Korrektorat: Dina Baars, Bern Illustrationen: Christoph Frei, Bern. 1. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten Copyright Pädagogische Hochschule PHBern

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2 Günter Baars E-Lern- und Lehrmedium: Quantenchemie und Chemie farbiger Stoffe Leitprogramm: Quantenchemie und organische farbige Stoffe Übungen mit Lösungen Korrektorat: Dina Baars, Bern Illustrationen: Christoph Frei, Bern 1. Auflage 2010 Alle echte vorbehalten Copyright Pädagogische Hochschule PHBern 2

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Übungen Wellen, Licht und Elektronen; Übungen Quantenchemie und organische farbige Stoffe; Übungen Wellen, Licht und Elektronen; Lösungen zu den Übungen Quantenchemie und organische farbige Stoffe; Lösungen zu den Übungen 25 3

4 1 Übungen 1 Übungen 1.1 Wellen, Licht und Elektronen; Übungen 1.a Nennen Sie je ein Beispiel einer Transversal- und einer Longitudinalwelle. 1.b Wie sind die beiden unterschiedlichen Wellenarten definiert? 2. Ein Oszillator ist ein Massenpunkt eines Wellenträgers. 2.a Was bedeutet für einen Oszillator die Periodendauer T und die Frequenz f? 2.b Wie verändert sich die Energie E eines Oszillators, wenn die Frequenz f halbiert und die maimale Auslenkung s ma verdoppelt wird? 1 E = m 2 f 2 s 2 ma 3. Elektronenbeugung, leuchtendes Gas (Helium) und farbige Stoffe: diese drei Eperimente resp. Phänomene können nur erklärt werden, wenn man Elektronen im Wellenmodell betrachtet. Erläutern Sie bezüglich der Eperimente kurz das Vorgehen und die Beobachtungen und erklären Sie anschliessend, warum zur Erklärung dieser Eperimente die Verwendung des Wellenmodells für das Elektron zwingend ist. 4. Gegeben ist eine stehende Welle. Welche Aussagen lassen sich über einen Oszillator, der nicht in einem Knotenpunkt ist, hinsichtlich Amplitude, Energie und Frequenz machen (jeweils mit kurzer Begründung). 5. Fällt ein Lichtstrahl durch einen Spalt, so ist ein Beugungsmuster zu beobachten. 5.a Skizzieren Sie das Beugungsbild. 5.b Erklären Sie, wie dieses Beugungsbild zustande kommt. 6. Was versteht man unter einer elektromagnetischen Welle? 7. Definieren Sie (jeweils nur ein Satz!) - Welle - Oszillator - Frequenz - Wellenlänge (einer fortschreitenden Welle) 8.a Wie lässt sich mit einer Schraubenfeder konstruktive Interferenz eperimentell zeigen (Skizze, kurze Erklärung)? 8.b Wie lässt sich mit Laserlicht eperimentell Interferenz zeigen (Skizze, kurze Erklärung)? 9.a Was versteht man unter elektromagnetischen Wellen? 9.b Worin unterscheiden sich elektromagnetische Wellen von mechanischen Wellen? 4

5 1 Übungen 10. Interpretieren Sie die gegebene Abbildung (stehende Welle in verschiedenen Schwingungszuständen). 11. Was versteht man unter einer stehenden Welle (wodurch ist sie gekennzeichnet) und wie kommt sie zustande? Beantworten Sie diese Frage anhand der gegebenen Abbildung. Zeichnen Sie die Kurve ein, die die effektive Bewegung der Feder beschreibt. 5

6 1 Übungen 12.a Gegeben ist T für einen Oszillator: 1 T = 10s. Was bedeutet dies und wie gross ist die Frequenz des Oszillators? 12.b Gegeben ist die Wellenlänge einer fortlaufenden harmonischen Transversalwelle: 1 λ = 1000 m. Was bedeutet dies? 12.c Die Geschwindigkeit c, mit der sich eine Welle durch einen Wellenträger fortpflanzt, ist für einen bestimmten Wellenträger konstant. Welche Veränderung tritt ein, wenn die Frequenz f des Erregers (bei gleicher Amplitude) in Bezug auf die Wellenlänge λ und die Energie E der einzelnen Oszillatoren erhöht wird? 13. Wie lässt sich eperimentell zeigen, dass ein schwingungsfähiges System nur ganz bestimmte (diskrete) Schwingungszustände besitzen kann? Welcher Bedingung ist die Wellenlänge λ unterworfen? 14. Gegeben ist eine Feder, die an beiden Enden jeweils an einem Stativ befestigt ist. Mithilfe eines Ezenters wird die Feder in Schwingung versetzt. Interpretieren Sie die gegebene Abbildung und setzen Sie die Werte für λ ein. 6

7 1 Übungen 15. Eine weiche Schraubenfeder wird an zwei Stativen befestigt (Abstand: L) und durch einen Ezenter zu harmonischen Schwingungen angeregt. 15.a Welche Wellenart bildet sich aus und wodurch ist sie gekennzeichnet? 15.b Wie lässt sich das Zustandekommen dieser Wellenart erklären? 15.c Was lässt sich über die Energie der verschiedenen Oszillatoren dieser Wellenart aussagen? 15.d Wie ist die Wellenlänge von stehenden Wellen definiert? 16. Beugung ist eine Erscheinung, die sich mit dem Wellenmodell erklären lässt. 16.a Skizzieren Sie einen Versuch, mit dem sich Beugung eperimentell zeigen lässt. 16.b Erklären Sie das Zustandekommen des Beugungsmusters. 17. Definieren Sie die Begriffe - Welle - Schwingung - harmonische Welle - Oszillator 18. Elektronen besitzen Welleneigenschaften. Wie liesse sich diese Aussage eperimentell überprüfen (Art des Eperiments; Erklärung der zu beobachtenden Phänomene)? 19. Eine (kleine) Brücke kann durch äussere Einwirkung in Schwingung versetzt werden. Was lässt sich über die Art und die Entstehung der Welle aussagen, die die Brücke ausbildet? c 20. Interpretieren Sie die Formel f =. λ 21. Definieren Sie die Begriffe - Welle - Längswelle - Querwelle - Interferenz 22. Spielen zwei verschiedene Instrumente den gleichen Ton, so lassen sich die beiden Instrumente durch reines Hören unterscheiden. Begründen Sie diese Tatsache. 23. Lässt man einen Elektronenstrahl durch ein Loch fallen, so beobachtet man auf einem dahinterliegenden Leuchtschirm folgendes Bild: 7

8 1 Übungen Welche Bedeutung hat dieses Eperiment hinsichtlich der Elektronen und wie lässt sich das Zustandekommen dieses Bildes erklären? 24. Von welchen Faktoren ist die Energie eines schwingenden Oszillators abhängig und worin besteht diese Abhängigkeit (keine Formeln; kurze Erklärung)? 25. Sichtbares Licht gehört zu den elektromagnetischen Wellen. Erklären Sie kurz, wie Licht zustande kommt. Worin unterscheidet sich "sichtbares" Licht von "ultraviolettem" Licht? 26. Die Welleneigenschaften von bewegten Körpern sind nur für Teilchen im atomaren h Bereich von Bedeutung. Begründung (de Broglie: λ = )? m v 27. Das Elektron im Wasserstoff-Atom lässt sich mit einer stehenden Welle vergleichen. Beschreiben Sie kurz den entsprechenden Versuch und interpretieren Sie die dabei beobachteten Phänomene. 28. Laserlicht und ein Elektronenstrahl zeigen Beugungsmuster. Was bedeutet diese Tatsache? 29. Ein Elektron lässt sich als dreidimensionale stehende Welle beschreiben. Welche Aussagen lassen sich mithilfe der entsprechenden Wellengleichung über das Elektron machen? 30. Auf welche Weise lässt sich die maimale kinetische Energie eines Fotoelektrons bestimmen (eventuell mit einer kleinen Skizze)? Beschreiben und interpretieren Sie Ihre Beobachtungen. 31. Ein Beugungsmuster lässt auf eine Wellennatur des zugrunde liegenden Phänomens schliessen. Erklären Sie diese Aussage. 32. Gegeben sei eine Lichtquelle, die rotes Licht ausstrahlt. Mit einem Dimmer lässt sich die Helligkeit des roten Lichts stufenlos verstellen. Beschreiben Sie mit dem Wellen- 8

9 1 Übungen bzw. dem Teilchenmodell, was mit dem roten Licht passiert, wenn die Helligkeit (Lichtintensität) vermindert wird. 33. Beim Eperiment zum Fotoelektrischen Effekt stellt man u.a. Folgendes fest: Unterhalb einer bestimmten Lichtfrequenz f werden keine Fotoelektronen freigesetzt, ganz egal, wie hoch die Intensität des Lichts gewählt wird. Interpretieren Sie dieses esultat. Weshalb genügt das Wellenmodell des Lichts als Erklärung nicht? 34. Was versteht man unter den folgenden Begriffen? Wellenlänge Amplitude Elongation 35. Ein Oszillator ist ein Massenpunkt eines Wellenträgers. Wie verändert sich die Energie eines Oszillators, wenn die Frequenz halbiert und die Amplitude verdreifacht wird? 36. Gegeben ist ein Beugungsbild, das dadurch entstanden ist, dass Licht durch eine Öffnung geschickt wurde. Diese Öffnung hatte die folgende Form (richtige Antwort ankreuzen): o Loch o Senkrechter Spalt o Waagrechter Spalt 37. Warum sendet ein Gas in einer Leuchtstoffröhre Licht aus? Elektronen gehen in ein höheres Energieniveau über und nehmen die dazu notwendige Energie aus dem sichtbaren Licht auf. Elektronen fallen von einem höheren Schwingungszustand in einen tieferen und geben die dabei frei werdende Energie in Form von Licht ab. Elektronen gehen in einen höheren Schwingungszustand über und senden dabei Energie in Form von Licht aus. trifft zu trifft nicht zu weiss nicht 9

10 1 Übungen 38. Warum genügt das Teilchenmodell für Elektronen nicht, um die Linienspektren von leuchtendem Wasserstoffgas zu erklären? Die Elektronen könnten laut Teilchenmodell jede beliebige Energie annehmen. Die Elektronen würden laut Teilchenmodell Photonen jeder beliebigen Energie aussenden, es gäbe ein kontinuierliches Spektrum. Die Elektronen könnten sich laut Teilchenmodell nur in der K-Schale aufhalten. trifft zu trifft nicht zu weiss nicht 39. Welche der folgenden Eperimente eignen sich, um die Welleneigenschaften von Licht zu zeigen? Fotoelektrischer Effekt Elektronenbeugung Kathodenstrahlrohr Kerze durch eine enge Spalte beobachten Laserlicht durch ein enges Loch fallen lassen trifft zu trifft nicht zu weiss nicht 40. Welche der folgenden Eperimente eignen sich, um die Teilcheneigenschaften von Elektronen zu zeigen? Fotoelektrischer Effekt Elektronenbeugung Kathodenstrahlrohr Kerze durch eine enge Spalte beobachten Laserlicht durch ein enges Loch fallen lassen trifft zu trifft nicht zu weiss nicht 10

11 1 Übungen 1.2 Quantenchemie und organische farbige Stoffe 1. Das Elektron im eindimensionalen Kasten lässt sich mit einer stehenden Welle beschreiben. Was bedeutet dies für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im zweiten Schwingungszustand? 2. Welche Aussagen treffen auf das Elektron im eindimensionalen Kasten zu? (Zutreffende Antworten ankreuzen) trifft zu trifft weiss nicht zu nicht Die Energie ist im dritten Schwingungszustand dreimal so hoch wie im ersten. Die Energie ist im zweiten Schwingungszustand viermal kleiner als im ersten. Die Energie ist im zweiten Schwingungszustand viermal grösser als im ersten. Das Elektron besitzt keine potentielle Energie. 3. Interpretieren Sie die folgende Abbildung, die ein Elektron im eindimensionalen Kasten in verschiedenen Energiezuständen zeigt. 4. Ohne Wellennatur des Elektrons keine Farben! Warum wären Stoffe wie die Phenylpolyenale, Carotinoide etc. nicht farbig, wenn das Elektron ein klassisches Teilchen wäre? 11

12 1 Übungen 5.a Berechnen Sie für die folgenden drei farbigen Stoffe A, B und C die maimal absorbierte Wellenlänge λ ber [nm] und die Anregungsenergie ΔE ber [kj mol -1 ]. Tragen Sie die berechneten Werte und die Namen der Farbstoffgruppen in der Tabelle ein. 1,88 10 (N + 1) (z + 1) 3 ΔE ber = [kj mol -1 ]; λ = 2 2 (z + 1) 63,71 [nm] N + 1 Skelettformel Farbstoffgruppe ΔE ber in kj mol -1 λ ber in nm A O B N N + C 5.b Wie gross schätzen Sie die Unterschiede zwischen den berechneten Werten ΔE ber und λ ber und den eperimentellen Werten λ ep und ΔE ep (Begründung)? Elektronen eines Moleküls verhalten sich so, als ob sie in einen eindimensionalen Kasten eingesperrt wären. Was lässt sich über die Energieverteilung dieser 28 Elektronen aussagen? Der Stoff, der aus diesen Molekülen aufgebaut ist, ist farbig. Wie kann man die Farbigkeit modellmässig erklären? 7. Beschreiben Sie in wenigen Sätzen, wie man sich das Zustandekommen der Farbe eines Stoffs modellhaft vorstellt. 8. Gegeben sind zwei blaue Stoffe. Zerlegt man die von diesen beiden Stoffen reflektierte blaue Farbe, so stellt man fest, dass sich im ersten Fall die blaue Farbe nicht weiter zerlegen lässt, während im zweiten Fall eine eihe verschiedener Farben zu beobachten ist. Worin besteht der Unterschied in der Wirkungsweise der Farbstoffmoleküle gegenüber dem Sonnenlicht? 12

13 1 Übungen 9. Warum genügt das Teilchenmodell für Elektronen nicht, um das Verhalten des Elektrons im eindimensionalen Kasten zu beschreiben? (Zutreffende Antworten ankreuzen) trifft zu trifft weiss nicht zu nicht Laut Teilchenmodell könnte sich das Elektron an jeder Stelle des Kastens aufhalten. Laut Teilchenmodell könnte das Elektron jede beliebige Energie einnehmen. Laut Teilchenmodell könnte die Kastenlänge beliebig lang gewählt werden. Laut Teilchenmodell könnte das Elektron jede beliebige Energie absorbieren. 10. Wie viele delokalisierte Elektronen besitzt ein Farbstoffmolekül, dessen höchster besetzter Schwingungszustand bei n = 6 liegt? 11. Wie erklärt man die Ursache der Farbigkeit von Verbindungen im Elektronengasmodell? trifft zu trifft weiss nicht zu nicht Die Farbe resultiert aus einem Elektronenübergang von einem energiereichen in einen energiearmen Schwingungszustand. Die Farbe resultiert aus einem Elektronenübergang von einem energiearmen in einen energiereichen Schwingungszustand. Eines von den delokalisierten Elektronen nimmt Energie aus dem sichtbaren Licht auf. Es findet ein Elektronenübergang vom höchsten besetzten ins tiefste unbesetzte Energieniveau statt. 12. Ordnen Sie die maimal absorbierten Wellenlängen den entsprechenden Verbindungen zu, indem Sie in jeder Klammer die zutreffende Antwort ankreuzen. (Es ist zur Beantwortung der Aufgabe NICHT nötig, die Wellenlängen auswendig gelernt zu haben!) Trienal absorbiert bei (o 440 nm / o 353 nm) maimal, Heptaenal bei (o 440 nm / o 353 nm). 13

14 1 Übungen Das Carboonium-Salz von Pentaenal absorbiert bei (o 630 nm / o 728 nm) maimal, das Carboonium-Salz von Heptaenal bei (o 630 nm / o 728 nm). Das Immonium-Salz von Pentaenal absorbiert bei (o 587 nm / o 440 nm) maimal, Heptaenal bei (o 587 nm / o 440 nm). 13. Ordnen Sie die folgenden Verbindungen A, B, C der richtigen Farbstoffklasse zu. (Zutreffende Spalte ankreuzen) Cyanin Polyen Phenylpolyenal Carboonium-Salz eines Phenylpolyenals A N CH CH CH CH CH + N B O H C 14. Gegeben sind vier Verbindungen A, B, C und D, deren delokalisiertes System aus je 12 Elektronen besteht. A ist ein Polyen, B ein Phenylpolyenal, C das Carboonium- Ion von B, D das Immonium-Ion von B. 14.a Berechnen Sie die Anregungsenergie ΔE ber. 14.b Die eperimentell bestimmten Werte ΔE ep betragen: A: ΔE ep = 324,1 kj mol -1 B: ΔE ep = 294,8 kj mol -1 C: ΔE ep = 190,5 kj mol -1 D: ΔE ep = 204,4 kj mol -1 Berechnen Sie die V korr -Werte für A, B, C und D. 14.c In welcher Verbindung sind die Elektronen am besten delokalisiert? 14.d Wozu wird die Energiedifferenz zwischen ΔE ep und ΔE ber verwendet? 14

15 2.1 Wellen, Licht und Elektronen 1.a Transversalwelle: Wasserwellen; Longitudinalwelle: Schallwellen 1.b Bei Transversalwellen (Querwellen) steht die Bewegungsrichtung der Oszillatoren senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung. Bei Longitudinalwellen (Längswellen) sind Bewegungsrichtung der Oszillatoren und Fortpflanzungsrichtung parallel. 2.a Schwingungsdauer T: Zeit, die ein Massenpunkt für eine volle Hin- und Herbewegung (volle Schwingung) benötigt. Die Frequenz gibt die Anzahl Schwingungen pro Sekunde an. 2.b Die Gesamtenergie ändert sich nicht, da die Frequenz ein Viertel des ursprünglichen Werts annimmt und die maimale Auslenkung viermal so gross wird wie am Anfang. 3. Elektronenbeugung: Durchdringen Elektronen einen Kristall, so erzeugen sie auf einer Leuchtschicht eine Abfolge von hellen und dunklen konzentrischen Kreisen (Beugungsbild). Diese lassen sich nur dadurch erklären, dass sich die Elektronen von den kleinen Öffnungen des Kristalls bis zur Leuchtschicht wie Wellen verhalten, die sich entweder konstruktiv oder destruktiv überlagern (auslöschen bzw. verstärken). Zerlegt man das Licht leuchtender Gase, wie z.b. Helium, Wasserstoff oder Quecksilber mit einem Prisma, so lassen sich nur ganz bestimmte farbige Linien (Linienspektrum) erkennen. Beim Sonnenlicht hingegen erhält man ein kontinuierliches Spektrum. Werden die Gase angeregt, so gehen die Elektronen in einen höheren Energiezustand. Beim Zurückfallen geben sie die aufgenommene Energie in Form elektromagnetischer Wellen (Photonen) im sichtbaren Bereich ab. Da nur ganz bestimmte Farben, die bestimmten Energien entsprechen, zu sehen sind, bedeutet dies, dass für die Elektronen nur ganz bestimmte Energiezustände im Atom möglich sind. Dies lässt sich nur mit einem Wellenmodell erklären: Die Elektronen bilden stehende Wellen um den Atomkern, d.h. das Elektronensystem (Kern und Elektronen) verhält sich wie ein schwingungsfähiges System, das nur ganz bestimmte stehende Wellen (Energiezustände) einnehmen kann. Die Elektronen farbiger Stoffe absorbieren aus dem sichtbaren Licht (sehr oft) gerade die Wellenlänge, die nötig ist, um von einem Energiezustand in einen höheren überzugehen. Damit fehlt dem sichtbaren Licht eine bestimmte Farbe. Die Mischung der 15

16 estfarben, die vom betreffenden Gegenstand reflektiert wird, nehmen wir als Substanzfarbe wahr. 4. Im Knoten selber findet keine Bewegung der Oszillatoren statt. Zwischen zwei Knoten werden die Massenpunkte unterschiedlich stark ausgelenkt. Bei gleicher Frequenz ist die Energie der Oszillatoren umso grösser, je stärker die Auslenkung ist. 5.a Helle und dunkle Stellen wechseln sich ab: 5.b Die beobachteten hellen und dunklen Stellen können nur dann entstehen, wenn sich Lichtwellen, die durch den Spalt fällen, verstärken oder auslöschen. Das Licht muss also bei diesem Eperiment mit einem Wellenmodell beschrieben werden. 6. Bei den elektromagnetischen Wellen handelt es sich um wandernde elektrische und magnetische Felder, deren Stärke periodisch ändert. Diese Felder stehen senkrecht aufeinander und pflanzen sich (im Vakuum) mit Lichtgeschwindigkeit (c = 2, m s -1 ) fort. 7. Als Welle bezeichnet man eine von einem Erreger wegwandernde Störung. Erreichen benachbarte Teilchen (Massenpunkte, Oszillatoren) nacheinander dieselbe Auslenkung, so entsteht der Eindruck einer sich ausbreitenden Welle, obwohl die Teilchen selbst nicht wandern. Oszillatoren sind die einzelnen Massenpunkte eines Wellenträgers (Seil, Feder, Wasser, Luft), die die Bewegung des Erregers nacheinander ausführen, Die Frequenz gibt die Anzahl Schwingungen pro Sekunde an. Als Wellenlänge wird der kürzeste Abstand zwischen zwei phasengleich schwingenden Oszillatoren bezeichnet (zwei Oszillatoren mit dem gleichen Schwingungszustand: gleiche Elongation s und gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Störung). 8.a 16

17 8.b Bewegt man ein Seil an beiden Enden gleichzeitig und gleich weit waagrecht zum Wellenträger auf eine Seite und dann wieder zurück zu den Ausgangspunkten, so kommt es zu einer Überlagerung (Interferenz) der Wellen. Die beiden Störungen laufen aufeinander zu und durchdringen sich ungestört beim Aufeinandertreffen. Dabei addieren sich die Auslenkungen, die Amplituden verdoppeln sich. Anschliessend pflanzen sich die Störungen wieder mit der ursprünglichen Amplitude fort. Man lässt einen Laserstrahl durch einen schmalen Spalt auf einen dahinter liegenden Schirm fallen. Helle und dunkle Stellen wechseln sich ab, wobei die Helligkeit (Intensität) nach den Seiten zu abnimmt (Beugungsbild). 9.a Bei den elektromagnetischen Wellen handelt es sich um wandernde elektrische und magnetische Felder, deren Stärke periodisch ändert. Diese Felder stehen senkrecht aufeinander und pflanzen sich (im Vakuum) mit Lichtgeschwindigkeit (c = 2, m s -1 ) fort. 9.b Mechanische Wellen: benötigen einen Wellenträger; die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist von der Art des Wellenträgers abhängig. Elektromagnetische Wellen: Benötigen keinen Wellenträger; sie pflanzen sich mit Lichtgeschwindigkeit fort. 10. Mit einem Ezenter wurden auf einer Schraubenfeder stehende Wellen erzeugt. Dabei fällt auf, dass sich nur bei bestimmten Frequenzen des Ezenters stehende Wellen ausbilden. Daraus muss gefolgert werden, dass schwingungsfähige Systeme nur ganz bestimmte stehende Wellen ausbilden können. Im Falle der Schraubenfeder gilt die 2L Beziehung λ =. n 11. Zwei gegeneinanderlaufende, gleichartige (Frequenz, Amplitude) harmonische Wellen bilden aufgrund der Interferenz eine stehende harmonische Welle aus. Die Orte, an denen die Oszillatoren zu keinem Zeitpunkt ausgelenkt werden, nennt man Schwingungsknoten. 17

18 Zwischen zwei Knoten schwingen Oszillatoren gleichphasig, aber mit unterschiedlichen Amplituden. Die Bereiche zwischen den Schwingungsknoten heissen Schwingungsbäuche. 12.a Für eine volle Bewegung benötigt der Oszillator 0,1 s. Damit führt er 10 Schwingungen pro Sekunde aus: f = 10 s b Der kürzeste Abstand zwischen zwei phasengleich schwingenden Oszillatoren (gleiche Elongation s und gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Störung) beträgt 0,001 m. 12.c Gemäss der Gleichung E Oszillator = 1 2 m f s 2 2 ma [J] nimmt die Energie bei Erhöhung der Frequenz zu. Ausserdem wird die Wellenlänge λ kleiner, da die Anzahl Wellen pro Wegstrecke auf dem Wellenträger zunimmt. 13. Man erzeugt mithilfe eines Ezenters auf einer Schraubenfeder stehende Wellen. Diese bilden sich nur bei ganz bestimmten Frequenzen des Oszillators aus. Für λ gilt: λ = 2L. (L: Länge der Feder; n: Nummer des Schwingungszustands). n 18

19 14. Die Feder kann als schwingungsfähiges System nur ganz bestimmte stehende Wellen ausbilden, wobei n der Nummer des jeweiligen Schwingungszustands entspricht. Je höher die Energie des Systems (entsprechend der Zunahme von n), desto grösser ist die Anzahl der Knoten. Dabei gilt: Knotenzahl = n 1. 15a. Es bilden sich bei bestimmten Frequenzen des Ezenters stehende Wellen aus, die durch Schwingungsknoten und Schwingungsbäuche gekennzeichnet sind. 15.b Die vom Ezenter erzeugte Störung wird am gegenüberliegenden Stativ reflektiert. Die beiden nun entgegengesetzt laufenden Wellen überlagern sich konstruktiv und destruktiv, wodurch sich stehende Wellen ausbilden. 15.c Die Energie in den Schwingungsknoten ist null. In der Mitte zwischen zwei Knoten ist die Auslenkung, und damit die Energie der Oszillatoren, am grössten. Von diesem Punkt ausgehend bis zu den Knoten nimmt die Auslenkung und damit die Energie der Oszillatoren ab. 15.d Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Knoten entspricht der halben Wellenlänge. 16.a 19

20 16.b Beugung des Lichts kommt dadurch zustande, dass an jedem Punkt einer kleinen Öffnung neue Wellen (sogenannte Elementarwellen) entstehen. Sie breiten sich mit der gleichen Geschwindigkeit aus wie die ursprünglichen Wellen. Entsprechend dem Beugungswinkel muss das Licht bis zum Auftreffpunkt unterschiedlich lange Strecken zurücklegen. Haben zwei Wellen sich genau um eine Wellenlänge λ oder das n-fache davon verschoben, dann überlagern sich zwei Wellenberge oder zwei Wellentäler. Es entsteht ein Intensitätsmaimum. Der Auftreffpunkt liegt im Bereich eines hellen Streifens. Haben die beiden Wellen sich um eine halbe Wellenlänge λ/2 oder das n- fache (n = 3, 5, 7,...) gegeneinander verschoben, so überlagern sich Wellenberg und Wellental. Es entsteht ein Intensitätsminimum. 17. Als Welle bezeichnet man eine von einem Erreger wegwandernde Störung. Erreichen benachbarte Teilchen (Massenpunkte, Oszillatoren) nacheinander dieselbe Auslenkung, so entsteht der Eindruck einer sich ausbreitenden Welle, obwohl die Teilchen selbst nicht wandern. Eine Schwingung ist eine Bewegung, die in periodischer Folge um die Gleichgewichtslage (uhelage) eines Oszillators erfolgt. Ist die Bewegung des Erregers zeitlich und räumlich gleichmässig (harmonische Schwingung), so entsteht eine harmonische Welle. Oszillatoren sind die einzelnen Massenpunkte eines Wellenträgers (Seil, Feder, Wasser, Luft), die die Bewegung des Erregers nacheinander ausführen, 18. In einer Elektronenbeugungsröhre schickt man einen Elektronenstrahl durch eine dünne Grafitfolie. Am gegenüberliegenden öhrenende erscheinen auf dem Leuchtschirm helle und dunkle konzentrische Kreise. Das so gebildete Beugungsmuster lässt sich nur dadurch erklären, dass sich die Elektronen wie Wellen verhalten, die an den Öffnungen der Grafitfolie neue Elementarwellen bilden, die sich konstruktiv (helle Stellen) und destruktiv (dunkle Stellen) überlagern. 19. Erreicht man, z.b. durch ein gleichmässiges Marschieren, die Eigenfrequenz der Brücke, so bildet sich eine stehende Welle aus. 20

21 20. Die Frequenz f eines Oszillators erhält man aus dem Quotienten von Ausbreitungsgeschwindigkeit c und Wellenlänge λ einer fortlaufenden harmonischen Welle. Bei konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit ist die Frequenz umso grösser, je kleiner die Wellenlänge ist. 21. Als Welle bezeichnet man eine von einem Erreger wegwandernde Störung. Erreichen benachbarte Teilchen (Massenpunkte, Oszillatoren) nacheinander dieselbe Auslenkung, so entsteht der Eindruck einer sich ausbreitenden Welle, obwohl die Teilchen selbst nicht wandern. Bei Längswellen (Longitudinalwellen) sind Bewegungsrichtung der Oszillatoren und Fortpflanzungsrichtung parallel. Bei Querwellen (Transversalwellen) steht die Bewegungsrichtung der Oszillatoren senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung. Interferenz bedeutet eine Überlagerung von Wellen. Bei konstruktiver Interferenz verstärken sich die Auslenkungen, während es bei destruktiver Interferenz bei gleicher Amplitude zu einer Auslöschung kommt. 22. Neben der Grundschwingung (Grundton) ertönen auf den Instrumenten gleichzeitig, wenn auch sehr sehr leise, die Töne einiger höherer Schwingungen (Obertöne). Diese sind je nach Instrument verschieden. Aufgrund dieser unterschiedlichen Klangfarben lassen sich die Instrumente auseinanderhalten. 23. Das von dem Elektronenstrahl erzeugte Beugungsmuster weist darauf hin, dass sich die Elektronen wie Wellen verhalten. Diese überlagern sich konstruktiv (helle Stellen im Beugungsbild) und destruktiv (dunkle Stellen). 24. Die Energie eines schwingenden Oszillators ist von seiner Masse (m), der Anzahl Schwingungen pro Zeiteinheit (Frequenz, f) sowie der maimalen Auslenkung (Amplitude s ma ) abhängig. Frequenz und Auslenkung gehen im Quadrat in die echnung ein. 25. Führt man Metalldämpfen oder Gasen, wie z.b. Wasserstoff oder Helium, Energie zu, so gehen die Elektronen in einen höheren Energiezustand über, der jedoch nicht stabil ist. Die Elektronen fallen deshalb in ein energieärmeres Niveau zurück und geben dabei die aufgenommene Energie in Form von Photonen (Licht) ab. Sichtbares Licht: Wellenlänge zwischen 400 und 800 nm Ultraviolettes Licht: Wellenlänge kleiner als von sichtbarem Licht und damit eine höhere Frequenz und Energie. 21

22 26. Je grösser die Masse eines Teilchens, desto kleiner ist die Wellenlänge λ. Der Wellencharakter von Teilchen spielt deshalb nur in atomaren Bereichen eine nennenswerte olle. 27. Zerlegt man das Licht von leuchtendem Wasserstoffgas, so stellt man fest, dass das Licht nur ganz bestimmte farbige Linien enthält (Linienspektrum). Die angeregten Elektronen der Wasserstoff-Atome geben bei ihrem Übergang in einen energieärmeren Zustand nur ganz bestimmte Energien (Farben) in Form von Photonen (Licht) ab. Dies bedeutet, dass die Elektronen im Wasserstoff-Atom nur ganz bestimmte Energiezustände einnehmen können. Als Erklärung betrachtet man das System Proton/Elektron als ein schwingungsfähiges System, das nur bestimmte Energiezustände (stehende Wellen des Elektrons) einnehmen kann. 28. Da ein Beugungsmuster durch konstruktive und destruktive Interferenz von Wellen zustande kommt, muss man das Laserlicht und die Elektronen bei diesen Eperimenten mit einem Wellenmodell beschreiben. 29. Mit der Wellengleichung, die ein Elektron in einem Elektronensystem beschreibt, lässt sich die Grösse der Amplitude an irgendeinem Ort berechnen. Aus der Wellen- und Schrödinger-Gleichung erhält man die Gesamtenergie sowie die potentielle und die kinetische Energie des Systems. Das Quadrat der Wellengleichung liefert die Elektronendichte, die radiale Elektronendichte, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons. 30. Der UV-Anteil des Lichts löst Elektronen aus dem Metall. Ist ihre kinetische Energie genügend gross, so können sie die negative Punktladung kompensieren und als Strom im Messgerät wahrgenommen werden. Wird die negative Ladung, und damit die Spannung, erhöht, so gelingt es nur den energiereichsten Elektronen, die abstossende 22

23 Kraft der Kathode zu überwinden. Auf diese Weise lässt sich die maimale Spannung U 0 ermitteln, bei der keine Fotoelektronen die Kathode erreichen. Mithilfe dieser Spannung kann man die maimale kinetische Energie T ma der Fotoelektronen bestimmen, da das Produkt aus Spannung und Elektronenladung gleich der kinetischen Energie der Elektronen ist. 31. Ein Beugungsmuster lässt sich mit konstruktiver und destruktiver Interferenz von Wellen erklären. Das zugrunde liegende Phänomen (Licht, Elektronen) muss deshalb mit einem Wellenmodell beschrieben werden. 32. Wellenmodell: Bei gleichbleibender Frequenz (Wellenlänge) wird die Amplitude der Lichtwelle verringert. Teilchenmodell: Die Anzahl der Photonen wird vermindert. 33. Würde man das Licht bei diesem Eperiment mit einem Wellenmodell beschreiben, so müssten nach einer mehr oder weniger langen Zeit Fotoelektronen freigesetzt werden, da die Lichtwellen, die auf das Metall treffen, die Elektronen in immer stärkere Schwingungen versetzen würden. Anscheinend ist aber eine minimale Frequenz des Lichts nötig, die der Mindestenergie der Photonen entspricht (E = h f). Zunahme der Intensität des Lichts (der Amplitude) sollte noch stärkere Schwingungen der Elektronen erzeugen. Sie müssten dann mit einer noch grösseren Wahrscheinlichkeit (nach kürzerer Zeit) das Metall verlassen können. Dies lässt sich jedoch nicht beobachten. 34. Als Wellenlänge wird der kürzeste Abstand zwischen zwei phasengleich schwingenden Oszillatoren bezeichnet (zwei Oszillatoren mit dem gleichen Schwingungszustand: gleiche Elongation s und gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Störung). Amplitude: maimale Auslenkung eines Massenpunkts (s ma ) Elongation: momentane Auslenkung eines Massenpunkts (s) 35. Die Frequenz wird viermal kleiner, die Amplitude neunmal grösser. Die Energie steigt damit um 1 2 (E Oszillator = o Loch o Senkrechter Spalt Waagrechter Spalt 1 2 m f s 2 2 ma ) 23

24 37. trifft zu trifft nicht zu Elektronen gehen in ein höheres Energieniveau über und nehmen die dazu notwendige Energie aus dem sichtbaren Licht auf. Elektronen fallen von einem höheren Schwingungszustand in einen tieferen und geben die dabei frei werdende Energie in Form von Licht ab. Elektronen gehen in einen höheren Schwingungszustand über und senden dabei Energie in Form von Licht aus. weiss nicht 38. trifft zu trifft nicht zu Die Elektronen könnten laut Teilchenmodell jede beliebige Energie annehmen. Die Elektronen würden laut Teilchenmodell Photonen von jeder beliebigen Energie aussenden, es gäbe ein kontinuierliches Spektrum. Die Elektronen könnten sich laut Teilchenmodell nur in der K-Schale aufhalten. 39. trifft zu trifft nicht zu Fotoelektrischer Effekt Elektronenbeugung Kathodenstrahlrohr Kerze durch eine enge Spalte beobachten Laserlicht durch ein enges Loch fallen lassen 40. trifft zu trifft nicht zu Fotoelektrischer Effekt Elektronenbeugung Kathodenstrahlrohr Kerze durch eine enge Spalte beobachten Laserlicht durch ein enges Loch fallen lassen weiss nicht weiss nicht weiss nicht 24

25 2.2 Quantenchemie und organische farbige Stoffe 1. Das Elektron kann im eindimensionalen Kasten nur ganz bestimmte Energiezustände (stehende Wellen; Schwingungszustand) besitzen. Im 2. Schwingungszustand bildet die stehende Welle einen Knoten zwischen den Seitenwänden des Kastens. Das Quadrat dieser stehenden Welle sagt demnach aus, dass das Elektron mit grösster Wahrscheinlichkeit in der Mitte der beiden Kastenhälften zu finden ist. In der Mitte des Kastens hingegen ist das Elektron nie anzutreffen (ψ 2 : Aufenthaltswahrscheinlichkeit). 2. trifft zu trifft nicht zu Die Energie ist im dritten Schwingungszustand dreimal so hoch wie im ersten. Die Energie ist im zweiten Schwingungszustand viermal kleiner als im ersten. Die Energie ist im zweiten Schwingungszustand viermal grösser als im ersten. Das Elektron besitzt keine potentielle Energie. weiss nicht 3. Das Elektron im eindimensionalen Kasten kann nur ganz bestimmte Energiezustände (stehende Wellen; Schwingungszustände) einnehmen. Die Wellenlänge muss dabei 2L den Wert λ = annehmen (n: Nummer des Schwingungszustands). n 4. Ein Elektron als klassisches Teilchen könnte jede beliebige Energie aufnehmen. Damit würde jeder Stoff das gesamte sichtbare Licht absorbieren. Der Stoff wäre schwarz. 3 (N + 1) 5.a ΔE ber = 1,88 10 [kj mol -1 ]; 2 (z + 1) 2 (z + 1) λ ber = 63,71 [nm] N + 1 Phenylpolyenale: N = 12; z = 12; 3 1 E = 1,88 10 = 144,62 kj mol -1 N + 1 Δ ber N = 12; z = 12; λ = 63,71 (N + 1) = 828,23 nm ber 3 (N + 1) Cyanine: N = 12; z = 11; ΔE ber = 1,88 10 = 169,72 kj mol -1 2 (z + 1) 25

26 Polyene: N = 12; z = 12; 2 (z + 1) N = 12; z = 11; = λ ber = 63,71 = 705,71 nm N E = 1,88 10 = 144,62 kj mol -1 N + 1 Δ ber N = 12; z = 12; λ = 63,71 N + 1 = 828,23 nm ber Skelettformel Farbstoffgruppe ΔE ber in kj mol -1 λ ber in nm A O Phenylpolyenale 144,62 828,23 B N N + Cyanine 169,72 705,71 C Polyene 144,62 828,23 5.b Bei den Cyaninen ist der Unterschied zwischen ΔE ber und ΔE ep nicht sehr gross, da die π-elektronen praktisch vollständig über das gesamte Molekülion delokalisiert sind. Entsprechendes gilt für die λ ber - und λ ep -Werte. Die π-elektronen sind in den Molekülen der Phenylpolyenale und der Polyene praktisch nicht delokalisiert. Deshalb müssen die eperimentellen Werte stark von den berechneten abweichen. Für ΔE ber sind die berechneten Werte viel zu niedrig bzw. für λ ber viel zu hoch. 6. Die 28 Elektronen nehmen die 14 energieärmsten Zustände ein. Für den Übergang eines Elektrons vom 14. (dem höchsten besetzten Zustand; HOMO) in den 15. Energiezustand (den niedrigsten unbesetzten Zustand; LUMO) genügt die Energie einer bestimmten Wellenlänge (einer bestimmter Farbe) des sichtbaren Lichts. Diese wird absorbiert, die Mischung der reflektierten Wellenlängen entspricht der Farbe des Gegenstands. 7. Die kleinsten Teilchen eines farbigen Stoffs besitzen ein System mehr oder weniger gut delokalisierter Elektronen (ein System konjugierter Doppelbindungen). Absorbiert ein π-elektron einen bestimmten Teil des sichtbaren Lichts, so ist der Stoff farbig. Die nicht absorbierten Lichtanteile werden vom Sehorgan des Menschen als Farbe des Gegenstands wahrgenommen. 26

27 8. Erster Fall: Der blaue Stoff (seine kleinsten Teilchen) absorbiert alle Farben des sichtbaren Lichts, mit Ausnahme der blauen Farbe. Zweiter Fall: Der blaue Stoff (seine kleinsten Teilchen) absorbiert die Komplementärfarbe von Blau (Orange). Die Mischung der nicht absorbierten Lichtanteile wird vom Sehorgan des Menschen als Farbe Blau des Gegenstands wahrgenommen. 9. trifft zu Laut Teilchenmodell könnte sich das Elektron an jeder Stelle des Kastens aufhalten. Laut Teilchenmodell könnte das Elektron jede beliebige Energie einnehmen. Laut Teilchenmodell könnte die Kastenlänge beliebig lang gewählt werden. Laut Teilchenmodell könnte das Elektron jede beliebige Energie absorbieren. trifft nicht zu weiss nicht 10. Jeder Schwingungszustand kann mit zwei Elektronen besetzt werden. Folglich lassen sich dem Farbstoffmolekül 12 π-elektronen zuordnen. 11. trifft zu Die Farbe resultiert aus einem Elektronenübergang von einem energiereichen in einen energiearmen Schwingungszustand. Die Farbe resultiert aus einem Elektronenübergang von einem energiearmen in einen energiereichen Schwingungszustand. Eines von den delokalisierten Elektronen nimmt Energie aus dem sichtbaren Licht auf. Es findet ein Elektronenübergang vom höchsten besetzten ins tiefste unbesetzte Energieniveau statt. trifft nicht zu weiss nicht 12. Trienal absorbiert bei (o 440 nm / 353 nm) maimal, Heptaenal bei ( 440 nm / o 353 nm). Das Carboonium-Salz von Pentaenal absorbiert bei ( 630 nm / o 728 nm) maimal, das Carboonium-Salz von Heptaenal bei (o 630 nm / 728 nm). Das Immonium-Salz von Pentaenal absorbiert bei ( 587 nm / o 440 nm) maimal, Heptaenal bei (o 587 nm / 440 nm). 27

28 13. Cyanin Polyen Phenyl- Carboonium-Salz polyenal eines Phenylpoly- enals A N CH CH CH CH CH + N O B H C 3 (N + 1) 14.a ΔE ber = 1,88 10 [kj mol -1 ] 2 (z + 1) A) Polyen: N = 12; z = 12; B) Phenylpolyenal: N = 12; z = 12; C) Carboonium-Ion: N = 12; z = 12; D) Immonium-Ion: N = 12; z = 12; 3 1 E = 1,88 10 = 144,62 kj mol -1 N + 1 Δ ber 3 1 E = 1,88 10 = 144,6 kj mol -1 N + 1 Δ ber 3 1 E = 1,88 10 = 144,6 kj mol -1 N + 1 Δ ber 3 1 E = 1,88 10 = 144,6 kj mol -1 N + 1 Δ ber 14.b V korr = ΔE ep - ΔE ber A): V korr = 179,5 kj mol -1 ; B): V korr = 150,2 kj mol -1 ; C): V korr = 45,9 kj mol -1 ; D): V korr = 49,8 kj mol c Je kleiner V korr, desto besser sind die π-elektronen delokalisiert. 14.d Die Werte V korr gelten als Mass für die Delokalisierung von π-elektronen. 28