Oberflächenrepräsentationen Kontinuierliche Kurven Bezier-Kurven. Freiformflächen. Diskret

Transkript

1 Oberflächenrepräsentationen Kontinuierliche Kurven Bezier-Kurven Thomas Jung Freiformflächen NURBS Die Modellierung von Objekten erfordert die geeignete Repräsentation der Oberfläche Je nach Anforderung werden unterschiedliche Eigenschaften repräsentiert Geschwungene Formen werden mit Hilfe von Freiformflächen repräsentiert Diskret Kontinuierlich Dreiecksstreifen Winged-Edge- Datenstruktur Primitivobjekte Extrusion NURBS Dreiecksstreifen und fächer + Sind effizient zu rendern + Ein neuer Eckpunkt pro Dreieck + Dreiecke sind immer planar - Kein Konzept von Nachbarschaft z.b: Winged-Edge-Datenstuktur - Kein Konzept des umschlossenen Raums - Hoher Speicherbedarf Extrusionen (Sweeps) - Ungenaue Beschreibung - Schwierig zu deformieren Parametrische Repräsentationen (NURBS) Zur Beschreibung gekrümmter Kurven und Flächen Genaue Beschreibung möglich Einfache Veränderung der Form Einsatz in der Modellierung Niedriger Speicherbedarf Komplexe Darstellungsalgorithmen Häufig Konvertierung in Polygonliste erforderlich 1

2 NURBS-Oberfläche besteht aus Patches 16 Kontrollpunkte pro Patch Lokale Kontrolle Veränderung der Kontrollpunkte Ein Kontrollpunkt hat Einfluß auf maximal 16 Patches ( Bildquelle: Watt/Watt: Advances Animation and Rendering Techniques, Addison Wesley 1992) Lineare Interpolation Was sind Kontrollpunkte?... Kurvenstücke Parameter t führt über das Kurvenstück (Belegarbeit von Lars Wiehle, Florian Stamm und Ingo Kobs im SS2001) Vom Kurvenstück zur Kurve C(1)-Kontinuität an den Übergängen Höhere Kontinuität Glattere Übergänge, C(2)-Kontinuität: B-Splines Von der Kurve zur Fläche NURBS Anordnung von Kontrollpunkten Gebrochen-rationale Interpolationsformeln Kontrollpunkte Modellierung bzw. Gestaltung der Kurve Generierungsvorschrift Gestalt (z. B. Weichheit) der Kurve Interpolation oder Approximation Abtastung mit Parameter Rendering der Kurve Kontrollpunkte Interpolationsformel P(t) = (1-t) * + t * Abtastung t=0 For (t = 0; t < 1; t += dt) Zeichne Linie von P(t) nach P(t + dt) P(t) P(t+dt) t dt t=1 2

3 Wertebereich von 0 bis 1 Soll Kurve regelmäßig abtasten Pierre Étienne Bézier, t=0 Renault Fuego, ab 1979 t=0 t=1 t=1 Schlecht: Gut: Davor Kurvenlineale Citroen GS, ab 1970 (Bildquellen acko.net, wikipedia.de, texteur.net ) Approximationsformel Geometrische Interpretation (De Castelijau-Repräsentation) Bezier-Approximation Kontrollpunkte beschreiben konvexe Hülle Paul de Casteljau, Kontrollpunkte Hermite-Approximation Start- und Endpunkt Start- und Endrichtung Lineare Interpolation Lineare Interpolation Bezier-Approximation Hermite-Approximation Spline-Interpolation/Approximation B-Splines (Approximation) Beta-Splines (Approximation) Catmull-Rom-Splines (Interpolation) NURBS (Approximation) Knicke C(0)-kontinuierlich Bezier-Approximation C(1)-kontinuierlich Wenn,, P5 auf einer Geraden Einmal stetig differenzierbar P7 P5 P6 3

4 Idee: Zusammenfügen von elastischen Metallstreifen ( Splines ) C(2)-kontinuierlich Kontrollpunkte werden i. d. R. nicht durchlaufen Approximation Vier Kontrollpunkte Kurvenstück verläuft zwischen mittleren Kontrollpunkten und Benachbarte Kurvenstücke haben drei gemeinsame Kontrollpunkte C(2)-Kontinuität P5 1 Duplizieren der Kurvenendpunkte Werden dann von Kurve durchlaufen t Symmetrie bzgl. des Kurvenstücks k 2 (t) = k 3 (1-t) und k 1 (t) = k 4 (1-t) Gewichtungen k i (t) der Kontrollpunkte werden Basisfunktionen genannt Symmetrie für Enden des Kurvenstücks k 1 (0) = k 3 (0) und k 2 (1) = k 4 (1) Einfluß der Kontrollpunkte k 4 (0) = 0 und k 1 (1) = 0 Interpolation wenn k 1 (0) = k 3 (0) = k 4 (t) = 0 sonst Approximation t k 1 (t) k 2 (t) k 3 (t) k 4 (t) 4

5 k 2 (t) k 3 (t) k 1 (t) k 4 (t) B-Spline- Basismatrix Parameter a für Spannung a=1/3 Basismatrix ß-Splines a=2/3 Zusätzliche Parameter Spannung und Scharfheit Catmull-Rom-Splines a=1 a=0 (Bildquelle: Parameter t von 0 bis 1 zum regelmäßigen Abtasten von Kurvenstücken Generierungsvorschrift definiert die Gewichtung der Kontrollpunkte abhängig von t Bei Interpolation werden Kontrollpunkte durchlaufen Kurve besteht aus mehreren Kurvenstückchen Bezier-Approximation ist maximal C(1)-kontinuierlich B-Splines bieten C(2)-Kontinuität Basismatrizen für B-Splines, Cardinal-Splines, Catmull-Rom-Splines und ß-Splines 2-stufige Anwendung der B-Spline- Interpolationsformel Kurvenstück wird über die Fläche interpoliert Interpolation aller vier Kontrollpunkte jeweils mit Spline-Kurve Kontrollpunkte für 9 Patches Zusammengefügte Patches 5

6 Kurvenstück mit variablen Kontrollpunkten Approximation eines Kontrollpunkts Einsetzen von Pi(s) T Uniform (Nonrational) B-Splines Kontrollpunkte sind gleichmäßig über Parameterraum verteilt C2-Kontinuität Nonuniform (Nonrational) B-Splines Kontrollpunkte ungleichmäßig verteilt Kontinuität von C0 bis C2 an Kontrollpunkten Einsetzen von Kontrollpunkten Kontrollpunkte in homogenen Koordinaten Rational durch Division Homogene Koordinate ist Gewicht des Kontrollpunkts Nähe der Kurve zum Kontrollpunkt NURBS sind invariant auch bezüglich perspektivischer Transformation Tiefenerhaltende Perspektivische Projektion der Kontrollpunkte vor dem Rendering möglich Z. B. Repräsentation von Kugeln möglich Diskrete vs. Kontinuierliche Repräsentationen Parameter t führt über die Kurve C(1) vs. C(2)-Kontinuität Interpolation vs. Approximation Patches: Zweistufiges Anwenden der Approximationsformel Zusammensetzen von Patches B-Splines mit lokaler Kontrolle NURBS 6