Mathematik elementare Algebra Grundwissen und Übungen

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1 Mathematik elementare Algebra Grundwissen und von Stefan Gärtner (Gr) Stefan Gärtner 1999 unter Benutzung von Unterrichtsmaterial von Gärtner / Clausing / Schröder

2 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 2 Grundwissen Inhaltsverzeichnis Seite Grundwissen Mengen und natürliche Zahlen 2 Begriffe zu den Rechenarten 2 Rechenhierarchie 3 Variable, Term 3 Termumformung 4 Die Rechengesetze (Kommutativ- Assoziativ und Distributivgesetz) 5 Binomische Formeln 7 Rechnen mit Potenzen 5 Potenzgesetze 8 Rechnen mit der 0 9 Produktsatz 9 Die ganzen Zahlen R, Gegenzahl, Betrag 11 Rechnen mit ganzen Zahlen 12 Gleichungen 12 Lösen von Gleichungen, Äquivalenzumformungen 17 Ungleichungen 20 Gemischte zum Grundwissen 22 Lösungen 60

3 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 3 Grundwissen Mengen und natürliche Zahlen Eine Zusammenfassung von Zahlen heißt Menge. Mengen bezeichnet man mit großen Buchstaben A, B und zählt die Zahlen in Mengenklammern { } auf. Diejenigen Zahlen, die zu dieser Menge gehören heißen Elemente der Menge. Um auszudrücken, dass ein Element zu einer Menge gehört, benutzt man das Zeichen A = {2,5,7} ; 2 A lies: "2 ist Element der Menge A" ABER: 4 A Die Menge ohne Elemente heißt leere Menge und wird so { } oder so aufgeschrieben. Die Menge, die aus den natürlichen Zahlen 1, 2, 3,... und der Zahl 0 besteht, bezeichnen wir mit 0 0 = { 0,1,2,..} 99 0 ABER: Begriffe zu den Rechenarten Addition Subtraktion Summe Wert der Differenz Wert der Summe Differenz = = 2 2 Summanden Eine Summe besteht also aus zwei Summanden und dem Rechenzeichen +. Multiplikation Division Die Division wird auch als Bruch geschrieben: 18 Produkt Wert des Quotient Wert des 6 = 3 Produktes Quotienten 3 6 = : 6 = 3 Zähler Nenner 2 Faktoren Ein Produkt besteht also aus zwei Faktoren und dem Rechenzeichen. Potenzieren Potenz Wert der Potenz 3 2 = 8 Basis Exponent = 2 3

4 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 4 Grundwissen Beziehung zwischen den Rechenarten Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition. 8-5 = 3, denn = 8 Die Multiplikation ist die Addition gleicher Faktoren. 4 2 = Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. 24 : 8 = 3, denn 3 8 = 24 Das Potenzieren ist die Multiplikation gleicher Faktoren. 5 3 = Sollen verschiedene Rechenarten hintereinander ausgeführt werden, so muß festgelegt sein, in welcher Reihenfolge zu rechnen ist. Es gilt die Vereinbarung: Rechenhierarchie: Klammer zuerst, dann Potenz vor Punkt vor Strich zuletzt von links nach rechts ( 5-2 ) = = = 41 Variable: Häufig ist es sinnvoll, statt einer bestimmten Zahl einen Platzhalter zu benutzen (etwa, weil man die Zahl noch nicht kennt, oder erst später festlegen möchte). Platzhalter für Zahlen heißen Variable und werden meistens mit kleinen Buchstaben dargestellt. Die Variable (der Buchstabe) steht also für eine (noch nicht bekannte oder festgelegte) Zahl. Insbesondere beim Notieren von Regeln wird dieses benutzt. 3? Platzhalter / Variable 3 x Term: Ausdrücke, die sinnvolle Rechenoperationen darstellen (also aus Zahlen, Variablen und Rechenvorschriften zusammengesetzt sind), heißen allgemein Terme. Jede Summe, Differenz ist also ein Term. Auch einzelne Zahlen oder Variablen können schon als Term bezeichnet werden. Terme: a; x a b + 99 ; (x-2) b In einem Term kann das Multiplikationszeichen weggelassen werden, wenn keine Mißverständnisse auftreten können a = a; 36ax = 36 a x

5 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 5 Grundwissen Art eines Terms: Die jeweils zuletzt auszuführende Rechenoperation in einem Term legt dessen Art fest. Mit Hilfe eines Rechenbaumes kann dies veranschaulicht werden: ( 4-2 ) 1. Schritt: 2 denn Klammer zuerst 2. Schritt: 15 denn Punkt vor Strich 3. Schritt: 17 letzte Operation Art des Terms: Summe denn zuletzt wurde addiert Man schreibt die Rechnung folgendermaßen auf: ( 4-2 ) = = = 17 Produkt: (3 2-5 ) ( ) = ( 9-5 ) ( ) = 4 21 = 84 Summe: 3 a + 2 Quotient: ( 24-6 ) : 3 2 Wert eines Terms Kommen Variable in einem Term vor, so hängt der Wert des Terms davon ab, welche Zahl für die Variable eingesetzt wird. Term : 3 + 2x Wert für x = 2: 7 Wert für x = 5: 13 Gleichheit von Termen Zwei (verschiedene) Terme mit Variablen heißen einsetzungsgleich, wenn sich nach dem Einsetzen derselben Zahlen für die Variable auch derselbe Wert des Terms ergibt. 3 + x = x + 3 Egal, welche Zahl für x eingesetzt wird, der Wert des linken Terms ist gleich dem Wert des rechten Terms. Termumformung Wird aus einem gegebenen Term durch Umformung ein einsetzungsgleicher Term, so nennt man dies Termumformung x = 7 + x 3 x 4 = 3 4 x = 12 x Alle Termumformungen beruhen auf Rechengesetzen, die für alle Zahlen gelten: das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz (siehe unten!).

6 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 6 Grundwissen Die Rechengesetze Bei der Addition und bei der Multiplikation darf man die Summanden bzw. die Faktoren vertauschen. Bei der Subtraktion hingegen führt die Vertauschung zu einem anderen Ergebnis. Das gilt auch bei der Division und beim Potenzieren. Für die Addition und die Multiplikation gilt das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) Für alle Zahlen a und b gilt: a + b = b + a und a b = b a 3+ 5 = und 3 7 = 7 3 ABER: und 3 : 6 6 : 3 Bei Addition und Multiplikation kommt es auch nicht darauf an, in welcher Reihenfolge man mehrere Operationen hintereinander ausführt. Auf diese Weise kann man sich manchmal Rechenvorteile verschaffen. (Die Reihenfolge der Operationen wird durch die Klammer festgelegt.) Bei der Subtraktion und Division kommt es hingegen darauf an, dass die Reihenfolge eingehalten wird. Für die Addition und die Multiplikation gilt das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) Für alle Zahlen a, b und c gilt: (a + b) + c = a + ( b + c ) und (a b) c = a ( b c ) 3 + 4) + 2 = (4 + 2) = 9 ABER: (10-3) - 2 = (3-2) = 9 Betrachtet man die Rechtecke, so läßt sich die Fläche F des gesamten Rechtecks auf zwei Arten berechnen. 1. Art: Zunächst die beiden kleinen Rechtecksflächen a b und a c berechnen und anschließend die Flächen addieren: F = a b + a c a 2. Art: Zunächst die Länge der längeren Seite berechnen b + c und anschließend die Fläche des Gesamtrechteckes berechnen: b c F = a (b + c) F = = 18 F = 3 (4 + 2) = 18 also: 3 (4 + 2) =

7 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 7 Grundwissen Die beiden Terme a b + a c und a (b + c) sind offensichtlich einsetzungsgleich, also a b + a c = a (b + c) Dieser Sachverhalt wird in dem folgenden Gesetz festgehalten: Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) Für alle Zahlen a, b und c gilt: a ( b + c ) = a b + a c bzw. ( b + c ) a = b a + c a Produkt Summe Produkt Summe In Worten: Man multipliziert eine Zahl mit einer Summe, indem man die Zahl mit jedem Summanden einzeln multipliziert und die Produkte addiert. 3(d+2) = 3d + 6; (3+x)a = 3a + xa Man kann das Distributivgesetz in zwei Richtungen anwenden: Die Umwandlung Produkt Summe a ( b + c ) = a b + a c heißt ausmultiplizieren. Produkt Summe Produkt Summe 3 (x+ 2) = 3x + 6 (s+ 2 t) 4 = 4s + 8t Die Umwandlung Summe Produkt a b + a c = a ( b + c ) heißt faktorisieren oder ausklammern. Summe Produkt Summe Produkt 3x + 3y = 3 (x+ y) 4s + 8s = (4+ 8) s = 12 s Betrachtet man die Rechtecke, so läßt sich die Fläche F des gesamten Rechtecks auf zwei Arten berechnen: 1. Art: Zunächst die kleinen Rechtecksflächen a c, b c, a d und b d berechnen und an c schließend die Flächen addieren: F = a c + b c + a d + b d 2. Art: Zunächst die Länge der beiden Seiten d berechnen a + b und c + d und anschlie- a b ßend die Fläche des Gesamtrechteckes berechnen: F = (a + b) ( c + d ) 1. Art: = 49 2.Art: (5 + 2) (4 + 3) = 49

8 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 8 Grundwissen Die beiden Terme a c+b c + a d +b d und (a+ b) (c + d) sind offensichtlich einsetzungsgleich, also a c+b c + a d +b d = (a+ b) (c + d) Man erhält diesen Zusammenhang auch, wenn das Distributivgesetz zweimal angewandt wird: a c + b c + a d + b d = (a + b) c + (a + b) d c, d ausgeklammert = (a + b) (c + d) (a+b) ausgeklammert Es gilt also die Regel (Distributivgesetz ) Für alle Zahlen a, b, c und d gilt: ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d In Worten: Man multipliziert zwei Summen, indem man jede Zahl der ersten Summe mit jeder Zahl der zweiten Summe multipliziert und die Produkte addiert. Als Sonderfälle dieser Regel ergeben sich die Binomische Formeln Für alle Zahlen a, b gilt 1) ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2) ( a - b ) 2 = a 2-2ab + b 2 3) ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 Begründungen: zu 1) ( a + b ) 2 zu 2) ( a - b ) 2 zu 3) ( a + b ) ( a - b ) = ( a + b ) ( a + b ) = ( a - b ) ( a - b ) = a 2 +ab - ba + b 2 = a 2 +ab + ba + b 2 = a 2 -ab - ba + b 2 = a 2 + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 = a 2-2ab + b 2 zu 1) ( x + 2 ) 2 = x 2 + 4x + 4 zu 2) ( 4 - z ) 2 = 14-8z + z 2 zu 3) ( 9 + b ) ( 9 - b ) = 81 - b 2 Anmerkung: 'Binom' kommt aus dem Lateinischen und ist eine Abkürzung für 'ex binis nominibus (aus zwei Teilen zusammengesetzt).

9 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 9 Grundwissen Rechnen mit Potenzen Eine Potenz a n ist ein Produkt aus gleichen Faktoren. Die Basis a gibt den Faktor an, der Exponent n gibt die Anzahl der Faktoren an. 3 4 = = 81 Für das Rechnen mit Potenzen gelten die folgenden Regeln: 1. Potenzgesetz: Für alle Zahlen a, m, n gilt: a m b n = a m+n In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert. Begründung am Beispiel: = ( ) (3 3) = Potenzgesetz: Für alle Zahlen a, m, n gilt: a m : b n = a m-n In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert. Begründung am Beispiel: 3 4 : 3 2 = ( ) : (3 3) = 81 : 9 = 9 = Potenzgesetz: Für alle Zahlen a, b, n gilt: a n b n = (a b) n In Worten: Potenzen mit gleichem Exponent werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält. Begründung am Beispiel: = = = (3 4) 2 4. Potenzgesetz: Für alle Zahlen a, b, n gilt: a n : b n = (a:b) n In Worten: Potenzen mit gleichem Exponent werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält. Begründung am Beispiel: = 36 : 4 = 9 = Potenzgesetz: Für alle Zahlen a, m, n gilt: (a m ) n = a m n In Worten: Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Begründung am Beispiel: ( 2 3 ) 4 = = 2 12

10 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 10 Grundwissen Rechnen mit der Null Addiert (oder subtrahiert ) man die Zahl 0 zu einer Zahl, ( von einer Zahl), so ist der Wert der Summe gleich dem Wert der Zahl. ( Es ändert sich also nichts) = 4 ; 12-0 = 12 ; = 0 Regel: Für alle Zahlen a gilt a + 0 = a und a - 0 = a Multipliziert man eine Zahl mit der Zahl 0, so ist der Wert des Produktes stets = 0 ; 12 0 = 0 ; 0 0 = 0 Satz 1: Für alle Zahlen a gilt a 0 = 0 dasselbe kann man auch in einem Wenn-Dann-Satz formulieren: Wenn in einem Produkt ein Faktor Null ist, dann ist der Wert des Produktes Null. dasselbe formalisiert: Für alle Zahlen a, b gilt: a = 0 b = 0 a b = 0 Erläuterungen: dieses Zeichen bedeutet 'oder' im Sinne von 'eine von beiden oder beide', (nicht im Sinne von 'entweder - oder) dieses Zeichen bedeutet das Gegenteil von ' ', nämlich 'und' im Sinne von 'sowohl als auch', das ist der Folgerungspfeil, der das Wenn - dann zusammenfasst. Es gilt auch die Umkehrung von Satz 1: Satz 2: Wenn der Wert eines Produktes Null ist, dann muss mindestens einer der Faktoren Null sein. dasselbe formalisiert: Für alle Zahlen a, b gilt: a b = 0 a = 0 b = 0 Dieser Satz hat große Bedeutung beim Lösen von Gleichungen. Wenn (x-4) (x+2) = 0 ist, dann muß x=4 x = - 2 sein. Beide Sätze kann man zu einem Satz zusammenfassen: Produktsatz: Der Wert eines Produktes ist genau dann Null, wenn ein Faktor Null ist. dasselbe formalisiert: Für alle Zahlen a, b gilt: a b = 0 a = 0 b = 0

11 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 11 Grundwissen Welche Regeln gelten nun beim Rechnen mit der Null und der Division? Dazu müssen wir auf die Tatsache zurückgreifen, dass die Division die Umkehrung der Multiplikation ist. Division Multiplikation Division Multiplikation 18 : 6 = 3, denn 3 6 = 18 6 : 2 = 3, denn 3 2 = 6 Da bei der Division nicht das Kommutativ gilt, sind zwei Fälle zu unterscheiden: 1. Fall: Null soll durch eine andere Zahl dividiert werden, z. B.: 0 : 3 = x. Bildet man die Umkehrung x 3 = 0, so sieht man, dass der Wert des Produktes Null ist. Das geht nur, wenn ein Faktor Null ist (siehe Produktsatz!). Also muss gelten: x = 0. Damit ist klar: 0 : 3 = 0. Regel: Für alle Zahlen a 0 gilt: 0 : a = 0 ( in Bruchschreibweise: a 0 = 0 ) Division Multiplikation Division Multiplikation 0 : 6 = 0, denn 0 6 = 0 0 : 2 = 0, denn 0 2 = 0 2. Fall: Es soll durch Null dividiert werden, z. B.: 3 : 0 = x. Wir bilden wieder die Umkehrung x 0 = 3. Der Wert des Produktes x 0 müsste 3 ergeben. Das ist aber unmöglich, da ein Faktor des Produktes schon die Zahl 0 ist und damit auch der Wert des Produktes feststeht, nämlich 0 (siehe Produktsatz!). Die Division durch Null führt zu einem Widerspruch. Daher lassen wir sie erst gar nicht zu und legen fest! Regel: Die Division durch Null ist nicht definiert. (Im Nenner eines Bruches darf nie die Null stehen) 6 : 0 ist nicht definiert. 3 3 ist nicht definiert. ist für a = 0 nicht definiert. 0 a

12 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 12 Grundwissen Erweiterung der natürlichen Zahlen In einigen Bereichen der Wirklichkeit ist es nützlich neben den natürlichen Zahlen und der Null auch negative Zahlen zur Verfügung zu haben. Bei Geld bedeutet ein Guthaben von 250 EUR, Schulden (Soll) von 250 EUR. Der Geldbetrag ist in beiden Fällen gleich, der Abstand zu 0 EUR ist gleich. Bei der Celsius- Temperaturskala bezeichnet man den Gefrierpunkt mit 0 o C. Entsprechend werden kältere Temperaturen mit negativen Zahlen und wärmere mit positiven Zahlen bezeichnet. - 3 o C bedeutet 3 Grad unter Null, + 3 o C bedeutet 3 Grad über Null. Der Abstand zur Null ist in beiden Fällen gleich, der Betrag der Temperatur ist gleich. Auch innerhalb der Mathematik gibt es gute Gründe, die Menge der natürlichen Zahlen mit der Null o um die entsprechenden negativen Zahlen zu erweitern: Welche Zahl muss für x eingesetzt werden, damit die Gleichung x + 8 = 6 richtig wird? Die Umkehrung 6-8 ist keine natürliche Zahl! Lösung: Die Menge o der natürlichen Zahlen mit der Zahl 0 läßt sich auf dem Zahlenstrahl darstellen: Dabei gilt: Je weiter eine Zahl rechts liegt, desto größer ist sie. (Das Größerwerden symbolisiert der Pfeil!) Die Beziehungen "ist größer als" und "ist kleiner als" werden durch die Zeichen > und < ausgedrückt. 7 > 3 ( 7 ist größer als 3 ), denn 7 liegt weiter rechts auf dem Zahlenstrahl als 3. 2 < 5 ( 2 ist kleiner als 5 ), denn 2 liegt weiter links auf dem Zahlenstrahl als 5. Man erweitert nun den Zahlenstrahl zu einer Zahlengeraden und trägt darauf auch die negativen Zahlen ab: Gegenzahlen Zu jeder natürlichen Zahl erhält man so eine negative Gegenzahl. Die 0 ist ihre eigene Gegenzahl. - 5 ist Gegenzahl zu 5 ; 1 ist Gegenzahl von -1; 4 und -4 sind Gegenzahlen.

13 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 13 Grundwissen Betrag Gegenzahlen haben denselben Abstand zur Zahl 0, man sagt: Gegenzahlen haben denselben Betrag und man schreibt: -2 = +2 = +2. Betrag von -2 Betrag von -2 Der Betrag einer Zahl ist also immer positiv. Ganze Zahlen Die Mengen der natürlichen Zahlen mit der Zahl 0 mit ihren Gegenzahlen bilden zusammen die Menge der ganzen Zahlen. Diese Menge wird kurz mit R bezeichnet. Die Beziehungen > und < bleiben sinngemäß erhalten. -7 < -3 ( -7 ist kleiner als -3 ), denn -7 liegt auf dem Zahlenstrahl links von > - 5 ( -2 ist größer als - 5 ), denn -2 liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von -5. Negative Zahlen sind umso kleiner, je größer der Betrag ist. Rechnen mit ganzen Zahlen Addition Regel: positive Summanden: addiere Beträge, Summe positiv (+2) + (+3) = +5 Modell Geld: 2 EUR Guthaben + 3 EUR Guthaben 5 EUR Guthaben Regel: negative Summanden: addiere Beträge, Summe negativ (-2) + (-3) = -5 Modell Geld: 2 EUR Schulden + 3 EUR Schulden 5 EUR Schulden Regel: Summanden mit verschiedenen Vorzeichen Subtrahiere vom größeren Betrag den kleineren Betrag. Die Summe erhält das Vorzeichen des größeren Betrages (-2) + (+3) = +1 Modell Geld: 2 EUR Schulden + 3 EUR Guthaben 1 EUR Guthaben (+2) + (-3) = -1 Modell Geld: 2 EUR Guthaben + 3 EUR Schulden 1 EUR Schulden

14 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 14 Grundwissen Subtraktion Die Regeln ergeben sich aus den Regeln für die Addition durch Umkehrung der Addition, weil die Subtraktion die Umkehrung der Addition ist. (+2) - (+3) = -1, denn ( -1) + (+3) = +1 (+2) - (-3) = 5, denn (+5) + ( -3) = +2 (-2) - (+3) = -5, denn ( -5) + (+3) = -2 (-2) - (-3) = +1, denn (+1) + ( -3) = -2 Damit ergibt sich die Regel: Regel: Man subtrahiert eine ganze Zahl, indem man ihre Gegenzahl addiert. Subtraktion Addition einer = ihrer ganzen Zahl Gegenzahl (+2) - (+3) = (+2) + ( -3) = -1 (+2) - (-3) = (+2) + (+3) = 5 (-2) - (+3) = (-2) + ( -3) = -5 (-2) - (-3) = (-2) + (+3) = +1 Es gilt also allgemein: Regel: Jede Subtraktion kann als Addition geschrieben werden. Für alle Zahlen a, b gilt: a - b = a + ( -b ) Bemerkung: Die ausführliche Schreibweise mit Rechenzeichen und Vorzeichen wird meist vereinfacht: ( + 2 ) - ( +3 ) = 2-3; ( -3 ) + ( -4 ) = -3-4 ( +2 ) - ( - 3) = Multiplikation Die Regeln für die Multiplikation von ganzen Zahlen sollen so aussehen, dass die Rechengesetze (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Rechnen mit der Null) möglichst weitgehend erhalten bleiben. Dieses Prinzip nennt man das Permanenzprinzip. Wir unterscheiden zunächst 4 Fälle:

15 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 15 Grundwissen 1. Fall: Multiplikation mit der Zahl 0: Auch für die ganzen Zahlen gilt der Produktsatz. Für alle Zahlen a, b R gilt: a b = 0 a = 0 b = 0 2. Fall: Multiplikation von positiver Zahl mit negativer Zahl: In diesem Fall können wir darauf zurückgreifen, dass die Multiplikation die Addition gleicher Faktoren bedeutet: 4 ( -3) = ( -3) + ( -3) + ( -3) + ( -3) = -12 Das Produkt ist negativ, der Betrag des Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Beträge. 3. Fall: Multiplikation von negativer Zahl mit positiver Zahl: Das ist die Umkehrung von Fall 2. Da das Kommutativgesetz gelten soll, muss hier dasselbe Ergebnis entstehen: ( -3) ( 4) = 4 ( -3) = ( -3) + ( -3) + ( -3) + ( -3) = -12 Das Produkt ist negativ, der Betrag des Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Beträge. Also: Das Produkt aus einer negativen und einer positiven Zahl ist negativ. 4. Fall: Multiplikation von zwei negativen Zahlen: Wir betrachten eine Beispielrechnung auf zwei Arten: 4 ( - 3) 1 Art: 2. Art: = ( -3) + ( -3) + ( -3) + ( -3) = ( 6 + (- 2) ) ( -3) (Distributivgesetz) = 6 (-3) + (-2) ( -3) = -12 = -18 +?? Damit bei beiden Rechenweisen derselbe Wert entsteht muss das Produkt (-2) (-3) = +6 ergeben! = (+ 6 ) = -12 Das Produkt aus zwei negativen Zahlen ist positiv, der Betrag des Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Beträge. Bemerkungen: 1) Diese Festlegung wurde erforderlich, damit auch für die negativen Zahlen das Distributivgesetz gilt! 2) Auch das Kommutativgesetz für negative Zahlen gilt nun.

16 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 16 Grundwissen Die Regeln für die Multiplikation in Kurzform: Regel: Plus mal Plus ergibt Plus und Minus mal Minus ergibt Plus. Plus mal Minus ergibt Minus und Minus mal Plus ergibt Minus. Man kann auch sagen: Die Multiplikation mit einer negativen Zahl ändert das Vorzeichen, die Multiplikation mit einer positiven Zahl ändert das Vorzeichen nicht, Insbesondere gilt die Regel: Die Multiplikation mit -1 ergibt die Gegenzahl = ( - 1) = - 5 Mit dieser Regel läßt sich auch eine andere Definition für den Betrag zu: Definition: Für jede Zahl a gilt: a, falls a 0 a =. 1 a, falls a 0 denn für positive Zahlen ist der Betrag die Zahl selbst, für negative Zahlen ist der Betrag die Gegenzahl. Division Die Regeln der Division ergeben sich wieder aus der Umkehrung : (+12) : (- 4 ) = - 3, denn ( - 3) ( - 4) = 12 (- 12) : (+4 ) = - 3, denn ( - 3) (+ 4) = 12 (+12) : (+4 ) = + 3, denn ( +3) (+ 4) = -12 ( -12) : (- 4 ) = + 3, denn ( +3) ( - 4) = -12 Regel: Plus durch Plus ergibt Plus und Minus durch Minus ergibt Plus. Plus durch Minus ergibt Minus und Minus durch Plus ergibt Minus. Alle Regeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen lassen sich in der Faustformel zusammenfassen: Faustregel: Gleiche Zeichen ergibt Plus, ungleiche Zeichen ergibt Minus.

17 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 17 Grundwissen Gleichungen Bestimmte Aussagen können mathematisch mit Hilfe von Gleichungen ausgerückt werden. Dabei können die Aussagen wahr oder falsch sein: (1) Dreihundert ist das dreifache von = (wahre Aussage) (2) 20 geteilt durch 4 ergibt : 4 = 10 (falsche Aussage) Sind nicht alle Informationen in der Aussage eindeutig festgelegt, so spricht man von einer Aussageform, die erst durch Einsetzen von bestimmten Werten zu einer wahren oder falschen Aussage wird. Die zugehörige Gleichung enthält dann Variable, deren Wert nicht eindeutig festliegt. (1) Das große Auto kostet EUR, das ist der dreifache Preis des kleinen Autos k 3 k = Wahre Aussage für k = , denn = ist richtig Falsche Aussage für k = , denn = ist falsch. (2) Beim vierfachen des Eintrittspreises E fehlen 4 DM an 200 DM. 4 E + 4 = 200 Wahre Aussage für E = 49, denn = 200 ist richtig Falsche Aussage für E = 51, denn = 200 ist falsch. (3) Der Bremsweg betrug 49 m. Das ist das Quadrat der durch 10 geteilten Geschwindigkeit v (in km/h), die das Auto gefahren ist. 49 = ( v : 10) 2 Wahre Aussage für v = 70, denn (70 : 10) 2 = 49 ist richtig Falsche Aussage für E = 50, denn (50 : 10) 2 = 49 ist falsch. Lösen von Gleichungen Von besonderem Interesse bei Gleichungen mit Variablen sind diejenigen Werte der Variablen, die beim Einsetzen in die Gleichung eine wahre Aussage ergeben. Man spricht davon, die Gleichung zu lösen. Diejenigen Werte, die beim Einsetzten die Gleichung zu einer wahren Aussage machen, heißen Lösungen und werden in der Lösungsmenge ll zusammengefaßt. Gleichung: 3 k = 12 Lösungsmenge: ll = {4} x 2 = 16 ll = {4, -4}

18 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 18 Grundwissen Wie findet man die Lösungen einer Gleichung? Bei einigen einfachen Gleichungen ist die Lösung direkt ablesbar: Beispiele: Die Gleichung x = 5 hat die Lösung 5, denn beim Einsetzen von 5 ergibt sich die wahre Aussage 5 = 5. Man 'sieht' die Lösung, weil die Gleichung so einfach ist. Also: ll = {5} Die Gleichung x ( x - 2 ) = 0 hat die Lösungen 0 und 2, denn beim Einsetzen von 0 ergibt die wahre Aussage 0 (-2) = 0, beim Einsetzen von 2 ergibt sich die wahre Aussage 2 0 = 0. Man 'sieht' die Lösungen direkt mit Hilfe des Produktsatzes. Also: ll = {0;2} Bei unübersichtlichen Gleichungen kann die Lösung nicht einfach durch Hinsehen abgelesen werden: Beispiele: Die Gleichung 2 x ( 1 - x ) - 5 = 5-2x 2 hat auch die Lösung 5, denn beim Einsetzen von 5 ergibt sich die wahre Aussage -45 = Man sieht die Lösung aber nicht direkt, weil die Gleichung unübersichtlich ist. Die Gleichung x = 2 ( x + 3 ) hat auch die Lösungen 0 und 2, denn beim Einsetzen von 0 ergibt die wahre Aussage 6 = 6, beim Einsetzen von 2 ergibt sich die wahre Aussage 10 = 10. Man sieht die Lösung aber nicht direkt, weil die Gleichung unübersichtlich ist. Beim Lösen von Gleichungen kommt es nun darauf an - eine unübersichtliche Gleichung so umzuformen, dass eine einfache, übersichtliche Gleichung entsteht, aus der man die Lösung(en) direkt ablesen kann. - dass die Umformungen so sind, dass die Lösungsmenge der Gleichung gleich bleibt. Man nennt solche Umformungen Äquivalenzumformungen und kennzeichnet sie mit dem Zeichen. Die folgenden Umformungen erlaubt: Aquivalenzumformungen: 1. Termumformungen auf einer oder beiden Gleichungsseiten. 2. Addition oder Subtraktion derselben Zahl (oder Variable) auf beiden Seiten der Gleichung. 3. Multiplikation oder Division mit der derselben Zahl (oder Variablen), wenn die Zahl (oder Variable) nicht die Zahl 0 ist. Begründungen: zu 1. Termumformungen wandeln Terme in einsetzungsgleiche Terme um. daher ändert sich die Lösungsmenge nicht.

19 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 19 Grundwissen Beispiel: 2x (1 - x) - 5 = 5-2x 2 Klammer ausmultiplizieren 2x - 2x 2-5 = 5-2x 2 zu 2. Bei der Addition/ Subtraktion derselben Zahl (oder Variablen) auf beiden Seiten der Gleichung ändern sich beide Seiten gleich, sodass eine vorher wahre Aussage wahr bleibt und umgekehrt. Beispiel: 2x - 2x 2-5 = 5-2x (auf beiden Seiten) 2x - 2x 2 = 10-2x 2 + 2x 2 (auf beiden Seiten) 2x = 10 zu 3. Bei der Multiplikation / Division derselben Zahl (oder Variablen) auf beiden Seiten der Gleichung ändern sich beide Seiten gleich, sodass eine vorher wahre Aussage wahr bleibt und umgekehrt. Beispiel: 2x = 10 : 2 (auf beiden Seiten) x = 5 ll = {5} Aus der letzten Gleichung läßt sich direkt die Lösung 5 ablesen. Das alle Umformungen so waren, dass die vorherigen Gleichungen dieselbe Lösung haben, hat auch die Ausgangsgleichung die Lösung 5. Anmerkungen zu 3. : 1) Weder die Multiplikation noch die Division mit der Zahl 0 ist eine Äquivalenzumformung. Bei der Division ist das klar, weil die Division durch 0 nicht definiert ist. Für die Multiplikation zeigt das folgende Beispiel, dass sie keine Äquivalenzumformung ist: Beispiel: 2x = 10 0 (auf beiden Seiten) ergibt 2x 0 = 0 Das ist eine wahre Aussage für alle Zahlen x Die Lösungsmenge hat sich also verändert! 2) Da auch Variablen multipliziert und dividiert werden können, muss man darauf achten, dass die Variablen bei der Division / Multiplikation nicht den Wert 0 haben. Da man nicht weiß, welchen Wert die Variablen haben, ist die Division / Multiplikation umständlich, weil sie zu Fallunterscheidungen führt. Sie sollte daher vermieden werden. Beispiel: (so möglichst nicht!) 2x 2 = 10x :x für x 0 (auf beiden Seiten) ergibt 1. Fall für x 0: 2x = 10 und 2. Fall für x = 0: 0 = (wahre Aussage) x = 5 also ll= {0;5} besser ist das folgende Vorgehen für diesen Fall:

20 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 20 Grundwissen Beispiel: (besser so!) 2x 2 = 10x - 10x (auf beiden Seiten) 2x 2-10x = 0 linke Seite faktorisieren 2x ( x - 5 ) = 0 Produktsatz 2x = 0 x - 5 = 0 jede Gleichung für sich lösen x = 0 x = 5 also ll = {0;5} Es bietet sich beim Lösen von Gleichungen die folgende allgemeine Strategie an: Strategie zum Lösen von Gleichungen: 1. Die Terme auf beiden Seiten der Gleichung soweit wie möglich vereinfachen. (Klammern ausmultiplizieren, zusammenfassen). 2. Alle Terme mit der Variablen x auf eine Seite bringen und soweit wie möglich zusammenfassen. 3. Den Typ der Gleichung bestimmen: a) lineare Gleichung b) quadratische Gleichung 4. a) durch Umkehroperation(en) b) die rechte Seite auf 0 bringen, dann nach x auflösen. die linke Seite faktorisieren. 5. a) Lösung ablesen, ll angeben. b) Produktsatz anwenden und die beiden linearen Gleichungen parallel lösen (siehe 3a) - 4a) - 5a)). Beispiel: 12x + 5 (4-6x) = 7 ( 1-3x ) + 5x - 3 Klammern auflösen 12x x = 7-21x + 5x - 3 zusammenfassen -18x + 20 = 4-16x x auf die linke Seite :+16x -2x + 20 = 4 x isolieren: -20-2x = -16 x isolieren: : ( -2 ) x = 8 x isolieren: : ( -2 ) also ll = { 8 } Probe: x = 8 in Ausgangsgleichung einsetzen: (4-6 8) = 7 ( 1-3 8) (4-48) = 7 ( 1-24) ( - 44 ) = 7 ( -23 ) = = wahre Aussage

21 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 21 Grundwissen Beispiel: 2x ( x + 1) + 2 = -2 ( x - 1 ) Klammern auflösen 2x 2 + 2x + 2 = -2x + 2 x auf die linke Seite :+2x 2x 2 + 4x + 2 = 2 quadr. Gleichung rechte Seite auf 0 bringen: -2 2x 2 + 4x = 0 linke Seite faktorisieren 2x ( x + 2 ) = 0 Produktsatz anwenden 2x = 0 x + 2 = 0 einzeln nach x auflösen x = 0 x = - 2 einzeln nach x auflösen also ll = { 0; - 2 } Probe: 1) x = 0 in Ausgangsgleichung einsetzen: 2 0 ( 0 + 1) + 2 = -2 ( 0-1 ) + 2 = 2 wahre Aussage 2) x = -2 in Ausgangsgleichung einsetzen: 2 (-2) ( ) + 2 = -2 ( -2-1 ) -4 ( - 1) + 2 = -2 ( -3 ) = 6 6 = 6 wahre Aussage Ungleichungen Bestimmte Aussagen können mathematisch mit Hilfe von Ungleichungen ausgerückt werden. Man benutzt dazu die Ungleichheitszeichen: a < b a ist kleiner als b a b a ist kleiner oder gleich b a > b a ist größer als b a b a ist größer oder gleich b. Wir beschränken uns hier auf lineare Ungleichungen, das heißt, dass die Variable nicht potenziert wird. Die Lösungsmenge besteht dabei in der Regel aus einer Menge von Zahlen, die nicht einzeln aufgezählt werden können. Die Lösungen werden daher in der Lösungsmenge ll möglichst einfach beschrieben: Ungleichung: 3 k < 12 Lösungsmenge: ll = {k k < 4} x Lösungsmenge: ll = {x x 19} 2x < 3x -1 Lösungsmenge: ll = {x x > 1} ll = {x x > 1} bedeutet dabei in Worten: die Menge aller x, für die gilt: x > 1.

22 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 22 Grundwissen Wie findet man die Lösungen einer Ungleichung? Bis auf eine Ausnahme ist das Vorgehen genauso wie bei der Lösung von Gleichungen: Man vereinfacht die Ungleichung soweit, dass die Lösungen direkt ablesbar sind. Die Ausnahme soll am Beispiel erklärt werden: Die Ungleichung 2 < 3 ist eine wahre Aussage. multipliziert man diese Ungleichung auf beiden Seiten mit - 1 (einer negativen Zahl), so erhält man - 2 < - 3 und das ist eine falsche Aussage. Wie kann das passieren? Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl entsteht auf beiden Seiten der Gleichung die Gegenzahl. Die Zahl - 3 liegt nun weiter links auf dem Zahlenstrahl als die Zahl - 2. Das gilt für alle Zahlen und deren Gegenzahlen. Daraus ergibt sich die Sonderregel für das Lösen von Ungleichungen: Regel: Für alle Zahlen a, b gilt: a < b - a > - b In Worten: Multipliziert (oder dividiert) man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Entsprechendes gilt für die anderen Ungleichheitszeichen. Beispiel: 2x - 3 < 5 ( x - 3) Klammern auflösen 2x - 3 < 5x - 15 x auf linke Seite: - 5x -3x - 3 < - 15 x isolieren: + 3-3x < - 12 x isolieren: :(- 3)!! x > 4 also: ll = { x x > 4 }

23 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 23 - zur mathematischen Beschreibung konkreter Situationen. - zur Veranschaulichung von Grundbegriffen wie Term / Variable etc. - zur Herleitung elementarer Rechengesetze. 1) Der Drucker eines Computers druckt 180 Zeichen pro Sekunde aus. a) Wieviele Zeichen werden in 2 (in 5, in 75) Sekunden ausgedruckt? b) Allgemein: wieviele Zeichen werden in x Sekunden ausgedruckt? c) In welcher Zeit wird ein Text mit Zeichen ausgedruckt? 2) In der Fahrschule lernt man eine Faustregel, mit deren Hilfe man zu jeder Geschwindigkeit eines Autos (in km/h) den Bremsweg (in m) berechnen kann: "Dividiere die Geschwindigkeit durch 10 und multipliziere dann den Quotient mit sich selbst!" a) Berechnen Sie den Bremsweg nach dieser Faustregel. Ergänzen Sie die Tabelle durch selbstgewählte Geschwindigkeiten : Geschwindigkeit in km/h Bremsweg (in m) b) In der Mathematik schreibt man eine solche Formel kürzer Notieren Sie! 3) In der Formel oben ist der Reaktionsweg nicht berücksichtigt, das ist der Weg, der von dem Moment der Wahrnehmung eines Hindernisses bis zur Reaktion darauf gefahren wird. Der Reaktionsweg wird nach der Vorschrift "Dividiere zunächst die Geschwindigkeit durch 10 und multipliziere den Quotient mit 3!" berechnet. a) Wie lautet die mathematische Rechenvorschrift für die Berechnung des Reaktionsweges, wenn die vorgegebene Geschwindigkeit mit x bezeichnet wird? b) Der Anhalteweg setzt sich aus dem Bremsweg (siehe 2)!) und dem Reaktionsweg zusammen. Formulieren Sie eine Rechenvorschrift zur Berechnung des Anhalteweges und vervollständigen Sie die Tabelle! Geschwindigkeit in km/h Anhalteweg (in m) c) Halten sie die Formel für sinnvoll? (Entspricht sie ihrer Erfahrung? Wie müsste sie für spezielle Situationen / Fahrer abgeändert werden?) 4) Ein Verkäufer hat die Aufgabe, auf die Einkaufspreisen die aktuelle Mehrwertsteuer aufzuschlagen um den Verkaufspreis zu berechnen. Nach welcher Rechenvorschrift kann er die Rechnung ausführen?

24 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 24 5) Ein Möbelgeschäft gibt bei Barzahlung 3% Skonto. Nach welcher Rechenvorschrift kann der Barzahlungspreis ermittelt werden? 6) Zwischen den Tarifparteien ist folgendes ausgehandelt worden: a) Jeder Arbeitnehmer erhält einen Sockelbetrag von 40 EURO und zusätzlich 3% des bisherigen Gehaltes. Geben Sie eine Rechenvorschrift an, nach der das neue Gehalt berechnet werden kann. b) Jeder Arbeitnehmer erhält 3% mehr Lohn, mindestens aber 40 EURO. Geben Sie eine Rechenvorschrift an, nach der das neue Gehalt berechnet werden kann. 7) Aus einem Stück Blech mit der Breite 25 cm soll eine Ablaufrinne mit rechteckiger Querschnittsfläche hergestellt werden. Querschnitts- Höhe fläche Grundseite 25 cm Bei der vorgegebenen Blechbreite von 25 cm gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine Ablaufrinne zu formen. a) Berechnen sie für einige Beispiele die Querschnittsfläche und tragen Sie die Werte in die Tabelle ein. Länge Grundseite Länge Höhe Querschnittsfläche b) Gibt es eine besonders günstige Form der Ablaufrinne? c) Beschreiben Sie die Beziehung zwischen der vorgegebenen Blechbreite sowie der Länge der Höhe in der Form einer Gleichung! d) Nach welcher Rechenvorschrift wird der Inhalt der Querschnittsfläche berechnet?

25 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 25 8) In einer Firma werden Blechstücke der folgenden Form, allerdings mit unterschiedlichen Längen hergestellt ,5 1,5 3,5 variable Länge l a) Berechnen Sie für verschiedene Längen der Blechstücke den Flächeninhalt. Länge l ( in cm ) ,25 Fläche F ( in cm 2 ) b) Geben Sie verschiedene Rechenvorschriften an, mit deren Hilfe für unterschiedliche Längen des Blechstückes der Flächeninhalt ermittelt werden kann. Vergleichen Sie die Formeln! c) Erklären Sie die Rechenvorschrift 5 l - ( l - 2 ) 1,5 anhand der Zeichnung! 9) Gegeben ist das folgende Profil: z cm y cm 5 cm x cm a) Gegen sie verschiedene Rechenvorschriften an, mit deren Hilfe der Flächeninhalt des Profils berechnet werden kann. b) Berechnen Sie jeweils den Flächeninhalt x ( in cm ) ,5 82,6 y ( in cm) z ( in cm) Fläche F ( in cm 2 )

26 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 26 10) Aus Metallstäben mit unterschiedlicher Länge werden 0,6 cm breite Nuten (Rillen) verschiedener Tiefen t gemäß der Zeichnung ausgefräst. 1cm 3 dieses Metalls wiegt 6,3 Gramm. 1,2 1,2 3 t 0,6 3 a) Für einige Stäbe sind hier Maßzahlen vorgegeben. Vervollständigen Sie die Tabelle! Tiefe t ( in cm ) 0,75 1,2 1,5 1,8 Länge l ( in cm ) Querschn. ( in cm 2 ) Gewicht ( in g ) b) Geben Sie mehrere Rechenvorschriften an, mit deren Hilfe der Querschnittsflächeninhalt der Stäbe mit Nut berechnet werden kann. c) Geben Sie mehrere Rechenvorschriften an, mit deren Hilfe das Volumen der Stäbe mit Nut berechnet werden kann. d) Geben Sie mehrere Rechenvorschriften an, mit deren Hilfe das Gewicht der Stäbe mit Nut berechnet werden kann. 11) Ein Gärtner möchte sein 40 m langes und 12 m breites Gewächshaus vergrößern. Ihn interessiert die Anbaufläche bzw. Grundfläche, die nach der Vergrößerung zur Verfügung steht. a) Wie groß ist die Grundfläche, wenn sie um x Meter verlängert wird? b) Wie groß ist die Grundfläche, wenn sie um y Meter verbreitert wird? c) Wie groß ist die Grundfläche, wenn sie um x Meter verlängert und um y Meter verbreitert wird? Geben Sie mehrere Rechenvorschriften an!

27 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 27 zu den Prioritätenregeln. 12) Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme schrittweise: a) ( 21 ( )) b) c) ( ) ( ) d) ( ) e) ( : 6 ) : ( 29-24:2 ) f) ( 5-2 ) 3 3 g) 3 ( ) ( ) h) [ 150 : ( 60 : 12)] : 6 i) [( ) 2 - ( ) ] : 3 zu den Grundbegriffen der Rechenarten 13) a) Ein Quotient hat den Wert 1. Was wissen Sie über die Zahlen der Division? b) Ein Produkt hat den Wert 0. Was wissen Sie über die Faktoren? c) Eine Differenz hat den Wert 0. Was können Sie daraus folgern? d) Eine Potenz hat den Wert 64 und den Exponent 5 Was wissen Sie über die Basis? e) Eine Summe hat den Wert 40 und den einen Summand 33. Wie lautet der zweite Summand? 14) Berechnen Sie: a) Addieren Sie 1 zum Produkt aus 3 und 10. b) Subtrahieren Sie vom Quotienten aus 16 und 8 das Produkt aus den Faktoren 2 und 8. c) Subtrahieren Sie vom Produkt aus 3 und 7 die Zahl 1 und dividieren Sie diese Differenz durch die Summe aus 2 und 8. d) Subtrahieren sie vom Quotienten aus 60 und 3 die Summe aus 1 und 5 und dividieren Sie diese Differenz durch das Produkt aus 2 und 7.

28 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 28 15) Beschreiben Sie die Terme mit Worten ( wie in Aufgabe 15) und benennen Sie auch die Art des Terms a) b) ( 9 : 3 ) ( 5-2 ) c) 3 ( ) d) ( 13-7 ) 16) Notieren Sie den Term, benennen Sie die Art des Terms und berechnen Sie anschließend den Wert des Terms, indem Sie für die den angegebenen Wert einsetzen. a) Multiplizieren Sie die Summe aus den Summanden 2 und x mit der Differenz aus den Zahlen x und 4. ( x = 6 ) b) Potenzieren Sie das Produkt aus den Faktoren y und 6 mit dem Exponenten 3. Subtrahieren den Wert der Potenz von 50 und dividiere die Differenz durch das Produkt aus 4 und y. ( y = 0,5) c) Dividiere die Variable a durch 2. Addieren sie zu dem Quotienten das Produkt aus den Faktoren 4 und a und subtrahiere anschließend von dieser Summe die Potenz mit der Basis a und dem Exponenten 2. (a = 4) 17) Beschreiben Sie die Terme mit Worten: a) x : (a - 1) z b) 5 x y 2 ( x + 1 ) ( x - 1) Berechnung von Termen 18) Setzen Sie für die Variable nacheinander die Zahlen 2, 3 und 4 ein. Welchen Wert hat der Term jeweils? Von welcher Art ist der Term? a) ( x + 2) 2 ( x + 1 ) ( x - 2 ) (x - 1 ) 3 b) x (x + 2) (x - 1) (a 2 3) : 3 3 x - 2 x c) x:2 + 3 ( 3 + a ) 3 ( y + 3 ) ( y 2-2) d) 3 x + 4 ( 4x 2-1 ) ( x - 3) 2 4x 3 - ( 3x 2 + 5x) : 2 e) 6x (4x - 1) + 3x ( y ) (y 2 : 3) 4 + (3z) 2

29 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 29 19) Füllen Sie jeweils die Tabelle aus: a) b) c) x (x 2-1 ) 2 a ( 2a) 2 : 4 b ( 2b + 1) : Gleichungen 20) Bestimmen Sie x: a) 14 + x = 29 6x + 1 = 25 7( x + 3) = 21 b) x : 7 = 2 5x = 20 5x -1 = 9 c) 3(5 + 2x) = 21 (2x + 1):3 = 1 x :7 = 5 21) Geben Sie Zahlen an, für die die folgenden Gleichungen stimmen: a) 5x + 10 = 25 0 x = 5 x ( x - 1) = 0 b) 0 x = 0 2x = x x 3 = 8 22) Lösen Sie die Aufgaben mit Hilfe einer Gleichung: a) Multipliziert man eine Zahl mit 8, und subtrahiert man vom Produkt 12, so erhält man 36. b) Addiert man zu einer Zahl 8 und multipliziert man die Summe mit 7, so erhält man 105. c) Subtrahiert man von einer natürlichen Zahl 5 und dividiert man die Differenz durch 2, so erhält man 6. 23) Welche der folgenden Terme sind einsetzungsgleich? (x 2 + 2x ) +1 ; x + 12 ; ( 2x + 1 ) + x 2 ; 7 + (4 + x ) + 1

30 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 30 24) Was kann für die Variable eingesetzt werden, damit die Gleichung stimmt? (Lösungsmenge!) a) a - 5 = 0 5b = 0 (c - 1) 5 = 0 b) (5 - a) - 4 = 0 0 b = 0 (c - 0,7) (c + 6) = 0 c) 0 - a = = b (c 2-4 ) b = 0 25) Ein rechteckiges Stahlblech mit den angegebenen Abmessungen soll Bohrungen mit gleichen Abständen (x) erhalten. < mm --> <-22 -> <- x -> <- x -> <- x -> <- 34 -> a) Geben Sie einen Term mit der Variablen x an, der die Länge des Blechs berechnet. b) Wie groß ist der Abstand x? Geben Sie dazu eine Gleichung an und lösen Sie die Gleichung! 26) Bei einer Kurveranstaltung entstehen Kosten in Höhe von 1350 EURO, die durch eine Spende von 450 EURO und den Eintrittspreis von 3,75 EURO pro Person gedeckt werden sollen. a) Geben Sie einen Term an, mit dem für jede Besucherzahl x die Gesamteinnahmen (einschließlich der Spende) berechnet werden können! b) Lösen Sie mit einer Gleichung: Wieviele Personen müssen die Veranstaltung besuchen, damit die Ausgaben und Einnahmen ausgeglichen sind? c) Lösen Sie mit einer Gleichung: Wie hoch müsste der Eintrittspreis sein, damit Ausgaben und Einnahmen ausgeglichen sind, wenn 150 Besucher Eintritt zahlen? d) Lösen Sie mit einer Gleichung: Wieviel EURO müssen von einem weiteren Sponsor aufgebracht werden, wenn 100 Besucher jeweils 4 EURO Eintritt bezahlen?

31 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 31 27) Bestimmen Sie x mit Hilfe eines 'Baumes': Beispiel: Gleichung: ( 3 x + 2 ) 2 = Durch Umkehrung der Operationen erhält man den gesuchten Wert für x : Lösen Sie auf diese Weise: a) 2x + 6 = 15 b) ( 3 + x ) 3-27 = 0 c) (16 + 3x):2+1 = 6 ( 3 x + 2 ) 2 = 16 : 2 ( 3 x + 2 ) = x = 6 :3 x = 2 28) Drei Personen A, B und C haben sich an einem Gelegenheitsgeschäft beteiligt EURO sollen nun so aufgeteilt werden, dass A dreimal soviel wie B und B doppelt soviel wie C erhält. Beschreiben Sie den Sachverhalt mit einer Gleichung und lösen Sie die Gleichung! 29) Ein Unternehmen gibt an, dass es 15% mehr männliche als weibliche Beschäftigte hat. Insgesamt hat das Unternehmen 258 Beschäftigte. Wieviele davon sind weiblich, wieviele männlich? Berechnen Sie mit Hilfe einer Gleichung! Produktsatz 30) Für welche Werte der Variablen ist der Wert des Terms 0? a) ( x - 1) ( x - 5 ); x ( x - 10 ); x(x-2)(x-5)(9-x) b) 5(y 2 ) 6 ; x: 2-1; (x - 1) (2:x) 31) Welche Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Begründen Sie jeweils! a) Wenn ein Produkt Null ist, dann sind beide Faktoren Null. b) Wenn beide Faktoren eines Produktes Null sind, dann ist das Produkt auch Null. c) Ein Produkt ist niemals Null, wenn beide Faktoren ungleich Null sind. d) Wenn ein Faktor des Produktes Null ist, dann sind auch die anderen Faktoren Null. e) Wenn ein Produkt Null ist, dann ist die Summe der Faktoren auch Null.

32 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 32 32) Betrachten Sie das Produkt a b c! Ergänzen Sie die folgenden Wenn - Dann - Sätze so, dass eine wahre Aussage entsteht! a) Wenn gilt a = 0, dann... b) Wenn gilt b c = 0, dann... c) Wenn..., dann gilt a b c = 0. d) Wenn..., dann gilt a = 0 b = 0 c = 0. Gegenzahl und Betrag 33) Lösen Sie (Rechnung nicht erforderlich!) a) 9 + x = y = z = 0 b) u + 5 = w = y = -15 c) -54 = v + (-44) x = 0 y + (-6) = 0 d) x + 12 = 0 x + (-12) = 0 (-z) +1 = 0 34) Berechnen Sie (nur das Ergebnis notieren!) a) (+4) + (+6) = (+2) + (+7) = (+1) + 0 = b) 0 + (+9) = = (+8) + (-2) = c) (+9) + (-5) = (+7) + (-6) = (+10) + (-9) = d) (+15) + (-11) = (+5) + (-7) = (+6) + (-9) = e) (+3) + (-4) = (+8) + (-8) = (+12) + (-18) = f) (-2) + (+4) = (-3) + (+8) = (-6) + (+7) = 35) Berechnen Sie: [ (-4) + (-5) ] + (-6) = und (-4) + [(-5) + (-6)] = Welches Gesetz wird hier deutlich? 36) Erklären Sie die folgende Gleichung am Zahlenstrahl: (-3) + (-2) = (-2) + (-3) Welches Gesetz wird hier deutlich?

33 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 33 37) Rechnen Sie mit Vorteil: a) (+16) + (-27) + (+14) = b) (-36) = c) (-43) + (69) + (-37) = d) (-49) + (-18) + (-22) + (+51) = e) (-28) + (-37) + (-62) + (+87) = f) (-51) + (-29) + (+46) + (+64) = 38) Nennen Sie jeweils die Gegenzahl: a) -8 b) 15 c) -4 d) 3 2 e) a f) -b g) 0 39) Welche Zahl ist das? ' Die Gegenzahl der gesuchten Zahl ist die Gegenzahl der Gegenzahl von -3 ' 40) Schreiben Sie ohne das Betragszeichen: a) 3 = b) -4 = c) 0 = d) -3 = b) 4 = c) c =, c R 41) Schreiben Sie möglichst einfach und berechnen Sie: a) ( -7) - (- 5) = b) ( -8) - ( - 8) = c) ( -4) - ( +7) = d) ( +9) - (+6) = e) 0 - ( - 1) = f) ( +8) - ( +9) = g) (-12) - (+20) = h) 17 - ( -13) = i) (-25) - (+45) = j) (15) - (- 46) = k) 0 - ( +8) = l) (-29) - (+31) = 42) Setzen Sie die (Un-)gleichheitszeichen <, >,, = ein: a) b) c) 0-2 d) e) f) 0 2 g) h) i) 0 2

34 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 34 43) Richtig oder falsch? Begründen Sie: a) Jede ganze Zahl ist größer als ihre Gegenzahl. b) Zahl und Gegenzahl sind gleich groß. c) Zahl und Gegenzahl haben denselben Abstand zur 0. d) Das Betragszeichen bedeutet, dass die Gegenzahl gebildet werden soll. e) Der Betrag einer negativen zahl ist deren Gegenzahl. f) Für a gilt: a > a g) Für a gilt: a a 44) Sind die folgenden Gleichungen richtig? a) = b) 2-5 = 5-2 c) (-2) + 5 = 5 + (- 2) d) (-2) + 5 = 5 + (- 2) e) 2 + (-5) = (-5) ) Wahr oder falsch? a) Die Gegenzahl einer Summe ist gleich der Summe der Gegenzahlen ihren Summanden. b) Die Betrag einer Summe ist gleich der Summe der Beträge ihren Summanden. Multiplikation und Division von ganzen Zahlen 46) Berechnen Sie: a) ( -9) ( -7) = b) ( -3) ( -6) ( +4) = c) (-13) ( -2) ( +5) ( -1) = d) ( -7) (+12) = e) ( +5) ( -8) ( +2) = f) (-10) ( -6) 8 ( +1) = g) (+13) (-12) = h) ( -8) ( -3) ( -7) = i) (-20) ( -2) 2 ( +5) = j) (+15) (+15) = k) ( -3) ( +4) (+2) = l) 11 ( +5) ( -2) ( -3) =

35 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 35 47) Berechnen Sie: a) ( -9) : ( -3) = b) ( -6):( -2) = c) (-13):(+2) = d) ( +4) : (- 1) = e) ( -8):( -1) = f) (-180):( -45) = g) (+105):(-35) = h) ( -1): 0 = i) (-90):( +15) j) (625):(+25) = k) 0:( +4) = l) 121:( -11) 48) Schreiben Sie so kurz wie möglich: a) ( -s) : ( +s) = b) ( -x):( -y) = c) (-4r):(+3s) = d) 2a : 2 = e) 0:y = f) (-18b):( -3b) = g) u 2 v 2 (-uv 3 ) = h) ( -1): 0 = i) (+6b) ( -3b) ( 2b 3 ) j) ( -6y) : y = k) 3a 4a a = l) (2r 2 s) ( -rs) (-r 3 ) m) ( -p 2 ) : (-p 3 ) = n) 4r (-2s) r = o) (-6p 3 ) ( 2p 2 ) (-p) p) (4xy) : (2x) = q) 9u: (-u) = r) (-24c):( 6c) 49) Berechnen Sie: a) (-2) 2 = b) (-2) 3 = c) (-2) 4 = d) (-2) 5 = e) (-2) 6 = f) (-2) 7 = g) (-2) 8 = h) (-2) 9 = i) Formulieren Sie eine Vorzeichenregel für das Potenzieren von negativen Zahlen. 50) Untersuchen Sie, ob das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz bei der Multiplikation und der Division negativer Zahlen gilt.

36 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 36 51) Füllen Sie die Tabellen aus: a) b) c) d) e) f) g) x x + 1 x x 2-2 x : x x (x+1) (x-2) x (x 3 - x 2 ) x (1 - x)(4 -x 2 ) 0 x x 2 : ( 3 - x) Gleichungen 52) Bestimmen sie jeweils die Lösungsmenge: a) (x - 5) (10 - x) (x + 10) (x + 1) = 0 b) 10x (x + 2) (x - 2) = 0 c) (x + 2) (2 + x) (x + 8) (3x + 9) = 0 d) x 3 : x 2 = 0 e) x 2 (x - 1) (x + 2) (2x - 4) = 0 f) (x - 2) 0 (x + 1) = 0 53) Bestimmen Sie - möglichst direkt - die Lösungsmenge: a) x = - 1 b) -x = -1 c) -x = 1 d) x = 1 e) x = x f) -x = x g) 2 = 4 h) x+1 = x+2 i) -x = -x j) 0 = x 2 g) 1 = x 2 h) x-1 = x

37 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 37 Zusammenfassen mit Variablen 54) Fassen sie soweit wie möglich zusammen! a) 4a - 2b - 3a = b) 12x - 3y - 3x = c) 9y - 4x - 2y = d) -8a -24b-10b+8a = e) 5x-12y-3x-5z+6x-7x = f) 11a-2b+5a+8b = g) 8a 2-5b 2-7a 2 +2b 2 = h) 17ab+ 6a -9ab -4a = Richtig oder falsch umgeformt? a) x + x 2 = x 3 b) x + x 2 = 2 x 2 c) 2x + 2y = 4xy d) x 2 + x 2 = 2x 2 e) x 2 + x 2 =x 4 f) 2x + 2y = 2(x+y) Klammerregeln: 1) Plusklammern (d.h. das Pluszeichen vor einer Klammer und die Klammer) darf man weglassen. 2) Eine Minusklammer wird aufgelöst, (d.h. das Minuszeichen vor der Klammer und die Klammer), indem man alle Vorzeichen in der Klammer umdreht. 55) Wenden Sie die Klammerregel an und fassen Sie zusammen: a) 68 - ( 21-54) + (17-72) = b) -(83-124)- ( ) = c) a - (a-b) + b = d) (a - b) - (a + b) = e) -(3-a)+(a-5) = f) -a - (-2a-b) -b = 56) Welchen Wert hat der Term, wenn -6 [ + 6] für die Variable y eingesetzt wird? 3 (5y + 3) - 6 (3y + 4) - 5 (4y - 9)

38 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 38 Gleichungen 57) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichungen: a) 3x + 4 = 4x - 7 b) 3x - 9 = 26-2x c) 9x + 6 = 4x - 4 d) -4x + 2 = 8-2x e) 5x + 7 = 8x +7 f) 3x - (5 + 2x) = 7 - ( 6x - 2) g) 6x - 12 = 21-5x h) 16 + (8-5x) = 6x - (3x - 24) i) 4x - 36 = 30-7x j) 14-9x = 4x - 90 k) 2x + 15 = 5x + 27 l) 4 - ( 12-2x ) = 5x - ( 8 + 3x) m) 12x + 4 = -10-2x n) -9x - (4 +3x) = 21+ (3-5x) Distributivgesetz: Ausmultiplizieren 58) Multiplizieren Sie aus: a) 3a (4a + 2) = b) -2x(5-3x) = c) 3x 2 (6x - 5x 3 ) = d) (-y + y 2 ) (-1) = e) -3b(9ab 3-4b) = f) (-x 2 - x 3 ) (-x) = g) 2a 3 (3a + 4) = h) (-1) (a - b 2 ) = i) (-2ab + 6b 2 )(-a 2 ) = j) -4x 2 (2x 2-5x 3 ) = 59) Multiplizieren Sie aus und fassen Sie zusammen: a) 5a(9ab - 2b) + 4ab(-8a + 7) = b) 7x 2 (-9x 2 + 3x) + 5x 3 ( 6x - 4x 2 ) = c) 3x(2x + 1) + 3( 2x 2-2x) =

39 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 39 d) 4 ( 6a 2 + 2a) + 5a(4a - 6) = e) 6x(4y - 3x) + 2y(4x + 5) = f) -2x (x + y) + (x 2 + xy) (-3) = g) 4x 2 (3 + 5x) + 6x(2x - 4x 2 ) = h) 4ab (2a + 7) + 6b (4a 2 + 3b) = i) 3 (5x 2-2x) + 2x (2-3x) = j) -3x (5y - 2x) + 2y(3x + 4) = Gleichungen 60) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen a) 2(3x + 7) + 4x = -26 b) 3 (7-2x) + 1 = -11x - 13 c) 12x + 5 ( 4-6x) = 7 (1-3x) + 5x - 3 d) 8x + 3 ( 5-4x) = 2 (10-2x) e) ( 2x + 4) = x f) 19 ( x + 1) - 13x = 2 (-4x + 6) + 7 ( 2x + 1 ) g) 3 ( 5x - 9) - 8x = (4x + 1) h) 5 ( x -2) + 3x = 6 (x + 4) + 7x + 1 i) 7 ( x + 1) - 3x = 2 (x + 3) + x -3 j) 5 ( x - 6) +3x + 16 = 4 (2x + 1) - 18 k) 4 ( x + 7) + 3x = 2 (5x + 1) - 4 l) 2 ( 5x - 1)+ 6 = 4 (3x + 2) - 2x m) 3 ( 5x - 2) - 6x = 2 (7x - 4) -3x + 2 n) 2 ( x - 4) + 3x = 6 (x + 2) - 4 o) 3 ( 2x - 2) = 6 (x + 1) - 3

40 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 40 p) 2 ( 3x - 2) = 4x + 6 q) 4 ( 3x - 5) = 5 (-2x + 1) - 4x + 1 r) 5 ( 3x - 4) = 4 (2x - 3) + 7x +2 s) -2 ( 3x -2) + 2x = 4 (2x + 5) - 4 t) 3 ( 5x + 2) - 9x = 2 (3x + 4) + 11 u) 2 (-4x+ 7) + 3x = 4 (2-3x) + 2x - 9 v) 3 ( 6x - 2) - 8x = 5 (2x + 3) - 21 w) 19 ( x + 1) - 13x = 2 (-4x + 2) + 7 ( 2x + 1 ) Distributivgesetz Ausmultiplizieren 61) Multiplizieren Sie aus und fassen Sie zusammen: a) -5a ( 2a + b ) - 2b ( a - 2b ) b) 2z ( 3z + 1 ) - ( 6z 2-2z ) c) 6a 2 ( 9a - 3 ) - ( 4a 2 + 2a ) 8a d) -3xy 2 ( 2x - 5y ) - 7y ( 2x 2 y + 6xy 2 ) e) 2a ( 3a + b ) - 5b ( 2a - 3b ) f) x ( 7x + 1 ) - (4x 2-2x ) 7 g) 4 ( 3a - 2a 2 ) - 5 ( 3a 2 + 2a) h) 3b ( 2a - 5b ) - 2a (6b - 4a) i) 2y ( 4x - 3y ) - (5y - 4y 2 ) 2y j) 4a 2 ( 2a - 7) - 5a ( 3a - a 2 ) k) 4x ( 2xy - 5y 2 ) - ( 3y 2 + 4xy ) 7x