüsseln (und umgekehrt). 3. Immer besteht das Problem des Schlüsselaustauschs. Beide Seiten müssen über einen sicheren Kanal einen Schlüssel vereinbaren. Abbildung 2: Symmetrische Verschlüsselung Man kann sich das ganze auch so vorstellen, dass der Sender eine Kiste mit geheimen Inhalt mit seinem Schlüssel verschließt, an den Empfänger schickt und dieser, der als einziger einen Zweitschlüssel besitzt, die Kiste wieder öffnen kann (s. Abb. 2). Beide Partner sind gleichberechtigt und haben beide Kenntnis des geheimen Schlüssels. Daher spricht man von einem symmetrischen Verfahren. In Abbildung 3 ist das Prinzip symmetrischer Verfahren dargestellt. 7

8 Abbildung 3: Symmetrisches Chiffriersystem Die länglichen Rechtecke deuten an, dass der in ihnen enthaltene Vorgang im Geheimen stattfindet. Wir betrachten den Klartext als eine Zahl m und die Chiffriermethode als Funktion, die vom Schlüssel k abhängt, also f k. Das Verschlüsseln bedeutet das Anwenden der Funktion f k auf den Klartext m, d.h. als verschlüsselter Text ergibt sich c = f k (m). Beim Entschlüsseln läuft der umgekehrte Vorgang ab. Mit der Umkehrfunktion -1 f k von f k wird aus dem Geheimtext wieder der Klartext: f -1 k (c) = m. D. Moderne Kryptographie 1. Asymmetrische Chiffrierverfahren Als Geburtsjahr der modernen Kryptographie gilt das Jahr 1976, als W. Diffie und M. Hellmann die Idee des Verschlüsselns mit öffentlichen Schlüsseln (public key) publizierten. Hier brauchen die Kommunikationspartner keinen geheimen Kanal mehr für den Schlüsselaustausch. Da man bei der zunehmenden Kommunikation über Computernetze - wo man nie sicher weiß, welche Wege eine Nachricht einschlagen kann, bis sie beim Empfänger ankommt - keinen sicheren Kanal zur Verfügung hat, ist dies ein wesentlicher Vorteil. Worin besteht nun die Idee des public-key-verfahrens? Der Empfänger besitzt einen geheimen privaten Schlüssel und einen allgemein zugänglichen öffentlichen Schlüssel. Wer ihm schreibt, benutzt den öffentlichen Schlüssel, und der Empfänger entschlüsselt mit seinem privaten. Sender und Empfänger brauchen sich also vorher gar nicht zu kennen oder etwas zu verabreden. Es ist dasselbe Prinzip wie bei einem Briefkasten: Jeder kann eine Botschaft einwerfen, ohne ein Geheimnis kennen zu müssen. 8

9 Abbildung 4: Asymmetrische Verschlüsselung Der Empfänger ist der einzige, der den Schlüssel zum Briefkasten besitzt, sprich die Nachricht entschlüsseln kann. Das Verfahren ist also asymmetrisch, das heißt 1. Das Verschlüsseln geschieht öffentlich, das Entschlüsseln geheim. 2. Der Sender kann die eigene Nachricht nicht entschlüsseln. Dies kann nur der Empfänger. 3. Der Sender muss kein Geheimnis des Empfängers kennen, um zu kommunizieren. Das ganze klingt beim ersten Mal unglaublich, da man denkt, dass derjenige, der verschlüsselt, eigentlich auch entschlüsseln können sollte. Nun, schauen wir uns das ganze wieder im Schema an: Abbildung 5: Asymmetrisches Chiffriersystem Mit dem öffentlichen Schlüssel e des Empfängers (e steht für encryption) wird der Klartext m chiffriert, und es ergibt sich der Geheimtext c = f e (m). Dieser Vorgang ist öffentlich. Das Entschlüsseln findet in einer sicheren Umgebung statt, was wieder durch das längliche Rechteck angedeutet werden soll. 9

10 Die nochmalige Anwendung von f, aber mit dem privaten Schlüssel d (wie decryption), liefert wieder den Klartext: f d (f e (m)) = f d (c) = m. Wir sehen, dass f d die Umkehrfunktion von f e ist. Das Verfahren funktioniert in dieser Form nur dann, wenn f e (m) leicht berechnet werden kann, aber f d (c) für Nichteingeweihte nicht bzw. nur mit astronomisch hohem Zeitbedarf berechnet werden kann. Man nennt solche Funktionen, die in einer Richtung relativ einfach zu berechnen sind, aber rückwärts praktisch nicht, Einwegfunktionen. Ein alltägliches Beispiel für eine Einwegfunktion ist ein Telefonbuch. Es ist einfach, für einen bestimmten Namen die entsprechende Nummer zu finden, aber von der Nummer auf den Namen zu kommen, ist mit einem Telefonbuch schwierig. In unserem Fall sind besondere Einwegfunktionen interessant, nämlich solche, die mit Hilfe einer bestimmten Information (dem privaten Schlüssel) trotzdem einfach umzukehren sind. Es gibt also eine geheime Falltür, durch die man zurückfindet, daher spricht man von Einwegfunktionen mit Falltür. Ein Beispiel: Die leichte Richtung ist das Multiplizieren zweier großer Primzahlen p und q. Das Produkt sei n=pq. Dies ist für einen Computer noch einfach auszurechnen. Doch nun wird es schwierig: Um von n auf die Primfaktoren p und q zu kommen, muss man im Prinzip alle möglichen (Prim-)Zahlen ausprobieren. Natürlich kann das ein Computer für eine Zahl sehr schnell, aber bei Zahlen der Größenordnung von n= muss er alle Zahlen bis zur Wurzel durchprobieren. Selbst bei einer Milliarde Zahlen pro Sekunde ist das immer noch (grob geschätzt) ein Zeitaufwand von (10 50 : 10 9 ) s = s Tage Jahre. Zum Vergleich: Das Alter des Kosmos beträgt nach heutiger Meinung 15 Mrd. Jahre, d.h. 1, Jahre. Wenn man jedoch einen Faktor von n, etwa p kennt, dann ist der zweite Faktor q leicht zu ermitteln. Das ist die Falltür, die den Rückweg darstellt. Ebenso muss beim public-key-verfahren der Empfänger ein Geheimnis kennen, welches das Entschlüsseln erlaubt. Ein bekanntes public-key-verfahren (das RSA-Verfahren) basiert genau auf dem genannten Umstand, dass das Finden der Faktoren einer hinreichend großen Zahl n = pq, mit p,q prim, praktisch unmöglich ist, wenn man nicht einen der Faktoren kennt. Natürlich werden die Computer immer schneller, so dass man bald Zahlen mit 100 Stellen faktorisieren kann, aber dann muss man lediglich die Zahlen z.b. um 50 Stellen erweitern, und der Computer rechnet wieder Äonen. Auf jeden Fall ist das Verfahren nur solange sicher, wie es keine schnellen Algorithmen zum Faktorisieren gibt. Genauso ist das Beispiel mit dem Telefonbuch keine Einwegfunktion mehr, wenn man mit einer CD-ROM den Besitzer einer gegebenen Nummer ermitteln kann. Fassen wir also zusammen: Asymmetrische Verfahren können nie absolut sicher sein, sie funktionieren nur unter der Voraussetzung, dass bestimmte Funktionen nicht in angemessener Zeit umgekehrt werden können. 2. Authentikation Ein weiteres Problem ist neben der Geheimhaltung von Nachrichten die sogenannte Authentifikation oder Authentikation, d.h. ob der angegebene Absender der echte 10

11 ist. Eine weitere Gefahr ist die Manipulation von Nachrichten (z.b. Geldüberweisungen) durch Dritte. Der Empfänger möchte sicher sein, dass 1. die Nachricht unverfälscht bei ihm ankommt und 2. der angegebene Absender der wahre Absender ist. Besonders, wenn es um geschäftliche Transaktionen geht, wie sie im Internet zunehmend praktiziert werden (sollen), werden solche Probleme immer wichtiger. Mit einem public-key-verfahren gibt es folgende Möglichkeit, die Echtheit des Senders zu bestätigen, d.h. den Sender zu authentifizieren: Der Sender verschlüsselt seine Nachricht mit seinem privaten Schlüssel f d, der Empfänger entschlüsselt mit dem öffentlichen Schlüssel f e des Absenders. Im Unterschied zur asymmetrischen Verschlüsselung werden hier die Schlüssel des Senders verwendet. Abbildung 6: Authentikation Diese Nachricht kann also von jedem, der den öffentlichen Schlüssel des Senders kennt, gelesen werden. Aber diesmal ist es sicher, wer der Sender ist. Wir haben hier also so etwas wie eine elektronische Unterschrift. Dies geht übrigens nur unter der Bedingung, dass f d und f e vertauschbar sind. Dann ist es egal, welche Funktion ich zuerst auf den Klartext loslasse: Wenn ich danach die andere anwende, komme ich wieder zum Klartext. Des Weiteren bieten public-key-verfahren die Möglichkeit, eine Nachricht vertraulich und authentifiziert zu versenden. Da jetzt Schlüssel beider Seiten benötigt werden, ändern wir unsere Bezeichnungen: Nennen wir also den Sender A und die Empfängerin B. Das Verschlüsseln mit dem privaten (bzw. öffentlichen) Schlüssel von A geschieht durch die Funktionen D A (bzw. E A ). Genauso gibt es D B und E B. Das ganze sieht dann so aus: Person Privater Schlüssel Öffentlicher Schlüssel A D A E A B D B E B 11

12 A verschlüsselt seine Nachricht zunächst mit seinem privaten Schlüssel D A, dann verschlüsselt er das Ergebnis ein zweites Mal mit dem öffentlichen Schlüssel E B von B und schickt das ganze weg. Diese Nachricht kann nur durch B entschlüsselt werden (ist also geheim), aber B weiß, dass die Nachricht nur von A kommen kann. Was macht B? Sie nimmt zuerst ihren privaten Schlüssel D B und dann den öffentlichen Schlüssel D A von A: Sender Kanal Empfänger m E B (D A (m)) = c E A (D B (c)) =E A (D A (m)) = m 12

13 E. Aufgaben 1 Und Cäsar sprach: SBKF SFAF SFZF. 2 Man knacke den folgenden Geheimtext. Er wurde mit einer Schlüsselwortchiffrierung und einem deutschen Schlüsselwort verfasst. YZBY YZBKJYNGJBO ZB XZY MZHHYBHWNUKI LCA LYGHWNTJYHHYTB LYGVYGOYB JBX LYGNYZATZWNYB 3 Man verschlüssele den folgenden Klartext mit dem Vigenère-Verfahren und dem Schlüsselwort INFORMATIK Klartext Schlüsselwort Geheimtext D I E S E R S A T Z I S T F A L S C H 4 Man stelle sich folgenden Austausch einer geheimen Kiste vor: Der Sender A befestigt ein Vorhängeschloss an die Kiste, das nur er öffnen kann, und schickt die Kiste zu Empfängerin B. Diese macht zusätzlich ihr eigenes Vorhängeschloss daran, für das sie als einzige den Schlüssel hat und schickt alles wieder zu A. Nun entfernt A sein eigenes Schloss und die Fracht wandert wieder zu B. Nun kann B die Kiste öffnen. Dies ist ein Verfahren, bei dem eine Nachricht ohne Kenntnis des Schlüssels des jeweiligen Partners übertragen wird. Übertrage dieses Beispiel auf eine public-key- Übermittlung. Der Sender A habe dabei den privaten (öffentlichen) Schlüssel D A (E A ), für B analog D B (E B ). Welche Funktionen werden jeweils von A und B angewendet? 13

14 F. Literatur Für dieses Dokument verwendete Literatur A. Beutelspacher: Kryptologie. Braunschweig: Vieweg, 1994 A. Beutelspacher/J.Schwenk/K.Wolfenstetter: Moderne Verfahren der Kryptographie: von RSA zu Zero-Knowledge. Braunschweig: Vieweg, 1996 Die beiden Bücher von Beutelspacher sind gute Einführungen mit etwas Mathematik H. Franke: Die geheime Nachricht. Frankfurt: Umschau, 1982 Schwerpunkt ist hier die Geschichte der Kryptologie P. Horster: Kryptographie. BI, 1986 Ein Lehrbuch, dementsprechend etwas technisch. D. Kahn: The Codebreakers. Macmillan, 1967 Dieser Wälzer von Kahn ist der Klassiker zur Geschichte der Kryptographie und - logie (gibt es nur auf Englisch) Weitere Literatur F.L. Bauer: Entzifferte Geheimnisse. Berlin: Springer, 1997 Ein umfassendes Lehrbuch J.Buchmann: Einführung in die Kryptographie. Berlin: Springer, 1999 W.Fumy/H.Rieß: Kryptographie : Entwurf, Einsatz und Analyse symmetrischer Kryptoverfahren. München: Oldenbourg,1994 R. Kippenhahn: Verschlüsselte Botschaften. Reinbek: Rowohlt, 1997 Geschichtlicher Überblick und moderne Aspekte. B.Schneier: Angewandte Kryptographie: Protokolle, Algorithmen und Quellcode in C. Bonn: Addison-Wesley, 1996 S.Singh: Geheime Botschaften. Die Kunst der Verschlüsselung von der Antike bis in Zeiten des Internets. München, Wien: Hanser, 2000 Gut geschriebenes Sachbuch über den Einfluss der Kryptographie auf die Weltgeschichte. R.Smith: Internet-Kryptographie. Bonn: Addison-Wesley, 1998 Für Internet-Spezialisten. R.Wobst: Abenteuer Kryptologie. Bonn: Addison-Wesley, 1998 Dieses Buch befasst sich aus der Sicht der Informatik mit dem Thema. Als Zugabe gibt es eine CD-ROM. 14

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