Name: Klasse: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung AHS. 11. Mai Mathematik. Teil-2-Aufgaben. öffentliches Dokument

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1 Name: Klasse: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung HS 11. Mai 215 Mathematik Teil-2-ufgaben

2 Hinweise zur ufgabenbearbeitung Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat! Das vorliegende ufgabenheft zu Teil 2 enthält vier ufgaben mit je zwei bis vier Teilaufgaben, wobei alle Teilaufgaben unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Ihnen stehen dafür insgesamt 15 Minuten an reiner rbeitszeit zur Verfügung. Verwenden Sie einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift! ei Konstruktionsaufgaben ist auch die Verwendung eines leistifts möglich. Verwenden Sie zur earbeitung dieser ufgaben dieses ufgabenheft und die Ihnen zur Verfügung gestellten lätter! Schreiben Sie Ihren Namen auf der ersten Seite des ufgabenheftes in das dafür vorgesehene Feld und auf jedes verwendete latt! Geben Sie bei der eantwortung jeder Teilaufgabe deren ezeichnung an! In die eurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die ufgabe als nicht gelöst. Streichen Sie Ihre Notizen durch. Sie dürfen eine approbierte Formelsammlung sowie die gewohnten elektronischen Hilfsmittel verwenden. bzugeben sind das ufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten lätter. eurteilung Jede ufgabe in Teil 1 wird mit Punkten oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in Teil 2 mit, 1 oder 2 Punkten. Die mit gekennzeichneten ufgabenstellungen werden mit Punkten oder 1 Punkt bewertet. Werden im Teil 1 mindestens 16 von 24 ufgaben richtig gelöst, wird die rbeit positiv bewertet. Werden im Teil 1 weniger als 16 von 24 ufgaben richtig gelöst, werden mit markierte ufgabenstellungen aus Teil 2 zum usgleich (für den laut LVO wesentlichen ereich ) herangezogen. Werden unter erücksichtigung der mit markierten ufgabenstellungen aus Teil 2 mindestens 16 ufgaben richtig gelöst, wird die rbeit positiv bewertet. Werden auch unter erücksichtigung der mit markierten ufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 ufgaben richtig gelöst, wird die rbeit mit Nicht genügend beurteilt. Werden im Teil 1 mindestens 16 Punkte (mit erücksichtigung der usgleichspunkte ) erreicht, so gilt folgender eurteilungsschlüssel: Genügend efriedigend Gut Sehr gut Punkte Punkte 33 4 Punkte Punkte Erläuterung der ntwortformate Die ufgaben haben einerseits freie ntwortformate; dabei schreiben Sie Ihre ntwort direkt unter die jeweilige ufgabenstellung in das ufgabenheft oder auf die zur Verfügung gestellten lätter. Weitere ntwortformate, die in der Klausur zum Einsatz kommen können, werden im Folgenden vorgestellt: Zuordnungsformat: Dieses ntwortformat ist durch mehrere ussagen (bzw. Tabellen oder bbildungen) gekennzeichnet, denen mehrere ntwortmöglichkeiten gegenüberstehen. earbeiten Sie ufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die ntwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden uchstaben den jeweils zutreffenden ussagen zuordnen! eispiel: Gegeben sind zwei Gleichungen. ufgabenstellung: Ordnen Sie den zwei Gleichungen jeweils die entsprechende ezeichnung (aus bis D) zu! = = 4 C C D ddition Division Multiplikation Subtraktion 2

3 Konstruktionsformat: Eine ufgabe und deren ufgabenstellung sind vorgegeben. Die ufgabe erfordert die Ergänzung von Punkten, Geraden und/oder Kurven im ufgabenheft. eispiel: Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f(x) = k x + d. ufgabenstellung: Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit den edingungen k = 2 und d > in das vorgegebene Koordinatensystem ein! f(x) f x Multiple-Choice-Format in der Variante 1 aus 6 : Dieses ntwortformat ist durch einen Fragenstamm und sechs ntwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine ntwortmöglichkeit auszuwählen ist. earbeiten Sie ufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die einzige zutreffende ntwortmöglichkeit ankreuzen! eispiel: Welche Gleichung ist korrekt? ufgabenstellung: Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an! = 1 a = 2 a = 3 a = 8 T = 5 a = 6 a Multiple-Choice-Format in der Variante 2 aus 5 : Dieses ntwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf ntwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei zwei ntwortmöglichkeiten auszuwählen sind. earbeiten Sie ufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die beiden zutreffenden ntwortmöglichkeiten ankreuzen! eispiel: Welche Gleichungen sind korrekt? ufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an! = 1 a = 4 T = 3 a = 8 T = 5 a 3

4 Multiple-Choice-Format in der Variante x aus 5 : Dieses ntwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf ntwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine, zwei, drei, vier oder fünf ntwortmöglichkeiten auszuwählen sind. In der ufgabenstellung finden Sie stets die ufforderung Kreuzen Sie die zutreffende(n) ussage(n)/ Gleichung(en)/... an!. earbeiten Sie ufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende ntwortmöglichkeit/die zutreffenden ntwortmöglichkeiten ankreuzen! eispiel: Welche der gegebenen Gleichungen ist/sind korrekt? ufgabenstellung: Kreuzen Sie die zutreffende(n) Gleichung(en) an! = 2 T = 4 T = 6 T = 4 a = 1 T Lückentext: Dieses ntwortformat ist durch einen Satz mit zwei Lücken gekennzeichnet, das heißt, im ufgabentext sind zwei Stellen ausgewiesen, die ergänzt werden müssen. Für jede Lücke werden je drei ntwortmöglichkeiten vorgegeben. earbeiten Sie ufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die Lücken durch nkreuzen der beiden zutreffenden ntwortmöglichkeiten füllen! eispiel: Gegeben sind 3 Gleichungen. ufgabenstellung: Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch nkreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte ussage entsteht! Die Gleichung 1 wird als Zusammenzählung oder 2 bezeichnet = a = 2 T 1 1 = 1 a 2 Multiplikation Subtraktion ddition a a T So ändern Sie Ihre ntwort bei ufgaben zum nkreuzen: 1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen ntwort. 2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an = 3 a = 4 T = 5 a = 4 a = 9 T Hier wurde zuerst die ntwort = 9 gewählt und dann auf = 4 geändert. So wählen Sie eine bereits übermalte ntwort: 1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen ntwort. 2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein = 3 a = 4 T = 5 a = 4 a = 9 a Hier wurde zuerst die ntwort = 4 übermalt und dann wieder gewählt. Wenn Sie jetzt noch Fragen haben, wenden Sie sich bitte an Ihre Lehrerin/Ihren Lehrer! 4 Viel Erfolg bei der earbeitung!

5 ufgabe 1 2-m-Lauf In der Leichtathletik gibt es für Läufer/innen spezielle Trainingsmethoden. Dazu werden Trainingspläne erstellt. Es ist dabei sinnvoll, bei Trainingsläufen Teilzeiten zu stoppen, um Stärken und Schwächen der Läuferin/des Läufers zu analysieren. Zur Erstellung eines Trainingsplans für eine Läuferin wurden die Teilzeiten während eines Trainingslaufs gestoppt. Für die 2 Meter lange Laufstrecke wurden bei diesem Trainingslauf 26,4 Sekunden gemessen. Im nachstehenden Diagramm ist der zurückgelegte Weg s(t) in bhängigkeit von der Zeit t für diesen Trainingslauf mithilfe einer Polynomfunktion s vom Grad 3 modellhaft dargestellt. Für die Funktion s gilt die Gleichung s(t) = 7 45 t 3 +,7t 2 (s(t) in Metern, t in Sekunden). s(t) in m s t in s ufgabenstellung: a) erechnen Sie die Wendestelle der Funktion s! Interpretieren Sie die edeutung der Wendestelle in ezug auf die Geschwindigkeit der Läuferin! b) estimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit der Läuferin für die 2 Meter lange Laufstrecke in Metern pro Sekunde! Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung besagt, dass unter bestimmten Voraussetzungen in einem Intervall [a; b] für eine Funktion f mindestens ein x (a; b) existiert, sodass f(b) f(a) f (x ) = gilt. Interpretieren Sie diese ussage im vorliegenden Kontext für die b a Funktion s im Zeitintervall [; 26,4]! 5

6 ufgabe 2 ltersbestimmung Die Radiokohlenstoffdatierung, auch 14 C-Methode genannt, ist ein Verfahren zur ltersbestimmung von kohlenstoffhaltigen Materialien. Das Verfahren beruht darauf, dass in abgestorbenen Organismen die Menge an gebundenen radioaktiven 14 C-tomen gemäß dem Zerfallsgesetz exponentiell abnimmt, während der nteil an 12 C-tomen gleich bleibt. Lebende Organismen sind von diesem Effekt nicht betroffen, da sie ständig neuen Kohlenstoff aus der Umwelt aufnehmen, sodass der 14 C-nteil nahezu konstant bleibt und somit auch das Verhältnis zwischen 14 C und 12 C. Die nzahl der noch vorhandenen 14 C-tome in einem abgestorbenen Organismus wird durch die Funktion N beschrieben. Für diese nzahl N(t) der 14 C-tome t Jahre nach dem Tod des Organismus gilt daher näherungsweise die Gleichung N(t) = N e λ t, wobei N die nzahl der 14 C-tome zum Zeitpunkt t = angibt und die Zerfallskonstante für 14 C den Wert λ = 1, pro Jahr hat. Eine frische Probe enthält pro illion (1 12 ) Kohlenstoffatomen nur ein 14 C-tom. Die Nachweisgrenze von 14 C liegt bei einem tom pro illiarde (1 15 ) Kohlenstoffatomen (also einem Tausendstel der frischen Probe). ufgabenstellung: a) erechnen Sie die Halbwertszeit von 14 C! Zeigen Sie, dass nach zehn Halbwertszeiten die Nachweisgrenze von 14 C unterschritten ist! b) Im Jahr 1991 wurde in den Ötztaler lpen von Wanderern die Gletschermumie Ötzi entdeckt. Die 14 C-Methode ergab, dass bereits 47 % ±,5 % der ursprünglich vorhandenen 14 C-tome zerfallen waren (d. h., das Messverfahren hat einen Fehler von ±,5 % der in der frischen Probe vorhandenen nzahl an 14 C-tomen). erechnen Sie ein Intervall für das lter der Gletschermumie zum Zeitpunkt ihres uffindens! 6

7 ngenommen, Ötzi wäre nicht im Jahr t 1 = 1991, sondern zu einem späteren Zeitpunkt t 2 gefunden worden. Geben Sie an, welche uswirkung auf die reite des für das lter der Gletschermumie ermittelten Intervalls dies hat (den gleichen Messfehler vorausgesetzt)! egründen Sie Ihre ussage anhand der unten abgebildeten Grafik! N(t) N t 1 t 2 t c) N(t) beschreibt die nzahl der 14 C-tome zum Zeitpunkt t. Interpretieren Sie N (t) im Hinblick auf den radioaktiven Zerfallsprozess! Nach den Gesetzmäßigkeiten des radioaktiven Zerfalls zerfällt pro Zeiteinheit ein konstanter Prozentsatz p der vorhandenen Menge an 14 C-tomen. Welche der folgenden Differenzengleichungen beschreibt diese Gesetzmäßigkeit? Kreuzen Sie die zutreffende Differenzengleichung an! N(t + 1) N(t) = p N(t + 1) N(t) = p N(t + 1) N(t) = p t N(t + 1) N(t) = p t N(t + 1) N(t) = p N(t) N(t + 1) N(t) = p N(t) 7

8 ufgabe 3 lutgruppen Die wichtigsten lutgruppensysteme beim Menschen sind das -System und das Rhesussystem. Es werden dabei die vier lutgruppen,, und unterschieden. Je nach Vorliegen eines bestimmten ntikörpers, den man erstmals bei Rhesusaffen entdeckt hat, wird bei jeder lutgruppe noch zwischen Rhesus-positiv (+) und Rhesus-negativ ( ) unterschieden. bedeutet z.. lutgruppe mit Rhesusfaktor negativ. In den nachstehenden Diagrammen sind die relativen Häufigkeiten der vier lutgruppen in Österreich und Deutschland und im weltweiten Durchschnitt ohne erücksichtigung des Rhesusfaktors dargestellt. Österreich Österreich Österreich Deutschland Deutschland Deutschland weltweit weltweit weltweit 15 % 15 % 15 % 11 % 11 % 11 % 11 % 11 % 11 % 41 % 41 % 41 % 37 % 37 % 37 % 43 % 43 % 43 % 41 % 41 % 41 % 4 % 4 % 4 % 45 % 45 % 45 % 7 % 7 % 7 % 5 % 5 % 5 % 4 % 4 % 4 % Die nachstehende Tabelle enthält die relativen Häufigkeiten der lutgruppen in Deutschland und Österreich zusätzlich aufgeschlüsselt nach den Rhesusfaktoren Deutschland 37 % 6 % 9 % 2 % 35 % 6 % 4 % 1 % Österreich 33 % 8 % 12 % 3 % 3 % 7 % 6 % 1 % ufgrund von Unverträglichkeiten kann für eine luttransfusion nicht lut einer beliebigen lutgruppe verwendet werden. Jedes Kreuz (X) in der nachstehenden Tabelle bedeutet, dass eine Transfusion vom Spender zum Empfänger möglich ist. Spender Empfänger X X X X X X X X X X X X + X X X X X X + X X X X X X + X X X Datenquelle: [ ] 8

9 ufgabenstellung: a) Geben Sie diejenigen lutgruppen an, die laut der abgebildeten Diagramme sowohl in Österreich als auch in Deutschland häufiger anzutreffen sind als im weltweiten Durchschnitt! Jemand argumentiert anhand der gegebenen Diagramme, dass die lutgruppe in Deutschland und Österreich zusammen eine relative Häufigkeit von 13 % hat. Entscheiden Sie, ob diese ussage richtig ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung! b) Eine in Österreich lebende Person X hat lutgruppe. Geben Sie anhand der in der Einleitung angeführten Daten und Informationen die Wahrscheinlichkeit an, mit der diese Person X als lutspender/in für eine zufällig ausgewählte, in Österreich lebende Person Y geeignet ist! Wie viele von 1 zufällig ausgewählten Österreicherinnen/Österreichern kommen als lutspender/in für die Person X in Frage? Geben Sie für die nzahl der potenziellen lutspen - der/innen näherungsweise ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall mit 9 % Wahrscheinlichkeit an! c) In einer österreichischen Gemeinde, in der 1 8 Einwohner/innen lut spenden könnten, nahmen 15 Personen an einer freiwilligen lutspendeaktion teil. Es wird angenommen, dass die lutspender/innen eine Zufallsstichprobe darstellen. 72 lutspender/innen hatten lutgruppe. erechnen Sie aufgrund dieses Stichprobenergebnisses ein symmetrisches 95-%-Konfi denzintervall für den tatsächlichen (relativen) nteil p der Einwohner/innen dieser Gemeinde mit lutgruppe, die lut spenden könnten! Die reite des Konfidenzintervalls wird vom Konfidenzniveau (Sicherheitsniveau) und vom Umfang der Stichprobe bestimmt. Geben Sie an, wie jeweils einer der beiden Parameter geändert werden müsste, um eine Verringerung der reite des Konfidenzintervalls zu erreichen! Gehen Sie dabei von einem unveränderten (gleichbleibenden) Stichprobenergebnis aus. itte umblättern! 9

10 d) lutgruppenmerkmale werden von den Eltern an ihre Kinder weitervererbt. Dabei sind die Wahrscheinlichkeiten in der nachstehenden Tabelle angeführt. lutgruppe mögliche lutgruppe des Kindes der Eltern und 93,75 % 6,25 % und 18,75 % 18,75 % 56,25 % 6,25 % und 5 % 12,5 % 37,5 % und 75 % 25 % und 93,75 % 6,25 % und 12,5 % 5 % 37,5 % und 75 % 25 % und 25 % 25 % 5 % und 5 % 5 % und 1 % Quelle: [ ] Eine Frau mit lutgruppe und ein Mann mit lutgruppe haben zwei (gemeinsame) leibliche Kinder. erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder die gleiche lutgruppe haben! Ein Kind aus der Nachbarschaft dieser Familie hat lutgruppe. Gibt es eine lutgruppe bzw. lutgruppen, die der leibliche Vater dieses Kindes sicher nicht haben kann? egründen Sie Ihre ntwort anhand der gegebenen Daten! 1

11 ufgabe 4 Füllen eines Gefäßes Der Innenraum eines 2 cm hohen Gefäßes hat in jeder Höhe h eine rechteckige, horizontale Querschnittsfläche. Ihre Länge beträgt am oden 1 cm und nimmt dann mit der Höhe linear bis auf 16 cm zu, ihre reite beträgt in jeder Höhe 12 cm. 16 cm 2 cm 12 cm 1 cm ufgabenstellung: a) Geben Sie eine Formel für die Länge a(h) der rechteckigen Querschnittsfläche in der Höhe h an! In das Gefäß wird Flüssigkeit gefüllt. Geben Sie an, was der usdruck a(h)dh in diesem Zusammenhang bedeutet! b) Das leere Gefäß wird bis zum Rand mit Flüssigkeit gefüllt. Nach t Sekunden befindet sich die Wassermenge q(t) (in ml) im Gefäß. Die Füllung dauert 39 Sekunden. Für t [; 39] gilt: q (t) = 8. Interpretieren Sie q (t) = 8 im gegebenen Zusammenhang! Ermitteln Sie q(t 2 ) q(t 1 ) t 2 t 1 für beliebige t 1, t 2 mit t 1 < t 2 aus dem gegebenen Zeitintervall! c) Das Fassungsvermögen des Gefäßes (in ml) bis zur Höhe x kann durch das Integral (3,6 h + 12)dh dargestellt werden. x Ermitteln Sie, bei welcher Höhe x das Wasser im Gefäß steht, wenn man 2,5 Liter Wasser in das Gefäß gießt! Interpretieren Sie den im Integral vorkommenden Wert 3,6 im gegebenen Kontext! 11

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