Lehrgang: Spezifische Lernförderung Rechnen- Dyskalkulie. Mag. Dr. Brigitta Amann Schulpsychologie Bludenz Oktober 2008

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1 Lehrgang: Spezifische Lernförderung Rechnen- Dyskalkulie Mag. Dr. Brigitta Amann Schulpsychologie Bludenz Oktober

2 Inhaltsverzeichnis Entwicklungsorientierte Modelle des Rechenerwerbs... 3 Numerische und arithmetische Kompetenzen von Kleinkindern... 4 Numerische und pränumerische Basisfertigkeiten Rechnen Aufbau des Rechenwissens Kognitive Komponenten Gedächtnis Modelle der Zahlenverarbeitung Dehaene (1992, 1999) Triple Code Modell Das McCloskey Modell Abstrakte Zahlenrepräsentationen im Gehirn Spezielle cerebrale Schaltkreise für die Zahlenverarbeitung Schwierigkeiten im Rechenerwerb Dyskalkulie Symptomatik Prävalenz Persistenz Alltagsrelevanz und langfristige Konsequenzen Geschlechtsunterschiede Ursachen Kognitive Komponenten und Dyskalkulie Aufmerksamkeit Intelligenz Räumliche Fähigkeiten Lesen, Leseschwierigkeiten (Dyslexie) und Rechenschwierigkeiten Rechenangst und Einstellungen Neuropsychologische Dyskalkulie-Modelle Rourke (1993) NLD und RS Geary: 3 Dyskalkulietypen Theoretische Konzepte zum Rechnen Lernen Prävention und Förderung Von der Stufe des zählenden Rechnens zur Abrufbarkeit der Basisfakten Aufbau und Verinnerlichung Mathematischer Operationen nach Aebli Programme zur Rechenförderung Numeracy Recovery (Ann Dowker) Das Innsbrucker Programm zur Rechenförderung (Kaufmann et al. 2003) Das kognitiv-neuropsychologisch orientierte Interventionsprogramm von Pia Handl Mathematics Recovery (Wright, et al. 2000, 2002) Number Worlds Implizites und explizites Wissen Repräsentationen in den verschiedenen Welten Zur Methode Anhang: Literaturverzeichnis

3 Kinder wachsen in eine Welt hinein, die voll ist von Zahlen. Sie lernen wie von selber Größen, Mengen und Anzahlen zu unterscheiden. Wer hat das größere, oder wo ist mehr? solche Fragen beantworten schon Kleinkinder relativ mühelos. Sie beginnen zu zählen, erkennen einfache Zahlen, sie spielen mit Würfeln und Geld. Fernsehkanäle haben Zahlen, das Telefon hat Ziffern, Dominos und Würfel haben Muster Zahlen haben viele Gesichter. Und es gibt einfache alltägliche Sachverhalte, die Kinder in die Welt der Zahlen und hineinführen. Es wird getauscht, gefeilscht, gehandelt Wer hat mehr? Ich tausche eins von mir gegen eins von dir. Deins ist größer dafür ist meins schöner. Werte werden verglichen, einfache Operationen schon ausgeführt (+ 1-1 = 0). Schrittweise erobern Kinder das Gebiet der Mathematik. Doch wann beginnt dieser Prozess? Was ist die Grundlage dieses Wissens? Liegen dem Rechnen allgemeine kognitive Funktionen, wie logisches Denken, Gedächtnisfunktionen (Kurzzeit- und Langzeitgedächtnis) und räumliches Vorstellungsvermögen, zugrunde? Oder kommen Kinder mit einer speziellen Rechenfähigkeit zur Welt? Was ist letztendlich der Grund, wenn Kinder das Rechnen eben nicht Erlernen? Diese und ähnliche Fragen beschäftigen die Wissenschaft schon lange und speziell in den letzten Jahren haben sich einige sehr interessante Erkenntnisse auf diesem Gebiet gewinnen lassen. Der folgende theoretische Teil der Arbeit beschäftigt sich im ersten Teil zunächst mit dem Erwerb der Rechenkompetenzen, versucht zu strukturieren und einen Überblick über die Zusammenhänge zu geben. Der zweite große Abschnitt beschäftigt sich mit den beeinträchtigten Rechenkompetenzen und schließlich folgt im dritten theoretischen Abschnitt eine Auseinandersetzung mit dem Unterricht von Mathematik. Entwicklungsorientierte Modelle des Rechenerwerbs Der Begriff Numerosität Die kennzeichnende Bedeutung aller numerischen Ausdrücke ist ihre Bezeichnung für die Größe einer Menge. Diese Bezeichnung für die Größe bzw. Anzahl einer Menge wird Numerosität oder Kardinalität genannt. Butterworth (2005) verwendet den Begriff Numerosität als kognitiven Gegenpol zum von Mathematikern geprägten Begriff Kardinalität. Der Mengenbegriff ist das Besondere an Zahlen. Numerosität ist ein abstrakter Begriff er ist weder ein physikalisches Objekt noch eine spezifische Eigenschaft eines Objektes wie Farbe oder Form. Numerosität ist vielmehr eine Eigenschaft einer Menge, die jede Art von Elementen einbezieht: physikalische Objekte, Töne, Handlungen oder abstrakte Dinge, wie Wünsche. Das Wahrnehmen der Mengen hängt natürlich von der Beschaffenheit der Elemente ab. So können Würfelmuster wesentlich leichter erfasst werden als Punktemuster in zufälliger Anordnung. 3

4 Das Wissen um die Numerosität beinhaltet einfache logische Schlussfolgerungen, wie: zwei Mengen sind gleich groß, wenn jedem Element der Menge A ein und genau ein Element der Menge B zugeordnet werden kann (eins-zu-eins Zuordnung), ohne dass eines überbleibt. Butterworth (2005) führt eine Übersicht an, was Kinder verstanden haben müssen, um das Konzept der Numerosität erfasst zu haben. 1. Kinder haben die eins-zu-eins Zuordnung verstanden 2. Kinder verstehen, dass eine Menge von Dingen eine Anzahl hat und diese Anzahl sich verändert, wenn man damit manipuliert: Sie wird größer, wenn man etwas dazugibt, kleiner, wenn man Elemente wegnimmt, Mengen können die gleiche Größe Numerosität haben, oder die größere (kleinere) Numerosität als eine andere. 3. Kinder verstehen, dass Mengen nicht unbedingt sichtbare Dinge sein müssen. - Es können auch auditive, taktile oder abstrakte Elemente (Wünsche) sein. 4. Kinder können kleine Mengen bis zu 4 Elementen simultan erfassen, ohne verbales Zählen (=Subitizing). (Butterworth, 1999) Es herrschen viele Grundsatzdiskussionen, ob Kinder die Bedeutung der Numerosität verstehen, weil sie eine angeborene spezifische Kapazität für Größen besitzen, oder ob es eine eher allgemeine Fähigkeit ist, mit Mengen und Größen umzugehen. Entscheidende Erkenntnisse kommen von Menschen mit Dyskalkulie, die ein selektives Defizit dieser Kapazität haben, was ihre Möglichkeiten Arithmetik zu lernen, massiv beeinträchtigt. Wenn es auch einigermaßen gesichert scheint, dass etwas wie ein Konzept der Numerosität notwendig ist, um erfolgreich Mathematik zu lernen, so ist er noch lange nicht so sicher, wie diese Konzepte erworben werden. Der folgende erste große Abschnitt meiner Arbeit soll sich nun mit der Entwicklung der numerischen und arithmetischen Fähigkeiten befassen. Numerische und arithmetische Kompetenzen von Kleinkindern ( Gelmann, Geary Wynn 1992, 1998) Zahlreiche Philosophen und Psychologen haben sich schon über die Ursprünge des numerischen Wissens Gedanken gemacht. Was macht den menschlichen Geist fähig, Mengen und Zahlen zu verstehen? Die empiristische Sicht, wie wir unser mathematisches Wissen erwerben, ist, dass wir alles Wissen über numerische Beziehungen aus der Beobachtung erwerben. Die gegenteilige Sicht, der nativistische Ansatz, nimmt an, dass das Verständnis für Zahlen oder zumindest vieles vom Verständnis für Zahlen, angeboren ist. 4

5 Piaget (1952) beschreibt notwendige Voraussetzungen, um bestimmte logische Prinzipien zu verstehen, weil Arithmetik ein Teil eines logischen Systems ist, welches sich stufenweise durch eigene Erfahrung entwickelt. Das oben beschriebene Konzept der Numerosität würde für Piaget auf basaleren Kapazitäten, wie Transitivität und Anzahlerhaltung aufbauen. Andere Autoren beschreiben mehrere allgemeine kognitive Fähigkeiten, wie das Arbeitsgedächtnis (Ashcraft, 1995), räumliches Denken (Rourke, 1993) und sprachliche Fähigkeiten (DeStefano, 2004), die notwendig sind, um Rechnen zu können. Gegensätzlich zu dem was Piaget und andere unter Entwicklung des Rechnens verstehen, gibt es Beobachtungen, die zeigen, dass schon sehr kleine Kinder auf numerische Eigenschaften reagieren, ohne abstraktes Denken, Sprache oder viele Möglichkeiten, Dinge in der Umwelt zu erforschen. Studien der letzten 20 Jahre haben eindeutig gezeigt, dass Säuglinge und Babies schon sensitiv auf Mengen reagieren. Um mit so kleinen Kindern arbeiten zu können, wird in diesen Studien die Habituations-Methode angewandt. Kinder neigen dazu, Dinge, die sie interessieren, die neu oder unerwartet sind, länger anzusehen, als gewöhnliche Dinge. In den Habituationsstudien wird den Kindern beispielsweise jeweils ein Bildschirm gezeigt, auf welchem 2 Punkte zu sehen sind. Anschließend wird die dargebotene Anzahl der Punkte verändert. Es ist möglich, anhand der Blickreaktion der Kinder abzuleiten, ob diese für die Veränderung der Menge sensibel sind, weil sie den verändert wahrgenommenen Bildschirm länger ansehen. Die im folgendenen beschriebenen Studien beschäftigen sich mit der Fähigkeit, Anzahlen wahrzunehmen und diese zu unterscheiden. Die Versuche von Starkey & Cooper (1980) wurden mit 5 Monate alten Kindern durchgeführt. Diese wurden in der Versuchsanordnung zuerst an einen Bildschirm mit 2 (oder 3) Lichtpunkten gewöhnt. Nach der Habituierung wurde ihnen ein Bildschirm mit 3 (oder 2) Punkten gezeigt, worauf die Kinder deutlich längere Blickzeiten zeigten. Aufgrund dieser Versuche kann angenommen werden, dass Kinder mit 5 Monaten in der Lage sind, kleine Mengen von 2 und 3 Elementen zu unterscheiden. Ein zweites Experiment dieser Autoren zeigte, dass Kinder dieses Alters noch nicht in der Lage sind, zwischen 4 und 6 Punkten zu unterschieden. Säuglinge reagieren also auf die Anzahl der Lichtpunkte und nicht auf das Verhältnis mehr weniger. Dieselben Ergebnisse konnten in einer separaten Untersuchung mit 1 bis 3 Tage alten Säuglingen erzielt werden (Antell & Keating, 1983). Eine weitere Studie (Starkey, Spelke & Gelman, 1990) gewöhnte 7 Monate alte Kinder an Bildschirme mit 2 3 Bildern von verschiedenen, variierenden Haushaltsgegenständen (Orange, Schlüsselbund, Banane, Schwamm, etc.). Die Abbildungen unterschieden sich in Größe und Farbe. Nach der Habituierung wurden den Kindern neue Bilder mit anderen Gegenständen in unterschiedlicher Anordnung in jeweils geänderter Anzahl (3 2) dargeboten. Kinder im Alter von 7 Monaten blickten signifikant länger auf die Bildschirme mit den neuen Abbildungen in geänderter Mengenanzahl. Das bedeutet, dass Kinder sensibel auf die Anzahl der Menge reagieren (unabhängig von Erscheinungsform). 5

6 Eine Reihe von Experimenten von Loosbroeck & Smitsman (1990) beschäftigte sich mit Kindern im Alter von 5, 8 und 13 Monaten. Diesen Kindern sind Bildschirme mit 2, 3 oder 4 sich bewegenden I- tems gezeigt worden. Die Anzahlbestimmung der Items konnte nur durch das Beobachten der Bewegungen auf den Bildschirmen über eine kurze Zeitspanne erfolgen. Alle Kinder konnten kleine Anzahlen zwischen 2 und 3 Items und sogar zwischen 3 und 4 Items diskriminieren, die älteren zwei Gruppen sogar zwischen 4 und 5. Starkey (1990) gewöhnte 6 bis 9 Monate alte Kinder entweder an 2 oder 3 Fotos auf Bildschirmen, wie auch schon oben beschrieben. Nach der Habituierungsphase wurde den Kindern eine schwarze Platte auf dem Bildschirm gezeigt aus welcher entweder 2 oder 3 Trommelschläge ertönten. Es wurde festgestellt, dass die Kinder nur dann länger auf die schwarze Platte schauten, wenn dieselbe Anzahl von Trommelschlägen gespielt worden ist, wie zuvor Bilder gezeigt worden sind. Eine andere Versuchsanordnung dieser Autoren gewöhnte die Kinder an zwei Bildschirme, auf einem waren zwei auf dem anderen drei verschiedene Objekte zu sehen. Kurz nach dem Einblenden der Dias wurden aus dem Lautsprecher, der zwischen den beiden Bildschirmen stand, entweder zwei oder drei Töne gespielt. Die Kinder blickten je nach dem ob zwei oder drei Töne gespielt worden sind, entsprechend auf jenes Bild, auf dem dieselbe Anzahl von Objekten gesehen worden war. Wynn (1996) untersuchte die Fähigkeit von Kindern die Anzahl einer Serie von aufeinander folgenden Handlungen zu bestimmen. Handlungen unterscheiden sich in verschiedenen Aspekten von Objekten oder Tönen. Während Objekte längere Zeit kontinuierlich bestehen, und sich an speziellen Orten im Raum befinden, existieren Töne nur über bestimmte Zeitabschnitte. Also dienen in diesem Zusammenhang laut Wynn räumliche Informationen für das Erfassen von Objekten und zeitliche Informationen zur Teilung bestimmter Töne. Physikalische Handlungen hingegen unterscheiden sich von Objekten und Tönen. Sie existieren nicht kontinuierlich andauernd über einen Zeitabschnitt und können nur über zeitliche Information voneinander getrennt werden. Und es braucht räumliche Informationen, um sie wahrnehmen zu können. Die Wahrnehmung von Handlungen braucht die Integration von räumlicher Information über einen Zeitabschnitt. 6

7 Abbildung: Skizze der Apparate und Testsituation von Wynn (1996) aus: Wynn: Numerical competence in infants (1998) S. 8 Wynn arbeitete mit 6 Monate alten Kindern und gewöhnte die eine Hälfte an eine Versuchsanordnung in der eine Puppe 2 mal hüpfte, die andere Hälfte an 3 Sprünge. In der Testphase reagierten die Kinder mit Erstaunen auf eine Änderung der Anzahl von Sprüngen. Um sicher zu gehen, dass die Kinder nicht nur auf die Dauer der Handlung reagierten, wurde die Geschwindigkeit der Sprünge variiert, dass die Kinder teilweise mehr Sprünge innerhalb derselben Gesamtdauer der Handlungsfolge beobachten konnten. Die Ergebnisse zeigten, dass die Kinder sensibel auf die Anzahl der Sprünge reagierten, unabhängig vom Tempo der Sprünge oder der Dauer der Handlungen. Zusammenfassung Eine Zusammenfassung dieser Studien ergibt, dass schon sehr kleine Kinder in der Lage sind, in relativ abstrakter Form Anzahlen wahrzunehmen und diese zu unterscheiden. Kinder können sich Zahlen oder Mengen als Objekte oder visuelle Muster vorstellen, unabhängig von deren Größe, Farbe oder Anordnung. Sie können Anzahlen aus Items in sequentieller oder simultaner Darbietung bestimmen, egal ob visueller oder auditiver Stimulus. Und diese Kinder waren in der Lage Zuordnungen von verschiedenen Itemgruppen zu treffen, z.b.: sie konnten visuellen Stimuli auditive Stimuli zuordnen. Aus diesen Ergebnissen kann die Schlussfolgerung gezogen werden (Wynn 1998), dass Kinder über einen relativ abstrakten Mechanismus Anzahlen zu bestimmen und zu vergleichen verfügen. Der folgende Abschnitt beschäftigt sich mit den arithmetischen Fähigkeiten von Kindern. Diese Fähigkeiten verlangen mehr numerisches Wissen als bloßes unterscheiden können zwischen verschiedenen Anzahlen. Die Fähigkeit zwischen verschiedenen Zahlen unterscheiden zu können, beinhaltet kein schlussfolgerndes Denken über die Zahlen. Numerisches Schlussfolgern ist einerseits das Erkennen numerischer Relationen, wie: 5 ist größer als 3 oder 2 setzt sich zusammen aus 1 und 1, andererseits die Fähigkeit mit diesen Repräsentationen mental zu operieren.. Es gibt einige empirische Beweise dafür, dass Kinder die Ergebnisse bestimmter arithmetischer Operationen mit kleinen Anzahlen von realen Objekten bestimmen können. Wynn (1998) startete ein Experiment, bei welchem Kindern im Alter von 5 Monaten eine Handlung gezeigt worden ist. Dieser Versuchsgruppe (1 + 1) wurde zunächst eine kleine Bühne gezeigt, auf welcher ein Gegenstand platziert worden ist. Anschließend ging eine Trennwand hoch, um den Gegenstand zu verdecken. Danach wurde von der Seite ein zweiter Gegenstand auf die Bühne gebracht und ebenso hinter 7

8 der kleinen Trennwand platziert. Die Kinder konnten diese Handlung gut mitverfolgen, das Resultat der Handlung aber zunächst nicht überprüfen. Dann wurde erst die Trennwand fallengelassen, sodass die Kinder das Resultat sehen konnten, welches entweder 2 Gegenstände (1 + 1 = 2 richtiges Ergebnis) oder 1 Gegenstand (1 + 1 = 1 unmögliches Ergebnis) war. Eine andere Versuchsgruppe sah Rechenhandlungen, die 2-1 entsprachen, mit jeweils richtiger oder unmöglicher Lösung (1 oder 2). Die Blickzeiten der Kinder wurden gemessen, als die Trennwand fallen gelassen worden ist. Tatsächlich blickten die Kinder deutlich länger auf die Bühne, wenn die Ergebnisse wider ihre Erwartung (unmöglich) waren. Um sicher zu gehen, dass die Kinder nicht nur irgendeine Änderung der der Ausgangsituation erwarteten, wurde der Versuch noch präzisiert, indem man den Kindern bei der Aufgabe die Antworten 2 und 3 zur Auswahl gab, wobei sie wieder konsequent auf die falsche Antwort mit längeren Blickzeiten reagiert haben. Experiment = 2 oder 1 Experiment 2 1 = 1 oder 2 Abbildung: Ablauf der Ereignisse in den Experimenten und 2-1 aus: Wynn: Numerical competence in infants (1998) S. 12 8

9 Es kann also angenommen werden, dass Kinder schon im Alter von 5 Monaten in der Lage sind, exakte Resultate von einfachen arithmetischen Operationen zu berechnen. Subitizing - Mengenunterscheidung Butterworth (2005) stellt die Frage, ob es ein oberes Limit für das Konzept der Numerosität bei Kindern gibt. Butterworth meint, dass etwa bei 3 Elementen das Maximum der Möglichkeit von sehr kleinen Kindern Elemente zu erfassen erschöpft ist. Die Versuche von Starkey und Cooper (1980) zeigen zwar, dass Kinder 3 von 4 Elementen unterscheiden können, dennoch ist nicht gesichert, ob die 4 E- lemente nicht einfach nur als viele gespeichert haben. Es ist wahrscheinlich, dass das simultane Wahrnehmen kleiner Mengen, eine natürliche Grenze darstellt, bevor Zählen möglich ist. Bei Erwachsenen liegt die Grenze der simultanen Mengenerfassung (= Subitizing) bei 4 Einheiten. Butterworth (2005) vermutet, dass auch Babies schon eine ähnliche Fähigkeit im visuellen Verarbeitungssystem entwickelt haben. Auf Mengen, die größer sind als 4, reagieren Kinder nur sensibel, wenn das Verhältnis bei 2:1 liegt (z.b. 8:16), aber noch nicht bei einem Verhältnis von 3:2 (Xu & Spelke, 2000., Xu, Spelke & Goddard, 2005). Erwachsene und sogar auch Affen können größere Mengen im Verhältnis 3:2 oder sogar 5:4 unterscheiden. Die Fähigkeiten von Kleinkindern große Mengen im Verhältnis 3:2 zu unterscheiden, entwickelt sich im Alter zwischen 6 und 9 Monaten (Xu et al. 2005). Xu et al. (2005) schlussfolgern aus einer Reihe von Untersuchungen an kleinen Kindern, dass sich die Sensitivität für größere Mengen mit dem Alter entwickelt oder verfeinert und nicht grundsätzlich aus formaler Arithmetik oder verbalen Mechanismen stammt. Trotzdem kann die Erfahrung mit verbalem Zählen oder formaler Arithmetik diese Fähigkeit schärfen. Xu und Spelke (2000) nehmen zwei Mechanismen für die Repräsentation von Zahlen an: 1. dass Kinder kleine Anzahlen (Kinder: 3 Elemente, Erwachsene 4 Elemente) einzeln wahrnehmen und durch Mechanismen wie Objekt-basierende Aufmerksamkeit verarbeiten (Subitizing). Bei kleinen Anzahlen wird jedes Element einzeln und nicht als Menge mit einer bestimmten Größe gespeichert. 2. Es besteht zunächst unabhängig davon ein Mechanismus für große Mengen, der darauf spezialisiert ist, ungefähre Repräsentationen abzubilden. Ähnliche Annahmen bezüglich zweier Repräsentationssysteme beschreiben sowohl Seron und Fayol (2004) als auch Griffin & Case (1997) unabhängig voneinander (siehe später). Diese zwei zunächst unabhängigen Repräsentationsmechanismen finden über die Sprache und das Zählwissen eine Brücke zueinander, bis sie später eine einzige, für den Menschen typische sprachabhängige Begrifflichkeit für Zahlen werden (Xu & Spelke, 2000). Vergleiche: das Modell der mentalen Zahlenlinie von Griffin und Case (1997) - später in dieser Arbeit beschrieben. Xu et al. (2005) schreiben, dass diese beiden Kernrepräsentationssysteme zwei wesentliche Bausteine sind, mit welchen Kinder ihre Zahlrepräsentation bilden, die das verbale Zählen und die symbolische Arithmetik untermauern. Autoren wie Piazza, Mechelli, Butterworth und Price (2002) stellen die Annahme in Frage, ob es sich bei Zählen und Subitizing um zwei qualitativ völlig unterschiedliche Prozesse handelt, und versuchen 9

10 anhand einer PET-Studie auf neuronaler Ebene festzustellen, ob diese beiden Prozesse unabhängige oder überlappende Funktionen zeigen. Die Untersuchungsergebnisse zeigen, dass Zählen und Subitizing ein gemeinsames Netzwerk zugrunde liegt, welches extrastriatale mitteloccipitale und intraparietale Gebiete umfasst. Der Unterschied zwischen Zählen und Subitizing liegt darin, dass Zählen zusätzlich erhöhte Aktivierung im occipitoparietalen Netzwerk hervorruft, während Subitizing diese Aktivierung nicht provoziert. Weiters stellt diese Forschergruppe um Piazza die Hypothese auf, dass die linksparietale Aktivierung, die sich beim leisen Zählen zeigt, den subvokalen Abruf der Zahlwortreihe abbildet. Diese Aktivierung ist bei Subitizing nicht zu finden. Die beiden Funktionen gemeinsame Aktivierung der rechtshemisphärischen Parietalhirnregion könnte für den Abruf der der Repräsentation der Größe verantwortlich sein (Piazza et al, 2002 zitieren Chochon et al. 1999) Überblick Folgende Auflistung bietet einen Überblick über angeborene basale Fähigkeiten im Umgang mit Mengen, beziehungsweise über die Entwicklung sehr früher kognitiver Konzepte. Diese Fähigkeiten bilden das Grundgerüst, für die sich später ausbildenden komplexeren Fähigkeiten des Vorschulalters, wie: Zahlen, Zählen, Rechnen und schließlich die schulisch erworbenen Fertigkeiten. Anzahlbestimmung (Präverbales Zählen) bis max. 4 Elemente: ab dem Alter von 6 Monaten entwickelt sich die Fähigkeit bis zu 4 Elemente (eher 3 Elemente) präverbal zu erfassen (Subitzing) oder ein kleine Anzahl von Aktionen aufzuzählen (Starkey, 1992., Sharon & Wynn, 1996, Feigenson et al., 2004). Mit dem Spracherwerb und dem Erlernen der Zahlwortreihe lernen die Kinder, dass die geordnete Folge von Zahlworten für das Abzählen, Vergleichen und einfache Arithmetik verwendet werden kann. Mengenunterschiede: Befunde verschiedener Autoren weisen darauf hin, dass das unterscheiden von Mengen von bis zu vier Elementen angeboren ist (Gelman, 1990). Größere Mengen, die geschätzt werden müssen, können zunächst (6 Monate) nur über das Verhältnis 2:1 unterschieden werden (Xu & Spelke, 2000., Xu, Spelke und Goddard, 2005), ab ca. 10 Monate im Verhältnis 2:3 (Feigenson et al., 2004). Rangordnungen: Die Fähigkeit Größer-Kleiner Relationen herzustellen entwickelt sich bis zum 18. Lebensmonat (Cooper, 1984). Einfache Additionen und Subtraktionen (+-1, +-2): Wynn (1992) fand heraus, dass Kinder von 6 Monaten die Fähigkeiten für einfache Additionen und Subtraktionen von +/- 1 haben. Später ab ca. 4a: Additionen und Subtraktionen bis 4 Elemente (+-4) 10

11 Im Alter von 4 Jahren sind sie in der Lage mit bis zu 4 Objekten additiv und subtrahierend zu operieren (Geary, 1994; Starkey, 1992). Numerische und pränumerische Basisfertigkeiten Schon Piaget hat sich mit der Entwicklung des Rechnens auseinandergesetzt. Er hat bestimmte Schlüsselfunktionen und Entwicklungsstufen beschrieben, welche Kinder begreifen und sukzessive durchlaufen müssen, um Verständnis für mathematische Operationen entwickeln zu können. Jedes neue Wissen baut auf den Erfahrungen auf, die bisher gemacht worden sind. Kinder assimilieren neue Erfahrungen und setzen sie zu den bestehenden Schemata in Beziehung. Mentale Repräsentationen (Schemata) werden dadurch immer differenzierter und höher entwickelt. Piaget betont, dass Kinder ihre mentalen Konzepte reflektieren und diese auch von Zeit zu Zeit aktiv anpassen, wenn neue Erfahrungen dies erfordern (Akkomodation). Viele Autoren bauen auf Piagets Erkenntnissen auf, wie Aebli H. (1975) oder Case R. und Griffin S., deren Grundgedanken später genauer beschrieben werden. Über die Fähigkeiten von Kleinkindern Anzahlen zu bestimmen, deren Veränderungen wahrzunehmen und einfache arithmetische Operationen zu verstehen, wurde oben berichtet. Fayol und Seron (2004), nehmen zwei numerische Repräsentationssysteme im Gehirn an: Eines, welches sich auf diskrete und exakte Repräsentationen bezieht, für kleine Anzahlen und ein anderes, welches Schätzungen liefert, es dient der Repräsentation großer Zahlen (siehe auch Feigenson, Dehaene und Spelke, 2004). Die Autoren vermuten, dass diese Repräsentationsmechanismen auch dann aktiviert werden, wenn symbolische Arithmetik erworben und angewandt wird, sie wollen aber nicht behaupten, daß die präverbalen Repräsentationen nicht durch den Erwerb der symbolischen Codes modifiziert werden. Wobei der verbale Code laut Fayol & Seron (2004) vor dem arabischen Code erworben wird und infolgedessen, den Erwerb des späteren arabischen Codes fazilitiert. Dennoch wird der arabische Code sehr rasch unabhängig vom sprachlichen Code. Ungefähr in der 2. Schulstufe können Kinder eine direkte Beziehung zwischen dem arabischen Code und der analogen Repräsentation entwickeln. Die Größen können dann durch den arabischen Code ohne sprachliche Rekodierung abgerufen werden. Der Weg vom Wissen, dass Zahlworte etwas mit Mengen zu tun haben, bis zu einem kardinalen Verständnis ist ein langer. Der empiristische Ansatz geht davon aus, daß Kinder die Assoziation von Zahlwort und Menge beobachten. Gelmann & Gallistel (1978) nehmen angeborene Zählprinzipien an, die die Grundlage für die Zählaktivitäten liefern. 11

12 Fayol (2002) betonen zwei große Hürden während des Erwerbs der Bedeutung der Zahlworte: 1. Das Zahlwort an sich deutet nicht auf die kardinale Größe hin, es ist ein relativ abstrakter Code 2. der kardinale Wert ist eine Frage der Kategorisierung Bei analogen Repräsentationen deutet die Veränderung der Größe, Länge, des Volumens auf die Veränderung der Menge hin. In der Zahlwortreihe bestimmt lediglich die Position der Reihenfolge die Zunahme der Menge. Diese Zuordnung von Reihenfolge und Sprache zu einer Menge (Kardinalität) muss exakt und automatisch erfolgen. Für Kinder zwischen 18 Monaten und 4 Jahren ist diese Zuordnung eine sehr große Herausforderung. Eine weitere Schlüsselfunktion ist das Erkennen der Gleichheit in numerischem Sinne. Die Kinder müssen in der Lage sein, bestimmte Mengen als gleich zu erkennen, obwohl sie sich in verschiedenen Dimensionen unterscheiden bis auf eine: die Kardinalität. Die Fähigkeit der Kategorienbildung unterliegt einer Entwicklung, sodass bislang laut Seron & Fayol (2004) nicht ganz geklärt ist, ob die angeborenen Zählprinzipien (Gelmann & Gallistel, 1978) oder der entwicklungsbedingte Erwerb der Kardinalität im Vordergrund steht. Fayol und Seron (2004) beobachten, dass der Zeitraum zwischen dem Erwerb der ersten Zahlworte und deren Zuordnung zu einer bestimmten Menge bei Kleinkindern relativ viel Zeit in Anspruch nimmt. Sie vermuten, dass deshalb soviel Zeit verstreicht, weil die Kinder diese Zuordnung vorerst nicht direkt treffen, sondern diese über ein Bindeglied des numerischen Konzeptes stattfindet, welches Kinder über den Gebrauch ihrer Finger entwickeln. Sie zitieren Butterworth (1999), der beschreibt, dass Kinder aller Kulturen ihre Finger zum Zählen benutzen, bevor sie systematisch in der Schule Arithmetik gelehrt werden. Fayol et al. (2004) führen sowohl neuroanatomische wie neuropsychologische Befunde an, die belegen, dass Fingermotorik und arithmetisches Wissen enge funktionelle Zusammenhänge zeigen. Unabhängig von diesen Beweisen für ihre Annahme, geben einige Charakteristika der Repräsentation von Zahlen durch die Finger ihrerseits dieser Annahme großes Gewicht. Die Finger repräsentieren wie die Sprache ebenso Mengen in einer relativ abstrakten Form; drei Finger können drei Spielzeugautos genauso wie drei Elemente einer Anordnung darstellen. Finger sind eine ikonische Darstellungsform für Mengen, sie stellen eine eins-zu-eins Relation her. Weiters vergrößern Fingermuster die Spanne der direkten Erkennung von Anzahlen, die ansonsten bei 3-4 Elementen liegt. Ein weiterer Vorteil der Fingerrepräsentation ist die Möglichkeit durch Bewegen der Finger additive oder subtraktive Handlungen darzustellen. Wenn die Kinder zählen können und Additionen durch weiterzählen lösen, können die Finger als Ankerpunkt dienen, um die Spur nicht zu verlieren. Aus diesen Gründen ist es für die Autoren Seron und Fayol (2004) durchaus denkbar, daß den Fingern und Händen eine sehr wichtige Rolle zukommt, um ein Verständnis für ein Zahlkonzept zu entwickeln. Auch lässt sich an den Fingern sehr gut die Struktur der Fünf und der Zehn erkennen. 12

13 Sharon Griffin und Robin Case (1997, 2001) gehen davon aus, dass Mathematik Lernen ein sich fortlaufend entwickelnder Prozess ist, dem Wissensstrukturen zugrunde liegen. Diese Wissensstrukturen nennen sie zentrale konzeptuelle Strukturen. Die zentralen konzeptuellen Strukturen sind sehr elementare Schemata, die sehr breit in der Anwendung sind und eine zentrale Rolle in der Weiterentwicklung der Rechenfertigkeit haben. Sie sind elementar, indem dass höhere Rechenfertigkeiten von den darunter liegenden Schemata abhängen, beziehungsweise sich erst entwickeln können, wenn die Kernschemata vorhanden sind. Fehlen diese, besteht eine deutliche Barriere weiterzulernen. Deshalb muss der Unterricht darauf achten, ob entsprechende Konzepte vorhanden sind, und diese gezielt unterrichten. Welche Konzepte werden nun von Griffin und Case als zentral erachtet? Die Autoren beziehen sich auf Gelman (1987), der beschreibt, dass Kinder im Alter von 4 Jahren kleine Objektmengen abzählen können und verstehen, dass das zuletzt genannte Zahlwort, die Menge aller Objekte bezeichnet. Weiters zitieren Griffin und Case (1997) Starkey (1992), der zeigt, dass Kinder mit 4 Jahren gute Fähigkeiten besitzen über Mengen und Größenverhältnisse zu urteilen. Kinder können Antworten geben, welche Menge mehr oder weniger ist, und sie verstehen, welche Konsequenzen Operationen wie Additionen und Subtraktionen (es wird mehr oder weniger) haben. 13

14 Abb.: Initial Counting Schema und Initial Quantity Schema (S. Griffin, Handbook: Kindergarten Level S.12) Obwohl die Kinder im Vorschulalter in der Lage sind, richtig abzuzählen und größenmäßige Vergleiche anzustellen, sind sie noch nicht soweit, beide Kompetenzen in einer gemeinsamen Struktur zu integrieren (Griffin & Case, 1997; Griffin, Case & Siegler, 1994). Wenn Kinder dieses Alters gefragt werden: Welche Zahl ist größer, 5 oder 4? so sind sie noch nicht in der Lage, diese Frage zu beantworten, obwohl sie korrekt bis 4 und 5 zählen können. Ebenso können sie Mengen von 4 und 5 klar unterscheiden. Es scheint laut Griffin und Case (1997), als ob dieses Wissen in zwei verschiedenen Akten gespeichert sei, welche noch nicht verknüpft werden können. (vergleiche auch: Seron und Fayol, 2004., Xu, Spelke und Goddard, 2005) Diese Verknüpfung beider Konzepte findet im Alter zwischen 4 und 6 Jahren statt, mit dem Resultat, dass sich eine neue zentrale Struktur entwickelt. Dieses intuitive Wissen ist die Voraussetzung für a- rithmetischen Wissenserwerb in der frühen Grundschulzeit und wird somit als Prototyp der zentralen konzeptuellen Struktur betrachtet. Etwa im Alter von 6 Jahren formen sich einige Konzepte rund um die mentale Zahlenlinie, die Ideen in Bezug auf das Zählen und Größenschätzen beinhalten (genauer siehe Kapitel: Number Worlds). Zwischen 6 und 8 Jahren entwickelt sich laut Griffin und Case (1997) dann aus dieser mentalen Zahlenlinie eine zweite Dimension, die benötigt wird um den dekadischen Aufbau des Zahlensystems zu verstehen. Die quantitativen Systeme werden genauer und besser verstanden, sodass die Beziehungen zwischen Zahlen hergestellt werden können, wie das Verhältnis zwischen Zehnern und Einern. Ebenso ermöglicht die Fähigkeit, auf zwei Zahlenlinien zu fokussieren, das Vergleichen von Größen und Differenzen zu verstehen. Auch kann eine Zahlenlinie als Objekt dienen, auf welchem ein Operator (eine innere zweite Zahlenlinie) agiert, mit dessen Hilfe die Distanz zweier Punkte berechnet werden kann (Okamato, 1992 in Griffin und Case, 1997). In weiterer Folge können numerische Beziehungen zweier quantitativer Skalen formuliert und explizit dargestellt werden, genauso wie ein gutes Verständnis für Operationen auf konzeptueller Ebene erlangt wird. Folgende Basisfertigkeiten werden aus Voraussetzung für den ungestörten Erwerb mathematischer Kompetenzen betrachtet. Pränumerische und numerische Fertigkeiten bilden die Grundbausteine für den weiteren Wissensaufbau in Mathematik und erlauben schon im Vorschulalter eine gewisse Vorhersage von schulischen Rechenfertigkeiten. Überblick Im folgenden Abschnitt wird zuerst versucht, ein Überblick über die pränumerischen Fertigkeiten und numerische Basisinhalte zu erstellen, um die Schlagworte besser zuordenbar zu machen. 14

15 Wichtige Schritte im Rechenerwerb Vergleiche (Komparative): größer- kleiner, dicker-dünner, mehr-weniger, länger-kürzer Seriation: Fähigkeit, Elemente/Gruppen nach zu- abnehmender Größe/Mächtigkeit zu ordnen Mengenvergleiche Invarianz: Erkenntnis, dass das räumliche Verändern/ die räumliche Anordnung der Elemente keinen Einfluss auf die Anzahl der Elemente hat. 1:1 Zuordnungen: Möglichkeit des Mengenvergleichs aufgrund der Zuordnung eines Elements der Menge A zu einem Element der Menge B. Klassifikationen - Kategorienbildung: Fähigkeit, Elemente nach bestimmten Merkmalen zu ordnen (alle Blumen; alle roten, runden Teile) Subitizing: simultanes perzeptives Erfassen kleiner Mengen (bei Erwachsenen 4 Elemente, bei Kleinkindern nur 3 Elemente (Starkey & Cooper, 1980)) Zählfertigkeiten: Zahlwortreihe vorwärts, rückwärts, Vorgänger- Nachfolgezahl, weiter zählen, Zahlen ordnen und vergleichen Zählprinzipien: Eindeutigkeitsprinzip, Prinzip der stabilen Anordnung, Kardinalprinzip; Abstraktionsprinzip, Prinzip der Irrelevanz der Anordnung Arabisches Zahlwissen: arabische Zahlen (bei Schulanfängern bis 10) kennen, Zuordnen von Zahlen zu gesprochenen Zahlworten, Mengen und umgekehrt Rechenfertigkeiten (mit konkretem Material): z.b.: Würfelbilder erkennen und zusammenzählen, einfache Rechengeschichten lösen Zahlbegriff: Unter dem Wort Zahlbegriff werden verschiedene Kompetenzen subsumiert, wie Zählfertigkeiten, Transformationsfähigkeit (arabisch, verbal und bildlich), Zählprinzipien, Zahlgefühl und Integration von Ordinal- und Kardinalsystem.. Krajewski (2003) konnte zeigen, dass bereits ein halbes Jahr vor der Einschulung die Mathematikleistungen der Kinder in der 1. und 2. Grundstufe durch ihre Leistungen im mengen- und vor allem im zahlenbezogenen Vorwissen vorhergesagt werden konnte. Die Aufgaben zum zahlenbezogenen Zählwissen waren Aufgaben bezogen auf Zählfertigkeiten (vorwärts/rückwärts/weiter zählen, Vorgänger, Nachfolger, Zahlen ordnen), arabisches Zahlwissen (Zahlen erkennen zwischen 1 und 19, Geldwerte erkennen), und Rechenfertigkeiten (einfache Textrechnungen mit Operationen im Zahlenraum 10). Ca. 60% der rechenschwachen Schüler konnte richtig identifiziert werden. 15

16 Gaupp, Zoelch & Schuhmann-Hengsteler (2004) gingen in ihrer Untersuchung davon aus, dass rechenschwache Kinder Defizite in den numerischen Basiskompetenzen zeigen und überprüften, ob diese, beziehungsweise welche dieser numerischen Basiskompetenzen, bis in die 3. und 4. Grundschulstufe gestört bleiben. Diese Forschungsgruppe stellte fest, daß der Vergleich von Zahlen im 2 und 3-stelligen Bereich, das Lokalisieren von Zahlen auf einem unskalierten Zahlenstrahl, das Schätzen von Objektmengen, sowie das Zählen in Schritten bei rechenschwachen Kindern dieses Alters im Vergleich zu gleich alten Kindern deutlich schwerer fällt. Andere numerische Kompetenzen, wie einfaches Zählen, Lokalisieren von Zahlen auf einem skalierten Zahlenstrahl und Zahlen lesen, schreiben und vergleichen im einstelligen Zahlenraum fallen für beide Gruppen vergleichbar aus. Rechnen Die Entwicklung des Rechnens ist kein einheitlicher (not a single) Prozess, sondern umfasst die Entwicklung vieler, verschiedener Komponenten (z.b.: numerisches Wissen, Faktenwissen, prozedurales und konzeptuelles Wissen). Die Entwicklung all dieser Komponenten kann individuell unterschiedlich rasch vorangehen oder möglicherweise gestört sein, sodass sich dann aus dem Entwicklungsstand dieser unterschiedlichen Komponenten das Profil der Rechenfähigkeit ergibt. Zum Beispiel kann die Fähigkeit zum Addieren eines Kindes auf konzeptueller Ebene ausgereift sein (Verständnis der Additionsgleichung und Wissen um die Größen) oder rein auf prozeduralen Ebene gegeben sein (Fertigkeit, richtig zu addieren), neben der numerischen Fertigkeit des Zahlenvergleichs, welche wiederum ihr individuelles Niveau erreicht (z.b.: Verständnis für 2-stellige Zahlen). Aus diesem Grund ist es riskant zu sagen, ein Kind ist schlecht im Rechnen, weil es sich immer um Schwächen in einem oder mehreren Teilbereichen (Komponenten) des Rechnens handelt. Ein wichtiger Teilbereich bezieht sich auf das Zählen und Abzählen. Diese Fertigkeiten werden zunächst beschrieben, bevor andere Komponenten beschrieben werden. Zählfertigkeiten Die Zählfertigkeiten, ein Teil des zahlbezogenen Vorwissens, gelten neben dem mengenbezogenen Vorwissen als die bedeutsamste Prädiktorvariable (Krajewski, 2003) im Kindergartenalter zur Früherkennung einer Rechenschwäche. Wie bereits oben erwähnt, sind viele quantitative Grundlagen bereits angeboren oder entwickeln sich bereits im frühen Kindesalter. Dieses implizit quantitative Wissen wird 16

17 nach und nach durch explizit quantitatives Wissen erweitert. Zählfertigkeiten bilden sozusagen den Übergang vom impliziten zum expliziten Wissen. Sie beeinflussen laut Gallistel & Gelman (1991) und Fuson (1988) die Entwicklung des kindlichen Zahlen- und Rechenverständnis, indem sie deren Grundgerüst darstellen und die Aufmerksamkeit der Kinder auf zahlrelevante Informationen lenken. Aufbauend auf dem präverbalen Zählmechanismus entwickelt sich das Wissen um die Zählprinzipien (Gelman & Gallistel, 1978). Das Wissen um die Zahlwortsequenz ist wiederum Voraussetzung für die Prinzipien des Zählens. Die Zählprinzipien steuern die Entwicklung des verbalen Zählens. Die ersten 3 Prinzipien legen fest, wie richtig gezählt wird ( How-to-count ). Die letzteren zwei Prinzipien bestimmen, unter welchen Voraussetzungen die ersten drei Prämissen angewendet werden dürfen ( What-to-count ). How-to-count Prinzipien o Eindeutigkeitsprinzip: Jedem Objekt der zu zählenden Menge wird ein und nur ein Zahlwort zugeordnet (1:1 Zuordnung). o Prinzip der stabilen Ordnung: Die beim Zählen benutzen Zahlwörter müssen in einer stabilen stets gleichen- Reihenfolge/Ordnung vorliegen. o Kardinalitätsprinzip: Das letzte Zahlwort, das beim Zählen benutzt wird, gibt die Anzahl der E- lemente der gezählten Menge an. Das Wissen um dieses Prinzip beinhaltet das Feststellen der Anzahl der Menge ohne den Zählprozess zu wiederholen, auch auf Nachfrage. What-to-count Prinzipien o o Abstraktionsprinzip: Die ersten drei Zählprinzipien werden auf beliebige Zählsituationen angewandt (unterschiedliche physikalische Erscheinungen, mentale Repräsentationen, Aktionen, z.b.: Autos, Wünsche, Klatscher). Prinzip der Irrelevanz der Anordnung: Die Anordnung der Objekte ist für den Zählakt irrelevant (unterschiedliche Anordnungen! Zählrichtung). Die Kinder verstehen, dass die Verschiebung der Elemente, die Zählrichtung u.ä. weniger wichtig ist, als die Tatsache, dass jedes Element gezählt worden ist. Volles Verständnis für das Zählen bedeutet auch, dass Kinder verstehen, dass der kardinale Wert einer Zahl alle Einheiten darunter mit einschließt. Z.B.: die Zahl 8 repräsentiert 8 Elemente und alle kleineren Einheiten wie (1 und 7, oder 2 und 6) sind darin beinhaltet. Dieses Grundverständnis der Mengeninklusion (Piaget) ist ein Grundelement zum weiteren Verständnis von Addition und Subtraktion. Wynn (1992) und Fuson (1988) betonen, dass sich die konzeptuelle Kompetenz langsam, schrittweise entwickelt. Wichtig zur Überprüfung dieser sind unterschiedliche Kontexte und Aufgabenschwierigkei- 17

18 ten. Sie betrachten die Begriffe: Sequenz, Zählen und Kardinalität als zentral. Frühes Zahlenwissen wie Subitizing (Wahrnehmungsmäßiges schnelles Bestimmen einer Menge) scheint laut (Wynn 1992, 1995) eine große Bedeutung für die Zählentwicklung zu haben. Autoren wie Fuson (1988) Baroody (1991) und Resnick (1989) stimmen zu, betonen aber auch den soziokulturellen Einfluss für das Zählen Lernen. Häufig lassen sich bei Kindern mit Rechenschwäche schon bei Schuleintritt unreife Zählmechanismen oder prinzipien beobachten. Beispielsweise beobachten Geary et al. (2001), dass viele dyskalkulische Kinder die Zahlenfolge rein phonologisch wiedergeben. Briars & Siegler (1984) beobachten ähnliches, indem Kinder zwar die Zahlwortabfolge beim Zählen richtig wiedergeben, aber noch glauben, dass die Reihenfolge der zu zählenden Objekte eine Rolle spielt. Koontz und Berch (1996) fanden heraus, daß dyskalkulische Kinder beim Erkennen von Punktemustern mit 3 Elementen länger brauchen als Kontrollkinder. Sie vermuten, dass die rechenschwachen Kinder die 3 Punkte abzählten, anstelle von simultanem Erfassen (Subitizing). Fuson (1988) beschreibt den Erwerb der Zahlwortreihe als einen Vorgang, der nicht immer linear verlaufen muss und verschiedene Fähigkeiten integriert: Erwerb der Zahlwortreihe (nach Fuson 1988) o o o o o Ganzheitssauffassung der Zahlwortreihe. Die Zahlwortreihe wird wie ein Lied oder Gedicht rezitiert. Einzelne Zahlwörter werden als Ganzheit aufgefasst (Z.B fünf-sechs-sieben). Elemente werden noch nicht abgezählt, die Zahlwörter haben noch keine kardinale Bedeutung Unflexible Zahlwortreihe. Die Zahlwörter werden als einzelne Einheiten aufgefasst. Sie Zahlwortreihe wird immer von der eins aus rezitiert. Vorgänger und Nachfolgezahl können nicht spontan genannt werden. Es gelingt den Kindern Elemente abzuzählen unter Herstellung einer 1 zu 1 Zuordnung und kleine Mengen herauszuzählen (z.b.: Gib mir drei ). Teilweise flexible Zahlwortreihe. Die Zahlwortreihe kann von jedem beliebigen Zahlwort aus aufgesagt werden. Es gelingt Vorgänger- und Nachfolgezahl zu nennen. Die Zahlwortreihe rückwärts gelingt zum Teil. Fuson merkt an, das die Entwicklung der Zahlwortreihe rückwärts erst 2 Jahre nach der Zahlwortreihe vorwärts beginnt. Flexible Zahlwortreihe. Jedes Zahlwort wird als Einheit erkannt. Es kann von jeder Zahl aus beliebig viele Schritte weiter gezählt werden ( Zähle von 14 drei Schritte vorwärts ). Vollständig reversible Zahlwortreihe. Es kann von jeder Zahl aus vorwärts und rückwärts gezählt werden. Richtungswechsel, sowie Vorgänger und Nachfolger erfolgen schnell und ohne Mühe. 18

19 Johansson (2005) überprüfte die Rolle der Zählkompetenzen in Bezug auf die arithmetischen Fertigkeiten. Seine Studienergebnisse zeigen, dass die Zählkompetenzen sehr gute Vorhersagewerte haben bezüglich der Richtigkeit von arithmetischen Operationen und der Lösungsstrategien haben. Johansson hat 4 bis 8 jährige Kinder gefragt, vorwärts und rückwärts zu zählen, und danach hat er ihnen einfache arithmetische Rechnungen gestellt und sie interviewt in Bezug auf die verwendeten Lösungsstrategien. Bei der zweiten Studie fragte er die Kinder nach der Lösung von Doppelungen (z.b.: =?). Die Lösung von Doppelungen scheint eine Verbindung zwischen Zählkompetenzen und richtig gelösten arithmetischen Rechnungen zu sein. Seine Ergebnisse lassen darauf schließen, dass Zählen eine erste Rechenstrategie darstellt. Die Kinder entdecken mit zunehmender Zählkompetenz Regelmäßigkeiten in der Zahlwortreihe, die dazu benutzt werden können, neue und bessere Rechenstrategien zu entwickeln. Neben dem Erwerb der Zahlwortreihe und den Zählkompetenzen erlernen Kinder während der Volksschulzeit die dekadische Struktur des arabischen Zahlensystems. Der Erwerb dieses Zehnersystems hängt in starkem Maße vom Unterricht und der sprachlichen Struktur der Zahlwortreihe ab. In vielen europäischen Sprachen, wie Englisch, Französich und Deutsch entsprechen die Zahlworte (z.b.: dreizehn ) nicht der darunterliegenden Zehnerstruktur des arabischen Zahlensystems, anders als in den meisten asiatischen Ländern. In asiatischen Sprachen verläuft das Zählen ganz systematisch nach dem Zehnersystem (z.b.: zehneins, zehnzwei, zehndrei für 11, 12, 13). Diese exakte Entsprechung zwischen Zahlwort und Struktur der zugrunde liegenden Menge, kombiniert mit effektiven Unterrichtspraktiken führt dazu, dass die meisten asiatischen Grundschulkinder das Zehnersystem zumindest rudimentär erfassen (Geary, 2000). Dieses Wissen reduziert die Anzahl der Zähl- und Transkodierfehler deutlich und hilft komplexe arithmtische Aufgaben besser zu lösen (Geary, 2000). Da in den meisten europäischen Sprachen diese Entsprechung eben fehlt, ist das Unterrichten des dekadischen Systems um vieles schwieriger. Viele europäische und amerikanische Kinder können deshalb das Zahlwort dreizehn nur schwer schreiben und nicht mit dem Wert 13 in Verbindung bringen. Sie verstehen Dreizehn einfach als eine Menge mit dreizehn Objekten, können dieses Zahlwort aber nicht mit einer Menge von 10 Einern (= 1 Zehner) und 3 Einern verbinden (Geary, 1994). Häufige Zählfehler und Transkodierfehler sind in der ersten Grundschulzeit deshalb keine Seltenheit. Im Laufe der Grundschulzeit werden diese Fähigkeiten (Zählen, Zählkonzepte und Transkodieren) jedoch auch von europäischen und amerikanischen Kindern erlernt. Dennoch schreibt Geary (2000), ist es nicht wahrscheinlich, dass alle Kinder das Zehnersystem bis zum Ende der Grundschule voll verstanden haben. Zusammenfassung Zählen: Erste Schritte beim Zählen werden schon sehr früh gemacht. Kinder lernen quasi spielend die ersten Zahlworte, lernen Dinge mit Zahlworten zu benennen, Mengen abzuzählen, erwerben also Zählkompetenzen und Prinzipien. Über die Zählfertigkeiten erweitert sich die Fertigkeit des Abzählens. Zäh- 19

20 len, Sequenz und Kardinalität sind wichtige Erkenntnisse in diesem Bereich (Wynn, 1992, 1995, Baroody, 1991, Fuson, 1988). Über die Rolle des Subitizing wird in diesem Zusammenhang diskutiert. Dieser gesamte Entwicklungprozess muss nicht immer linear verlaufen (Fuson, 1988, Wynn, 1992). Zählen gilt als wichtige Prädiktorvariable für den späteren Rechenerwerb (Krajewski, 2003) oder wird als ein Schritt im Prozess des Rechnen Lernens betrachtet (Johansson, 2005). Bei rechenschwachen Kindern werden schon sehr früh Rückstände in den Zählkompentenzen bzw. im Verständnis der Zählprinzipien beobachtet (Briars & Siegler, 1984, Geary et al., 2001). Auch finden sich Studien (Koontz und Berch, 1996), die Defizite im Subitizing feststellen, in dem Sinn, dass rechenschwache Kinder sehr kleine Mengen nur durch Abzählen erfassen können (ab 3 Elementen). Neben dem Erwerb des Zählens und Abzählens wird auch die Struktur des dekadischen Zahlenaufbaus erworben. Da in den meisten europäischen Sprachen das gesprochene Wort sich nicht mit der Zehnerstruktur ( dreizehn, dreiundzwanzig statt zehndrei, zwanzigdrei ) deckt, ist es laut Geary (2000, 1994) für die meisten europäischen Kinder schwierig, diese Struktur zu erfassen. Asiatische Kinder, deren Sprache sich eins zu eins mit der Struktur des Zahlenaufbaus deckt, erwerben deshalb dieses Verständnis vergleichsweise früher und sicherer. Komponenten des Rechnens Folgender Abschnitt versucht nun, diese verschiedenen Komponenten des Rechnens kurz zu skizzieren. Das Wissen über diese verschiedenen kognitiven Komponenten stammt aus unterschiedlichsten Studien mit cerebralgeschädigten Erwachsenen, mit rechenschwachen Kindern, gesunden Erwachsenen oder aus faktorenanalytischen Berechnungen dieser Ergebnisse. Temple (1991) konnte nachweisen, dass bei Kindern verschiedene Komponenten rechnerischer Fertigkeiten differenziert sind und spezifisch beeinträchtigt sein können. Sie stellte die unabhängigen Komponenten Faktenwissen (z.b.: 4+6=10, 3*3=9) und prozedurales Wissen (Ausführung der Rechenschritte komplexer Rechungen) fest. Temple (1991) konnte ebenso nachweisen, dass schon während der Erwerbsphase Faktenwissen unabhängig vom prozeduralen Wissen repräsentiert ist. Konzeptuelles Wissen hingegen ist abstraktes mathematisches Wissen und Denken, welches auf dem Verständnis um die mathematischen Vorgänge basiert (Hittmair-Delazer, Semenza, & Denes, 1994). Anhand eines Fallbeispiels (Patient mit erworbener Rechenschwäche nach links parietalem Tumor) belegen Delazer & Benke (1997), dass arithmetische Fakten unabhängig vom konzeptuellen Wissen abrufbar sind. Beide Komponenten, Faktenwissen und konzeptuelles Wissen, funktionieren unabhängig von einander. 20

21 Konzeptuelles Wissen beinhaltet das Verstehen von Verhältnissen und Beziehungen zwischen arithmetischen Operationen, genauso wie die Fähigkeit zur Ableitung von Rechenergebnissen aus bekannten Fakten, besonders wenn Standardprozeduren umständlicher wären. Die Ableitung von Ergebnissen meint das Anwenden von arithmetischen Prinzipien um exakte Ergebnisse zu erhalten, o- der die Ableitung von Schätzergebnissen. Jedenfalls kann aus neuropsychologischen forschungsergebnissen abgelietet werden, dass arithmetische Fakten entweder direkt aus dem Langzeitgedächtnis abgeleitet werden oder mittels Ableitungsstrategien (auch Back-up Strategien) hergeleitet werden. Diese beiden Wege sind separat im Gehirn verankert (Delazer, et al., 2005). Ein weiterer Aspekt des konzeptuellen Wissens ist laut Dowker (1998) das Verständnis von Textaufgaben oder realen mathematischen Problemen und die Fähigkeit die richtige arithmetische Prozedur für die Fragestellung auszuwählen. Prozedurales Wissen umfasst laut Dowker (1998) beispielsweise das Erinnern und Anwenden erlernter Prozeduren, wobei die Beibehaltung der richtigen Abfolge der Rechenschritte ohne die Spur zu verlieren gemeint ist. Im Falle einer schriftlichen Operation spielt auch die Einhaltung der räumlichen Anordnung der Ziffern eine Rolle. Es kann nur in vertrauten Kontexten angewandt werden (Domahs & Delazer, 2005). Prozedurales Wissen und auch andere Komponenten variieren mit der Form der Präsentation (auditiv oder visuell, numerisch oder konkret). Nicht zuletzt ist auch die Transformation (Transkodieren) von einem Format in ein anderes (verbal, numerisch oder konkret) eine wichtige Subkomponente arithmetischer Fähigkeiten. Power & Dal Martello (1990, 1997) beschreiben einen Algorythmus, wie Kinder aus Zahlworten arabische Zahlen transkodieren. Ihre Erkenntnisse haben die Autoren aus Fehlerstudien gewonnen. Wenn also Kinder gebeten werden, eine Zahl wie vierhundertfünfunddreißig aufzuschreiben, dann wandeln sie diese zunächst in eine semantische Repräsentation um. Der erste Verständnisprozess ist die Umwandlung in c4 mal c100 und c3 mal c10 und c5. Cn ist die semantische Repräsentation der jeweiligen Menge n (n=natürliche Zahl). Diese natürliche Zahl ist mit einem Multiplikanden c10 oder c100 einer Zehnerpotenz zu multiplizieren. Nun sind zwei Regeln erforderlich: 1. werden die Multiplikationen mit der Zehnerpotenz vorgenommen c4 mal c100 ist 4*100 oder 400 in der Reihenfolge der Dekade. Wenn diese Operation nicht korrekt durchgeführt wird, kann vierhundert auch als 4100 transkodiert werden. 2. Die zweite Operation ist das Überschreiben. Bei dieser Operation werden die Nullen überschrieben und die Zahlen verkettet. Das heißt, dass bei diesem Beispiel 400 und 30 und 5 miteinander verkettet werden indem die Nullen überschrieben werden zu 435. Es geschehen besonders oft Fehler beim Überschreiben, wenn eine Null eingefügt werden muss. Als Beispiel, wenn hundertfünf geschrieben werden muss, wird sehr oft anstelle einer Null einzufügen 1005 geschrieben. Die Kinder schreiben einfach alle Worte hintereinander anstelle eine Null einzufügen (Power & Dal Martello, 1990, 1997 in Kaufmann und Nuerk 2005). 21