Geometrische Charakterisierung von Objekten und Komponenten in Volumenbildern

Transkript

1 Geometrische Charakterisierung von Objekten und Komponenten in Volumenbildern

2 Geometrische Charakterisierung Katja Schladitz, Fraunhofer ITWM Überblick: 1. Grundlagen: Volumenbilder, diskreter Zusammenhang 2. Charakterisierung von Komponenten 3. Modellbasiert: offenzellige Schäume 4. Charakterisierung von Objekten 5. Weitere Methoden: Spektral- und Kovarianzanalyse, morphologische Methoden, nicht additive Funktionale

3 Ziele der Mikrostrukturanalyse geometrische Charakterisierung für Qualitätssicherung, Auswahl und Vergleich von Materialien Aufbereitung von Bilddaten für die direkte Verwendung in Simulationsrechnungen (makroskopische Materialeigenschaften) Modellanpassung (Parameter werden aus geometrischen Kenngrößen von Komponenten der Mikrostruktur bestimmt, virtuelles Materialdesign) Luftströmung durch Fasermaterial, Strömung, A. Wiegmann, ITWM, Visualisierung C. Lojewski, ITWM, Modellierung: GeoDict Anpassung dreidimensionaler Geometriemodelle, Bestimmung makroskopischer Materialeigenschaften (Permeabilität, Filtration, Festigkeit ) durch numerische Simulation in Modell oder aufbereiteter 3d Aufnahme, Ermittlung der für die gewünschten Eigenschaften optimalen Materialparameter Seite 3

4 Was ist ein 3d/Volumenbild? Ergebnis eines 3d bildgebenden Verfahrens e.g. Computertomographie Laserscanningmikroskopie Nanotomographie (mit AFM oder TEM mit FIB). Grauwerte, bestimmt in den Knoten eines Gitters (hier: kuboidales Gitter ) in einem Beobachtungsfenster sind die Auflösungen in x-, y-, bzw. z-richtung Pixel (Voxel) ist ein Gitterpunkt, Pixelwert der zugewiesene Grauwert Seite 4

5 Typen von Mikrostrukturen homogen Strukturen mit Homogenität bezüglich einiger Bewegungen Systeme von Objekten Seite 5

6 Minkowskifunktionale Volumen V, Oberfläche S, Integral der mittleren Krümmung M, Integral der totalen Krümmung K (Eulerzahl ) Theorem (Hadwiger, 1957): Jedes nichtnegative, bewegungsinvariante, monoton steigende, c-additive Funktional von konvexen Körpern ist eine Linearkombination der Minkowski-Funktionale. Minkowskifunktionale beschreiben nicht alle Eigenschaften von Mikrostrukturen. (Baddeley, Averback, 1983): Beispiel bei gleichen Minkowskifunktionalen aber völlig verschiedener Tortuosität. Abgeleitete Kenngrößen: Formfaktoren Richtungsinformation: Projektionen Seite 6

7 Kenngrößen von Komponenten: Dichten der Minkowskifunktionale Faserfilz, ESRF, Auflösung 7µm Komponente = Ausschnitt aus makroskopisch homogener Struktur (räumlich stationäre zufällige abgeschlossene Menge) Messung der Dichten der Minkowskifunktionale (e.g. Volumenanteil, spezifische Oberfläche) Interpretationsbeispiele: Fasern: (spezifische Faserlänge) isolierte Teilchen: Eulerzahl = Teilchenzahl offenporiger Schaum: mittlere Stegdicke L = V 23.3mm -2. χ =133 Seite 7

8 Croftonsche Schnittformeln Minkowskifunktionale aus Schnitten mit Ebenen (d=2), Geraden (d=1), Punkten (d=0). Bestimmung der Minkowskifunktionale durch Integration über alle Positionen der Schnittobjekte: Volumen aus Flächeninhalt ebener Schnitte oder Länge linearer Schnitte oder überdeckten Punkten Oberflächeninhalt aus Umfang ebener Schnitte, gemittelt über alle Schnittrichtungen Anzahl der Schnittsegmente mit Geraden, gemittelt über alle Schnittrichtungen Integral der mittleren Krümmung aus Anzahl der Schnittflächen mit Ebenen, gemittelt über alle Schnittrichtungen Seite 8

9 Diskretisierung der Croftonschen Schnittformeln Minkowskifunktionale aus Schnitten mit 1- oder 2-dimensionalen Untergittern oder Gitterpunkten. Bestimmung der Minkowskifunktionale durch Zählen der Schnittobjekte: Volumen aus Anzahl der überdeckten Gitterpunkte Oberflächeninhalt aus Eulerzahl in 1-dimensionalen Untergittern, gemittelt über alle 13 diskreten Richtungen Integral der mittleren Krümmung aus Eulerzahl in 2-dimensionalen Untergittern, gemittelt über alle 13 diskreten Richtungen Entscheidende Aufgabe: korrekte und effiziente Bestimmung der Eulerzahl in Untergittern (teilweise nicht regulär) Seite 9

10 Diskreter Zusammenhang in 3d (1) Diskreter Zusammenhang (Nachbarschaft) gibt an, wie Pixel miteinander verbunden sind (Kanten, Wege, Zusammenhangskomponenten). 2d: 4, 6.1, 6.2 und 8 Nachbarschaft vollständig unter schwachen Voraussetzungen Konsistenz (Jordanscher Kurvensatz bzw. Schätzung der Eulerzahl, d.h. Eulerzahl Vordergrund=-Eulerzahl Hintergrund) für (4,8), (6.1,6.1), (6.2,6.2), (8,4) 3d: ungelöst, Beschreibung nicht eindeutig Konsistenz (Jordanscher Oberflächensatz) für (6,26), (6,18), (26,6), (18,6) Seite 10

11 Diskreter Zusammenhang in 3d (2) 14.1 Konsistenz (Schätzung der Eulerzahl, d.h. Eulerzahl Vordergrund=Eulerzahl Hintergrund) für (6,26), (26,6) Problem: starke Asymmetrie Nachbarschaftssystem System von k-seiten, k=0,...,3 (Zerlegung der Einheitszelle oder Superposition...) 14.2 Diskretisierung einer deterministischen oder zufälligen abgeschlossenen Menge X: Vereinigung aller k-seiten des Nachbarschaftssystems, deren Ecken in X liegen (14.1,14.1) und (14.2,14.2) erlauben konsistente Schätzung der Eulerzahl Seite 11

12 Approximation der Eulerzahl mit Hilfe der Euler-Poincaré-Formel Eulerzahl in 3d: #Zusammenhangskomponenten-#Tunnel+#Löcher Polykonvexe Menge: Eulerzahl = #Knoten-#Kanten+#Flächen-#Zellen Idee: Bestimme lokale Eulerzahl, Randkorrektur durch Gewichte, Eulerzahl = Summe der lokalen Konsistenz: Eulerzahl von X, diskretisiert bzgl. F = Eulerzahl Komplement, diskretisiert bzgl. des komplementären Nachbarschaftssystems (6,26), (26,6) komplementär in diesem Sinne; 14.1, 14.2 selbstkomplementär Aber: Qualität der Schätzer wächst nicht mit Auflösung, falls die Struktur zu fein ist Seite 12

13 Effiziente Bestimmung der Minkowskifunktionale Faltung des binären Bildes mit der Filtermaske. Grauwerthistogramm des resultierenden Grauwertbildes ergibt den Vektor h der absoluten Frequenzen lokaler 2x2x2 Konfigurationen. Die Länge von h ist unabhängig von Bildgröße und -inhalt. Funktionale ergeben sich aus Multiplikation mit geeigneten Vektoren von Gewichten (unabhängig vom Bild, nur von gewähltem Zusammenhang und gewünschtem Funktional). Idee: (Lang, Ohser, Hilfer 1999). Seite 13

14 Konnektivität in Sintermaterial Anzahl der Sinterhälse pro Sinterkugel? Beispiel: 3 Kugeln (Eulerzahl 3), durch 3 Hälse zum Torus verbunden (Eulerzahl 0), 2=2(3-0)/3 Sinterkupfer, Bundesanstalt für Materialprüfung, Auflösung 14µm Eulerzahl im Original: -121 Eulerzahl nach Trennung der Kugeln durch Erosion: 133 Ergebnis: 2[133-(-121)]/133=3.82 Seite 14

15 Analyse von Fasermaterial spezifische Faserlänge Richtungsinformation ist enthalten in den verallgemeinerten Projektionen bei Berechnung des Integrals der mittleren Krümmung Richtungsverteilung -- Verteilung der Richtung im typischen Faserpunkt Faserfilz, European Synchrotron Radiation Facility (ESRF), Auflösung 7µm, Phasenkontrastmethode Seite 15

16 Analyse einer inhomogenen Struktur Seite 16

17 Modellbasierte Analyse: offenzellige Schäume Vermessung des Stegsystems: Messung der Minkowski-Funktionale, Ableitung von Charakteristika des Stegsystems Modellbasierte Berechnung von Charakteristika des Poren/Zellsystems (z.b. mittlere Zellengröße, ppi (pores per inch)) Seite 17

18 Offenzellige Schäume: Charakteristika des Stegsystems Beispiel Nickelschaum Gemessene Dichten der Minkowski-Funktionale: Porosität: Stegdichte (Gesamtlänge der Stege pro Volumeneinheit): mittlere Stegdicke: mittlere Querschnittsfläche der Stege: Seite 18

19 Offenzellige Schäume: Kantensystem eines Mosaiks Mosaik -- Zerlegung des Raums in Zellen Modelle für offenzellige Schäume sollten makroskopisch homogen aber mikroskopisch heterogen sein, überwiegend 5- eckige Seitenflächen haben und analytisch beschreibbar sein. Zufällige Voronoi-Mosaike: Zellen wachsen gleichmäßig von Zentren aus, Wachstum endet bei Zusammenstoß Poisson-Voronoi: Zentren unabhängig gleichverteilt Hard-core-Voronoi: Zentren haben Mindestabstand R Seite 19

20 Offenzellige Schäume: Deterministische Mosaike Wunsch: Mosaik aus (regelmäßigen) Dodekaedern Problem: pentagonale Dodekaeder nicht raumfüllend Alternativen: Kelvin Schaum identische Zellen (beschnittene Oktaeder) Weaire-Phelan-Model - 2 Zelltypen: pentagonale Dodekaeder und 14-Flächner mit 2 sechseckigen und 12 fünfeckigen Seiten, Verhältnis 2:6 Eine Variante des Weaire-Phelan-Modells mit leicht gekrümmten Seitenflächen ist die derzeit beste Lösung für das Kelvin-Problem minimale Oberfläche bei gleichem Zellvolumen. Bilder Weaire-Phelan-Modell: Ken Brakke, Seite 20

21 Offenzellige Schäume: Messergebnisse unter Modellannahmen Beispiel: Nickelschaum, Weiare-Phelan-Modell, Werte in Klammern Poisson-Voronoi- Mosaik mittlere Anzahl von Zellen pro Volumeneinheit mittleres Zellvolumen ppi (pores per inch)-wert mittlerer Zelldurchmesser mittlerer Durchmesser der Seitenflächen mittlere Fläche der Seitenflächen Seite 21

22 Was sind Objekte? Mathematisch: kompakte, zusammenhängende Menge Bildanalytisch: pfadzusammenhängend, endlich Beispiele: Poren, Zellen, Fasern, Risse, Lunker Seite 22

23 Korundeinschlüsse in Feuerbeton Größen- und Formverteilung der Korundeinschlüsse in Feuerbeton Vorher: Trennung der Aluminaeinschlüsse durch Kombination von Euklidischer Distanztransformation und Wasserscheidentransformation Feuerbeton mit Aluminaeinschlüssen, TU Freiberg, XCT Fraunhofer IZFP, Saarbrücken Seite 23

24 Zellgrößen in offenzelligem Schaum Seite 24

25 Problem: Randeffekte Randobjekte können nicht korrekt vermessen werden. Ausweg: Entfernen aller Randobjekte Effekt: Größenverzerrte Auswahl (Randobjekte sind größer ) Ausweg: Gewicht Seite 25

26 Formfaktoren isoperimetrische Formfaktoren: 1 für Kugel, je näher an 0 desto weniger kugelig Konvexität: Verhältnis der Volumina des Objekts und seiner konvexen Hülle Exzentrizität: Verhältnis von minimalem zu maximalem Durchmesser Seite 26

27 Formfaktoren: Beispiele Seite 27

28 Formanalyse: Poren in Keramikkörnern Seite 28

29 Weitere Analysemethoden Spektral- und Kovarianzanalyse morphologische Methoden nichtadditive Funktionale Seite 29

30 Morphologische Methoden: Sphärische Kontaktverteilung Verteilung des Abstands von zufälligem Punkt außerhalb der Struktur zur Struktur Beschreibt gut Regularität des Porenraums Sehr sensitiv bzgl. Rauschen Seite 30

31 Morphologische Methoden: Granulometrieverteilung Verteilung des Radius der größten überdeckenden Kugel (Struktur: local scaffold thickness, Porenraum: local pore size) Algorithmus: naiv - Öffnung mit wachsenden strukturierenden Elementen effizient suche Zentren maximaler Kugeln auf Gratlinie der EDT Seite 31

32 Nicht additive Funktionale Geometrische Tortuosität: Verhältnis von Länge der diskreten Wege im Porenraum zu Probenkantenlänge Perkolation: Volumenanteil der für Kugeln wachsender Größe durchlässigen Bereiche des Porenraums Richtungsverteilung x- und y- Richtung z-richtung isotrop leicht anisotrop stark anisotrop Problem: Ergebnis abhängig von Probengröße Seite 32

33 Korrelationsanalyse: Poren und Treibmittel in Aluminiumschaum Lösungen: 1. Korrelation (Kovarianzen): 2. Distanzmethode: Dilatation des Porenraums, Bestimmung des Volumenanteils (TiH2) in der Matrix Geschlossenzelliger Al-Schum, frühes Stadium, ESRF Seite 33

34 Beiträge von Joachim Ohser, Martin Braun, Michael Godehardt, Falco Hirschenberger, Karsten Koch, Claudia Lautensack, Werner Nagel, Stefanie Peters, Marius Renn, Kai Sandfort, Helmut Seibert, Axel Springhoff, Tetyana Sych, Katharina Unverzagt, Björn Wagner Seite 34