Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II -Bearbeitungsvorschlag-

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1 MTHEMTISCHES INSTITUT DE UNIVESITÄT MÜNCHEN D. ost, J. Gairing SS 08 latt Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II -earbeitungsvorschlag-. Wir ergänzen erst das linke aumdiagramm: ufgrund der. Pfadregel, bzw. weil sowie P () + P (), also P () P () bzw. P () + P (), P () P (), ist also P () P (), P (), P () und P () 5 6. Das linke aumdiagramm sieht also vervollständigt so aus: Wir bestimmen daraus nun die Wahrscheinlichkeiten im rechten aumdiagramm: ufgrund der. Pfadregel, bzw. der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit ist P () P () P () + P () P }{{} () }{{} P ( ) P ( ) , also P () 7. ufgrund der Formel von ayes, bzw. direkt anhand der Definition P () P ( ) P () ist P () P () P () P (), also P () und also P () 5. P () P () P () P () 7 7, Das rechte aumdiagramm sieht also vervollständigt so aus: 7 5

2 Die Ereignisse, sind nicht unabhängig, denn P ( ) 6 P () P (), was man auch schon am (z..) linken aumdiagramm sieht, denn bei, unabhängig müßte gelten P () P (), [dies ist im Fall, daß 0 < P () <, auch schon hinreichend für die Unabhängigkeit von und (!)], was aber wegen 6 nicht der Fall ist.. Wir betrachten in einem geeigneten (weiter spezifizierten) Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) die beiden Ereignisse K : Die gewählte Person ist Kaffeetrinker. : Die gewählte Person ist aucher. Die über das Land gegebenen Informationen lassen sich so deuten, dass gilt: P () 0,, P (K) 0,5, P (K) 0,. a) Nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ist P (K) P (K) P () + P (K) P () 0,5 0, + 0, ( 0,) 0,55. b) Es ist P ( K) P (K) P () 0,5 0, 0,05. c) Nach der Formel von ayes (oder nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit unter Verwendung von b)!) ist [ ] P K () P (K) P () b) P ( K) P (K) P (K) 0,5 0, 0,55 7 0,8. d) Wieder unter Verwendung der Formel von ayes ergibt sich: P K () P (K) P () P (K) ( 0,) ( 0,) 0,55 8 0,66.

3 emerkung: Natürlich kann man auch mit einer -Feldertafel lösen: Wir erstellen eine rudimentäre Tafel aus den ngaben. Es ist lso haben wir P () 0.0 P (K ) P (K) P () P (K ) P (K) P () K ? K??? Diese kann man ganz einfach ergänzen zu K K , woraus sich die gesuchten Wahrscheinlichkeiten ergeben: a) P (K) 0.55 b) P (K ) 0.05 c) P K () d) P K () a) In einem geeigneten (nicht weiter spezifizierten) Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) betrachten wir die folgenden Ereignisse: : Der Schein ist gefälscht. : Das Gerät blinkt auf. i) Wegen P () c und P () d gilt P ( ) P () P () c r sowie P ( ) P () P () d ( r). Damit ergibt sich die rudimentäre Vierfeldertafel Diese lässt sich problemlos auffüllen zu c r? r d ( r)? r??

4 c r ( c) r r d ( r) ( d) ( r) r Damit ergibt sich cr + d( r) ( c)r + ( d)( r) p P () ii) Die Formel von ayes besagt P ( ) P () d ( r) c r + d ( r). p P () P () P (). P () Den Wert P () erfahren wir nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: Es ist Damit ergibt sich wie in i). P () P () P () + P () P () c r + d ( r). p P () P () P () P () d ( r) c r + d ( r) iii) Das folgende aumdiagramm ergibt sich sofort aus den ngaben mit Hilfe der. Pfadregel (die gegebenen Größen in rot): c r r c d d Mit der. Pfadregel bestimmt man P () und erhält dann für die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit P ( ) ( r)d p P () P () rc + ( r)d. (Es lohnt sich, während jeder der drei Varianten ab und zu in einen lick auf die anderen beiden zu werfen: Dann merkt man, daß jeder der drei Zugänge zu den gleichen echnungen führt.)

5 b) Hier muss man nur noch Werte einsetzen: Es ergibt sich wegen r 0,005 p 0,00 ( 0,005) 0, 0, ,00 ( 0,005) ,0. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Schein, an dem das Gerät aufblinkt, dennoch echt ist, beträgt also rund 0 Prozent.. a) Wir betrachten folgendes Zufallsexperiment: Wir ziehen 5 mal aus einer Urne mit 65 Kugeln mit Zurücklegen. In der Urne befindet sich genau eine schwarze Kugel (dies entspricht unserem Geburtstag). Sei Es wird mindestens einmal die schwarze Kugel gezogen. Dann ist P () die in Teilaufgabe a) gesuchte Wahrscheinlichkeit. Um P () zu berechnen, bestimmen wir zuerst die Wahrscheinlichkeit, daß die schwarze Kugel nicht gezogen wird. Diese ist gegeben durch Damit ist (5, 65 )({0}) ( ) ( P () (5, ) 0 ( ) )({0}) % 65 ( ) 6 5 6% 65 b) Zuerst gilt zu beachten, daß sich insgesamt 6 Personen in dem aum befinden. Wir wählen hier als Grundraum Ω {,,..., 56} 6 und P Laplace-Wahrscheinlichkeit auf Ω, wobei (x, x,..., x 6 ) Ω bedeuten soll: Die. Person hat am Tag x Geburtstag, die. Person am Tag x, u.s.w. Die Tag des Jahres sind dabei von bis 56 durchnumeriert. Es sei Menge aller 6-Tupel aus Ω mit mindestens gleichen Einträgen Dann ist P ( ) die gesuchte Wahrscheinlichkeit, also die W., daß mindestens der 6 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. Um P ( ) zu berechnen, bestimmen wir zuerst die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses. Es ist Menge aller 6-Tupel aus Ω mit lauter verschiedenen Einträgen. Wegen }{{} 6 Zahlen 65! (65 6)! ist also mit Ω 65 6 P ( ) P ( ) Ω 65! 8%. (65 6)! 656 c) In Verallgemeinerung von a) erhalten wir für beliebiges k N, k P () (k, 65 )({0}) ( ) 6 k 65 als Wahrscheinlichkeit, daß in einem aum mit insgesamt k Personen (eine davon sind Sie) eine der anderen k Personen am gleichen Tag wie Sie Geburtstag hat. Ebenso erhalten wir in Verallgemeinerung von b) für beliebiges k N, k, daß die

6 Wahrscheinlichkeit, daß in dem aum mit insgesamt k Personen mindestens zwei Personen an dem gleichen Tag Geburtstag haben, gegeben ist durch P ( ) 65! (65 k)! 65 k gegeben ist. Hinweis: Diese Formel gilt nur für k 65, da für k > 65 der usdruck (65 k)! nicht definiert ist. efinden sich mehr als 65 Personen in einem aum, so müssen natürlich (unter Vernachlässigung der Schaltjahre) mindestens zwei Personen an dem selben Tag Geburtstag haben. Es gilt also { 65! P ( falls k 65 (65 k)!65 ) k falls k > 65 zu a): Für eine Schätzung des k, ab dem P () ist, würde man vielleicht an k 8 (also in etwa halb so viele Personen wie Tage im Jahr) denken. In der Tat ist dieses k aber viel zu klein (da man nicht berücklichtigt, daß Personen auch an gleichen Tagen Geburtstag haben können), es ist ( ) %. 65 Erst k 5 (wie man mit Hilfe des Logarithmus, der nicht Stoff der Vorlesung ist, finden könnte) liefert ( ) 6 5 P () zu b): Für eine Schätzung des k, ab dem P ( ) würde man vielleicht k in einer Größenordnung wie oben, also etwa k 50 vermuten. In der Tat ist dieses k aber viel zu groß (da man nicht berücksichtigt, daß diese Personen ja nicht unbedingt mit Ihnen, sondern auch untereinander einen gleichen Geburtstag haben können)! Durch usprobieren findet man, daß bereits für k P ( ) 65! (65 )! >. emerkung: Die Tatsache, daß dieses k so überraschend klein ist, hat dem Problem den Namen Geburtstagsparadoxon eingebracht.