Kapitel 7. Rekursionsgleichungen. Allgemeines Iterationsmethode Klassen von Rekursionsgleichungen Erzeugende Funktionen

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1 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. /38 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen Allgemeines Iterationsmethode Klassen von Rekursionsgleichungen Erzeugende Funktionen

2 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 2/38 Allgemeines () Allgemeine Form der Rekursionsgleichung: f(n) = g(n, f(n ), f(n 2),..., f(n k)) Eine Rekursionsgleichung definiert eine Funktionenschar (alle Funktionen, die die Gleichung erfüllen). Aus der Funktionenschar wird eine Funktion durch Festlegen weiterer Parameter spezifiziert, z.b. durch Anfangswertbedingungen f() = a,..., f(k) = a k. Beispiel: Rekursionsgleichung T(n) = a T(n ), T(0) =. Offenbar gilt: T(n) = a n. Geschlossener Ausdruck: Ein Ausdruck für T(n), der zwar den Parameter n enthält,nichtaberdiefunktiont selbstodersummen-oderproduktzeichen bzw.. Den Prozess, eine Rekursionsgleichungfür T(n) in einen geschlossenen Ausdruck umzuwandeln, nennt man Lösen der Rekursionsgleichung.

3 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 3/38 Allgemeines (2) Anwendung: Komplexitätsanalyse von Algorithmen Input: n,k ( ) N 0 ; n Output: ; k Binomial(n, k) (gemäss Pascal-Dreieck) if k = 0then return else return Binomial(n,k ) + Binomial(n,k) T(n, k): Anzahl Aufrufe von Binomial, die zur Berechnung von sind. Es gilt: T(n,k) = +T(n,k )+T(n,k). ( ) n k erforderlich

4 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 4/38 Allgemeines (3) Anwendung: Kombinatorisches Zählen Wir bestimmen die Anzahl Wörter a n der Länge n über dem Alphabet {a,b}, die keine zwei aufeinander folgenden a s enthalten. Es gilt: a = 2 und a 2 = 3. Für n 3 gilt: a n = a n +a n 2. Begründung: Wir unterscheiden die Wörter der Länge n nach ihrem letzten Buchstaben. } {{ } n b oder } {{ } ba n 2 Ist dies ein b, so darf das vorangehende Teilwort ein beliebiges Wort der Länge n sein, das keine zwei aufeinander folgenden a s enthält (a n ). Ist das letzte Zeichen a, so muss unmittelbar davor ein b stehen. Das davor stehende Teilwort kann dann wiederum ein beliebiges Wort der Längen 2 sein,das keinezweiaufeinanderfolgendena s enthält(a n 2 ). Gesucht ist also ein geschlossener Ausdruck für a n.

5 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 5/38 Allgemeines (4) Strategien zum Lösen von Rekursionsgleichungen: Iterationsmethode Hierbei wird die Funktion auf der rechten Seite immer wieder durch die Rekursionsgleichung ersetzt. Dann wird versucht, die rechte Seite in eine geschlossene Form zu bringen. Verwendung bekannter Lösungen für spezielle Klassen von Rekursionsgleichungen Erzeugende Funktionen

6 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 6/38 Iterationsmethode () Beispiel: Iterationsmethode für f(n) = n+3f(n/4) Iteriertes Einsetzen und Ersetzen der Summe ergibt: f(n) = n+3f(n/4) = n+3(n/4+3f(n/6)) = n+3n/4+9(n/6+3f(n/64)) n+3n/4+9n/6+ = n (3/4) i = n = 4n i 0 = Θ(n) 3/4 Die Anfangswertbedingung f() = a wirkt sich nur auf die in der Θ-Notation verborgenen Konstanten aus.

7 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 7/38 Iterationsmethode (2) Beispiel: Lineare Suche im sortierten Array Geht man von einem sortierten Array aus, kann man wesentlich effizienter suchen, indem man erst mit dem mittleren Element vergleicht, dann mit dem mittelern Element des oberen oder unteren Restintervalls, und so rekursiv weiter: T(n) = T( n/2 )+ Im worst case muss man hier O(log 2 n) (exakt: log 2 n +) Vergleiche anstellen; wesentlich effizeinter als die lineare Suche in einem unsortierten Array.

8 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 8/38 Klassen von Rekursionsgleichungen () Definition: Eine Rekursionsgleichung der Form x n = a x n + +a k x n k +b k für n k mit den Anfangsbedingungen x i = b i für alle i = 0,,...,k, heisst lineare Rekursionsgleichung k-ter Ordnung. Gilt b k = 0, so sprechen wir von einer homogenen linearen Rekursionsgleichung. Ansonsten nennen wir die Rekursionsgleichung inhomogen. Beispiel: Die einfachsten Rekursionsgleichungen sind die linearen, homogenen Rekursionsgleichungen erster Ordnung: x n = ax n, für n und Anfangsbedingung x 0 = b 0 Die Lösung lautet: x n = b 0 a n.

9 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 9/38 Klassen von Rekursionsgleichungen (2) Theorem: Sei eine inhomogene, lineare Rekursion ersten Grades gegeben: x n = ax n +b, für n und x 0 = b 0 wobei a,b 0 und b beliebige Konstanten sind. Dann hat die Lösung der Rekursionsgleichung die Form: { b 0 a n a +b n x n = a, wenn a b 0 +nb, wenn a = Beweis: x n = ax n +b = a(ax n 2 +b )+b = a 2 x n 2 +ab +b = a 2 (ax n 3 +b )+ab +b = a 3 x n 3 +a 2 b +ab +b = = a n x 0 +a n b + +a 2 b +ab +b { b 0 a n a +b n = a, wenn a b 0 +nb, wenn a =

10 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 0/38 Klassen von Rekursionsgleichungen (3) Beispiel: Auf ein Bankkonto werden am Ersten eines jeden Monats 250 e eingezahlt. Am Ende eines jeden Monats wird das vorhandene Geld mit 0.5% verzinst. Nach wievielen Jahren ist man Millionär? a n : Betrag nach n Monaten. Es gilt: a 0 = 0 und a n = ( )(a n +250) =.005a n , für n Aus Satz der letzten Folie erhalten wir die explizite Darstellung von a n : a n = n = (.005 n ) Millionär ist man, sobald a n 0 6, also.005 n = Wir ziehen auf beiden Seiten den Logarithmus und erhalten n Man muss also 50 Jahre und 0 Monate sparen. (Eine Erhöhung des Zinssatzes von 0.5% auf.0% verkürzt die Wartezeit auf 3 Jahre und einen Monat.)

11 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. /38 Klassen von Rekursionsgleichungen (4) Theorem: Sei eine homogene, lineare Rekursion zweiten Grades gegeben: x n = a x n +a 2 x n 2, für n 2 und x = b,x 0 = b 0 Weiter seien α und β zwei Lösungen der Gleichung t 2 a t a 2 = 0 und und A = B = { b b 0 β α β, wenn α β, wenn α = β b b 0 α α { b b 0 α α β, wenn α β b 0, wenn α = β Dann gilt: x n = { Aα n Bβ n, wenn α β (An+B)α n, wenn α = β

12 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 2/38 Klassen von Rekursionsgleichungen (5) Beispiel: Die Fibonacci-Zahlen F n = F n +F n 2, für all n 2 und F =,F 0 = 0 bilden eine homogene, lineare Rekursion zweiten Grades. UmdenSatzderletztenFolie anzuwenden,lösenwirdiegleichungt 2 t = 0 und erhalten α = und β = 5 2. Somit gilt: A = B = 5, woraus resultiert: F n = 5 ( ) n ( ) n Beispiel: Das kombinatorische Zählen auf Folie 4 wird gelöst durch die Beobachtung a n = F n+2.

13 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 3/38 Exkurs: Goldener Schnitt () Die Zahl ist auch als Goldener Schnitt bekannt. Betrachten wir ein Rechteck mit Seitenlängen s und r s. s r r r s r Schneiden wir von diesem Rechteck ein Quadrat ab, so verbleibt ein Rechteck mit Seitenlängen r und s r. Besimmt man nun die Werte für s und r so, dass die beiden Rechtecke genau dasselbe Seitenverhältnis haben, also so erhält man genau s r = r s r s r =

14 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 4/38 Exkurs: Goldener Schnitt (2) Beim Parthenontempel in Athen bildet der Säuleneingang hierbei ein goldenes Rechteck, also ein Rechteck, dessen Seiten sich genau wie der goldene Schnitt verhalten. Auch verhält sich die Höhe bis zum Dach zur Höhe der Säulen wie der goldene Schnitt.

15 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 5/38 Klassen von Rekursionsgleichungen (6) Beispiel: (Merge-Sort) Man teilt das Array in zwei Hälften, sortiert diese(rekursiv mit Merge-Sort), und baut die beiden sortierten Hälften zu einem sortierten Array zusammen. Gesamtlaufzeit: ( n T(n) = 2 T 2) +n Divide and conquer Algorithmen teilen ein Problem in mehrere gleich große Teile und rufen sich dann rekursiv auf. Laufzeitanalyse: ( n T(n) = a T b) +f(n) a: Anzahl der Teilprobleme b: Alle Teilprobleme haben eine Größe n b f(n): Aufwand für das Aufteilen des Problems und Kombination der Teillösungen

16 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 6/38 Klassen von Rekursionsgleichungen (7) Master-Theorem:

17 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 7/38 Klassen von Rekursionsgleichungen (8) Beispiel: Merge-Sort ( n T(n) = 2 T 2) +n = Θ(nlogn) Beispiel: ( n T(n) = 7 T 2) +n 2 = Θ(n log 2 7 ) Θ(n 2,8 )

18 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 8/38 Erzeugende Funktionen () Bislang haben wir Lösungen von Rekursionsgleichungen mehr oder minder geraten, und dann unsere Vermutung bewiesen. Man kann aber auch versuchen, Lösungen von Rekursionsgleichungen konstruktiv zu finden. Einführendes Beispiel: Wieviele Möglichkeiten gibt es, 2 Orangen so auf drei Personen A, B, und C aufzuteilen, dass A mindestens 4, B und C mindestens 2, und C höchstens 5 Orangen bekommen? 4 Lösungen A B C Formal: Ganzzahlige Lösungen für c +c 2 +c 3 = 2 unter Nebenbedingungen 4 c, 2 c 2, und 2 c 3 5.

19 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 9/38 Erzeugende Funktionen (2) Algebraische Betrachtung: Berechne das Produkt dreier Polynomialfunktionen f(x) = (x 4 +x 5 +x 6 +x 7 +x 8 )(x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 )(x 2 +x 3 +x 4 +x 5 ) und der Koeffizient von x 2 ist die gesuchte Lösung. (x 4 +x 5 +x 6 +x 7 +x 8 ): A bekommt 4/5/6/7/8 Orangen (x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 ): B bekommt 2/3/4/5/6 Orangen (x 2 +x 3 +x 4 +x 5 ): C bekommt 2/3/4/5 Orangen Jedes Tripel (i,j,k) mit i+j +k = 2 trägt durch das Produkt x i x j x k zum Koeffizienten von x 2 bei. Somit gibt der Koeffizient von x 2 die Anzahl von (i,j,k) mit i+j + k = 2 an. Die Nebenbedingungen werden indirekt durch die ausgewählten Terme der Polynome gewährleistet.

20 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 20/38 Erzeugende Funktionen (3) Beispiel: Wieviele ganzzahlige Lösungen gibt es für die Gleichung c + c 2 + c 3 +c 4 = 25 wenn c i 0 für i 4. Für jedes i 4 werden die potentiellen Werte von c i mit Polynom + x+x 2 +x 3 + +x 25 beschrieben. Somit liefert der Koeffizeint von x 25 des Polynoms: f(x) = (+x+x 2 +x 3 + +x 25 ) 4 die gesuchte Lösung. Genauso gut erhalten wir dieselbe Lösung vom Polynom: f (x) = (+x+x 2 +x 3 + +x 25 +x 26 + ) 4 Die Terme x k, k 26, haben keinerlei Beitrag zu x 25 des Produktpolynoms. Dennoch: Unendliche Reihen sind häufig einfacher zu handhaben als Polynome!

21 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 2/38 Erzeugende Funktionen (4) Aus einer unendlichen Folge (a n ) ergibt sich durch Multiplikation von a n mit x n die formale Potenzreihe: A(x) = a n x n = a 0 +a x+a 2 x 2 + +a k x k + Man nennt A(x) auch die erzeugende Funktion der Folge (a n ). Die geometrische Reihe: Folge a n =, n 0, und damit verbundene Pozenzreihe A(x) = x n = +x+x 2 + +x k + = x Achtung: Die obige Gleichung ist nur gültig für x <. Bei erzeugenden Funktionen sind wir primär an den Koeffizienten des Polynoms interessiert.

22 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 22/38 Erzeugende Funktionen (5) Ableitungen der geometrischen Reihe: Erste Ableitung: n nx n = +2x+3x 2 +4x 3 + = (n+)x n = ( x) 2 Die erzeugende Funktion der Folge,2,3,... ist also ( x) 2. Zweite Ableitung: n(n )x n 2 = x+4 3 x x 3 + n 2 ( ) n+2 x n = 2 = (n+2)(n+)x n = ( x) 3 Die erzeugende Funktion der Folge ( ) n+2 2 ist also ( x). 3 2 ( x) 3

23 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 23/38 Erzeugende Funktionen (6) k-te Ableitung (k ): n kn(n ) (n k +)x n k = (n+k)(n+k ) (n+)x n ( ) n+k x n = k ( x) k+ = k! ( x) k+ Die erzeugende Funktion der Folge ( ) n+k k ist also. ( x) k+

24 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 24/38 Erzeugende Funktionen (7) Weitere erzeugende Funktionen: Folge 0,,2,3,... nx n = x+2x 2 +3x 3 + +nx k + = (n+)x n x n = = ( x) 2 x x ( x) 2 Die erzeugende Funktion der Folge 0,,2,3,... ist also x ( x) 2.

25 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 25/38 Erzeugende Funktionen (8) Durch Ersetzen y = ax in der geometrischen Reihe: y n = +y +y 2 + +y k + = y erhalten wir a n x n = +ax+a 2 x 2 + +a k x k + = ax Die erzeugende Funktion der Folge,a,a 2,a 3,... ist also ax.

26 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 26/38 Erzeugende Funktionen (9) a n Folge Potenzreihe erzeugende Funktion,,,,... n+,2,3,4,... ( n+k ) k x n x (n+)x n,k +, ( 2+k) ( k, 3+k ) ( n+k ) k,... k n 0,,2,3,... nx n a n,a,a 2,a 3,... n 2 0,,4,9,... 0,, n 2, 3,... n,, n! 2, 6,... H n 0,, 3 2, 6,... ( x) 2 x n ( x) k+ x ( x) 2 a n x n ax n 2 x n x(+x) ( x) 3 n xn ln x n! xn e x H n x n x ln x

27 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 27/38 Erzeugende Funktionen (0) Lösen von Rekursionen: Einführendes Beispiel a n = a n + für n und a 0 = A(x) = a n x n = a 0 + n (a n +)x n = +x a n x n + x n = x a n x n ++ n n n x n = x A(x)+ x n = x A(x)+ x Lösen dieser Gleichung ergibt a n x n = A(x) = ( x) 2 = (n+)x n Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir a n = n+ für n.

28 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 28/38 Erzeugende Funktionen () Allgemeine Vorgehensweise:. Schritt: Aufstellen der erzeugenden Funktion A(x) = a n x n. 2. Schritt: Umformen der rechten Seite, so dass Anfangswerte und Rekursionsgleichung eingesetzt werden können. 3. Schritt: Weiter umformen, bis auf der rechten Seite die noch vorhandenen unendlichen Summen durch A(x) ersetzt werden können. 4. Schritt: Auflösen der erhaltenden Gleichung nach A(x). Dadurch erhält man eine Gleichung der Form A(x) = f(x), wobei f(x) eine, hoffentlich einfache, Funktion ist. 5. Schritt: Umschreiben der Funktion f(x) als formale Potenzreihe. Zum Beispiel durch Partialbruchzerlegung und/oder durch Nachschlagen in Tabellen bekannter erzeugender Funktionen. 6. Schritt: Ablesen der expliziten Darstellung für a n durch Koeffizientenvergleich.

29 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 29/38 Erzeugende Funktionen (2) Beispiel: a n = 2a n für n mit a 0 =. Schritt: Aufstellen der erzeugenden Funktion A(x) = a n x n 2./3. Schritt: Anwendung der Rekursionsgleichung und Umformungen A(x) = +2x n a n x n = +2x a n x n = +2x A(x) 4./5. Schritt: Auflösen nach A(x) und Umschreiben von f(x) a n x n = A(x) = 2x = 2 n x n 6. Schritt: Koeffizientenvergleich liefert a n = 2 n

30 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 30/38 Erzeugende Funktionen (3) Beispiel: a n = 3a n +n für n mit a 0 =. Schritt: Aufstellen der erzeugenden Funktion A(x) = a n x n 2./3. Schritt: Anwendung der Rekursionsgleichung und Umformungen A(x) = + (3a n +n)x n = +3x n n a n x n + nx n n = +3x a n x n + nx n = +3x A(x)+ x ( x) 2 4. Schritt: Auflösen nach A(x) A(x) = ( x) 2 +x ( 3x)( x) 2 = x 2 x+ ( 3x)( x) 2

31 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 3/38 Erzeugende Funktionen (4) 5. Schritt: Umschreiben von f(x) durch Partialbruchzerlegung A(x) = x 2 x+ ( 3x)( x) 2 = A 3x + B x + C ( x) 2 führt zum linearen Gleichungssystem: A+B +C = 2A+4B +3C = A+3B = mit der Lösung: A = 7 4, B = 4, C = 2

32 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 32/38 Erzeugende Funktionen (5) a n x n = A(x) = 7 4 3x 4 x 2 ( x) 2 = n x n 4 x n 2 (n+)x n = ( 7 4 3n 4 n+ )x n 2 = ( 7 4 3n 2 n 3 4 )xn 6. Schritt: Koeffizientenvergleich liefert a n = 7 4 3n 2 n 3 4

33 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 33/38 Erzeugende Funktionen (6) Beispiel: Fibonacci-Zahlen F n = F n +F n 2 für n 2 mit F =, F 0 = 0. Schritt: Aufstellen der erzeugenden Funktion A(x) = F n x n 2./3. Schritt: Anwendung der Rekursionsgleichung und Umformungen A(x) = x+ n 2 (F n +F n 2 )x n = x+x n 2 F n x n +x 2 n 2 F n 2 x n 2 = x+x F n x n +x 2 F n x n = x+x A(x)+x 2 A(x) 4. Schritt: Auflösen nach A(x) A(x) = x x x 2

34 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 34/38 Erzeugende Funktionen (7) 5. Schritt: Umschreiben von f(x) durch Partialbruchzerlegung A(x) = x x x 2 = A αx + B βx führt zum Gleichungssystem: ( αx)( βx) = x x 2 A+B = 0 βa+αb = mit der Lösung: α = + 5 2, β = 5 2, A = 5, B = 5

35 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 35/38 Erzeugende Funktionen (8) F n x n = A(x) = 5 = 5 αx 5 α n x n 5 = (α n β n )x n 5 β n x n βx 6. Schritt: Koeffizientenvergleich liefert F n = (α n β n ) = ( + 5 ) n ( 5 ) n Der Satz auf Folie kann auf ähnliche Art und Weise bewiesen werden.

36 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 36/38 Erzeugende Funktionen (9) Beispiel: System von Rekursionsgleichungen a n = 2a n +b n, b n = a n +b n, mit a 0 =,b 0 = 0. Schritt: Aufstellen der erzeugenden Funktionen A(x) = a n x n ; B(x) = b n x n 2./3. Schritt: Anwendung der Rekursionsgleichung und Umformungen A(x) = + n (2a n +b n )x n = +2x n a n x n +x n b n x n = +2x a n x n +x b n x n = +2x A(x)+x B(x) B(x) = n (a n +b n )x n = x n a n x n +x n b n x n = x a n x n +x b n x n = x A(x)+x B(x)

37 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 37/38 Erzeugende Funktionen (20) 4. Schritt: Auflösen nach A(x) und B(x) Das lineare Gleichungssystem (2x ) A(x)+x B(x) = x A(x)+(x ) B(x) = 0 führt zur Lösung: A(x) = x x 2 3x+, B(x) = x x 2 3x+ 5. Schritt: Umschreiben durch Partialbruchzerlegung A(x) = x x 2 3x+ = A αx + B βx, B(x) = x x 2 3x+ = A α x + B β x α = α = 3 5 2, β = β = A = , B = 5 5 0, A = 5 5, B = 5 5

38 Kapitel 7 Rekursionsgleichungen p. 38/38 Erzeugende Funktionen (2) A(x) = A αx +B βx = A α n x n +B β n x n = (Aα n +Bβ n )x n B(x) = A αx +B βx = A α n x n +B β n x n = (A α n +B β n )x n 6. Schritt: Koeffizientenvergleich liefert a n = Aα n +Bβ n, b n = A α n +B β n