Darstellende Geometrie. Einleitung.

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1 Darstellende Geometrie. Einleitung. Zweck und Bedeutung. Der nächste Zweck der darstellenden Geometrie ist die Bestimmung räumlicher Formen nach Lage, Grösse und Gestalt durch andere räumliche Formen; zumeist geschieht sie durch die graphische Darstellung in einer Fläche, in manchen Fällen durch das räumliche Abbild oder Modell. Die Untersuehuug der gegenseitigen Beziehungen der so bestimmten Raumformen mittelst ihrer Darstellung wird daran angeschlossen. *) Beides macht die darstellende Geometrie zu einer wichtigen Hilfswissenschaft des Technikers; sie dient ihm gleichmässig bei der Nachahmung schon vorhandener Erzeugnisse seines Faches, wie bei der Erfindung neuer. In der Regel ersetzen die nach ihren Methoden hergestellten Zeichnungen die so viel kostbareren Modelle ; natürlich liegt in der Einfachheit ihrer Herstellung und Verwendung ihr praktischer Werth. Die erste systematisch-pädagogische Anleitung zur Befriedigung dieser Bedürfnisse durch Zeichnung auf ebener Fläche boten J. H. Lambert's Freie Perspective Zürich 1759 und G. Monge's Geometrie descriptive Paris In zwei Richtungen erweitert sich diese Bedeutung noch. Zuerst insofern der angestrebte nächste Zweck gefordert wird durch die Bildlichkeit der Darstellung, d. h. durch ihre Aehnlichkeit mit dem Gesichtseindrucke, den das dargestellte Object selbst hervorbringen würde ; man ist dadurch veranlasst, diese Bildlichkeit zu gewinnen und sucht dieselbe für die ebenen Darstellungen zu erhöhen durch die Aufnahme der Beleuchtungsverhältnisse in die Darstellung. Damit erweitert Fiedler, darstellende Geometrie. I. 3. Aufl. 1

2 2 Einleitung. sich die darstellende Geometrie nach der praktischen Seite, der Seite der Darstellung, zur wissenschaftlichen Grundlage der Zeich en kun st; sie nimmt für ihre Ausführungen neben der Genauigkeit die Schönheit zum Ziel. Sodann aber, insofern der bezeichnete Zweck recht verstanden die Darlegung aller Constructionen der Raumgeometrie und die Lösung ihrer Aufgaben verlangt, hat die darstellen de Geometrie sich als geeignet zur naturgemässen Entwickelung hiervon zu erweisen; und es ergiebt sich, dass sie allerdings vermag, in den Besitz gerade der Elemente zu setzen, aus denen die Eigenschaften der Figuren gleichzeitig mit der Erzeugung derselben in der einfachsten Weise entspringen mit andern Worten, dass sie durch ihr Verfahren den Organismus der Raum formen erkennen lässt. Daher die historische Stellung der darstellenden Geometrie am Anfang der neuesten Entwickelungs-Epoche der Geometrie; nach Lambert und Monge kommen Poncelet (1822), Möbius (1827), Steiner (1832), Chasles (1831, 1837), v. Staudt (1847) in stetiger Folge, indess vorher Desargues (1636) ganz vereinzelt erscheint. Insofern erweitert sie sich nach der geometrischen oder theoretischen Seite, ihr Studium wird zum ersten Hauptstück der höheren geometrischen Studien; die Erreichung der Constructionsziele mit einer Minimalzahl von Constructionslinien in allen Fällen und die Begründung strenger Constructionen mit Zirkel und Lineal bei allen Aufgaben, die nicht mehr als zwei Lösungen zulassen, sind die wichtigen praktischen Ergebnisse des Beginns dieser Entwickelung. Die Geometrie der Lage ist als diejenige Fortsetzung und Erweiterung der darstellenden Geometrie anzusehen, bei welcher die systematische wissenschaftliche Entwickelung alleiniger Zweck ist, so dass die Rücksicht auf die Darstellung und selbst auf die Darstellbarkeit wegfallt. Methode. Zum Zwecke der graphischen Darstellung wird die Raumform auf die Bildebene bezogen und diese durch die Zeichnungsebene repräsentiert allgemeiner Bildfläche und Zeichnungsfläche. Die Vereinigung der in der Bildebene vorhandenen Bestimmungselemente heisst das Bild oder die Projection der Raumform; die Methode der Beziehung, durch welche aus der Raumform oder dem

3 Elementare Abbildungsmethoden. Projectivität. 3 Original das Bild hervorgeht, heisst die Abbildungs- oder Projections-Methode. Die nächste und natürlichste Quelle der Abbildungsmethoden wir wollen desshalb die aus ihr entspringenden die elementaren Abbildungsmethoden nennen ist das mathematische Abstractum des Sehprozesses: Von einem Centrum der Projection aus gehen nach allen Punkten und geraden Linien des darzustellenden Objects gerade Linien und Ebenen wir bezeichnen ihre Gesammtheit als das Bündel der projicierenden Strahlen und Ebenen oder als den Schein des Objects deren Durchschnittspunkte und -linien mit der Bildebene die Bilder oder Projection en dieser Punkte und Geraden sind. Von der gegenseitigen Lage im Moment der Abbildung abgesehen, also auch nach der Aufhebung derselben, sind daher Original und Bild durch die beiden Gesetze verbunden: Jedem Punkte des Originals entspricht ein Punkt des Bildes und jeder geraden Linie des Originals entspricht eine gerade Linie im Bilde. Ist das Original sowie das Bild eine ebene Figur, so gelten beide Gesetze im Allgemeinen auch umgekehrt; man macht sie durch gewisse Voraussetzungen über das Unendlichferne im Raum, welche widerspruchsfrei sind, ohne Ausnahme gültig und sagt: Original und Bild sind projectivisch oder stehen in der Verwandtschaft der Projectivität, specielier der Colline at ion. Die besondere gegenseitige Lage, die beide im Momente der Abbildung haben, kann man immer als die perspectivische Lage derselben bezeichnen. Die Theorie der ebenen Abbildung nach diesen Grundsätzen nennen wir die Lehre von der Centralprojection; sie enthält als einen durch die Forderung auf Bildlichkeit ausgesonderten Theil die Theorie der Perspective; als ein Specialfall geht aus ihr die Lehre von der orthogonalen und schiefen Parallelprojection hervor. 2 ) Der Verfolg zeigt sodann, dass man auch den Raum d. i. die nicht ebenen Formen nach Anleitung derselben Gesetze der Projectivität von einem Centrum aus und für dasselbe abbilden, nämlich in solcher Art räumlich abbilden oder modellieren kann, dass jedem Punkte des Originals ein l*

4 4 Einleitung. Punkt des Bildes und jeder Geraden desselben eine Gerade des Bildes sowie umgekehrt ausnahmslos entspricht. Mit Einschränkungen, welche den beim Uebérgang von der Centralprojection zur Perspective Erforderlichen analog sind, kann man auch dieser Abbildung einen hohen Grad von Bildlichkeit verleihen; daher umfasst sie die in der Kunst wie die in der Technik verwendeten Modellierungs-Methoden. Wenn wir aber speciell an die Art anknüpfen, wie bei der Centralprojection die Lage des Centrums gegen die Bildebene durch einen Kreis fixiert wird, dessen Kenntniss für die Bestimmtheit der metrischen Verhältnisse der dargestellten Raumformen unentbehrlich ist, so entspringt eine Abbildung der Punkte des Raumes durch die Kreise der Ebene, vermittelst welcher die Aufgaben über die Bestimmung der Kreise und Kugeln etc. der darstellenden Geometrie unterworfen werden. Wie die bildlichen Projectionsmethoden zu den projectivischen Verwandtschaften führen, so giebt diese Abbildung der Cyklographie uns Kenntniss von der fundamentalen metrischen Verwandtschaft der Inversion oder der reciproken Radienvectoren. Perspectivische Raumansicht. Wir fassen unter diesem Namen die vorher bezeichneten Voraussetzungen über die unendlich fernen Elemente des Raumes zusammen, durch welche das eindeutige Entsprechen von Punkt zu Punkt und von Gerade zu Gerade zwischen Original und Bild von scheinbaren Ausnahmen befreit wird; denn solche treten nur bei jenen auf. Wenn die Punkte einer Geraden durch gerade Strahlen vom Centrum der Projection aus auf die Bildebene projiciert werden, so giebt es unter diesen einen, der zu ihr selbst, und einen anderen, der zur Bildebene parallel ist; der erste liefert ein bestimmtes Bild von dem wir wollen zunächst sagen uneigentlichen Punkte der Geraden, den der Parallelstrahl projiciert und den Manche als gar nicht existierend, Andere als aus einer Vielheit von Punkten bestehend absehen wollen; der zweite liefert ebenso zu einem bestimmten Original ein uneigentliches Bild. Die Frage gehört zur Theorie des Maasses und des Messens, die mit den uns empirisch geläufigen Voraussetzungen darüber nicht entschieden und noch weniger gegeben ist und die man zu fassen hat als die pro-

5 Perspectivische Raumansicht. Der Gang der Entwickelung. 5 jectivische Vergleichung der Figuren mit einer als fest oder absolut gedachten die Maasseinheiten liefernden Figur; ihre Beantwortung fällt daher je nach der Wahl des Absoluten verschieden aus. Ueber die Zweckmässigkeit oder den Vorzug der einen oder andern muss das Ganze der Wissenschaft als entscheidend angesehen werden, und dies hat für denjenigen Bereich der Geometrie, den man als Geometrie der Projectivität oder als proj ectiyische Geometrie bezeichnen kann, und dem die Elementargeometrie unbedingt angehört, die Entscheidung dahin gegeben, dass es nothwendig ist, anzunehmen, jede Gerade habe einen einzigen und bestimmten unendlich fernen Punkt. Wir nennen denselben in genauer Uebereinstimmung mit dem Sprachgebrauch die Richtung der Geraden und haben damit zugleich die Erklärung dieses Begriffes gewonnen. In unmittelbarer Consequenz ergiebt sich daraus, dass die unendlich entfernten Punkte einer Ebene angesehen werden müssen als eine gerade Reihe bildend, die man die unendlich ferne Gerade derselben oder ihre Stellung nennt; und zuletzt, dass alle die unendlich fernen Punkte des Raumes und alle die unendlich fernen Geraden desselben als einer Ebene, der unendlich fernen Ebene, angehörig anzusehen sind. 3 ) Die Sätze: Zwei Gerade in derselben Ebene schneiden sich in einem Punkte; zwei Ebenen schneiden sich in einer geraden Linie; eine Gerade und eine Ebene haben nur einen Punkt gemein, wenn nicht die Erste ganz in der Letzteren liegt erhalten damit zugleich ausnahmsfreie Gültigkeit. Ebenso die Bestimmungssätze der Geraden aus zwei Punkten oder Ebenen, der Ebene aus drei Punkten und des Punktes aus drei Ebenen; ein unendlich ferner Punkt ist durch eine Gerade bestimmt, in der er liegt, eine unendlich ferne Gerade durch eine Ebene, der sie angehört, und man construirt bekanntlich mit solchen Elementen mit der gleichen oder selbst mit grösserer Leichtigkeit, wie mit denen des endlichen Raumes. Entwickelungsgang. Unsere Entwicklung gilt hauptsächlich den bildlichen unter den elementaren Projectionsmethoden und hat daher mit der Darstellung und Bestimmung der projicierenden Strahlen zu beginnen, als durch welche alles Andere dargestellt und bestimmt werden

6 6 Einleitung. muss; sie hat sodann die Bestimmung der das Centrum nicht enthaltenden Geraden und Ebenen zu zeigen und jene Verwendung auf allen Stufen durchzuführen. Die Objecte der Darstellung sind die geometrischen Gebilde, welche durch Reih un g oder durch Bewegung aus den geometrischen Elementar f or m en: Gerade Linie, Punkt und Ebene erzeugt werden. Die Berücksichtigung des raumerfüllenden Inhaltes bleibt den Anwendungen überlassen dem Architektur- und Maschinenzeichnen, dem topographischen Zeichnen, etc. Für die Darstellung der Beleuchtungsverhältnisse und sonst zur Erhöhung der Bildlichkeit der Zeichnungen wird den geometrischen Flächen die Eigenschaft der Undurchsichtigkeit beigelegt. Wir entwickeln zuerst in diesem Bande an der Behandlung der geometrischen Elementarformen und der einfachsten aus den Elementen der Geometrie bekannten Gebilde die Methoden der darstellenden Geometrie, bei welchen die Bestimmung der geraden Linie fundamental ist, also die Centralprojection und die verschiedenen Formen der Parallelprojection, sowie die damit verbundenen Elemente der projectivischen Geometrie. Wir schliessen daran im zweiten Bande ihre Anwendung auf das Studium und die Darstellung der zusammengesetzten Formen an, insbesondere dercurven und der Flächen. Dadurch ermöglichen wir bei diesen die Verwendung aller Methoden und die Wahl der für die specielle Absicht zweckgemässesten unter denselben und sichern so ein tieferes und rascheres Eindringen in die nothwendigen Theorien und die möglichste Kürze und Genauigkeit bei den praktischen Anwendungen. Auf die Consequenzen des Gedankens von der Abbildung der Punkte des Raumes durch die Kreise einer Ebene werden wir an den geeigneten Orten in beiden Bänden kurz eingehen; ihre Verwendung zur Lösung von Problemen bietet vortreffliche Uebungen im Gebrauch der elementaren projectivischen Methoden. Die vollständige Entwickelung der Geometrie der Lage in construierender und in analytischer Form, in beiden Gestalten beherrscht durch die so zu sagen raumbildende Kraft des Projectionsprozesses, enthält der dritte Band. 4 )