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2 Bedingte Wahrscheinlichkeit 1 6 ufgabe: ufgabe 01 Lernvoraussetzungen: Satz von Bayes, Gegenwahrscheinlichkeit, Pfadregel ufgabe 02 Satz von Bayes, Pfadregel ufgabe 03 ufgabe 04 Satz von Bayes, Pfadregel Satz von Bayes, Pfadregel ufgabe 05 Satz von Bayes, Pfadregel ufgabe 06 Satz von Bayes, Pfadregel

3 Modell: Bedingte Wahrscheinlichkeit ufgabe 01 Es sei bekannt, dass 92% der in einem Werk hergestellten Taschenlampen einwandfrei sind. In der Endkontrolle werden 5% der einwandfreien und 98% der fehlerhaften Taschenlampen aussortiert. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht aussortierte Taschenlampe einwandfrei ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine aussortierte Taschenlampe tatsächlich fehlerhaft ist?

4 Modell: Bedingte Wahrscheinlichkeit ufgabe 02 Bei der letzten Wahl entfielen 30% der Stimmen auf die Partei Fortschritt, 60% der Stimmen auf die Partei Gerechtigkeit und 10% auf die Partei Zukunft. Unter den Wählern waren Jungwählerinnen und wähler und ltwählerinnen und wähler. Jungwählerinnen und wähler waren bei der Partei Fortschritt 2% ihrer Wähler, bei der Partei Gerechtigkeit 1% ihrer Wähler und bei der Partei Zukunft 15% ihrer Wähler. Man hat eine Jungwählerin vor sich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Partei Zukunft gewählt hat?

5 Modell: Bedingte Wahrscheinlichkeit ufgabe 03 In einer Fabrik werden Batterien produziert. Es gibt zwei Maschinen und B. 30% der defekten Batterien der gesamten Tagesproduktion beider Maschinen stammen von Maschine. 20% der guten Batterien der gesamten Tagesproduktion beider Maschinen stammen von Maschine B. 6% der Tagesproduktion von sind defekte Batterien. Eine Batterie wird zufällig aus der gesamten Tagesproduktion ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie defekt ist? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie von Maschine stammt?

6 Modell: Bedingte Wahrscheinlichkeit ufgabe 04 In einer Fabrik füllen zwei Maschinen Cornflakes in Portionspackungen ab. Bei der Prüfung der Tagesproduktion beider Maschinen stellt sich heraus, dass 0,3% der von Maschine und 0,8% der von Maschine B abgefüllten Packungen weniger als die vorgegebene Füllmenge enthalten. 60% der unzureichend befüllten Packungen der Tagesproduktion stammen von Maschine. Wie viel Prozent der Tagesproduktion stammt von Maschine? Wie viel Prozent der Packungen der Tagesproduktion sind unzureichend gefüllt?

7 Modell: Bedingte Wahrscheinlichkeit ufgabe 05 Die Hälfte der Fahrgäste in der 1. Klasse des ICE besteht aus jungen Menschen. Jeder zweite junge Mensch hat ein Handy. Von den Menschen, die nicht jung sind, hat nur jeder dritte ein Handy. Im Zug meldet sich bei der Nachbarin ein Handy. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie jung ist?

8 Modell: Bedingte Wahrscheinlichkeit ufgabe 06 Zwei Maschinen produzieren Stahlkugeln. Dabei ist 3% der Tagesproduktion der ersten Maschine usschuss und 8% der zweiten Maschine usschuss. 60% der defekten Kugeln der gesamten Tagesproduktion der beiden Maschinen stammen von der ersten Maschine. Wie viel Prozent der Tagesproduktion stammt von der ersten Maschine? Wie viel Prozent der Tagesproduktion ist usschuss?

9 Modell: Bedingte Wahrscheinlichkeit ufgabe 01 Lösung Es sei bekannt, dass 92% der in einem Werk hergestellten Taschenlampen einwandfrei sind. In der Endkontrolle werden 5% der einwandfreien und 98% der fehlerhaften Taschenlampen aussortiert. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht aussortierte Taschenlampe einwandfrei ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine aussortierte Taschenlampe tatsächlich fehlerhaft ist? E: einwandfrei : aussortiert 92 E 5 95 E

10 a) gesucht: WE) ( WE ( ) W E W ,998 99,8% b) gesucht: W( E ) W E ( ) W E W ,63 63%

11 Modell: Bedingte Wahrscheinlichkeit ufgabe 02 Lösung Bei der letzten Wahl entfielen 30% der Stimmen auf die Partei Fortschritt, 60% der Stimmen auf die Partei Gerechtigkeit und 10% auf die Partei Zukunft. Unter den Wählern waren Jungwählerinnen und wähler und ltwählerinnen und wähler. Jungwählerinnen und wähler waren bei der Partei Fortschritt 2% ihrer Wähler, bei der Partei Gerechtigkeit 1% ihrer Wähler und bei der Partei Zukunft 15% ihrer Wähler. Man hat eine Jungwählerin vor sich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Partei Zukunft gewählt hat? F: Partei Fortschritt G: Partei Gerechtigkeit Z: Partei Zukunft J: Jungwählerinnen und -wähler : ltwählerinnen und -wähler 10 Z J 2 F J 60 G J 85

12 gesucht: W( Z J ) W Z J ( J) W Z W J ,56 56%

13 Modell: Bedingte Wahrscheinlichkeit ufgabe 03 Lösung In einer Fabrik werden Batterien produziert. Es gibt zwei Maschinen und B. 30% der defekten Batterien der gesamten Tagesproduktion beider Maschinen stammen von Maschine. 20% der guten Batterien der gesamten Tagesproduktion beider Maschinen stammen von Maschine B. 6% der Tagesproduktion von sind defekte Batterien. Eine Batterie wird zufällig aus der gesamten Tagesproduktion ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie defekt ist? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie von Maschine stammt? : Maschine B: Maschine B D: defekt 30 6 D x D 70 B 94 D y B D D B D

14 Gesucht: W(D) und W() W D x W D y 1 x W x + y x + 1 x W D ( ) W D W 30 x x + ( 1 x) x ( 1 x) x x x x x + x x x x x W D 8 x 55 0,145 14,5%

15 W x 30 + ( 1 x) ,73 73%

16 Modell: Bedingte Wahrscheinlichkeit ufgabe 04 Lösung In einer Fabrik füllen zwei Maschinen Cornflakes in Portionspackungen ab. Bei der Prüfung der Tagesproduktion beider Maschinen stellt sich heraus, dass 0,3% der von Maschine und 0,8% der von Maschine B abgefüllten Packungen weniger als die vorgegebene Füllmenge enthalten. 60% der unzureichend befüllten Packungen der Tagesproduktion stammen von Maschine. Wie viel Prozent der Tagesproduktion stammt von Maschine? Wie viel Prozent der Packungen der Tagesproduktion sind unzureichend gefüllt? : Maschine B: Maschine B U: unzureichend gefüllt x U U U 60 B 8 y 0 U B U U B

17 gesucht: W( ) und W( U) W x 3 8 W( U) x + y x + ( 1 x) 0 0 W U ( U) W W U 3 x x + ( 1 x) x ( 1 x) x x x x x + x x x x x x 5 4 W x 80% W( U) x + ( 1 x) ,004 0,4% 0

18 Modell: Bedingte Wahrscheinlichkeit Lösung Die Hälfte der Fahrgäste in der 1. Klasse des ICE besteht aus jungen Menschen. Jeder zweite junge Mensch hat ein Handy. Von den Menschen, die nicht jung sind, hat nur jeder dritte ein Handy. Im Zug meldet sich bei der Nachbarin ein Handy. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie jung ist? J: jung H: Handy J J H H H H 2 3 gesucht: W( JH ) W JH ( H) W J W H ,6 60% 5

19 Modell: Bedingte Wahrscheinlichkeit ufgabe 06 Lösung Zwei Maschinen produzieren Stahlkugeln. Dabei ist 3% der Tagesproduktion der ersten Maschine usschuss und 8% der zweiten Maschine usschuss. 60% der defekten Kugeln der gesamten Tagesproduktion der beiden Maschinen stammen von der ersten Maschine. Wie viel Prozent der Tagesproduktion stammt von der ersten Maschine? Wie viel Prozent der Tagesproduktion ist usschuss? M1: erste Maschine M2: zweite Maschine : usschuss x M M1 M2 y 8 M2 M1 92 M2

20 gesucht: W ( M1) und W W( M1) x 3 8 W x + y 3 8 x + ( 1 x) W M1 W M1 ( ) W 3 x x + ( 1 x) x ( 1 x) x x x x x + x x x x x x 5 4 W( M1) 0,8 80% W x + ( 1 x) ,04 4% 25