14. Zur algebraischen Behandlung von Widerstandsschaltungen

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1 4 Zur algebraischen Behandlung von Widerstandsschaltungen Mathematisch- physikalische Semesterberichte 9 (972), Bekanntlich ergibt sich für zwei Widerstände R und R 2 als Gesamtwiderstand R r bei Reihenschaltung und R p bei Parallelschaltung R R Rr = R + R2 und R p = 2 R + R2 Für + ist durch a * b = def ab a + b eine Verknüpfung * gegeben Von der praktischen Anwendung her erscheint es sinnvoll, das Verknüpfungsgebilde ( +, +, *, >) zu betrachten und Parallelen zur Schaltalgebra zu suchen Dem Term a+b wollen wir die Reihenschaltung und dem Term a*b die Parallelschaltung der Widerstände a und b zuordnen Für die Terme wollen wir zur Klammersparung vereinbaren, daß * stärker binden soll als + Es ergibt sich sofort, daß ( +, +, <) und ( +, *, >) Größenbereiche (natürlich angeordnete Halbmoduln) (KIRSCH 970) sind, zwischen denen es einen Isomorphismus f gibt, der definiert ist durch f ( x) = für alle x + x Wir wollen nun in ( +, +, *, >) die Vielfachenbildung bezüglich beider Verknüpfungen betrachten Man definiert rekursiv a = a und * a = a,

2 2 (n + )a = (na) +a und (n + ) * a = (n * a)*a Zur Ersparnis von Klammern sei wieder vereinbart, daß die Vervielfachung stärker binden soll als die Verknüpfungen + und * Für die unmittelbar möglichen Folgerungen über die Vielfachen verweisen wir auf (KIRSCH 970) Bekanntlich hat ( +, +, <) die Teilbarkeitseigenschaft (KIRSCH 970) Es gibt also eine eindeutig bestimmte Zahl x mit nx = a für n und a +, für die man schreibt x = n a Für die *-Vielfachen gilt nun n(n * a) = a Demnach haben wir (T) n * a = n a Wir können im folgenden stets n * a durch n a ersetzen Die Verknüpfung * ist in + durch die Assoziativität und durch (T) bereits eindeutig bestimmt Ist nämlich eine assoziative Verknüpfung von + mit der (T) entsprechenden Eigenschaft n a = durch n a a = a und (n + ) a = (n a) a, dann folgt aus dem Assoziativgesetz (m + n) a = (m a) (n a), wobei n a rekursiv definiert ist

3 3 und daraus für p, q, r, s p q r pr pr = = ( ( pr)) ( ( pr)) = (( qr) ( pr)) (ps) (pr)) s qr ps qr ps pr p r = ( qr+ps) (pr) = ( pr) = = * qr+ps qr + ps q s In Analogie zur Schaltalgebra kann man nun jedem Term, der mit Hilfe von Variablen, den Verknüpfungszeichen + und * sowie + - und * - Vielfachen zusammengesetzt ist, eine Widerstandsschaltung zuordnen Zu zb gehört 2a*b + a*3 * c Zwei Schaltungen sollen äquivalent heißen, wenn ihre Gesamtwiderstände gleich sind Ein grundlegendes Problem in der Schaltalgebra ist die Herstellung äquivalenter Schaltungen, die mit weniger Schaltern auskommen Ein wichtiges Hilfsmittel ist dort das Distributivgesetz Das gilt hier nicht, vielmehr haben wir a * (b+ c) < a*b + a*c und a + b * c > (a+b) * (a+c) Wir nennen sie Subdistributivgesetze Ist ein Term lediglich mit Hilfe der Variablen a und + und * und Vielfachen

4 4 aufgebaut, so wollen wir ihn a-term nennen Bei a-termen kann eine Vereinfachung möglich sein, die zu einer Reduktion der Widerstandszahl führt Zu n(n * a) gehört eine Schaltung mit n 2 Widerständen a Es gilt aber n(n * a) = a Zum a-term a gehört eine Schaltung aus nur einem Widerstand a Wir veranschaulichen den Sachverhalt für n = 3: Jeder a-term läßt sich in die Form bringen k(m * a) bzw m * (ka) Sie sind gleich wegen k(m * a) = k ( a ) k = m * (ka) m m a = = m ( ka) Wir brauchen also nur die beiden Fälle zu betrachten k m a + r s a und k m a * r s a Es gilt k m a r s a k r m s a ks + rm + = ( + ) = s m s und

5 5 k m a * r s a = ( k r m * s ) a = kr mr + ks a Für den a-term T a gelte T a = k(m * a), also gilt auch T a = m * (ka) Wir wollen k(m * a) als + - Normalform und m * (ka) als *-Normalform von T a bezeichnen Wegen k m a = kn mn a gibt es zu jedem a-term beliebig viele + -Normalformen und damit auch beliebig viele * - Normalformen Unter ihnen gibt es jeweils eine, deren zugehörige Schaltung von kleinstmöglicher Widerstandszahl ist Es sind diejenigen Normalformen k(m * a) und m * (ka), für die k und m teilerfremd sind Wir wollen sie die reduzierten Normalformen nennen Beispielsweise können wir umformen * a + 2 * a = a + a = a + a = a = a = 2(3 * a) = 3 * (2a) Das führt von einer Schaltung mit 8 Widerständen a zu zwei Schaltungen mit 6 Widerständen a

6 6 Häufig läßt sich die Widerstandszahl jedoch noch weiter reduzieren, indem man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus für k und m zu k den zugehörigen Kettenbruch entwickelt Sei etwa für k m k = q m + r, 0 < r <m, m = q 2 r + r 2, 0 < r 2 < r, r = q 3 r 2 + r 3, 0 < r 3 <r 2, r n-2 = q n r n + r n, 0 < r n <r n, r n = q n + r n Dann ergibt sich für k m (für k < m mit r = k ohne q bzw q a): k m a q = ( + ) a q 2 + q 3 + q n+ = ( q + * ( q 3 + * ())) a q 2 q 4 = qa + a * ( q 3a + a * ()) q 2 q 4 = qa + q 2 * a * ( q 3a + q 4 * a * ())

7 7 Jeden a-term kann man offensichtlich in diese Form bringen, wir nennen sie die Kettenform Die Anzahl der Glieder in der zum a-term k(m * a) gehörigen Schaltung beträgt km, die der Schaltung, die zur Kettenform gehört beträgt q + q q n + q n+l Es gilt km q l + q q n + q n +l, denn m 2 q m 2 q mk = q m 2 + r m q + r m r 2 q 2 r 2 q 2 r m = q 2 r 2 + r 2 r q 2 + r 2 r r 2 q 3 r 2 q 3 r 2 r = q 3 r 2 + r 3 r 2 q 3 + r 3 r 2 Das ergibt die Behauptung Für k m ergibt sich Gleichheit nur im Fall m= Die Kettenform führt also im allgemeinen zu einer Verkleinerung der Widerstandszahl Die Kettenform eines a-terms liefert aber nicht unbedingt die Schaltung mit

8 8 der kleinsten Zahl von Widerständen a Für 5 6 a ist die zugehörige Kettenform a*5 * a, die zugehörige Schaltung hat 6 Widerstände a Es ist aber die Darstellung möglich ständen a 5 6 a = a + a 2 3 Dazu gehört eine Schaltung mit nur 5 Wider- Für die Verknüpfung * läßt sich ein Rechenstab entwickeln, wenn man mit Reziprokenskalen arbeitet Ein solcher Stab kann als Zwischenstufe verwendet werden zwischen einem Additionsstab und dem normalen Rechenstab Man verwendet dabei die Beziehung = + a * b a b Neben dem von uns verwendeten anwendungsorientierten Zugang zur Verknüpfung * ist vielleicht noch folgende Analogiebetrachtung reizvoll: In gilt bekanntlich (kgv (a, b)) (ggt(a, b) = a b Mit Hilfe der kanonischen Zerlegungen gekürzter Brüche kann man das auch + in erhalten, wenn man definiert: n n α Sei a = p i i, b = p i i = i = βi mit Primzahlen p < p 2 < < p n, i, i ; dann definieren wir

9 9 n Min( α a b = p i, βi ) i, i = n a b = Max( α p i, βi ) i i = Damit erhält man (a b) (a b) = a b Wir hatten oben f als Isomorphismus von ( +, +) auf ( +,*) erkannt; f ist auch Isomorphismus von ( +, ) auf ( +, ) Für + und * gilt: (a + b) (a* b) = ab Wir haben also Analogien zwischen ( +, +, *) und ( +,, ), Man kann diese Betrachtung noch fortführen Es gilt ab = ( a + b )( f ( ) * f ( )) = ( a + b ) f ( + ) a b a b a b = ( a + b ) = a b a b Entsprechend erhält man für {+, *,, }

10 0 a b ab = a b Diese Funktionalgleichung gilt übrigens auch, wenn für die Bildung des arithmetischen, kontraharmonischen, geometrischen oder quadratischen Mittels (jeweils bei geeignetem Definitionsbereich) eingesetzt wird Schließlich sei noch auf den Zugang zur Bruchrechnung hingewiesen, der sich mit Hilfe eines Verknüpfungsgebildes (M, +, *, <) ergibt, wenn man fordert, daß (M, +, <) und (M, *, <) Größenbereiche mit der Eigenschaft (T) sind Dann erhält man die natürlichen Zahlen als Operatoren bei der Vervielfachung bezüglich + und die Stammbrüche als Operatoren bei der Vervielfachung bezüglich * Dieser Zugang ist insoweit didaktisch interessant, als sich die Verknüpfungen + und * gleichartig modellieren lassen Insgesamt ist es also leicht möglich, eine größere Anzahl von Aussagen über ( +, +, *, <) zu gewinnen, es sind Anwendungs- und Veranschaulichungsmöglichkeiten gegeben, so daß eine gesonderte Betrachtung dieser Verknüpfung im Zusammenhang mit Strukturbetrachtungen (STEINER 965) sinnvoll ist Literatur Kirsch, A, Elementare Zahlen- und Größenbereiche, Göttingen 970 Steiner, H-G, Zur Didaktik der elementaren Gruppentheorie, MU (965), ) Auf diesen Sachverhalt hat mich freundlicherweise Herr G PICKERT aufmerksam gemacht