Sommersemester Bachelor-Master-Seminar Seminar. Analytische und Algebraische Aspekte von Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen

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1 Sommersemester 2015 Bachelor-Master-Seminar Seminar Analytische und Algebraische Aspekte von Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen Prof. Catharina Stroppel, Hanno Becker Vorläufiges Programm Es ist noch ein Vortrag zu vergeben! In diesem Seminar widmen wir uns einigen Grundlagen zu Mannigfaltigkeiten, Lie-Gruppen und deren Darstellungen. Im ersten Teil (Vorträge 1-3) geht es darum, differentialgeometrische Konzepte wie Mannigfaltigkeiten, Tangentialräume oder Vektorbündel sowohl analytisch als auch algebraisch zu definieren und dadurch Parallelen zu anderen geometrischen Kontexten zu erkennen. Im zweiten Teil (Vorträge 4-6) geht es um die Definition und grundlegende Eigenschaften von Lie-Gruppen und ihrer Lie-Algebren. Im dritten und letzten Teil (Vorträge 7-11) geht es schließlich um die Darstellungstheorie kompakter Gruppen, wobei das Hauptziel der Beweis des Theorems von Peter-Weyl ist, einer Verallgemeinerung der aus der Darstellungstheorie endlicher Gruppen bekannten Zerlegung der regulären Darstellung. 1. Mannigfaltigkeiten I: Definitionen, glatte Abbildungen, Beispiele Es geht los mit der Definition topologischer und glatter Mannigfaltigkeiten sowie ihrer Abbildungen, z.b. [6, 8.2] oder [2, 1]; je nach Vorkenntnissen der Hörer sollten Sie dazu auch kurz an die notwendigen Grundlagen der mengentheoretischen Topologie erinnern, z.b. mit Hilfe von [13]. Definieren Sie auch abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten topologischer bzw. glatter Untermannigfaltigkeiten und zeigen Sie, dass diese selbst topologische Mannigfaltigkeiten sind bzw. glatte Strukturen erben (z.b. [2, 1.9]); Analoges für Summen und Produkte (z.b. [2, 1.8]). Besprechen Sie anschließend einige Beispiele Ihrer Wahl, in jedem Fall aber R n, S n, RP n und Urbilder regulärer Werte glatter Abbildungen R n R m. 1

2 2 Besprechen Sie dann die Definition glatter Mannigfaltigkeiten als geringte Räume über R. Definieren Sie dazu geringte Räume und erklären Sie, dass jeder topologische Raum die Garbe der stetigen Funktionen und jede glatte Mannigfaltigkeit die Garbe der glatten Funktionen trägt. Auf diese Weise kann jede glatte Mannigfaltigkeit als geringter Raum über R verstanden werden, der lokal isomorph (R n, C (R n )) ist, und umgekehrt entsteht jeder solche geringte (Hausdorffsche, zweitabzählbare) Raum auf diese Weise. Die Korrespondenz ist außerdem verträglich mit Abbildungen glatter Mannigfaltigkeiten bzw. geringter Räume über R. Siehe z.b. [11, 7.6] oder [9, Tag 01HA: Locally Ringed Spaces]. Die so erhaltene Beschreibung differenzierbarer Mannigfaltigkeiten beleuchtet Parallelen zur algebraischen und komplex-analytischen Geometrie, in der die Primideal-Spektren kommutativer Ringe mit der Garbe ihrer Polynomfunktionen oder offene Teilmengen von C n mit der Garbe ihrer holomorphen Funktionen die Rolle der Modellräume (R n, C (R n )) übernehmen, die Definition sonst aber gleich bleibt. Dieser Vortrag könnte auch in zwei geteilt und noch etwas angereichert werden. Sprecher: Jendrik Stelzner 2. Mannigfaltigkeiten II: Tangentialraum und Tangentialbündel Besprechen Sie zu Beginn die verschiedenen Definitionen des Tangentialraumes einer glatten Mannigfaltigkeit an einem Punkt: (1) Über Karten, (2) Über Kurven, (3) Über Derivationen auf Funktionskeimen, oder auch, wenn Sie mögen, (4) im Kontext geringter Räume. Ansätze (1)-(3) finden sich beispielsweise schön in [2, 2] dargestellt, [6, und 8.3.2] diskutieren Ansätze (2) und (3). Erklären Sie, dass glatte Abbildungen Homomorphismen auf den Tangentialräumen induzieren (in den verschiedenen Beschreibungen) und formulieren Sie die globale Version des Satzes vom regulären Wert (z.b. [2, Lemma 5.9] oder [6, Theorem 8.6.9]). Definieren Sie anschließend das Tangentialbündel und erklären Sie, dass es ein Beispiel für das allgemeine Konzept des Vektorbündels ist. Neben der klassischen, analytischen Definition (siehe z.b. [2, 3] oder [6, 8.3.1]) gibt es für Vektorbündel auch eine algebraische Beschreibung als lokal freie Modulgarben, siehe z.b. [11, Proposition 7.6.5]; in dieser Sprache entsteht das Tangentialbündel als Garbe der R-Derivationen auf CM. Die algebraische Sichtweise auf Vektorbündel ist z.b. in der algebraischen Geometrie prominent. Zuletzt sollen Vektorfelder zum einen analytisch, als glatte Schnitte des Tangentialbündels (z.b. [6, 8.4.1]), und zum anderen algebraisch, als R-Derivationen der Garbe der glatten Funktionen (also als globale Schnitte der zum Tangentialbündel zugehörigen lokal-freien Modulgarbe), erklärt werden (z.b. [6, 8.4.2], wobei die Diskussion von Abschneidefunktionen nicht notwendig ist, wenn wie hier Derivationen der Garbe C (M) und nicht lediglich ihrer globalen Schnitt C (M) betrachtet werden). Dieser Vortrag könnte auch in zwei geteilt und noch etwas angereichert werden.

3 3 Sprecher: Silvia Cavadas 3. Vergleich lokaler und globaler Definitionen Dieser Vortrag widmet sich der Erklärung des Phänomens, dass im Kontext glatter Mannigfaltigkeiten oftmals lokale und globale Varianten von Definitionen identifiziert werden können. So spielt es beispielsweise keine Rolle, ob die einem Tangentialvektor einer glatten Mannigfaltigkeit M an einem Punkt x M assoziierte R-Derivation auf sämtlichen Funktionskeimen um x oder lediglich auf globalen Funktionen definiert ist. Ähnlich ist es für die Definition von Vektorfeldern irrelevant, ob man R-Derivationen der Garbe CM oder lediglich ihrer globalen Schnitte C (M) betrachtet. Wir werden sehen, dass dies daran liegt, dass die Garbe CM der glatten Funktionen kompaktweich ist, d.h. dass für alle kompakten K M die Restriktionsabbildung C (M) = CM (M) C M (K) surjektiv ist. Definieren Sie kompaktweiche Garben abelscher Gruppen (engl. c-soft, z.b. [1, Definition 9.1]) und skizzieren Sie, dass Modulgarben über einer kompaktweichen Ringgarbe R wieder kompaktweich sind (z.b. [1, Theorem 9.16]); nehmen Sie dabei stets an, dass der unterliegende topologischen Raum X lokalkompakt, Hausdorffsch und parakompakt ist. Folgern Sie, dass die Zuordnung M M (X) einen exakten, volltreuen Funktor von der Kategorie R-Mod der R-Modulgarben in die Kategorie der R(X)-Moduln stiftet, der im Fall eines kompakten Raumes sogar eine Äquivalenz ist (Referenz fehlt noch); dieses Resultat ist insbesondere auf den Fall einer glatten Mannigfaltigkeit X := M versehen mit der Garbe R := CM der glatten Funktionen anwendbar (z.b. [11, Proposition 7.7.1] und formalisiert die Beobachtung, dass Garben über CM durch ihre globalen Schnitte festgelegt sind. Zuletzt wollen wir das Bild der lokalfreien R-Modulgarben unter der Einbettung M M (X) verstehen. Im Falle eines kompakten Raumes X und R = CX 0 der Garbe der stetigen Funktionen ist dies das Theorem von Swan (ursprünglich [10], siehe auch [7]): M M (X) stiftet eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der lokalfreien CX 0 -Modulgarben die wiederum den reellen Vektor bundeln auf X entsprechen, wie wir gesehen haben und der Kategorie der endlich erzeugten, projektiven C(X)-Moduln. Als Anwendung können Sie zeigen, dass der R := R[x, y, z]/(x 2 + y 2 + z 2 1)-Modul P := R 3 /(x, y, z) projektiv (sogar stabil frei: P R = R 3 ), jedoch nicht frei ist, denn er entspricht unter Swans Theorem dem Tangentialbündel von S 2, das nach dem Satz vom Igel keinen nirgends verschwindenden Schnitt besitzt. Dieser Vortrag könnte auch in zwei geteilt und noch etwas angereichert werden. Sprecher: Kaan Ocal 4. Vektorfelder und Lie-Gruppen Zu Beginn Definition der Lie-Klammer von Vektorfeldern, entweder analytisch durch Verkleben einer expliziten, lokalen Konstruktion (siehe z.b. [6, Lemma 8.4.3,

4 4 Proposition 8.4.6]) oder algebraisch durch den Kommutator der assoziierten Derivationen. Erwähnen Sie auch kurz den Zusammenhang zum Kommutator der Flüsse der Vektorfelder (z.b. [6, Proposition , Remark ]), ohne jedoch auf technische Details einzugehen. Vektorfelder sind damit als Beispiel einer Lie- Algebra erkannt. Formulieren Sie auch das Lemma über verwandte Vektorfelder [6, Lemma 8.4.9]. Definieren Sie anschließend Lie-Gruppen (z.b. [6, 9.1.1], [3, Definition 1.1] oder [12, 2.1]) sowie linksinvariante Vektorfelder auf Lie-Gruppen und erklären Sie, wie diese mit dem Tangentialraum T e G am neutralen Element identifiziert werden können. Zeigen Sie, dass die linksinvarianten Vektorfelder unter der Lie-Klammer abgeschlossen sind und folgern Sie, dass T e G die Struktur einer Lie-Algebra erbt die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe; z.b. [6, Definition 9.1.7], [3, I.2] oder [12, 2.3]. Sprecher: Julia Alekseeva 5. Beispiele für Lie-Gruppen, Exponentialabbildung Zu Beginn sollen einige Beispiele von Lie-Gruppen vorgestellt werden ([3, I.1], [6, Chapter I], [12, 2.1]), in jedem Fall aber GL(V ), SL(V ) und SU(V,, ). Zeigen Sie dabei auch (zumindest in den genannten Beispielen), dass jeweils eine Mannigfaltigkeit vorliegt. Berechnen Sie anschließend im Detail die Lie-Algebra von GL(V ), siehe z.b. [12, 2.3]. Definieren Sie als Nächstes Homomorphismen von Lie-Gruppen und die durch sie induzierten Homomorphismen von Lie-Algebren. Anschließend soll die Exponentialabbildung definiert werden. Skizzieren Sie den Beweis, dass diese ein lokaler Diffeomorphismus und mit Lie-Gruppen Homomorphismen und ihren Ableitungen verträglich ist. Siehe z.b. [12, 2.10], [3, I.3], [6, III.9.2]. Zeigen Sie als Beispiel, dass die Exponentialabbildung von GL(V ) (und damit auch jeder Lie-Untergruppe von GL(V )) mit der Matrix-Exponentialfunktion übereinstimmt. Skizzieren Sie schließlich den Beweis davon, dass abgeschlossene Untergruppen von Lie-Gruppen automatisch Untermannigfaltigkeiten (und damit Lie-Gruppen) sind, und beschreiben Sie ihre Lie-Algebra; z.b. [6, III.9.3, insb. Theorem 9.3.7], [12, Theorem , insb. Formel ( )], [3, Theorem I.3.11]. Nutzen Sie dies zur Berechnung der Lie-Algebren einiger klassischer Matrix Lie- Gruppen, z.b. [6, I.4.2]. Sprecher: Vincent Gajda 6. Überlagerungen von Lie-Gruppen Definieren Sie zunächst Überlagerungen topologischer Räume (z.b. [5, 1.3], dem Vorwissen der Hörerschaft angepasst entweder mehr oder weniger detailliert) und zeigen Sie, dass für eine Überlagerung π : X G einer wegzusammenhängenden, lokal wegzusammenhängenden topologischen Gruppe G jede Wahl eines x 0 π 1 (e) eine eindeutige Gruppenstruktur auf X mit neutralem Element x 0 induziert, die

5 5 X zu einer topologischen Gruppe macht und bzgl. derer π ein Gruppenhomomorphismus ist (z.b. [6, Beweis von Corollary 9.4.7]). Erwähnen Sie auch [6, Corollary 9.4.6], wonach in einer Überlagerung π : G H topologischer Gruppen eine Lie- Gruppen-Struktur auf G bzw. H in eindeutiger Weise eine solche auf H bzw. G nach sich zieht, bzgl. derer π ein lokaler Diffeomorphismus ist. Insbesondere sehen wir, dass eine zusammenhängende Überlagerung einer zusammenhängenden Lie-Gruppe wieder kanonisch die Struktur einer Lie-Gruppe trägt; das gilt insbesondere für die universelle Überlagerung. Beweisen Sie anschließend, dass zwei zusammenhängende Lie-Gruppen genau dann isomorphe Lie-Algebren haben, wenn ihre universellen Überlagerungen isomorph sind [6, Theorem ], und dass für zusammenhängende Lie-Gruppen G, H mit G einfach zusammenhängend jeder Lie-Algebra Homomorphismus L(G) L(H) eindeutig zu einem Homomorphismus von Lie-Gruppen G H hochgehoben werden kann [6, Theorem 9.5.9]. Zusammen mit der Aussage (die nicht bewiesen werden soll!) [6, Theorem ], dass jede endlich-dimensionale Lie-Algebra als Lie-Algebra einer Lie-Gruppe entsteht, ist damit gezeigt, dass die Kategorie der endlich-dimensionalen Lie-Algebren äquivalent ist zur Kategorie der zusammenhängenden, einfach zusammenhängenden Lie-Gruppen. Sprecher: Julian Wargalla 7. Darstellungstheorie von kompakten Gruppen In diesem Vortrag geht es zunächst um die Definition und grundlegende Eigenschaften von Darstellungen kompakter Hausdorffscher Gruppen, wobei wir [3, II.1] folgen (dort wird sogar angenommen, dass eine kompakte Lie-Gruppe vorliegt, aber das ist nirgends relevant). Wesentlich sind anfangs vorallem die Ergebnisse [3, Theorem II.1.7, Proposition 1.9, Theorem 1.10, Proposition 1.14]: sie sind direkte Verallgemeinerungen entsprechender Resultate in der Darstellungstheorie endlicher Gruppen (siehe z.b. [8]), wobei die zur Mittelung verwendete Summe x 1 G g G g.x stets durch ein Integral x G g.x dµ G(g) bzgl. des Haar-Maßes ersetzt wird; die Existenz des Haar-Maßes wird in einem späteren Vortrag bewiesen und kann hier ohne Weiteres verwendet werden. Diskutieren Sie anschließend, [3, II.4] folgend, Charaktere, Matrixkoeffizienten (in loc.cit. representative functions) und deren Orthogonalitätsrelationen. Beschreiben Sie zur Illustration auch die Spezialfälle der Begriffe und Aussagen im Fall endlicher Gruppen, entweder sämtlich zu Beginn des Vortrages oder währenddessen. Skizzieren Sie zum Schluss die Klassifikation endlich-dimensionaler Darstellungen von SU(2; C). Sprecher: Lars Maier

6 6 8. Das Theorem von Peter-Weyl Das Ziel dieses Vortrages ist der Beweis der folgenden Sätze: (1) Satz von Peter- Weyl: Für eine kompakte Gruppe G liegt die Algebra T(G; C) der Matrixkoeffizienten dicht in (C 0 (G; C), ) und (L 2 (G; C), 2 ) [3, Theorem III.3.1]. (2) T(G; C) zerfällt als G G-Modul bzgl. Links- und Rechtstranslation in eine direkte Summe U Irr C (G) U C U, wobei U die (Isomorphieklassen von) endlichdimensionalen, irreduziblen Darstellungen von G durchläuft [3, Proposition III.1.5]. Das verallgemeinert die aus der Darstellungstheorie endlicher Gruppen bekannte Zerlegung der Gruppenalgebra C[G] [8, 2.4]. Der Schwerpunkt soll dabei auf dem sorgfältigen Beweis von (2) und weniger auf den funktionalanalytischen Details zum Beweis des Satzes von Peter-Weyl liegen. Sprecher: Leon Barth 9. Anwendungen des Satzes von Peter-Weyl [3, III.4] folgend diskutieren wir in diesem Vortrag Anwendungen des Satzes von Peter-Weyl. Zunächst [3, Theorem III.4.1]: Eine kompakte Lie-Gruppe hat eine endlich-dimensionale, treue Darstellung, kann also mit anderen Worten als abgeschlossene Untergruppe von GL n (C) realisiert werden. Achtung: hier ist es tatsächlich von Bedeutung, dass eine Lie-Gruppe und nicht lediglich eine kompakte Gruppe vorliegt (wir haben bereits gesehen, dass abgeschlossene Untergruppen von Lie-Gruppen stets Lie-Gruppen sind). Geben Sie Beispiele sowohl für eine kompakte topologische Gruppe als auch eine (notwendig nicht-kompakte) Lie-Gruppe, die nicht als abgeschlossene Untergruppe von GL n (C) realisiert werden können. Anschließend soll [3, Theorem III.4.4] besprochen werden, wonach für eine fixierte, treue Darstellung von V von G jede irreduzible Darstellung von G in einem geeigneten Tensorprodukt V a (V ) b auftaucht. Abschließend können Sie nach Belieben über weitere Resultate des Abschnitts, der Aufgaben oder des nachfolgenden Abschnitts über Verallgemeinerungen des Satzes von Peter-Weyl sprechen. Sprecher: Jens Krewald 10. Die Konstruktion des Haar-Maßes In diesem Vortrag widmen wir uns der Konstruktion des Haar-Maßes für lokalkompakte, Hausdorff sche, topologische Gruppen. Beginnen Sie mit einer präzisen Beschreibung der gewünschten Eigenschaften und skizzieren sie anschließend den Beweis der Existenz und Eindeutigkeit bis auf Skalare. Führen Sie unimodulare Gruppen als jene Gruppen ein, auf denen das Haarsche Maß sogar bi-invariant ist, und geben Sie einige explizite Beispiele, auch eines für eine nicht unimodulare Gruppe. Zeigen Sie, dass zusammenhängende, kompakte Gruppen unimodular sind. Im Fall von Lie-Gruppen lässt das Haarsche Maßeine explizite Konstruktion über Integration von Differentialformen zu. Stellen Sie diese Konstruktion vor und folgern

7 7 Sie, dass eine Lie-Gruppe G genau dann unimodular ist, wenn det(ad g)] = 1 für alle g G. Ist G zusammenhängend, so ist das äquivalent zu tr(ad X) = 0 für alle X L(G), eine Eigenschaft der Lie-Algebra von G. Sie ist beispielsweise für halbeinfaches oder nilpotentes G erfüllt. Sprecher: Jürgen Kanzler 11. Tannaka-Krein Dualität In diesem Vortrag geht es um die Rekonstruktion einer kompakten Lie-Gruppe G aus der Algebra T(G; R) ihrer Matrixkoeffizienten, [3, III.7] folgend. Genaueres kommt noch. Sprecher: Bisher nicht vergeben! Literatur 1. Glen E. Bredon, Sheaf theory, second ed., Graduate Texts in Mathematics, vol. 170, Springer- Verlag, New York, Theodor Bröcker and Klaus Jänich, Einführung in die Differentialtopologie, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1973, Heidelberger Taschenbücher, Band Theodor Bröcker and Tammo tom Dieck, Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 98, Springer-Verlag, New York, 1995, Translated from the German manuscript, Corrected reprint of the 1985 translation. 4. William Fulton and Joe Harris, Representation theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 129, Springer-Verlag, New York, 1991, A first course, Readings in Mathematics. 5. Allen Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, Joachim Hilgert and Karl-Hermann Neeb, Structure and geometry of Lie groups, Springer Monographs in Mathematics, Springer, New York, Archana S. Morye, Note on the Serre-Swan theorem, Math. Nachr. 286 (2013), no. 2-3, Jean-Pierre Serre, Linear representations of finite groups, Springer-Verlag, New York- Heidelberg, 1977, Translated from the second French edition by Leonard L. Scott, Graduate Texts in Mathematics, Vol The Stacks Project Authors, stacks project, Richard G. Swan, Vector bundles and projective modules, Trans. Amer. Math. Soc. 105 (1962), Joseph L. Taylor, Several complex variables with connections to algebraic geometry and Lie groups, Graduate Studies in Mathematics, vol. 46, American Mathematical Society, Providence, RI, V. S. Varadarajan, Lie groups, Lie algebras, and their representations, Graduate Texts in Mathematics, vol. 102, Springer-Verlag, New York, 1984, Reprint of the 1974 edition. 13. Boto von Querenburg, Mengentheoretische Topologie, second ed., Springer-Verlag, Berlin-New York, Mathematisches Institut Universität Bonn, Endenicher Allee 60, Bonn, address: habecker@math.uni-bonn.de