Standardsituationen im Mathematikunterricht

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1 Landesinstitut für Schule - Bremen Hauptseminar 31 - Fachdidaktisches Seminar für Mathematik im Mathematikunterricht Heinz-Jürgen Harder Fachleiter für Mathematik Februar 2013 Vorbemerkung Dieses Skript enthält kurze Zusammenfassungen der für den Mathematikunterricht nach Barzel u. a. (2011). Ergänzt werden die Ausführungen durch weitere Literaturbezüge, sowie durch Beiträge von Studentinnen und Studenten eines Seminars an der Universität Bremen im Wintersemester 2012/13. Die fünf : 1 Fragend-entwickelnde Erarbeitung 1 2 Verfahren erarbeiten an Lösungsbeispielen 3 3 Forschend-entdeckendes Lernen 4 4 Sammeln-Sichern-Systematisieren 5 5 Differenzierendes Üben 6 1 Fragend-entwickelnde Erarbeitung Eine ausführliche Darstellung dieser Methode findet sich bei Barzel u. a. (2011, S. 28ff). Ausgangspunkt für den fragend-entwickelnden Unterricht ist ein Problem oder eine offene Fragestellung, die die Lehrperson den Schülerinnen und Schülern vorstellt. Danach haben diese Zeit, sich individuell mit möglichen Lösungen zu befassen. Im Anschluss moderiert die Lehrperson ein Unterrichtsgespräch, das zur Lösung des Problems bzw. zur Beantwortung der Fragestellung führt. Die Qualität dieser Standardsituation hängt stark von der Kommunikationsform ab. Oft besteht diese aus einem frontalen Lehrerzentriertem Gespräch, dargestellt z.b. durch das Schema in Abbildung 1. Abbildung 1: Lehrerzentrierte Kommunikationsstruktur 1

2 Die Lehrperson sollte dabei eher die Rolle eines Moderators einnehmen und durch Impulse das Gespräch zwischen den Schülerinnen und Schülern initiieren (Abbildung 2). Abbildung 2: Lehrperson als Moderator Vorteile des fragend-entwickelnden Unterrichts führen Barzel u. a. (2011) an: Wissenschaftlichkeit angemessene Fachlichkeit sinnvolle Vorstrukturierung möglich Kognitives Niveau Erarbeitung auf hohem Niveau Lernen am Modell Eigene Beiträge einbringen/schülerbeiträge präzisieren Sicherheit Lernökonomie Thema kann did. effektiv aufgearbeitet werden Zeitökonomie Kontrolle Kontrolle der Arbeitsprozesse ermöglicht (bessere) Disziplinierung Gleichzeitig werden aber auch mögliche Nachteile oder Gefahren benannt: Rezeptivität Kein aktives, nur rezeptives Lernen Heterogenität Mitarbeit Einzelner kann über Unverständnis der Masse hinwegtäuschen Nicht genug Raum für unterschiedliche Sichtweisen, Lösungs- und Denkwege Engführung Schwierigkeit Balance halten: Offenheit für Schülerbemerkungen und Orientierung am gewünschten Weg Unselbstständigkeit Verantwortung für den Lernprozess liegt allein bei Lehrkraft Intransparenz kann zu unselbstständigem Denken führen Abschließen noch ein Zitat von Gudjons (2007, S. 73) hierzu: Heinz-Jürgen Harder [ Februar 2013 [Seite 2]

3 Insgesamt wird deutlich, dass gemeinsam Erarbeiten von Unterrichtsthemen eine Unverzichtbare didaktische Funktion des Frontalunterrichts ist, die nicht gegen selbstständige Lernmethoden der Schüler ausgespielt werden kann. Es ist nämlich die Frage, ob solche komplexen Prozesse der Vernetzung und der Wissenskonstruktion allein in arbeitsteiliger Gruppenarbeit, Freiarbeit oder in Projekten erreicht werden können. Zumindest bedarf es im Anschluss an solche Unterrichtsformen der systematischen Einordnung und Verknüpfung des erarbeiteten Wissens durch den vom Lehrer gelenkten Unterricht mit der gesamten Klasse. 2 Verfahren erarbeiten an Lösungsbeispielen Eine ausführliche Darstellung dieser Methode findet sich bei Barzel u. a. (2011, S. 36ff). Diese Standardsituation wird überwiegend dort eingesetzt wo es sich um komplexe Themengebiete handelt, bei denen... : Schritte und Elemente von SuS nicht ohne weiteres entdeckt werden können: bei komplexen algorithmischen Verfahren bei bereichsübergreifenden mathematischen Verfahren die eigenständige Bearbeitung des Problems die fundamentalen Strukturen nicht sichtbar macht. Bei dieser Standardsituation stellt die Lehrperson eine Ausgangssituation vor und demonstriert schrittweise den Lösungsweg. Ziel ist dabei der Einsatz des erarbeiteten Verfahrens in anderen Situationen. Im Verlauf dieser Methode demonstriert die Lehrperson das Verfahren (dem fragend-entwickelnden Unterricht ähnlich). Dabei können die Schülerinnen und Schüler bei der Erläuterung von Lösungsschritten einbezogen werden, jedoch nicht bei der Suche nach Lösungsschritten. Im Anschluss bekommen die Lernenden ähnliche Problemstellungen, an denen sie das erarbeitete Verfahren einsetzen und einüben können. Als Chancen werden für diese Methode gesehen: Lernen am Modell: am Beispiel lernen, wie bestimmte mathematische Modelle aussehen zweckmäßiges Lernen von mathematischen Bezeichnungen, Darstellungen und Formalisierungen. Sicherheit: Durch das Lösungsmuster wird die Aufgabe lösbar Das Ziel des Unterrichtes wird erreicht Wissenschaftlichkeit: Klare abgesicherte Zusammenhänge, angemessene Fachlichkeit, sinnvolle Vorstrukturierung Unterrichtsökonomie: Wirksamkeit durch optimales, modellhaftes Vorgehen Didaktisch effektiv durch Reduktion (Loslösung vom Problem) Visualisierung (Tafelbild als roter Faden) Zeitökonomie Transparenz Höhere Lerneffekte um ein Verfahren nachzuvollziehen und zu reflektieren Kognitives Niveau: Zentrale Aspekte können auf hohem Niveau betont und hervorgeholt werden Dagegen werden die folgenden Risiken angeführt. Heinz-Jürgen Harder [ Februar 2013 [Seite 3]

4 Rezeptivität: Keine aktive Beschäftigung (stilles mitdenken, wenige Wortbeiträge) Kein aha -Erlebnis Gefahr des Nachahmen bzw. expliziten reproduzieren des Verfahrens Heterogenität: Lernstarke Schüler benötigen weniger Erklärung als Lernschwache Schüler Engführung: Vieldeutigkeit von Sichtweisen und Lösungswegen wird vernachlässigt Unselbstständigkeit: Die Verantwortung für den Lernprozess liegt beim Lehrenden Effektives beherrschen eines Verfahren geschieht möglicherweise auf Kosten des Verständnisses und der Sinnkonstituierung. Ein Anwendungsbeispiel für diese Standardsituation haben Bruder und Collet (2011, S. 112ff) für das Problemlösen entwickelt: 1. Phase: Gewöhnen an Heurismen und an ein strukturiertes Vorgehen beim Problemlösen über das Verwenden typische Fragestellungen in einem reflektierten Problemlöseprozess durch die Lehrkraft. 2. Phase: Bewusstmachen heuristischer Elemente und Einsichten in deren Wirksamkeit anhand von überzeugenden Musterbeispielen. 3. Phase: Zeitweilige bewusste Übung und Anwendung der neu kennengelernten Heurismen anhand unterschiedlich schwieriger Aufgaben. 4. Phase: Schrittweise bewusste Kontexterweiterung für den Einsatz der Heurismen und zunehmend unterbewusste Nutzung. 3 Forschend-entdeckendes Lernen Eine ausführliche Darstellung dieser Methode findet sich bei Barzel u. a. (2011, S. 40ff). Der Kern dieser Methode besteht darin, durch ein Problem Wissen zu konstruieren. Die Struktur Struktur des Unterrichtsverfahrens könnte dann wie folgt aussehen: Problemgewinnung Überlegung zu Problemlösung Durchführung eines Lösungsvorschlags Abstraktion der gewonnenen Erkenntnisse Wissenssicherung Für das forschend-entdeckende Lernen werden bei Barzel u. a. (2011, S. 41f) die folgenden fünf Problemtypen beschrieben: Nr. Art des Problemtyps Tätigkeit Ergebnis (1) Bestimmung eines Werts, verbunden mit realen Problem (2) kombinatorisch, Bestimmung eines Werts im innermathematischen Zusammenhang (3) Konstruktion einer geometrischen Figur (4) Auffinden eines mathematischen Zusammenhangs Modellieren Problemlösen, innermathematisches Modellieren Problemlösen Explorieren Konzept oder Verfahren allg. Berechnungsvorschrift Begriff oder Verfahren Vermutung (5) Auffinden eines Beweises Begründen Absicherung Heinz-Jürgen Harder [ Februar 2013 [Seite 4]

5 Für dieses Unterrichtsverfahren werden die folgenden Chancen gesehen: Durch eine konkrete Problemstellung wir die Mathematik sehr anschaulich. Die Schülerinnen und Schüler erleben die Sinnhaftigkeit der Mathematik. Es wird einem statischen Bild der Mathematik vorgebeugt. Die Schülerinnen und Schüler haben Erfolgserlebnisse durch selbständiges Erarbeiten. Es fördert die Motivation. Verschiedene Fähigkeiten werden angesprochen. Wissen wird nachhaltig verankert. Als Nachteile und Risiken werden die folgenden Punkte angeführt: Die Schülerinnen und Schüler treffen Kern des Problems nicht. Es werden eventuell irreführende Lösungswege eingeschlagen. Die Methode ist zeitaufwändig. In der Regel wird eine Phase der Systematisierung benötigt, da die Schülerinnen und Schüler nur ein begrenztes Niveau (der Abstraktion) erreichen. 4 Sammeln-Sichern-Systematisieren Die Bedeutung diese Unterrichtsphase wird in dem Zitat aus Barzel u. a. (2011, S.50) zusammengefasst: Nach offenen Phasen des Erkundens und Erforschens besitzen die Schüler zwar individuelle Erfahrungen und kennen ihre individuellen Lösungswege. Zur Konsolidierung des erarbeiteten Wissens ist es nötig, die entstandenen Divergenzen wieder zusammenzuführen, um Ergebnisse zu vergleichen, zu sichern, zu konsolidieren, allen verfügbar zu machen, zu reflektieren, in eine (den Konventionen entsprechende) mathematische Sprache zu bringen, möglicherweise zu vernetzen und zu verallgemeinern. Eine ausführlichere Darstellung findet man in Prediger u. a. (2011). Anhand von vier Punkten wird dort die Notwendigkeit dieser Phase begründet: Reflexionsbedarf: Erfahrungen werden nur dann zu Wissen und Können, wenn dies bewusst gemacht und konsolidiert wird. Regularisierungsbedarf: Individuelle Nacherfindungen führen nicht automatisch auf die konventionellen Begriffe und Sätze der Mathematik. Vernetzungsbedarf: Einzelne Kenntnisse ohne eine systematisierende Einordnung führen nur auf isoliertes bruchstückhaftes Wissen. Dokumentationsbedarf: Zum Lernen gehört das Festhalten, vor allem das Verschriftlichen. Gesichert werden müssen nach Prediger u. a. (2011) verschiedene Arten und Facetten des Wissens, die in der folgenden (verkürzten) Tabelle wiedergegeben werden: Heinz-Jürgen Harder [ Februar 2013 [Seite 5]

6 Konzeptuelles Wissen Explizite Formulierung Konkretisierung und Abgrenzung Konzepte Definitionen Beispiele - Gegenbeispiele Zusammenhänge Prozedurales Wissen Mathematische Verfahren, Algorithmen Handwerkliche Verfahren Metakognitives Wissen Strategien des Problemlösens Schritte beim Modellieren Satz Beispiele - Gegenbeispiele Anleitung Anleitung Bedingungen der Anwendbarkeit, Spezialfälle evtl. Wissen zu typischen Fehlern Umsetzen der Anleitung, Bedingungen der Anwendbarkeit, spezifische Kniffe, Fehlerwissen Bedeutung und Vernetzung Vorstellungen - Darstellungen (anschauliche) Begründung / Beweis Vorstellung / Begründung als Verknüpfung zu konzeptuellen Gehalten Konventionelle Festlegung Fachwörter Namen von Sätzen, Bezeichnungen Vereinbarungen Vereinbarungen Für die Umsetzung dieser Standardsituation im Unterricht werden bei Prediger u. a. (2011) die folgenden vier Planungsschritte empfohlen (ein Präzisierung siehe dort): 1. Welche Wissenselemente werden systematisiert und gesichert? 2. Wie soll der gesicherte Eintrag am Ende aussehen? 3. Wie können Lernende bei der Erstellung des Eintrags aktiv werden? Welche Aneignungshandlungen bieten sich an? 4. Welche Unterrichtsformen und -methoden passen zu den gewählten Aneignungshandlungen? Eine explizite Berücksichtigung dieser Standardsituation als Unterrichtsphase findet man in den Bänden des Schulbuchs mathewerkstatt (Barzel u. a. (2012)). 5 Differenzierendes Üben Die Notwendigkeit von Übungsphasen wird allgemein anerkannt. Jedes Schulbuch bietet nach der Einführung neuer Inhalte reichhaltiges Übungsmaterial in unterschiedlicher Qualität an. In Leuders (2009, S.133) werden Empfehlungen zu intelligenten Üben am Beispiel des Durchschnitts gegeben: Heinz-Jürgen Harder [ Februar 2013 [Seite 6]

7 Fähigkeitsaspekt Kenntnisse Fertigkeiten Verstehen / Vorstellungen Anwendungsfähigkeit / Transfer (übergreifende) Strategien Reflexionsfahigkeit Einstellungen Beispiel die Definition des Durchschnitts in eigenen Worten wiedergeben einen Durchschnitt fehlerlos berechnen (mit oder ohne Taschenrechner) am Beispiel/an einem Bild erläutern, was ein Durchschnitt ist in unbekannten Situationen Probleme mithilfe von Durchschnitten lösen sich in einer unbekannten Situation, bei der es um die Mitte geht, zu helfen wissen, z. B. durch Betrachten von Beispielen... beurteilen, ob es in einer bestimmten Situation sinnvoll ist, einen Durchschnitt zu berechnen... und auch dazu bereit sein. Darüber hinaus werden bei Leuders (2009, S.134) Kriterien für gute Übungsaufgaben vorgeschlagen, danach ist intelligentes Üben... sinnstiftend: Dem Übenden wird möglichst transparent gemacht, wozu die Übung dient. entdeckungsoffen: Das Üben ist nicht auf das lineare Abarbeiten von vorgezeichneten Tätigkeiten beschränkt. Die Aufgaben regen an, schon beim Üben mathematisch tätig zu sein, eigene Wege zu gehen, und Entdeckungen zu machen, die über das enge Ziel des Übens hinausgehen. selbstdifferenzierend: Die Aufgabenstellungen sind so formuliert, dass starke und schwache Schüler mit ihnen arbeiten können. Jeder Schüler kann auf seinem Niveau Nutzen aus den Übungen ziehen. reflexiv: Die Aufgaben regen immer auch zum Nachdenken über den Gegenstand der Übung oder über die Übungstätigkeit an. Weiter findet man bei Leuders (2009, S.136ff) eine methodische Anleitung in drei Schritten, wie produktive Übungsaufgaben kriteriengeleitet selbst erzeugt werden können. Schöne Beispiele für produktive Aufgaben sind auch bei Herget u. a. (2001) oder Herget und Strick (2012) enthalten. Heinz-Jürgen Harder [ Februar 2013 [Seite 7]

8 Literatur [Barzel u. a. 2011] Barzel, Bärbel ; Holzäpfel, Lars ; Leuders, Timo: Mathematik unterrichten: Planen, durchführen, reflektieren. Cornelsen Scriptor, 2011 [Barzel u. a. 2012] Barzel, Bärbel (Hrsg.) ; Hußmann, Stephan (Hrsg.) ; Leuders, Timo (Hrsg.) ; Prediger, Susanne (Hrsg.): mathewerkstatt. Cornelsen, 2012 [Bruder und Collet 2011] Bruder, Regina ; Collet, Christina: Problemlösen lernen im Mathematikunterricht. Cornelsen Scriptor, 2011 [Gudjons 2007] Gudjons, Herbert: Frontalunterricht - neu entdeckt. Klinkhardt UTB, 2007 [Herget u. a. 2001] Herget, Wilfried ; Jahnke, Thomas ; Kroll, Wolfgang: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I. Cornelsen, S. ISBN [Herget und Strick 2012] Herget, Wilfried ; Strick, Heinz K.: Die etwas andere Aufgabe 2. Friedrich Verlag, 2012 [Leuders 2009] Leuders, Timo: Mathe Magische Momente. Kap. Intelligent Üben und Mathematik erleben, Cornelsen, 2009 [Prediger u. a. 2011] Prediger, Susanne ; Barzel, Bärbel ; Leuders, Timo ; Hußmann, Stephan: Systematisieren und Sichern - Nachhaltiges Lernen durch aktives Ordnen. In: mathematik lehren (2011), Februar, Nr. 164, S. 2 9 Heinz-Jürgen Harder [ Februar 2013 [Seite 8]