Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik

Transkript

1

2 Kapitel 12 Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik 12.1 Zahlensysteme Die Darstellung von Zahlen (ganz allgemein von Daten) basieren auf sogenannten Zahlensystemen. Diese wiederum nutzen Zeichen eines sogenannten Alphabets zu ihrer Darstellung. Ist b > 1 eine beliebige natürliche Zahl, so heißt die Menge Σ b := {0,1,...,b 1} das Alphabet des b-adischen Zahlensystems. Beispiel Dem Dezimalsystem liegt das Alphabet Σ 10 = {0,1,2,...,9} zugrunde. Worte über diesem Alphabet sind etwa 123, 734, Feste Wortlänge, etwa n = 4, erreicht man durch führende Nullen : 0123, 0734, Σ 2 = {0,1}: Dual- oder Binäralphabet Σ 8 = {0,1,2,3,4,5,6,7}: Oktalalphabet Σ 16 = {0,...,9,A,...,F}: Hexadezimalalphabet Man beachte, dass Σ 16 streng genommen das Alphabet {0,...,15} bezeichnet; anstelle der Ziffern 10, 11 usw. werden jedoch generell, d. h. in allen Alphabeten Σ b mit b > 9, neue Symbole A,B usw. (hier also A,...,F) verwendet. Diese Basen b = 2,8 bzw. 16 spielen in der Informatik eine besondere Rolle. 3. Alte Basen sind b = 12 (Dutzend) und b = 60 (Zeitrechnung). Natürliche Zahlen können in jedem b-adischen Zahlensystem dargestellt werden: Version vom 30. Dezember

3 298 KAPITEL 12. ZAHLENDARSTELLUNGEN UND RECHNERARITHMETIK Satz 12.1 (b-adische Darstellung natürlicher Zahlen) Sei b N mit b > 1. Dann ist jede natürliche Zahl z mit 0 z b n 1 (und n N) eindeutig als Wort der Länge n über Σ b darstellbar durch n 1 z = i=0 mit z i Σ b für i = 0,...,n 1. Als vereinfachende Schreibweise ist dabei auch folgendes üblich ( Ziffernschreibweise ) z = (z n 1 z n 2...z 1 z 0 ) b. z i b i Beweis: Der Beweis erfolgt durch Induktion nach z. Induktionsanfang: z < b hat eine eindeutige Darstellung mit z 0 = z und z i = 0 sonst. Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung sei richtig für alle Zahlen 0,1,...,z 1. Schluss auf z b: Es ist z = (z div b) b + (z mod b). Da z := z div b < z ist, hat z nach Induktionsvoraussetzung die (eindeutige) Darstellung z = (z n 1z n 2...z 1z 0) mit z n 1 = 0, da z b z b n 1. Also ist (z n 1,...,z 0 ) mit z n 1 := z n 2, z n 2 := z n 3,...,z 1 := z 0 und z 0 := z mod b eine n-stellige Darstellung von z in Σ b. Angenommen, es gibt zwei verschiedene solche Darstellungen von z, etwa z = (z 1 n 1,...,z 1 0) b = (z 2 n 1,...,z 2 0) b. Sei dann l der größte Index mit z 1 l z2 l, o. B. d. A. z1 l > z2 l. Dann müssen die niedrigwertigen Stellen z 2 l 1,...,z2 0 eine Einheit der höherwertigen Stelle l wettmachen. Nun hat aber der größte durch niedrigwertige Stellen erreichbare Wert die Form (b 1)b 0 + (b 1)b (b 1)b l 1 = (b 1)(b 0 + b b l 1 ) = (b 1) bl 1 b 1 = bl 1 < b l. Da 1 b l gerade eine Einheit der höherwertigen Stelle l ist, kann diese Einheit nicht wettgemacht werden. Also ergibt sich ein Widerspruch, d. h. beide Darstellungen müssen gleich sein. Aus dem Beweis erhält man direkt einen Algorithmus zur Umwandlung in die b-adische Darstellung: Algorithmus 12.1 for i := 0 to n 1 do z i := 0; i := 0; while z > 0 do

4 12.1. ZAHLENSYSTEME 299 begin z i := z mod b; z := z div b; i := i + 1; end Als Beispiel betrachten wir die Umwandlung von z = (364) 10 in eine Oktalzahl: 364 = = = z = (554) 8 Voraussetzung dieser Umwandlung ist also, dass die mod und div Operation im Ausgangszahlensystem implementiert ist. Die Umkehrung b-adisch nach dezimal ist einfach und folgt dem Horner-Schema für die Multiplikation von Polynomen: Algorithmus 12.2 z := 0 for i := n 1 downto 0 do z := z b + z i So ergibt (0554) 8 den Dezimalwert (( ) 8 + 5) = 364. Korollar 12.1 (Dualdarstellung natürlicher Zahlen) Sei n N. Dann ist jede natürliche Zahl z mit 0 z 2 n 1 eindeutig darstellbar in der Form mit z i Σ 2 = {0,1} (i = 0,...,n 1). n 1 z = i=0 z i 2 i So ist zum Beispiel (364) 10 = ( ) 2. Zwischen Σ 2,Σ 8 und Σ 16 bestehen besonders einfache Umwandlungsalgorithmen. Dies liegt daran, dass eine Ziffer z i Σ 8 bzw. Σ 16 gerade in Σ 2 durch Wörter der Länge 3 bzw. 4 dargestellt werden kann. Man kann daher die Umwandlungen Σ 2 Σ 8 und Σ 2 Σ 16 ziffernweise vornehmen. Ein Beispiel ist: (364) 10 = ( ) 2 = ( }{{} 101 }{{} 101 }{{} 100 ) 2 = (554) 8 = (0001 }{{} 0110 }{{} 1100 }{{} ) 2 = (16C) 16 (5) 8 (5) 8 (4) 8 (1) 16 (6) 16 (12) 16 b-adische Zahlensysteme sind jedoch nicht die einzige Möglichkeit zur Zahlendarstellung, wie folgender Satz zeigt.

5 300 KAPITEL 12. ZAHLENDARSTELLUNGEN UND RECHNERARITHMETIK Satz 12.2 (Polyadische Darstellung natürlicher Zahlen) Es sei (b n ) n N eine Folge natürlicher Zahlen mit b n > 1 für alle n N. Dann gibt es für jede natürliche Zahl z genau eine Darstellung der Form z = N i 1 z i i=0 j=0 mit 0 z i < b i für i = 0,...,N. b j = z 0 + z 1 b 0 + z 2 b 1 b z N b N 1... b 0 Beweis: Übung. Nimmt man als Folge der Zahlen (b n ) n N etwa die Primzahlen 2,3,5,..., so hat 364 die Darstellung (1,5,0,2,0), da 364 = 0 (1) + 2 (2) + 0 (2 3) + 5 (2 3 5) + 1 ( ) Darstellung ganzer Zahlen im Rechner Die Vorzeichen-Betrag Darstellung Dies ist die im Alltag verwendete Darstellung. Hat man Wörter der Länge n (n Bit) zur Darstellung zur Verfügung, wird das linkeste Bit für das Vorzeichen verwendet (0 = +, 1 = ), und die restlichen Bits für den Betrag der Zahl. Bei n = 3 lassen sich also die in Tabelle 12.1 angegebenen Zahlen darstellen. Da die 0 zwei Darstellungen hat, können so 2 n 1 Zahlen dargestellt werden. Tabelle 12.1: 3-stellige Dualzahlen in Vorzeichen-Betrag Darstellung. Bitmuster Dezimalwert Diese natürliche Darstellung ist auf Rechnern völlig unüblich. Der Grund liegt darin, dass hardwaremäßig nur Addierwerke (plus Zusatzlogik) verwendet werden. Daher verwendet man Darstellungen, in denen die Subtraktion sehr einfach auf die Addition zurückgeführt werden kann. Dies ist bei der Vorzeichen-Betrag Darstellung nicht der Fall. Wir haben daher in der Schule alle für die Addition und Subtraktion verschiedene Algorithmen gelernt.

6 12.2. DARSTELLUNG GANZER ZAHLEN IM RECHNER Komplement-Darstellungen Komplement-Darstellungen erlauben eine einfache Rückführung der Subtraktion auf die Addition. Sei x = (x n 1,...,x 0 ) b eine n-stellige b-adische Zahl. Das (b 1)-Komplement K b 1 (x) von x erhält man, indem man stellenweise das Komplement (b 1) x i zu x i bildet. Beispiel: K 9 ((325) 10 ) = (674) 10 K 1 ((10110) 2 ) = (01001) 2 Das b-komplement von x erhält man, indem man das K b 1 -Komplement bildet und 1 dazu addiert, d. h. K b (x) = K b 1 (x) + 1. Beispiel: K 10 ((325) 10 ) = (674) 10 + (1) 10 = (675) 10 K 2 ((10110) 2 ) = (01001) 2 + (1) 2 = (01010) 2 Speziell im Dualsystem nennt man K b 1 = K 1 das Einerkomplement und K b = K 2 das Zweierkomplement, im Dezimalsystem spricht man bei K b 1 = K 9 vom Neunerkomplement und bei K b = K 10 vom Zehnerkomplement. Offenbar gilt: Lemma 12.1 Für jede n-stellige b-adische Zahl x gilt: a) x + K b (x) = b n, b) x + K b 1 (x) = b n 1 = (b 1,b 1,...,b 1) b, c) K b 1 (K b 1 (x)) = x, K b (K b (x)) = x. Beweis: Nach Definition des (b 1)-Komplements ist x + K b 1 (x) = (b 1,b 1,...,b 1) b = n 1 i=0 (b 1)b i = (b 1) = (b 1) bn 1 b 1 = bn 1. Also gilt b). a) folgt aus K b (x) = K b 1 (x) + 1. c) folgt aus a) und b). n 1 i=0 b i Aussage a) bedeutet anschaulich, dass sich das b-komplement von x bei n Stellen stets als Differenz von x zu b n ergibt. Im Dezimalsystem mit n = 3 Stellen ergibt sich so für x = 374 K 10 (x) = = 626.

7 302 KAPITEL 12. ZAHLENDARSTELLUNGEN UND RECHNERARITHMETIK Komplemente lassen sich nun wie folgt zur Darstellung ganzer Zahlen verwenden. Wir betrachten zunächst das meistens verwendete Zweierkomplement (bzw. allgemein das b-komplement). Sei n die zur Verfügung stehende Wortlänge. Im b-komplement werden die b n Zahlen x mit bn 2 x bn 2 1 dargestellt. Dieser Bereich heißt der darstellbare Bereich. Zahlen aus diesem Bereich werden wie folgt dargestellt: nicht-negative Zahlen durch ihre b-adische Darstellung, negative Zahlen x durch das b-komplement ihres Betrages x. Bezeichnen wir mit (x) Kb = (x n 1,...,x 0 ) Kb = die Ziffern von x in der b-komplement-darstellung, so gilt also: { (x)b falls x 0, (x) Kb = (12.1) (K b ( x )) b falls x < 0. Man beachte, dass man das Vorzeichen der in b-komplement-darstellung gegebenen Zahl x an der Ziffer x n 1 ablesen kann. Wir betrachten einige Beispiele: 1. Dezimalsystem, n = 2. Der darstellbare Bereich ist 50 x 49. Konkrete Darstellungen sind: Zahl Darstellung Dualsystem, n = 3. Der darstellbare Bereich ist in Tabelle 12.2 angegeben. Tabelle 12.2: 3-stellige Dualzahlen in Zweier-Komplement-Darstellung. Bitmuster Dezimalwert Man beachte die Darstellung von x = 4. x hat das Bitmuster (100) 2. Daraus ergibt sich K 2 ((100) 2 ) = K 1 ((100) 2 ) + (1) 2 = (011) 2 + (1) 2 = (100) 2.

8 12.2. DARSTELLUNG GANZER ZAHLEN IM RECHNER 303 Wir betrachten jetzt die Addition von Zahlen in dieser Darstellung. Dazu bezeichne (x) Kb (y) Kb die ziffernweise Addition der Darstellungen von x und y, wobei ein eventueller Übertrag auf die n + 1-Stelle zwar zur Interpretation des Ergebnisses genutzt werden kann, aber in der Darstellung des Ergebnisses verloren geht. Man rechnet also modulo b n. Satz 12.3 Seien x, y n-stellige Zahlen in b-komplement-darstellung, und sei x + y im darstellbaren Bereich. Dann gilt: x + y = (x) Kb (y) Kb. Beweis: Sind x,y 0, so ist (x) Kb (y) Kb = (x) b + (y) b mod b n = x + y mod b n. Ein Übertrag an der höchsten Stelle entspricht im Binärsystem einem Verlassen des darstellbaren Bereiches (Überlauf ). Sind x,y < 0 so ist nach Definition und Lemma 12.1 (x) Kb (y) Kb = (K b ( x )) b + (K b ( y )) b mod b n = K b ( x ) + K b ( y ) mod b n = b n x + b n y mod b n = ( x + y ) mod b n = x + y. Ist x 0 und y < 0, so ist entsprechend (x) Kb (y) Kb = (x) b + (K b ( y )) b mod b n = x + K b ( y ) mod b n = x + b n y mod b n = x y = x + y. Betrachten wir einige Beispiele im 2-stelligen Dezimalsystem. Dann ist n = 2 und 50 x 49 der Bereich der darstellbaren Zahlen. Es folgt: = (27) K10 (12) K10 = (39) K10 = ( 15) = (27) K10 (85) K10 = (12) K10 = ( 34) = (27) K10 (66) K10 = (93) K10 = 7 ( 27) + ( 21) = (73) K10 (79) K10 = (52) K10 = 48 Die Rückführung der Subtraktion auf die Addition beruht dann einfach auf der Gleichung x y = x + ( y): Satz 12.4 Seien x, y n-stellige Zahlen in b-komplement-darstellung, und sei x y im darstellbaren Bereich. Dann gilt: x y = (x) Kb (K b (y)) Kb.

9 304 KAPITEL 12. ZAHLENDARSTELLUNGEN UND RECHNERARITHMETIK Beweis: Nach Lemma 12.1 ist y + K b (y) = b n. Also ist y = K b (y) b n. Daraus folgt wegen der modulo b n Rechnung: ( y) Kb = (K b (y)) Kb. Also ist x y = x + ( y) = (x) Kb ( y) Kb = (x) Kb (K b (y)) Kb. Betrachten wir wieder einige Beispiele im 2-stelligen Dezimalsystem = (37) K10 (K 10 (28)) K10 = (37) K10 (72) K10 = (9) K10 = = (37) K10 (K 10 (48)) K10 = (37) K10 (52) K10 = (89) K10 = = (88) K10 (K 10 (24)) K10 = (88) K10 (76) K10 = (64) K10 = 36 Dies beweist die Rückführung der Subtraktion auf die Addition. Natürlich muss dabei (wie bereits bei der Addition) ein eventueller Überlauf bzw. Unterlauf (Verlassen des dargestellten Bereiches) durch den Rechner oder durch den Programmierer abgefangen werden. Geschieht dies nicht, so werden die entstehenden Bitmuster als Zahlen aus dem dargestellten Bereich interpretiert, was zu völlig falschen Ergebnissen führt. So ist z. B. bei n-stelliger Dualzahlarithmetik die größte darstellbare Zahl x max = ( ) 2, und x max + 1 erzeugt das Bitmuster ( ), was als 2 n interpretiert wird. Die darstellbaren Zahlen kann man sich beim b-komplement ringförmig angeordnet vorstellen, wobei die größte positive und kleinste negative Zahl benachbart sind. Für b = 2 und n = 3 ergibt sich der in Abbildung 12.1 dargestellte Ring. 1 Durchläuft man den Ring im Uhrzeigersinn, so ergibt sich die jeweils nächste Zahl durch Addition von 1 (und Weglassen des Übertrags beim Übergang von 111 zu 000), umgekehrt entspricht die Subtraktion von jeweils 1 dem Durchlauf entgegen dem Uhrzeigersinn. In dieser Interpretation sind die Überlauffehler ganz natürlich erklärbar. Sie werden auch durch die gängigen Java Laufzeitumgebungen nicht abgefangen Darstellung reeller Zahlen Bei der Darstellung von reellen Zahlen unterscheidet man zwei Möglichkeiten, Festkommadarstellung (fixed point representation) und Gleitkommadarstellung (floating point representation). 1 Der genaue mathematische Hintergrund hierfür wird in der Algebra geliefert. Der Bereich 2 n 1 x 2 n 1 1 bildet einen sogenannten Restklassenring modulo 2 n 1.

10 12.3. DARSTELLUNG REELLER ZAHLEN DARSTELLUNG REELLER ZAHLEN Abbildung 12.1: Ringdarstellung der Binärzahlen im Zweierkomplement. Abbildung 12.1: Ringdarstellung der Binärzahlen im Zweierkomplement Darstellung reeller Zahlen Festkommazahlen Bei der Darstellung von reellen Zahlen unterscheidet man zwei Möglichkeiten, Festkommadarstellung der Festkommadarstellung (fixed point representation) wird bei vorgegebener und Gleitkommadarstellung Stellenzahl n eine (floating feste Stelle pointals represen- erste Nach- Bei kommastelle tation). vereinbart. Festkommazahlen im b-adischen System haben also die Darstellung x = (x k 1 x k 2 x 0.y 1 y 2 y n k ) b Festkommazahlen mit k Vorkomma- und n k Nachkommastellen. Der Zahlenwert von x ergibt sich zu Bei der Festkommadarstellung wird bei vorgegebener Stellenzahl n eine feste Stelle als erste k 1 Nachkommastelle vereinbart. Festkommazahlen x = im b-adischen System haben also die Darstellung x i b i n k + y j b j. i=0 j=1 x = (x k 1 x k 2 x 0.y 1 y 2 y n k ) b Beispiele sind: mit k Vorkomma- und n k Nachkommastellen. Der Zahlenwert von x ergibt sich zu Beispiele sind: ( ) 10 = 271,314 k 1 n k ( ) x = x i y j b j 2 = i=0 j=1 = = 5,375 Für manche Anwendungen ( ) 10 reicht = 271, es völlig 314 aus, mit Festkommazahlen zu rechnen, z. B. bei ökonomischen Anwendungen (EURO ( ) Beträge). 2 = In 1 diesen Bereichen eingesetzte Programmiersprachen wie COBOL stellen daher reelle Zahlen als Festkommazahlen = dar. = 5, Im Gegensatz zur Darstellung von ganzen Zahlen können bereits bei der Konvertierung von Dezimalzahlen Für manche in b-adische Anwendungen Zahlensysteme reichtmit es völlig b 10aus, Probleme mit Festkommazahlen auftreten. So istzu etwa rechnen, die Dezimalzahl z. B. bei 0,8 alsökonomischen binäre Festkommazahl Anwendungen nur unendlich-periodisch (DM Beträge). In diesen als Bereichen eingesetzte Programmiersprachen wie COBOL stellen daher reelle Zahlen als Festkommazahlen dar = darstellbar.

11 306 KAPITEL 12. ZAHLENDARSTELLUNGEN UND RECHNERARITHMETIK Der große Nachteil der Festkommazahlen besteht jedoch darin, dass (wie auch bei ganzen Zahlen) der Bereich der darstellbaren Zahlen nach oben und unten stark beschränkt ist, und die Genauigkeit (der Abstand zwischen zwei benachbarten Zahlen) überall gleich ist. Dies führt zu großen Ungenauigkeiten bei wissenschaftlichen Rechnungen. Liegt etwa ein Rechenergebnis x zwischen der kleinsten (z 1 ) und der zweitkleinsten (z 2 ) positiven darstellbaren Zahl (etwa x = z 2 z 1 2 ), so muss x zur internen Darstellung auf eine der beiden Zahlen z 1,z 2 gerundet werden. Der dabei entstehende relative Fehler ist (bei Rundung auf z 1 ) x z 1 x = 1 2 z z = 1 1 3, also ungefähr 33%. Dies ist für wissenschaftlich-numerische Rechnungen völlig inakzeptabel. Aus diesem Grunde verwendet man für solche Rechnungen die Gleitkommadarstellung Gleitkommazahlen Gleitkommazahlen haben die Form z = ±m b ±e. Dabei heißt m Mantisse und e Exponent, b ist die Basis für den Exponenten. Die Basis der Mantisse kann dabei von der Basis b des Exponenten verschieden sein. 2 Wir werden hier jedoch die gleiche Basis b voraussetzen. Beispiele sind: 213,78 = , = = ( ) 2 = Die Beispiele zeigen, dass die Gleitkommadarstellung nicht eindeutig ist, da ein Austausch zwischen Vorkommastellen und Exponent möglich ist. Um Eindeutigkeit für die rechnerinterne Darstellung zu bekommen, verwendet man die normalisierte Gleitkommadarstellung. Diese verlangt eine Mantisse der Form m = 0.m 1 m 2 m t mit m 1 0, oder, äquivalent dazu 1 m 1 < b. Bei der rechnerinternen Darstellung muss festgelegt werden, wieviele Stellen für die Mantisse, und wieviele für den Exponenten zur Verfügung stehen. Dies resultiert in die Menge F der auf dem Rechner darstellbaren Maschinenzahlen. Wir kennzeichnen F durch F = F(b,t,e min,e max ), 2 Oft wird für die Mantisse die Basis 2 und für b eine Potenz von 2 gewählt, z. B. 2 6 = 64.

12 12.3. DARSTELLUNG REELLER ZAHLEN 307 wobei b die Basis (von Mantisse und Exponent), t die Anzahl der Stellen der Nachkommastellen der Mantisse und e min e e max der Bereich des Exponenten ist. Es sind dann alle Zahlen x der Form darstellbar. x = ±.m 1...m t b e mit e min e e max Beispiel 12.2 Für F = F(2, 3, 1, 1) ergeben sich folgende nichtnegative Zahlen, der Größe nach geordnet = 0 = = (1/2) 1/2 = 4/ = (1/2 + 1/8) 1/2 = 5/ = (1/2 + 1/4) 1/2 = 6/ = (1/2 + 1/4 + 1/8) 1/2 = 7/ = (1/2) 1 = 8/ = (1/2 + 1/8) 1 = 10/ = (1/2 + 1/4) 1 = 12/ = (1/2 + 1/4 + 1/8) 1 = 14/ = (1/2) 2 = 16/ = (1/2 + 1/8) 2 = 20/ = (1/2 + 1/4) 2 = 24/ = (1/2 + 1/4 + 1/8) 2 = 28/16 Auf der Zahlengeraden ergibt sich die in Abbildung 12.2 dargestellte Verteilung Abbildung 12.2: Nichtnegative Gleitkommazahlen aus F(2,3, 1,1). Man sieht, dass der Abstand zwischen benachbarten Zahlen mit der Größe der Zahlen wächst. Ferner erkennt man eine relativ große Lücke zwischen der 0 und der kleinsten positiven Zahl p min. Sie ergibt sich aus der Normalisierungsbedingung und ist deutlich größer als der Abstand zur zweitgrößten positiven Zahl. Der Grund dafür ist die erwünschte Kontrolle des Rundungsfehlers, der dadurch entsteht, dass Nicht- Maschinenzahlen durch Maschinenzahlen dargestellt werden müssen. Solche Fehler entstehen durch Konvertierung (Eingabe einer Nicht-Maschinenzahl, z. B. x = (1.2) = 5/4) oder durch Rundung von Zwischenergebnissen auf eine Maschinenzahl (z. B = 1+3/8 3/2 = ). Der dabei entstehende Fehler wird im nächsten Abschnitt analysiert. Da bei der Basis b = 2 das erste Bit der Mantisse wegen der Normalisierungsbedingung eindeutig festliegt (m 1 = 1), wird es oft nicht explizit dargestellt (hidden bit). In diesem Fall werden die t Mantissenbits zur Darstellung von m 2...m t+1 genutzt, d. h. man erreicht eine höhere Genauigkeit. Allerdings muss dann die Null besonders dargestellt werden, z. B. als Mantisse 0 mit Exponent e min 1.

13 308 KAPITEL 12. ZAHLENDARSTELLUNGEN UND RECHNERARITHMETIK Zur Darstellung der Exponenten verwendet man oft die Exzess- oder Bias-Darstellung. Die Exponenten werden dabei durch Addition des Exzesses e min + 1 in den Bereich 1...e min + e max + 1 transformiert. Dies erleichtert den Vergleich von Exponenten. Als konkretes Beispiel betrachten wir die Darstellung von double Zahlen in Java. Sie folgt dem sogenannten IEEE 754 Standard 3, der sich als de facto Standard für numerische Rechnungen durchgesetzt hat. Für die gesamte Zahl stehen 64 Bit zur Verfügung, davon 52 für die Mantisse (in hidden bit Darstellung), 11 für den Exponenten und 1 für das Vorzeichen. Die Basis für Mantisse und Exponent ist 2. Mantissen werden in der Form m 1.m 2...m t+1 (dem sogenannten significand) dargestellt, wobei m 1 als hidden bit den Wert 1 hat. Der Bereich für die Exponenten ergibt sich durch e min = 1022 und e max = Auf den 11 Bit für den Exponenten e wird gemäß der Exzess-Darstellung der Wert e = e + e min + 1 dargestellt, so dass sich der wirkliche Exponent als e = e 1023 ergibt. Die Zahl 0 wird dann durch das Bitmuster repräsentiert, also durch die Zahl e min 1. Ein positiver Überlauf (POSITIVE INFINITY) erzeugt beim Exponenten das Bitmuster , entspricht also Entsprechend stellt das Bitmuster im Exponenten mit einem positiven Signifikanden einen Underflow dar (kleiner als die kleinste darstellbare normalisierte Zahl) 4. Als maximale darstellbare Zahl ergibt sich somit , und als kleinste (normalisierte) darstellbare positive Zahl Die Bitmuster von double Zahlen lassen sich mit der Methode public static native long doubletolongbits( double value ) der Klasse Double erzeugen und (bis auf führende Nullen) mit der Methode String tobinarystring( long y ) darstellen. Als konkretes Beispiel ergibt sich die genaue Belegung der Bits für die Zahl 10 zu Significand 1.25 {}}{ { }} { } {{ } Exponent 3= Vorzeichen + Entsprechend ergibt sich für die Zahl 0.8 das (gerundete) Bitmuster Significand {}}{ { }} { 1 } {{ } Exponent 1= Vorzeichen 3 IEEE (vgl. steht für The Institute of Electrical and Electronic Engineers, das als überkuppelndes Organ für viele Vereine für unterschiedliche Ingenieurwissenschaften fungiert. 4 Hier werden im IEEE Standard noch weitere Unterscheidungen getroffen (denormalized), die in Java jedoch alle zum Wert NaN (not a number) führen. Dadurch sind die Möglichkeiten für adäquate numerische Abhilfen in Java beschränkt, so dass bei hohen Anforderungen an die numerische Genauigkeit besser andere Programmiersprachen (C, C++, Fortran) verwendet werden sollten.

14 12.3. DARSTELLUNG REELLER ZAHLEN Genauigkeit von Gleitkommadarstellungen Wie bereits erläutert, erzwingt der begrenzte Vorrat von Maschinenzahlen bei der Konvertierung oder Darstellung von Zwischenergebnissen die Rundung auf Maschinenzahlen und dadurch Rundungsfehler. Den maximalen relativen Rundungsfehler nennt man die (relative) Rechnergenauigkeit. Die Stellen der Mantisse nennt man die signifikanten Stellen, eine t-stellige Mantisse bezeichnet man auch als t-stellige Arithmetik. Wir berechnen jetzt die Rechnergenauigkeit für F = F(b,t,e min,e max ). Dabei betrachten wir zunächst den relativen Rundungsfehler µ C, der durch Abschneiden (Chopping) nicht signifikanter Stellen entsteht. Dies entspricht dem Runden zur betragskleineren Maschinenzahl. Sei x > p min und x c M die durch Abschneiden entstehende Zahl. Dann ist µ C = x x c x = 0.x 1x 2...x t x t+1 x t+2... b e 0.x 1...x t b e x = x t+1x t+2... b e x < b t b e = 0.x t+1x t+2... b t b e x x da 0.x t+1 x t+2... < b 0 = 1 b t b e da x > 0.x 1 b e 1 b be wegen der Normalisierung 1 b be = b t b = 1 b t 1. Der relative Rundungsfehler µ R ist offenbar höchstens halb so groß wie der relative Abschneidefehler. Also ergibt sich die relative Rechnergenauigkeit µ R als µ R = 1 2 µ C = b t 1. Diese Zahl ist die wichtigste Größe bei Genauigkeitsbetrachtungen für ein Gleitkommasystem und Grundlage aller Fehlerabschätzungen in der Numerischen Mathematik. Die Genauigkeit bezieht sich auf die Zahl t von signifikanten Stellen zur Basis b. Die entsprechende Zahl s von signifikanten Stellen im Dezimalsystem erhält man durch Auflösung der Gleichung nach s. Dies ergibt µ R = b t 1 = s 1 s = 1 + (t 1)log 10 b. Umgekehrt berechnet man t aus einer gewünschten Anzahl s von dezimalen Stellen gemäß t = 1 + (s 1)log 10 b. Bzgl. des in Java verwendeten IEEE Standards mit b = 2 und t = 53 (hidden bit!) ergeben sich s = 16 signifikante Dezimalstellen.

15 310 KAPITEL 12. ZAHLENDARSTELLUNGEN UND RECHNERARITHMETIK Der Einfluss von Algorithmen auf die numerische Genauigkeit In Kapitel haben wir bereits ein Beispiel für die Auswirkung von Rundungsfehlern bei der Lösung linearer Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus kennen gelernt. Hier folgt ein weiteres Beispiel für die Lösung quadratischer Gleichungen. Die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 hat die Lösungen x 1,2 = b ± b 2 4ac. 2a Diese lassen sich nach dieser Formel berechnen durch d := sqrt(sqr(b) 4ac); x 1 := (d b)/(2a); x 2 := (b + d)/(2a); wobei sqrt(x) = x und sqr(b) = b 2 als verfügbare Funktionen vorausgesetzt werden. Ein numerisches Beispiel mit den Werten a = 1, b = 200 und c = 1, ausgeführt mit einer 4-stelligen dezimalen Arithmetik (d. h. 4 Stellen für die Mantisse) ergibt folgende Resultate. Hieraus folgt d = sqrt(sqr( ) 4) = sqrt( } 10 5 {{ } 1 ) in 4-stelliger Arithmetik = x 1 = ( ( ))/( ) = ( )/( ) = = 200, x 2 = ( ( ))/( ) = 0/( ) = 0. Die exakten Werte mit 4-stelliger Arithmetik lauten jedoch x 1 = 200 und x 2 = Die 4-stellige Rechnerarithmetik hat die relative Rechnergenauigkeit µ R = = 0,0005. Die Abweichung des errechneten Ergebnisses (0 anstelle des exakten Wertes 0,005) muss daher als völlig inakzeptabel betrachtet werden. Das Ergebnis x 2 = 0 ist schlicht falsch.

16 12.4. LITERATURHINWEISE 311 Eine Lösungsmethode, die die Gefahren der Gleitkomma-Arithmetik berücksichtigt, beruht auf der Beziehung x 1 x 2 = c (Vieta). a Es wird jetzt lediglich eine Lösung mit der üblichen Formel berechnet, und zwar die mit dem größten Absolutwert. Die zweite Lösung errechnet man dann aus der Formel von Vieta. Dies ergibt das Programmstück: d := sqrt(sqr(b) 4ac); if b 0 then x 1 := (b + d)/(2a) else x 1 := (d b)/(2a); x 2 := c/(x 1 a); Im Beispiel führt dies zu den Werten d = (wie oben), x 1 = (d b)/(2a) = 200 (wie oben), x 2 = 1/200 = Dies ist ein Beispiel für den häufigen Fall, dass die üblichen mathematischen Lösungsmethoden nicht unbesehen übernommen werden können, wenn mit wirklichen Rechnern gearbeitet werden soll. Die Numerik ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Entwicklung von Lösungsmethoden befasst, die die Tücken der Gleitkommaarithmetik berücksichtigen Literaturhinweise Kapitel 12.1 und 12.2 folgen [OV98]. Das Beispiel der Lösung quadratischer Gleichungen in Kapitel stammt aus [Wir78]. Als Einstieg in die Methoden der numerischen Mathematik sei auf [Ric93, Van85] verwiesen.