10. Spezielle Relativitätstheorie

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Jutta Kranz
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1 10. Spezielle Relativitätstheorie Die Masse eines Teilchens ist abhängig von seiner Geschwindigkeit. m = m = γ m γ = 1, 1 v c 0 = 1 1 β 1 m 0 v β = c v c c: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum mo: Ruhemasse Experimenteller Nachweis der relativistischen Massenabhängigkeit Zur Geschichte: Walter Kaufmann ( ) führte Messungen der Geschwindigkeit und der Spezifischen Ladung an Betastrahlen von Radium, sehr schnellen Elektronen, durch entdeckte er die gesuchte Abhängigkeit zwischen der Masse und der Geschwindigkeit eines Elektrons gelang ihm schließlich der Nachweis, dass die Funktion m(v) die von Einstein abgeleitete Form hat bestätigte Bucherer die Ergebnisse von Kaufmann. Anordnung des Versuchs von Bucherer (schematisch): (siehe S.73/B3) In der Mitte eines Plattenkondensators (Betrag der elektrischen Feldstärke: E) befindet sich ein radioaktives Präparat P das Elektronen unterschiedlicher Geschwindigkeiten aussendet. Der Kondensator ist ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte B eingebettet. Nur Elektronen d mit einer bestimmten Geschwindigkeit können das Wienfilter (Geschwindigkeitsfilter) verlassen und gelangen in des Magnetfeld hinter dem Kondensator. Dort treffen sie nach Durchlaufen eines Teils einer Kreisbahn im Punkt C auf einen Registrierschirm. Polt man bei unveränderten Beträgen E und B das elektrische und magnetische Feld um, so gelangen sie in D auf den Schirm. Aus dem Abstand d der beiden Auftreffpunkte und dem Abstand s des Schirms vom Plattenkondensator lässt sich der Kreisbahnradius r bestimmen. Die magnetische Ablenkung der Elektronen ermöglicht es, die spezifische Ladung e/m der Elektronen zu bestimmen. F m = F z => e/m= E/B²r Die Elementarladung ist von der Geschwindigkeit unabhängig!

(1871-1947) führte Messungen der Geschwindigkeit und der Spezifischen Ladung an Betastrahlen von Radium, sehr schnellen Elektronen, durch.

2 Zur Auswertung des Versuchs: (siehe S. 73/ B4) Nach dem Höhensatz lässt sich r aus dem Abstand von C zu D = d berechnen. r = s²/d! e/m = Ed/B²s²! m = eb²s²/ed Die Messwerte von Bucherer haben somit die Gleichung von Einstein (*) bestätigt. Aufgabenbeispiel: Elektronen einheitlicher Geschwindigkeit bilden einen Strahl, der in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte 67 mt zu einem Kreis gekrümmt wird. Die Geschwindigkeit der Elektronen ist so groß, dass ihre spezifische Ladung nur die Hälfte des spezifischen Ladung langsamer Elektronen beträgt. a) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Elektronen? b) Wie große ist der Radius des Kreises im Magnetfeld? Lösung: Zu a) Aus e/m = 0,5 e/m 0 folgt: m = m 0 Aus m = m 0 / (1-v²/c²) 0,5 ergibt sich damit: (1-v²/c²) 0,5 = 1 4c² - 4v² = c² 4v² = 3c² v = (-) c/ 3 = ( 3, ms -1 /) 3 =, ms -1 Die Geschwindigkeit der Elektronen ist, ms -1. Zu b) Aus evb = mv²/ r folgt: r = mv/ eb = v/ (e/m B) r = 1, ms -1 / 0,5 1, Ckg T = 4, m = 4,4 cm Der Radius des Kreises ist 4,4 cm.

Aufgabenbeispiel: Elektronen einheitlicher Geschwindigkeit bilden einen Strahl, der in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte 67 mt zu einem Kreis gekrümmt wird.

3 Relativistische Energie Überlegung 1: Beschleunigt man einem ruhenden Körper, so nimmt seine Energie zu (E 0 + E k(in) ). Überlegung : Nach Einstein nimmt dadurch auch die Masse des Körpers zu. Aus folgt: Die klassische Formel für E k(in) ist nur eine Näherung, die für sehr große Geschwindigkeiten falsch ist. Aus 1 folgt: Vor der Beschleunigung:E = E 0 Nach der Beschleunigung: E = E 0 + E = E 0 + E k Daraus folgt: E k = E E 0 = m c² m 0 c² = (m m 0 ) c² Mit m= γ m 0 E k = (γ 1)m 0 c² = (γ 1)E 0 Wenn man nun m(v) nach c² auflöst und in E k = (m m 0 )c² einsetzt erhält man: m(v) = m 0 ( 1 v²/c²) -1/ ; m 0 ² = m² m² v²/c²; 1/c² = m² m 0 ²/ m² v² c² = (v² m²)/ (m² m 0 ²) in E k eingesetzt: E k = (m m 0 ) (v² m²)/ (m² m 0 ²) =(v² m²)/ (m + m 0 ) = (v² m²)/ [m (1 + 1 v²/c² )] = mv²/ (1 + 1 v²/c²) Die Energie nimmt unabhängig von der relativistischen Massenzunahme und der Geschwindigkeitszunahme noch relativistisch zu = m 0 v²/(1 v²/c² + 1 v²/c² ) E k nimmt unabhängig von der relativistischen Massenzunahme und der Geschwindigkeitszunahme selbst noch zu.(bis zu 00%) Für v < 0,1c; v²/c² 0 Der Nenner wird und es entsteht die klassische Formel: E k = ½ m 0 v² Kontrolle: Für v c; E k E E k = mc²/(1 + 1 c²/c²) = mc² = E

Aus 1 folgt: Vor der Beschleunigung:E = E 0 Nach der Beschleunigung: E = E 0 + E = E 0 + E k Daraus folgt: E k = E E 0 = m c² m 0 c² = (m m 0 ) c² Mit m= γ m 0 E k = (γ 1)m 0 c² = (γ 1)E 0 Wenn man

4 Aufgabe;Physik1 (S.75/3) 3. geg.: a = 4cm; Eintrittswinkel(EW) =45 o = ά; Austrittswinkel(AW) = 90 o = γ; β = 180 o ά γ = 45 o a) Es muß aus der Zeichenebene hinaus gehen.(u-v-w Regel) b) Mittelpunkt des Kreises = Schnittpunkt vom Lot auf die Tangente im Eintrittspunkt und imaustrittspunkt. ά = β = 45 o ; gleichschenkliges Dreieck r = a /cos 45 o = 5,7 x = r a =1,7 c) geg.: v 1 = 0,05c; v = 0,8c;m e =9, kg ges.: B 1 ; B (m v²)/r = e v B; m 1 = m e ; m = γ m e ; γ = (1 v²/c²) 1/ = 5/3 B 1 = m e v 1 / e r = 9, kg 0, m/s 1, C 0,057 m = 1,5 mt B = γ m e v / e r = 5/3 9, kg 0, m/s 1, C 0,057 m = 40 mt d) B = m / e v / r B e / m = v / r; v= konst.;r=konst. Bei n-facher e/m ;1/n fache B e) aus d) folgt: n e/m e = Q ά /m ά ; n = (Q ά /m ά ) / (e/m e ) n = (4, C /kg ) / (1, C/kg) n =, Abituraufgaben zum Themenkreis (S.8/83) Statische elektrische und magnetische Felder 1 ) a)geg.: U= 80kV= 80000V; v o =, m/s; d= 1cm= 0,1m; ges.:x ½ m v² = E e x x= (m v²) / e E = 9, kg (, m/s)² 1, C m/s² = 0,17cm b) ½ m v² = ½ m v o ² + (U/d) e d/ v = (v o ² + U e / m) 1/ = [(, m/s)²+ (80000V 1, C/kg)] 1/ = 1, m/s v > 0,1c Die relativistische Massenzunahme muss berücksichtigt werden. Die Geschwindigkeit wird geringer werden.

ά = β = 45 o ; gleichschenkliges Dreieck r = a /cos 45 o = 5,7 x = r a =1,7 c) geg.: v 1 = 0,05c; v = 0,8c;m e =9,1096 10-31 kg ges.

5 c) x(t) = v x t = ( Q U o /m) 1/ t t = x(t) / ( Q U o /m) 1/ y(t) = ½ a y t² = ½ Q/m U/d t² y(x) =( ½ Q/m U/d x²) /( Q U o /m) = (Q U m x²)/(4 m d Q U o ) = 1/4 U/ U o x²/d y(l) = 1/4 U/ U o l²/d Der Versuch eignet sich nicht zur Bestimmung von Q/m da y(l) unabhängig von Q/m d) geg.: B= 0,00 T; v = 3, m/s ;r= 8,0cm =0,8m; u =1, kg ges.: m Das B-Feld muss entweder aus der Zeichenebene hinaus oder hinein gehen.(u-v-m-regel). Begründung siehe Buch S.6. F m =F r e v B = m v² /r m = e B r / v = 1, C 0,00 T 0,8m / 3, m/s =, kg m/u = 14, Es wurden N + - Ionen beschleunigt. 3. a)geg.: v = 1, m/s ges.: U E kin =E p ½ m v²= e U U = (½ m v²)/ e = 9, kg (1, m/s)² 1, C = 84 V b) geg.: B= 0,50mT= 0,0005T α) Die Lorentzkraft wirkt immer senkrecht zu v nur Richtungsänderung von v β) ges.: r; ω F m =F r e v B = m v² /r r = m v / (e B) = 9, kg 1, m/s 1, C 0,0005T = 0,1137m = 11,4cm ω = v/r = 1, m/s / 0,1137m = 8, /s ω t 360 o / π = 60,47 o (Kreiswinkel) Wenn man die Strecke zwichen dem Austrittspunkt und dem Mittelpunkt verlängert ergibt sich ein Dreieck. 180 o = 90 o + α + (90 o -60,47 o ); α =60,47 o c) α)die Kondensatorenplatten müssen oben positiv und unten negativ geladen sein F m =F e E = v B = 1, m/s 0,0005T = 5000 N / C

: m Das B-Feld muss entweder aus der Zeichenebene hinaus oder hinein gehen.(u-v-m-regel). Begründung siehe Buch S.6.

6 β)aus e v B =e E folgt: Die Lorentzkraft ist abhängig von v Elektronen mit größerer/kleinerer Geschwindigkeit würden nach unten/oben abgelenkt

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