Mathematik für Ingenieure II

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1 Mathematik für Ingenieure II Sommersemester 214 W. Ebeling

2 2 c Wolfgang Ebeling Institut für Algebraische Geometrie Leibniz Universität Hannover Postfach Hannover ebeling@math.uni-hannover.de

3 Kapitel 7 Kurven im R n 7.1 Ebene Kurven Wir wollen nun Kurven in der Ebene betrachten. Definition Eine ebene Kurve ist die Lösungsmenge einer Gleichung: C = {(x, y) R 2 F (x, y) = }. Eine andere Möglichkeit, Kurven zu beschreiben, ist eine Parameterdarstellung. Wir betrachten eine vektorwertige Funktion ( ) x(t) r(t) =, (a t b). y(t) Lässt man t variieren, so durchläuft der Punkt r(t) eine Kurve. Die Funktion r(t) heißt Parameterdarstellung dieser Kurve, t der Parameter und [a, b] das Parameterintervall. Kinematische Deutung Man fasst t [a, b] als Zeit und r(t) R 2 als Ort auf. Die Parameterdarstellung beschreibt dann die ewegung eines Massenpunktes auf der Kurve. Zu einer Kurve gibt es unendlich viele verschiedene Parameterdarstellungen, denn es können auf ihr ganz verschiedene ewegungen stattfinden. eispiel (1) Die Gerade durch die Punkte P = (x, y ) und P 1 = (x 1, y 1 ) (P P 1 ) hat die Gleichung y y y 1 y = x x x 1 x (y 1 y )(x x ) (x 1 x )(y y ) =. 3

4 4 Kapitel 7. Kurven im R n Sie besitzt die Parameterdarstellung ( x + t(x r(t) = 1 x ) y + t(y 1 y ) ), (t R). (2) Der Kreis um P = (x, y ) vom Radius R hat die Gleichung (x x ) 2 + (y y ) 2 = R 2 und die Parameterdarstellung ( x + R cos t r(t) = y + R sin t ), ( t 2π). (3) Kegelschnitte (in Hauptachsenlage): x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 b a Ellipse x 2 a 2 y2 b 2 = 1 b a Hyperbel Hier ist a, b >. x 2 y = Parabel Die Ellipse hat die Parameterdarstellung ( ) a cos t r(t) =, ( t 2π). b sin t

5 7.1 Ebene Kurven 5 Abbildung 7.1: Die Ellipse als Kegelschnitt Abbildung 7.2: Die Hyperbel als Kegelschnitt (4) Ein Graph y = f(x) (a x b) besitzt die Parameterdarstellung r(t) = ( t f(t) ), (a t b). Von einer Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t), kann man im Allgemeinen nur stückweise zu einer expliziten Darstellung y = f(x) oder x = g(y) übergehen: Zum eispiel beim Kreis gilt für t π, π t 2π: y = y + R 2 (x x ) 2 ( t π), y = y R 2 (x x ) 2 (π t 2π). (5) Zykloiden: Lässt man einen Kreis K vom Radius R auf der x-achse abrollen, so beschreibt ein Punkt P auf K, der vom Kreismittelpunkt M den

6 6 Kapitel 7. Kurven im R n Abbildung 7.3: Die Parabel als Kegelschnitt Abstand a hat, eine Zykloide (oder Radkurve). ild für a = R: P t M R Rt 2πR Sie besitzt eine Parameterdarstellung ( Rt a sin t r(t) = R a cos t ), ( t ). Denn nach dem Abrollen um den Winkel t liegt M in (x M, y M ) = (Rt, R) und P in (x(t), y(t)) mit x(t) = x M a sin t = Rt a sin t, y(t) = y M a cos t = R a cos t. Eine Epizykloide entsteht, wenn der Kreis nicht auf der x-achse, sondern auf dem Kreis x 2 + y 2 = ρ 2 abrollt. Sie hat die Parameterdarstellung ( ( (ρ + R) cos t a cos ρ+r r(t) = t) ) R (ρ + R) sin t a sin ( ρ+r t) R

7 7.1 Ebene Kurven 7 a = R = ρ 2 Spezialfall: ρ = R = a: Herzlinie (Kardiode) a = R = ρ Eine Hypozykloide entsteht beim Abrollen in Innern des Kreises. Sie hat die Parameterdarstellung ( ( (ρ R) cos t + a cos ρ R r(t) = t) ) R (ρ R) sin t a sin ( ρ R t) R

8 8 Kapitel 7. Kurven im R n a = R = ρ 3 Spezialfall: a = R = ρ 4 : Astroide a = R = ρ 4 Es sei r(t) = ( x(t) y(t) die Parameterdarstellung einer Kurve K. Wir setzen nun voraus, dass x(t), y(t) differenzierbare Funktionen sind. Definition Der Vektor r(t) := lim h r(t + h) r(t) h ) = ( ẋ(t) ẏ(t) heißt der Tangentialvektor an K zum Parameterwert t. )

9 7.1 Ebene Kurven 9 Geometrische Deutung r(t) lässt sich als Limes von Sekantenvektoren auffassen. Kinematische Deutung eschreibt r(t) die ewegung eines Massenpunktes, dann ist r(t) der momentane Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt t. Ist der Vektor r(t) = ( ẋ(t) ẏ(t) vom Nullvektor verschieden, so gibt der Vektor ( ) ẏ(t) n(t) := ẋ(t) die positive Normalenrichtung in diesem Punkt an. ( ) x(t) Definition Die Parameterdarstellung r(t) =, (a t b) einer y(t) Kurve heißt regulär, wenn die Funktionen x(t), y(t) über [a, b] stetig differenzierbar sind und ẋ(t) 2 + ẏ(t) 2 für t [a, b] gilt (ẋ(a), ẋ(b) einseitige Ableitungen). Satz (ogenlänge) (a) Die ( Länge ) eines Kurvenbogens mit regulärer x(t) Parameterdarstellung r(t) =, a t b, beträgt y(t) L = b a r(t) dt = b a ) ẋ(t)2 + ẏ(t) 2 dt (b) Die ogenlänge des Graphen y = f(x) einer stetig differenzierbaren Funktion f : [a, b] R beträgt L = b a 1 + f (x) 2 dx eispiel (1) Der Kreisumfang: Ein Kreis vom Radius R hat die Länge L = 2π 2π R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 tdt = Rdt = 2πR.

10 1 Kapitel 7. Kurven im R n (2) Die ogenlänge der Ellipse Sie hat die Parameterdarstellung ( a cos t r(t) = b sin t π 2 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 : ), ( t 2π). Für die Länge ergibt sich 2π L = a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 tdt 2π ( ) = a 1 1 b2 cos a 2 tdt 2 = 4a 1 k2 cos 2 tdt mit k := a2 b 2 Die Zahl k nennt man auch die numerische Exzentrizität der Ellipse. Durch die Substitution τ = π t (beachte 2 sin2 τ = cos 2 τ) erhält man die ogenlänge der Ellipse in der Form (τ wieder durch t ersetzt) L = 4aE(k) mit E(k) := π 2 a 1 k 2 sin 2 tdt. E(k) ist ein elliptisches Integral zweiter Gattung und nicht elementar integrierbar. (3) Der Zykloidenbogen x = R(t sin t), y = R(1 cos t) ( t 2π) (a = R) hat die Länge Es sei L = R 2π (1 cos t) 2 + sin 2 tdt = 2R r(t) = ( x(t) y(t) ) 2π sin t dt = 8R. 2 eine reguläre Parameterdarstellung, a t b, mit zweimal differenzierbaren Funktionen x(t), y(t). Es sei ( ) ϕ(t) := Winkel zwischen x-achse und Tangentialvektor r(t) ẋ(t) = ẏ(t) s(t) := t a ẋ(τ)2 + ẏ(τ) 2 dτ (Länge des Kurvenbogens über dem Intervall [a, t])

11 7.1 Ebene Kurven 11 Die Änderung ϕ der Tangentenrichtung bezogen auf die Änderung s der ogenlänge über dem Intervall [t, t + t], also ϕ, ist ein Maß für die durchschnittliche Krümmung des Kurvenbogens über diesem s Teilintervall. Definition Die Zahl ϕ κ(t) := lim t s = ϕ(t) ṡ(t) heißt die Krümmung der Kurve im Punkt P (t) = (x(t), y(t)). Satz (a) Die Krümmung einer Kurve mit zweimal ( stetig ) differenzierbarer regulärer Parameterdarstellung r(t) =, a t b, x(t) y(t) in P (t) = (x(t), y(t)) beträgt κ(t) = ẋ(t)ÿ(t) ẏ(t)ẍ(t) (ẋ(t)2 + ẏ(t) 2 ) 3 (b) Die Krümmung des Graphen y = f(x) einer zweimal differenzierbaren Funktion f : [a, b] R im Punkt (x, f(x)) beträgt κ(x) = f (x) (1 + f (x) 2 ) 3

12 12 Kapitel 7. Kurven im R n Wegen ṡ = ẋ 2 + ẏ 2 > haben κ und ϕ dasselbe Vorzeichen. Aus I, Satz 4.4.6, folgt κ > ϕ wächst Linkskrümmung κ < ϕ fällt Rechtskrümmung eispiel Krümmung der Ellipse: ( ) ( ) ( ) ( x a cos t ẋ a sin t =, = y b sin t ẏ b cos t ), ( ẍ ÿ ) = ( a cos t b sin t ), κ = ẋÿ ẏẍ (ẋ2 + ẏ 2 ) = ab(sin 2 t + cos 2 t) 3 (a2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) = 3 Spezialfall: a = b = R: κ = 1 R. eispiel Krümmung der Parabel y = x 2 : κ = y (1 + y 2 ) = 2 3 (1 + 4x2 ). 3 ab (a2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3. Definition Es sei P = (x(t), y(t)) ein Kurvenpunkt. Der zu P gehörige Krümmungskreis ist der durch P gehende Kreis mit derselben Krümmung und Tangentenrichtung in P wie die Kurve. Der Radius r des Krümmungskreises in P heißt der Krümmungsradius der Kurve in P. Falls κ ist, gilt nach eispiel r = 1 κ Der Mittelpunkt (x M, y M ) des Krümmungskreises liegt auf der Normalen im Abstand 1 κ von P und hat die Koordinaten x M = x(t) 1 ẏ(t) ẋ(t)2 κ + ẏ(t) = x ẏ ẋ2 + ẏ 2 2 ẋÿ ẏẍ y M = y(t) + 1 ẋ(t) ẋ(t)2 κ + ẏ(t) = y + ẋ ẋ2 + ẏ 2 2 ẋÿ ẏẍ Durchläuft t das Parameterintervall, dann durchläuft (x M, y M ) eine Kurve, die Evolute der gegebenen Kurve genannt wird.

13 7.1 Ebene Kurven 13 eispiel Evolute der Parabel x = t, y = t 2 : x M = t 2t 1 + 4t2 2 y M = t t2 2 Diese Kurve heißt Neilsche Parabel. = 4t 3 = 3t Statt in kartesischen Koordinaten kann man eine Kurve auch in Polarkoordinaten darstellen und den Winkel als Parameter nehmen. Die Umrechnungsformeln kartesische Koordinaten Polarkoordinaten lauten (a) x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (b) r = arccos x, falls y, x 2 + y 2 r, ϕ = 2π arccos x, falls y < r unbestimmt, falls r =. Lassen wir einen Zeiger, der sich um den Nullpunkt dreht und seine Länge verändern kann, auf einer Kurve laufen, so hat er beim Winkel ϕ die Länge r(ϕ). Die Polarkoordinaten des entsprechenden Kurvenpunktes sind (r(ϕ), ϕ), (α ϕ β). Definition Die Darstellung r = r(ϕ), α ϕ β, heißt Polardarstellung der Kurve. Die x-achse heißt Polarachse.

14 14 Kapitel 7. Kurven im R n Die Parameterdarstellung der Kurve r = r(ϕ), α ϕ β, mit dem Winkel ϕ als Parameter lautet: ( ) r(ϕ) cos ϕ ϕ (α ϕ β) r(ϕ) sin ϕ Mit dieser Parameterdarstellung kann man Tangentialvektoren, ogenlänge, Krümmung usw. berechnen. Insbesondere folgt aus Satz 7.1.1(a) für die ogenlänge der Kurve r = r(ϕ), α ϕ β β ( ) 2 dr(ϕ) L = r(ϕ) 2 + dϕ dϕ α eispiel (1) Polardarstellung eines Kreises vom Radius c um : r = c. (2) Die Archimedische Spirale hat die Polardarstellung r = aϕ (a >, ϕ < ). Die ogenlänge nach einem Umlauf beträgt: L = = a 2π 2π (aϕ)2 + a 2 dϕ arsinh 2π ϕ2 + 1dϕ Substitution: ϕ = sinh t, dϕ = cosh t = a cosh 2 tdt arsinh = a ( 2π 1 + (2π) ln(2π + ) 1 + (2π) 2 ).

15 7.1 Ebene Kurven 15 (3) Die Herzlinie hat die Polardarstellung r = a(1 + cos ϕ) (a >, ϕ 2π). (Zugehörige Parameterdarstellung: ( a ϕ + ) a (2 cos ϕ + cos 2ϕ) 2 2 (2 sin ϕ + sin 2ϕ) ogenlänge: a 2 ) ( ϕ 2π) 2π L = a (1 + cos ϕ) 2 + sin 2 ϕdϕ = 8a. Wir wollen nun Sektorflächen über Kurvenstücken betrachten. Es sei ( ) x(t) t, a t b, y(t) eine stückweise stetig differenzierbare Parameterdarstellung eines ebenen Kurvenstücks K, das von jedem Ursprungsstrahl höchstens einmal getroffen wird. Dann besitzt K eine Polardarstellung r = r(ϕ), α ϕ β, so dass jedem Winkel ϕ höchstens ein Parameterwert t entspricht. Wir betrachten dann die von K begrenzte Sektorfläche. Satz (Leibnizsche Sektorformel) Der Inhalt der durch K begrenzten Sektorfläche beträgt F = 1 2 b a [x(t)ẏ(t) y(t)ẋ(t)]dt Satz (Sektorformel in Polarkoordinaten) Der Inhalt der durch K begrenzten Sektorfläche beträgt in Polarkoordinaten F = 1 2 β α r(ϕ) 2 dϕ eispiel (1) Der Flächeninhalt des Ellipsensektors ( ) a cos t ( t t π ) b sin t 2 beträgt nach der Leibnizschen Sektorformel: F 1 = 1 2 π 2 [ab cos 2 t + ab sin 2 t]dt = ab π 4.

16 16 Kapitel 7. Kurven im R n Also ist der Flächeninhalt der Ellipse gleich F = abπ. (2) Für ϕ 2π begrenzt die Archimedische Spirale r = aϕ eine Sektorfläche mit dem Inhalt F = Kurven im R n 2π a 2 ϕ 2 dϕ = 4 3 a2 π 3. Für ebene Kurven haben wir verschiedene Darstellungsarten kennengelernt: abschnittsweise explizite Darstellung als Graph y = f(x) einer Funktion implizite Darstellung F (x, y) = ( ) x(t) Parameterdarstellung t y(t) Polardarstellung r = r(ϕ) Für die allgemeine ehandlung von Kurven, insbesondere auch von Raumkurven, eignet sich am besten die Parameterdarstellung. Wir betrachten nun eine auf einem Intervall I R erklärte vektorwertige Funktion x : I R n t x(t) = x 1 (t) x 2 (t). x n (t) Die Funktionen x i : I R, t x i (t), heißen die Komponentenfunktionen von x(t). Die grundlegenden egriffe der Analysis lassen sich nun auf solche Funktionen verallgemeinern, indem man sie komponentenweise erklärt: Definition lim t t x 1 (t) x 2 (t). x n (t) = c 1 c 2. c n : lim t t x i (t) = c i (1 i n)

17 7.2 Kurven im R n 17 Definition Eine Funktion x : I R n heißt { } { } stetig in t I differenzierbar auf I { } { stetig in t I : alle Komponentenfunktionen sind differenzierbar auf I ẋ 1 (t) ẋ 2 (t) x(t) = d 1 x(t) := lim [ x(t + h) x(t)] = dt h h. ẋ n (t) }. Wie im ebenen Fall heißt x(t) der Tangentialvektor von x an der Stelle t I. Die geometrische und kinematische Interpretation ist die gleiche wie im Fall von ebenen Kurven. Man hat folgende Ableitungsregeln ( x, y : I R n, α, β R) (a) (b) d dt (α x(t) + β y(t)) = α x(t) + β y(t) (Linearität). d dt [ x(t) y(t)] = x(t) y(t) + x(t) y(t) (Produktregel für das Skalarprodukt) d (c) n = 3: dt [ x(t) y(t)] = x(t) y(t) + x(t) y(t) (Produktregel für das Vektorprodukt) (d) d dt [α(t) y(t)] = α(t) y(t) + α(t) y(t) (Produktregel für die Multiplikation mit einer skalaren Funktion). Übungsaufgabe Man zeige eweis. x(t) = const. für t I x(t) x(t) für t I. x(t) = const. x(t) x(t) = x(t) 2 = const. d dt x(t) x(t) = 2 x(t) x(t) = x(t) x(t)

18 18 Kapitel 7. Kurven im R n Definition Ein Kurvenstück im R n ist eine stetig differenzierbare Funktion x : [a, b] R n oder auch das ild { x(t) a t b} einer solchen Funktion. Der Punkt x(a) heißt Anfangspunkt, x(b) Endpunkt des Kurvenstücks. Ein Kurvenstück x heißt regulär, wenn x(t) für alle t [a, b] gilt. Ein Punkt x(t) mit x(t) = heißt singulärer Punkt des Kurvenstücks. Es sei nun x : [a, b] R 3 ein reguläres Kurvenstück im R 3, t [a, b]. Für die ogenlänge des Kurvenstücks über [a, b] gilt: s(t) = b a x(t) dt. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt ds dt = ṡ(t) = x(t). Definition Es sei nun x hinreichend oft differenzierbar. Wir definieren nun T (t) := 1 x(t) x(t) Tangenten(einheits)vektor Für T (t) setzen wir N(t) := 1 T (t) T (t) Hauptnormalen(einheits)vektor (t) := T (t) N(t) inormalen(einheits)vektor Nach der obigen Übungsaufgabe stehen die Vektoren N(t) und T (t) zu jeder Parameterstelle t senkrecht aufeinander. Deswegen bildet ( T (t), N(t), (t)) eine Orthonormalbasis des R 3. Man nennt dieses Tripel von Vektoren das begleitende Dreibein der Kurve an der Parameterstelle t. Die von T (t) und N(t) aufgespannte Ebene durch x(t), r = x(t) + λ T (t) + µ N(t), λ, µ R,

19 7.2 Kurven im R n 19 heißt die Schmiegebene der Kurve zum Parameterwert t. Sie ist der Grenzwert der Ebenen durch x(t) und zwei weitere Kurvenpunkte. Die Krümmung einer ebenen Kurve hatten wir eingeführt als die Änderung der Tangentenrichtung bezogen auf die Änderung s der ogenlänge. Die Änderung der Tangentenrichtung wurde in diesem Fall durch die Änderung des Winkels der Tangente ϕ gegeben. Im allgemeinen Fall müssen wir die Änderung des Tangentenvektors T = T (t + t) T (t) auf dem Intervall [t, t + t] betrachten. Wir definieren Definition lim t 1 s T = 1 ṡ(t) κ(t) := 1 ṡ(t) T (t) T (t) = T (t) x(t) Krümmungsvektor Krümmung Für die Darstellung von x und x im begleitenden Dreibein ( T, N, ) erhält man x(t) = x(t) T (t) = ṡ(t) T (t) x(t) = d dt (ṡ(t) T (t)) = s(t) T (t) + ṡ(t) T (t) = s(t) T (t) + ṡ(t) T (t) N(t) = s(t) T (t) + ṡ(t) 2 κ(t) N(t),

20 2 Kapitel 7. Kurven im R n also x(t) = ṡ(t) T (t) x(t) = s(t) T (t) + ṡ(t) 2 κ(t) N(t) Kinematische Deutung x : [a, b] R 3 beschreibt die ewegung eines Massenpunktes x(t) = ṡ(t) T (t) Geschwindigkeitsvektor, tangential zur ahn x(t) = ṡ(t) Momentangeschwindigkeit Die Vektoren x(t) und x(t) haben bezüglich der asis ( T, N) der Schmiegebene die Koordinaten ) ( ), x(t) =. x(t) = ( ṡ(t) s(t) ṡ(t) 2 κ(t) Satz ergibt für die Krümmung in der Schmiegebene κ s (t) = ṡ(t) ṡ(t)2 κ(t) s(t) (ṡ(t)2 ) 3 = κ(t). Es folgt 1 κ(t) Weiter berechnen wir Also folgt = Radius eines Krümmungskreises in der Schmiegebene x(t) x(t) = ( ṡ(t) T ) ( (t) s(t) T (t) + ṡ(t) 2 κ(t) N(t) ) = ṡ(t) s(t) T (t) T (t) + ṡ(t) 3 κ(t) T (t) N(t) = ṡ(t) 3 κ(t) (t) x(t) x(t) = ṡ(t) 3 κ(t) (da (t) = 1 x(t) x(t) κ(t) = (t) x(t) x(t) x(t) 3 x(t) x(t) (falls = 1) x(t) x(t) )

21 7.2 Kurven im R n 21 Für eine ebene Kurve x(t) = x(t) y(t) ergibt die Formel für κ ẋ ẍ ẏ ÿ κ = = (ẋ2 + ẏ 2 ) 3 ẋÿ ẏẍ (ẋ2 + ẏ 2 ) 3 Dies ist bis auf das Vorzeichen die Formel von Satz 7.1.2(a). (Nur falls ẋÿ ẏẍ > haben n und N die gleiche Richtung!) Aufgrund der Formel für (t) bestimmt man das begleitende Dreibein ( T, N, ) in der Reihenfolge T = 1 x x, = 1 x x N = T. x x, ei Raumkurven kommt zusätzlich zu der Krümmung eine weitere Größe ins Spiel, die Torsion. Sie beschreibt das Herauswinden der Kurve aus der Schmiegebene. Dies wird durch die Änderungsrate des inormalenvektors, bezogen auf die ogenlänge, gemessen: Definition Der Vektor lim t heißt der Torsionsvektor. 1 s [ (t + t) (t)] = 1 ṡ(t) Nach der Übungsaufgabe ist wegen (t) = 1 der Vektor orthogonal zu. Aus = d dt ( T N) = T N + T N = T N (t) folgt auch T, also N. Deshalb gibt es ein τ(t) mit 1 ṡ(t) (t) = τ(t) N(t).

22 22 Kapitel 7. Kurven im R n Definition t. Es gilt Die Zahl τ(t) heißt die Torsion der Kurve zum Parameterwert τ = 1 ṡ N = 1 ṡ N ( N = N + N = ) = 1 ( ṡ 1... x aus d ṡ 2 κ dt x = d ) dt ( s T + ṡ 2 κn) = 1 ( ) 1 ṡ x x x x 1... x ṡ 2 κ [...] x, x, x = x x 2 Also erhalten wir τ(t) = [... ] x(t), x(t), x (t) x(t) x(t) 2 Wir fassen die Resultate in einem Satz zusammen Satz Eine dreimal stetig differenzierbare Kurve x : [a, b] R 3 besitzt für jeden Parameterwert t mit x x(t) Tangentenvektor T 1 (t) = x(t) x(t) inormalenvektor (t) 1 = x(t) x(t) x(t) x(t) Hauptnormalenvektor N(t) = (t) T (t) x(t) x(t) Krümmung κ(t) = x 3 [... ] x(t), x(t), x (t) Torsion τ(t) = x(t) x(t) 2

23 7.2 Kurven im R n 23 eispiel (Schraubenlinie) Die neutrale Faser einer Schraubenfeder ist eine Schraubenlinie und besitzt die Parameterdarstellung x(t) = r cos t r sin t ht ( t 2πn) (r Radius, 2πh Ganghöhe, n Windungszahl). z 2πh r x y Es gilt x(t) = r sin t r cos t h, x(t) = r cos t r sin t,... x = r sin t r cos t. Wir setzen zur Abkürzung R := x(t) = r 2 + h 2

24 24 Kapitel 7. Kurven im R n Damit errechnet man T (t) = 1 R x(t) x(t) = (t) = 1 R N(t) = 1 R 2 κ(t) = τ(t) = r sin t r cos t h r sin t r cos t h r r 2 + h 2 h sin t h cos t r h sin t h cos t r 1 r 2 (r 2 + h 2 ) r cos t r sin t r sin t r cos t h = = rh sin t rh cos t r 2 r sin t r cos t r sin t r cos t r sin t r cos t h Man beachte, dass κ(t) und τ(t) konstant sind. cos t sin t = h r 2 + h 2

25 Kapitel 8 Funktionen mehrerer Veränderlicher 8.1 Differentiation Wir wollen nun Funktionen mehrerer Veränderlicher betrachten. Es sei D R n. Eine reellwertige Funktion ist eine Funktion f : D R x 1 x 2 x =. f( x) = f(x 1,..., x n ) =: z x n Eine reellwertige Funktion f : D R wird auch als Skalarenfeld bezeichnet (einem x D wird eine skalare physikalische Größe, z.. Höhe, Temperatur, zugeordnet). Die Funktion f kann gegeben sein durch eine explizite Vorschrift, z.. f(x, y) = 3 x 2. durch eine implizite Gleichung, z.. f(x, y) ist die positive Lösung von x 2 + y 2 + z 2 = 1 (D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1}) Der Graph von f : D R ist die Menge Γ f := {( x, z) D R z = f( x)} R n+1. Um eine Funktion f : D R zu beschreiben, betrachtet man auch 25

26 26 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher die Niveaumengen (Niveaukurven, Niveauflächen) von f zum Niveau c R: N c := { x D f( x) = c}. die partiellen Funktionen x i f(a 1,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n ) mit a = (a 1,..., a n ) T D (definiert auf einer zu der i-ten Koordinatenachse parallelen Geraden). Anschauliche Darstellung im Fall n = 2 Im Fall n = 2 schreiben wir auch f(x, y). Der Graph Γ f = {(x, y, z) R 3 z = f(x, y)} R 3 ist eine Fläche im R 3. Sie wird beschrieben durch (a) lockbild (b) Höhenkarte (a) lockbild eispiel: f(x, y) = 3 x 2 auf D = {(x, y) R 2 x 1, y 1} y x Zur Erstellung eines lockbildes muss man die Graphen der partiellen Funktionen z = f(a 1, y) bzw. z = f(x, a 2 ) bestimmen.

27 8.1 Differentiation 27 (b) Höhenkarte eispiel: f(x, y) = 1 x 2 y 2 y x Die Funktion kann auch durch ihre Niveaukurven N c = {(x, y) D f(x, y) = c} (Höhenlinien einer Landkarte) veranschaulicht werden. Wir wollen nun Grenzwerte solcher Funktionen betrachten. Dazu brauchen wir ein Maß für den Abstand zweier Punkte des R n. Der Abstand zweier Punkte x, y R n ist definiert durch x y = n (x i y i ) 2. i=1 Die Definitionsmengen von Funktionen einer Veränderlichen waren meistens Intervalle. Dabei machte es für viele etrachtungen einen Unterschied, ob wir uns im Innern des Intervalls oder in einem Randpunkt befanden. Zur eschreibung der Definitionsmengen im R n brauchen wir einige topologische egriffe. Definition heißt ε-umgebung von a. Es sei a R n, ε >. Die Menge U ε ( a) := { x R n x a < ε} eispiel n = 1: U ε (a) := (a ε, a + ε) n = 2: U ε ( a) ist eine Kreisscheibe vom Radius ε um a ohne Rand. n = 3: U ε ( a) ist eine Kugel um a vom Radius ε ohne Punkte auf der Oberfläche.

28 28 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher Definition Es sei D R n. (a) Ein Punkt a D heißt innerer Punkt von D, wenn es eine ε-umgebung von a gibt, die ganz in D enthalten ist. (b) D heißt offen, wenn jeder Punkt von D ein innerer Punkt ist. (c) Ein b R n heißt Randpunkt von D, wenn jede ε-umgebung U ε ( b) von b mindestens einen Punkt aus D und mindestens einen Punkt nicht aus D enthält. (d) Die Menge aller Randpunkte von D heißt Rand von D, in Zeichen D. (e) D heißt abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält. (f) D heißt beschränkt, wenn es eine Konstante K > gibt mit x < K für alle x D. (g) D heißt kompakt, wenn D beschränkt und abgeschlossen ist. eispiel Die Kreisscheibe (ohne Rand) ist eine offene Menge. Rand: Die Menge K r = {(x, y) R 2 (x x ) 2 + (y y ) 2 < r 2 } K r = {(x, y) R 2 (x x ) 2 + (y y ) 2 = r 2 }. K = K r K r = {(x, y) R 2 (x x ) 2 + (y y ) 2 r 2 } ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. Warnung Es gibt Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind, z.. halboffene Intervalle, R = {(x, y) R 2 x < 1, y 1}. Definition Zeichen wenn gilt: Eine Folge ( x k ) k N, x k R n, heißt konvergent gegen a R n, in lim x k = a oder x k a für k, k lim x k a =. k

29 8.1 Differentiation 29 eispiel Die Folge x k = ( 2π k cos 2π k 2π k sin 2π k ) liegt auf der Archimedischen Spirale und konvergiert gegen. Definition Es sei D R n, f : D R, a D D. (a) f hat in a den Grenzwert c R, in Zeichen lim f( x) = c x a oder f( x) c für x a, wenn für jede Folge ( x k ) k N aus D mit x k a und x k a für alle k die Folge (f( x k )) k N gegen c strebt. (b) f heißt stetig in a D : lim x a f( x) = f( a). (c) f heißt stetig auf D, wenn f in jedem a D stetig ist. Da die Definitionen völlig analog zu den Definitionen im Fall einer Variablen sind, übertragen sich die Rechenregeln für Grenzwerte und stetige Funktionen aus Kapitel 3. Insbesondere sind Summe, Produkt, Quotient stetiger Funktionen stetig. eispiel Die Projektionen p i : R n R x = x 1. x i. x n sind stetig und damit auch jedes Polynom in n Variablen p( x) = α k1 k 2...k n x k 1 1 x k 2 2 x kn n k i m. k n m (z.. p(x, y) = α 1 x + α 1 y + α 2 x 2 + α 11 xy + α 2 y 2 ). x i

30 3 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher Warnung Die Stetigkeit von f(x, y) ergibt sich nicht aus der Stetigkeit der partiellen Funktionen x f(x, y ), y f(x, y). Gegenbeispiel: f : R 2 R ( ) x f(x, y) := y 2xy, x 2 + y2 (x, y) (, ), (x, y) = (, ) Es gilt f(x, ) = f(, y) =, f(x, x) = 1, f(x, x) = 1. ei Annäherung von auf der x- oder y-achse ergibt sich als Grenzwert, bei Annäherung auf den Geraden y = x und y = x der Grenzwert 1 bzw. 1. Also ist f nicht stetig in. Wir kommen nun zur Frage der Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher. Definition Es sei D R n offen, f : D R, a = betrachten die partielle Funktion x i f(a 1,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n ). a 1. a n D. Wir Existiert die Ableitung dieser Funktion an der Stelle x i = a i, so nennt man diese die partielle Ableitung von f nach x i in a, in Zeichen f ( a) oder f( x) x i x i, f xi, x= a also f f(x 1,..., x i + t,..., x n ) f(x 1,..., x i,..., x n ) ( x) := lim x i t t f( x + t e i ) f( x) = lim t t (Ableiten nach x i (variabel), andere Variablen als konstant ansehen.) eispiel f(x, y) = x 3 sin y + e x y 2. f x (x, y) = 3x2 sin y + e x y 2, f y (x, y) = x3 cos y + 2e x y.

31 8.1 Differentiation 31 Definition f heißt partiell differenzierbar, wenn alle partiellen Ableitungen existieren. f xi Ist f partiell differenzierbar, so fasst man die partiellen Ableitungen zu einem Vektor zusammen. Diesen Vektor schreibt man zweckmäßig als Zeilenvektor. Definition Der Vektor grad f( x) := ( f ( x), f ( x),..., f ) ( x) x 1 x 2 x n heißt der Gradient von f in x. Die Funktion x grad f( x) ist eine vektorwertige Funktion (ein Vektorfeld): jedem x D wird der Vektor grad f( x) R n zugeordnet. eispiel f(x, y) = x 3 sin y + e x y 2. grad f(x, y) = (3x 2 sin y + e x y 2, x 3 cos y + 2e x y). Man kann nun auch höhere partielle Ableitungen betrachten. Notation (f(x, y)) f xx = 2 f x 2, f xy = y ( ) f = 2 f x y x, f yy = 2 f y 2. eispiel f(x, y) = x 3 sin y + e x y 2. 2 f x (x, y) 2 = 6x sin y + ex y 2, 2 f x y (x, y) = 3x2 cos y + 2e x y, 2 f y x (x, y) = 3x2 cos y + 2e x y, 2 f y (x, y) = 2 x3 sin y + 2e x. Warnung In diesem eispiel gilt der Fall zu sein. Gegenbeispiel: 2 f y x = 2 f. Das braucht aber nicht x y f : R 2 R ( ) x xy x2 y 2, (x, y) (, ) f(x, y) := y x 2 + y2, (x, y) = (, ) Es gilt f(x, ) = f(, y) = f x (, ) = f y (, ) =.

32 32 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher Daraus folgt f x = y x2 y 2 x 2 + y + xy 2x(x2 + y 2 ) 2x(x 2 y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) ( ) 2 x 2 y 2 = y x 2 + y + 4x2 y 2, (x, y) (, ) 2 (x 2 + y 2 ) ( 2 ) x 2 y 2 f y = x x 2 + y 4x2 y 2, (x, y) (, ). 2 (x 2 + y 2 ) 2 f xy (, ) = lim y f x (, y) f x (, ) y f yx (, ) = lim x f y (x, ) f y (, ) x Es gilt aber der folgende Satz: y 3 = lim = 1, y y 3 x 3 = lim x x = 1. 3 Satz (Schwarz; Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen) Für jede Funktion f : D R, D R n offen, deren zweite partielle Ableitungen existieren und stetig sind, gilt x i ( ) f x j = x j ( ) f x i (1 i, j n). Neben dem egriff der partiellen Differenzierbarkeit gibt es für Funktionen mehrerer Veränderlicher auch den egriff der totalen Differenzierbarkeit. Dabei geht man von der Deutung der Ableitung als lineare Approximation aus. Zur eschreibung der Güte der Approximation führen wir folgendes Symbol ein. Definition (Definition des o-symbols) Für f, g : D R, D R n, x D, k N, schreibt man f( x) = g( x) + o( x x k ) (für x x ), falls also f( x) g( x) lim =. x x x x k f( x) = g( x) + o( x x k ) lim x x f( x) g( x) x x k =. Die Gleichung f( x) = g( x) + o( x x k ) besagt: Der bei der Approximation von f durch g in der Nähe von x gemachte Fehler f( x) g( x) ist klein im Vergleich zu x x k.

33 8.1 Differentiation 33 eispiel Es sei I R ein offenes Intervall, f : I R eine differenzierbare Funktion, x I. Dann gilt f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + o( x x ). Definition Es sei D R n offen. Eine Funktion f : D R heißt in x D total differenzierbar, wenn es einen Vektor a R n gibt mit f( x) = f( x ) + a ( x x ) + o( x x ) für x x. Warnung Aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt nicht die totale Differenzierbarkeit! Satz Es sei f in x D total differenzierbar, f( x) = f( x ) + a ( x x ) + o( x x ). Dann ist f partiell differenzierbar und es gilt a = grad f( x ). Nach Satz gilt also: Ist f in x D total differenzierbar, so gilt f( x) = f( x ) + grad f( x ) ( x x ) + o( x x ) für x x. Dies ist der Grund, weshalb man grad f( x ) üblicherweise als Zeilenvektor schreibt. Anschauliche Deutung für n = 2 Die Fläche (Graph) z = f(x, y) wird in der Nähe von (x, y, f(x, y )) durch die Ebene z = f(x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y )

34 34 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher mit einem Fehler o( (x x ) 2 + (y y ) 2 ) approximiert. Diese Ebene heißt Tangentialebene der Fläche z = f((x, y) in (x, y, f(x, y )). Die Tangentialebene enthält alle Flächentangenten in dem Punkt. Satz (stetig partiell diffbar total diffbar) Es sei D R n offen. Ist f : D R auf D partiell differenzierbar und sind alle partiellen Ableitungen stetig, so ist f auf D total differenzierbar. eispiel f(x, y) = 3 x 2 y 2. (a) (x, y ) = (, ): ( ) x f(x, y) = 3 + (, ) + o( x y 2 + y 2 ). Gleichung der Tangentialebene in (,, 3): z = 3 (b) (x, y ) = (1, 1): ( ) x 1 f(x, y) = 1 + ( 2, 2) + o( (x 1) y (y 1) 2 ). Gleichung der Tangentialebene in (1, 1, 1): z = 1 2(x 1) 2(y 1). emerkung Für eine erste Näherung wird der o-anteil vernachlässigt und f( x) in der Nähe von x durch f( x ) + grad f( x ) ( x x ) ersetzt: f( x) f( x ) + grad f( x ) ( x x ).

35 8.2 Richtungsableitung Richtungsableitung Die partiellen Ableitungen f x i ( x) geben die Änderung der Funktionswerte in Richtung der Kordinatenachsen (d.h. in e i -Richtung) an. Allgemeiner definiert man: Definition Es sei v R n, v = 1. Dann heißt der Grenzwert v f( x) := lim t f( x + t v) f( x) t (falls er existiert) die Richtungsableitung (oder der Anstieg) von f an der Stelle x in Richtung v. Notation Andere ezeichnungen: D v f( x), f v ( x). Anschauliche Deutung für n = 2 etrachte die Schnittkurve des Graphen z = f(x, y) mit der zur z-achse parallelen Ebene durch die Gerade ( ) ( ) x v1 x + t v = + t, v = 1. y v 2 Diese Kurve besitzt die Parameterdarstellung x(t) = x + tv 1 y + tv 2 f(x + tv 1, y + tv 2 ).

36 36 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher Der Tangentialvektor im Punkte (x, y, f(x, y )) lautet: v 1 x(t) = v 2. v f(x, y ) Die Tangente hat die Steigung v f(x, y ). Physikalische Deutung Wir betrachten eine ebene Platte mit einer Druckverteilung p = f(x, y) und einen Querschnitt durch die Platte durch den Punkt (x, y ). Die momentane Druckänderung längs dieses Querschnitts in (x, y ) wird durch v f(x, y ) gegeben. Satz Es sei D R n offen, f : D R total differenzierbar, v R n, v = 1. Dann gilt v f( x) = grad f( x) v = n i=1 f x i ( x)v i eispiel f(x, y) = 3 x 2 y 2. Richtungsableitung im Punkt (1, 1) in Richtung v = ( cos α v f( x) = grad f(1, 1) sin α emerkung Es gilt: ) ( cos α = ( 2, 2) sin α ( cos α sin α v f( x) > f steigt in Richtung v an. v f( x) < f fällt in Richtung v ab. ) : ) = 2(cos α + sin α). Satz (Kettenregel) Es sei D R n offen, f : D R total differenzierbar, [a, b] R, x : [a, b] D ein Kurvenstück. Dann gilt d dt f( x(t)) = d dt f(x 1(t), x 2 (t),..., x n (t)) = f ( x(t))ẋ 1 (t) f ( x(t))ẋ n (t) x 1 x n = grad f( x(t)) x(t)

37 8.2 Richtungsableitung 37 eispiel (Koordinatentransformationen) (a) Polarkoordinaten im R 2 Durch die Koordinatentransformation x = r cos ϕ y = r sin ϕ geht die Funktion f(x, y) über in die Funktion F (r, ϕ) := f(r cos ϕ, r sin ϕ). Die Kettenregel ergibt ( ) cos ϕ F r = (f x, f y ) = f sin ϕ x cos ϕ + f y sin ϕ ( ) r sin ϕ F ϕ = (f x, f y ) = f r cos ϕ x ( r sin ϕ) + f y (r cos ϕ) Daraus folgt durch Auflösen nach f x und f y : Man rechnet weiter aus: f x = F r cos ϕ 1 r F ϕ sin ϕ f y = F r sin ϕ + 1 r F ϕ cos ϕ F rr = f xx cos 2 ϕ + 2f xy cos ϕ sin ϕ + f yy sin 2 ϕ F rϕ = F r ϕ = [ ( )] cos ϕ (f x, f y ) ϕ sin ϕ ( fx = ϕ, f ) ( ) ( ) y cos ϕ sin ϕ + (f ϕ sin ϕ x, f y ) cos ϕ = (f xx ( r sin ϕ) + f xy (r cos ϕ)) cos ϕ + (f yx ( r sin ϕ) + f yy (r cos ϕ)) sin ϕ f x sin ϕ + f y cos ϕ = f xx ( r sin ϕ cos ϕ) + f xy r(cos 2 ϕ sin 2 ϕ) + f yy (r sin ϕ cos ϕ) f x sin ϕ + f y cos ϕ. F ϕϕ = ( fx ϕ, f ) ( ) ( ) y r sin ϕ r cos ϕ + (f ϕ r cos ϕ x, f y ) r sin ϕ = (f xx ( r sin ϕ) + f xy (r cos ϕ))( r sin ϕ) + (f yx ( r sin ϕ) + f yy (r cos ϕ))r cos ϕ f x r cos ϕ + f y r sin ϕ = f xx (r 2 sin 2 ϕ) + 2f xy ( r 2 sin ϕ cos ϕ) + f yy (r 2 cos 2 ϕ) f x r cos ϕ + f y r sin ϕ.

38 38 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher Daraus folgt f := f xx + f yy (Laplace-Operator) = F rr + 1 r F r + 1 r 2 F ϕϕ (b) Zylinderkoordinaten im R 3 Die Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) eines Punktes (x, y, z) R 3 sind wie folgt definiert: x = r cos ϕ y = r sin ϕ ( ϕ 2π) z = z f(x, y, z) F (r, ϕ, z) := f(r cos ϕ, r sin ϕ, z) Wie in (a) berechnet man für den Laplace-Operator f := f xx + f yy + f zz (Laplace-Operator) = F rr + 1 r F r + 1 r 2 F ϕϕ + F zz (c) Kugelkoordinaten im R 3 Die Kugelkoordinaten (r, ϕ, θ) eines Punktes x = (x, y, z) R 3 sind wie folgt!"#$%&'()*'++%,&-(.$!/ definiert!"#!"#$%&%!#'$()$*#+*#%#,!-,.$/$+(-,!$-,$!"*##1-'#,%-(,/2$%+/3#$-,$!#*'%$()$-!%$+(%-!-(,$4#3!(*5$!"#$+(-,!$ x = r cos ϕ sin θ ( ϕ 2π) -%$-1#,!-)-#1$6&$/$!*-+2#$7$8$!8$"98$:"#*#$$$-%$!"#$2#,.!"$()$!"#$+(%-!-(,$4#3!(*8$"$#$;<8$$=$-%$!"#$/,.2#$ y = r sin ϕ sin θ ( θ π) 6#!:##,$-!$/,1$(,#$()$!"#$3((*1-,/!#$/>#%8$/,1$!$#$;<8$?$9$-%$!"#$/,.2#$)*('$!"#$+2/,#$-,$:"-3"$6(!"$!"/!$ />-%$/,1$!"#$+(%-!-(,$4#3!(*$2-#$!($#-!"#*$()$!"#$3((*1-,/!#$+2/,#%$-,32@1-,.$!"/!$/>-%A$/%$-,$!"#$)-.@*#$ z = r cos θ 6#2(:8$"$-%$.#,#*/22&$!/#,$!($6#$!"#$/,.2#$6#!:##,$CD$/,1$!"#$%/>-%8$/,1$!$!"#$/,.2#$6#!:##,$!"#$CD%$ +2/,#$/,1$!"#$&'%$+2/,#E$F"@%$"$-%$!"#$+(2/*$/,.2#$()$!"#$+*(G#3!-(,$()$CD$(,$!"#$&'($+2/,#E$ H+"#*-3/2$3((*1-,/!#%$/*#$*#2/!#1$!($I/*!#%-/,$3((*1-,/!#%$6&$ & J $$%-,7!9$3(%7"9 $ ( J $$%-,7!9$%-,7"9 $ % J $$3(%7!9 $!"#$K/3(6-/,$()$!"#$!*/,%)(*'/!-(,$!($*#3!/,.@2/*$3((*1-,/!#%$-%$!"#,$*? %-,7!9E$I('+/*#$3&2-,1*-3/2$ 3((*1-,/!#%E$H##$/2%($3"/,.#3((*1%E

39 8.2 Richtungsableitung 39 f(x, y, z) F (r, ϕ, θ) := f(r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ) Für den Laplace-Operator kann man wie in (a) durch mehrfache Anwendung der Kettenregel und anschließendes Auflösen nach f xx, f yy, f zz berechnen: f := f xx + f yy + f zz = F rr + 2 r F 1 r + r 2 sin 2 θ F ϕϕ + 1 r F 2 θθ + 1 r cot θf 2 θ Aus Satz können wir die nachstehende Folgerung ziehen: Für eine total differenzierbare Funktion f : D R ist der Anstieg im Punkt x D in Richtung eines Vektors v R n, v = 1, gegeben durch v f( x) = grad f( x) v = grad f( x) cos α, wobei α den Winkel zwischen grad f( x) und v bezeichnet. Dieser Anstieg ist am Größten für cos α = 1, d.h. für α =. Also gilt für grad f( x) : Der Gradient zeigt in die Richtung des größten Anstiegs der Funktion. eispiel f(x, y) = 3 x 2 y 2. grad f(1, 1) = ( 2, 2). Es sei weiterhin D R n offen, f : D R eine total differenzierbare Funktion. Wir betrachten die Niveaumenge N c = { x D f( x) = c} D. Dies ist eine Hyperfläche in D. etrachte eine Kurve auf N c mit der Parameterdarstellung t x(t), t [a, b]. Dann gilt f( x(t)) = c für alle t [a, b]. Mit der Kettenregel (Satz 8.2.2) folgt: Das bedeutet: d dt f( x(t)) = grad f( x(t)) x(t) =. Der Gradient steht senkrecht auf der Niveaumenge Wir sehen uns an, was das im Einzelnen für n = 2 und n = 3 bedeutet.

40 4 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher n = 2: In jedem Punkt (x, y ) der Niveaukurve f(x, y) = c steht grad f(x, y ) senkrecht auf der Kurventangente. Für grad f(x, y ) erhält man damit die Normalengleichung der Tangente an die Niveaukurve f(x, y) = c in (x, y ): f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ) = Spezialfall: f(x, y) = y g(x) = : y y g (x )(x x ) = ist die Tangente an den Graphen y = g(x) in x. eispiel Die Tangente an den Kreis (x u) 2 +(y v) 2 = r 2 im Punkt (x, y ) hat die Gleichung 2(x u)(x x ) + 2(y v)(y y ) = (x u)((x u) (x u)) + (y v)((y v) (y v)) = (x u)(x u) + (y v)(y v) = r 2 n = 3: In jedem Punkt x = (x, y, z ) der Niveaufläche f( x) = f(x, y, z) = c steht grad f( x ) senkrecht auf allen Tangenten an die Fläche im Punkt x. Die Ebene, die von den Tangenten an die Fläche in einem Punkt aufgespannt wird, heißt Tangentialebene an die Fläche in diesem Punkt. Für grad f( x ) erhält man die Normalengleichung der Tangentialebene an die Niveaufläche f(x, y, z) = c in x = (x, y, z ): grad f( x ) ( x x ) = oder f x (x, y, z )(x x ) + f y (x, y, z )(y y ) + f z (x.y, z )(z z ) = Spezialfall: f(x, y, z) = z g(x, y) = : z z = g x (x, y )(x x ) + g y (x, y )(y y ) ist die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen z = g(x, y) im Punkt (x, y ) (s.o.)

41 8.3 Lokale Extremwerte 41 eispiel Das elliptische Paraboloid x 2 hat in (x, y, z ) die Tangentialebene a + y2 2pz = (p ) 2 b2 x (x x ) + y (y y ) p(z z a 2 b 2 ) = x x a + y y 2 b p(z + z ) = Lokale Extremwerte Wir wollen nun auch die Taylor-Formel verallgemeinern. Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf eine Funktion von zwei Veränderlichen. ( ) Es sei D R 2 v1, f : D R beliebig oft differenzierbar, x D, v = R 2. Wir betrachten die Funktion h(t) := f( x + t v) ( t 1). Wenn t von nach 1 läuft, durchläuft x + t v die ganze Verbindungsstrecke von x und x + v. Damit h überall definiert ist, muss diese Verbindungsstrecke ganz in D liegen. Deswegen setzen wir voraus, dass D ein konvexes Gebiet ist, d.h. 1. D ist offen. 2. Mit je zwei Punkten x, y D liegt auch die Verbindungsstrecke { x + t( y x) t [, 1]} ganz in D. v 2

42 42 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher Die Taylor-Formel für h(t) an der Stelle t = (mit t = 1) lautet h(1) = h() + ḣ() + 1 2!ḧ() k! h(k) () + 1 (k + 1)! h(k+1) (τ k ) mit τ k zwischen und 1. Die Ableitungen h (k) () berechnet man mit der Kettenregel: h(1) = f( x + v), h() = f( x ), ḣ(t) = grad f( x + t v) v, ḣ() = gradf( x ) v = f x ( x )v 1 + f y ( x )v 2, ḧ(t) = v 1 [grad f x ( x + t v) v] + v 2 [grad f y ( x + t v) v], [ ] [ ] 2 f ḧ() = v 1 x ( x )v f 2 y x ( x f )v 2 + v 2 x y ( x )v f y ( x )v 2 2 = v1 2 2 f x ( x 2 f ) + 2v 2 1 v 2 x y ( x ) + v2 2 2 f y ( x ) 2 Wir können ḣ() und ḧ() vereinfacht folgendermaßen schreiben: ḣ() = ḧ() = Damit erhält man allgemein: ( v 1 ( v 1 ) x + v 2 f( x ) y ) 2 x + v 2 f( x ) y ( ) k h (k) () = v 1 x + v 2 f( x ). y Setzt man diese Werte oben ein, so erhält man Satz (Taylor-Formel für 2 Variable) Es sei D R 2 ein konvexes Gebiet, f : D R eine beliebig oft partiell differenzierbare Funktion, x, x + v D. Dann gilt ( ) f(x + v 1, y + v 2 ) = f(x, y ) + v 1 x + v 2 f(x, y ) y ( ) k v 1 k! x + v 2 f(x, y ) + R k ( x, v) y

43 8.3 Lokale Extremwerte 43 mit dem Restglied ( ) k+1 1 R k ( x, v) = v 1 (k + 1)! x + v 2 f(x + τ k v 1, y + τ k v 2 ) y mit τ k [, 1]. Setzen wir x := x + v, so nennt man das Polynom ( ) T k (x, y) = f(x, y ) + v 1 f(x, y ) k! ( v 1 x + v 2 y ) k x + v 2 f(x, y ) y das k-te Taylor-Polynom von f an der Stelle (x, y ). Dieses Polynom approximiert f(x, y) bis auf den Fehler für den gilt Also gilt R k ( x, v) = f(x, y) T k (x, y), R k ( x, v) lim =. v v k f(x, y) = T k (x, y) + o(( (x x ) 2 + (y y ) 2 ) k ). Das Taylorpolynom lautet in den Spezialfällen k =, 1, 2 wie folgt: T (x, y) = f(x, y ) T 1 (x, y) = f(x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ) T 2 (x, y) = f(x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ) + 1 (f 2 xx(x, y )(x x ) 2 + 2f xy (x, y )(x x )(y y ) + f yy (x, y )(y y ) 2 ) ( ) x x = f(x, y ) + (f x (x, y ), f y (x, y )) y y + 1 ( ) ( 2 (x x fxx (x, y y ), y ) f xy (x y ) x x f yx (x, y ) f yy (x, y ) y y ) Die Matrix H f (x, y ) := ( fxx (x, y ) f xy (x y ) f yx (x, y ) f yy (x, y ) )

44 44 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher nennt man auch die Hesse-Matrix von f in (x, y ). Sie ist nach Satz symmetrisch. Wir wollen nun Anwendungen der Taylor-Formel darstellen. Wie bei Funktionen einer Veränderlichen interessiert man sich für die Extremwerte einer Funktion mehrerer Veränderlicher. Völlig analog zum Fall einer Funktion einer Variablen definiert man: Definition Es sei D R n, f : D R. Ein Punkt a D heißt eine lokale (oder relative) Maximumstelle (bzw. Minimumstelle) von f, wenn es eine ε-umgebung U ε ( a) = { x R n x a < ε} von a gibt, so dass für alle x U ε ( a) D gilt: f( x) f( a) (bzw. f( a) f( x)). Der Punkt a heißt globale (oder absolute) Maximum- (bzw. Minimumstelle), wenn f( x) f( a) (bzw. f( a) f( x)) für alle x D gilt. Die Zahl f( a) heißt dann je nachdem lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein Extremum oder Extremwert ist ein Maximum oder Minimum. Eine typische Aufgabe der angewandten Analysis ist die estimmung der Extremalstellen einer Funktion f( x) auf einem ereich D: f( x) = Extr! ( x D) (bzw. f( x) = max!, f( x) = min!) Die Extremalstellen können nun im Innern oder auf dem Rand von D liegen. Für diese beiden Fälle benutzt man unterschiedliche Methoden zur estimmung der Extremalstellen. Wir betrachten zunächst den Fall, dass die lokalen Extremalstellen im Innern von D liegen. Satz (Lokale Extrema im Innern von D) Ist f : U ε ( a) R, a R n, total differenzierbar, so gilt a ist lokale Extremalstelle von f grad f( a) = Definition Ein Punkt a R n heißt stationärer Punkt von f, wenn grad f( a) = gilt.

45 8.3 Lokale Extremwerte 45 Nach Satz muss man die inneren lokalen Extremalstellen unter den stationären Punkten suchen. Aber: Warnung Nicht jeder stationäre Punkt ist eine Extremalstelle! Es gibt auch Sattelpunkte: Auch dort ist die Tangentialebene waagrecht. Wir leiten nun einen Extremstellentest her. Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf den Fall n = 2. Wir betrachten zunächst drei eispiele. eispiel (a) f(x, y) = x 2 + y 2. Es gilt f x f (x, y) = 2x und (x, y) = 2y. y Also ist der einzige kritische Punkt der Nullpunkt. Wegen f(, ) = und f(x, y) hat die Funktion in diesem Punkt ein lokales (sogar ein globales) Minimum (vgl. Abb. 8.1). Die Hesse-Matrix lautet (b) f(x, y) = x 2 y 2. H f (x, y) = ( 2 2 ). Abbildung 8.1: Der Graph der Funktion f(x, y) = x 2 + y 2 Wie in (a) sehen wir, dass der einzige kritische Punkt der Nullpunkt ist.

46 46 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher Wegen f(, ) = und f(x, y) hat die Funktion in diesem Punkt ein lokales (sogar ein globales) Maximum. Die Hesse-Matrix lautet ( ) 2 H f (x, y) =. 2 (c) f(x, y) = x 2 y 2. Wie in (a) sehen wir wieder, dass der Nullpunkt der einzige kritische Punkt ist. Es gilt wieder f(, ) =. erechnen wir Werte von f in der Umgebung des Nullpunkts, dann stellen wir fest: f(x, ) und f(, y). Da x und y beliebig klein gewählt werden können, kann der Nullpunkt weder eine lokale Maximum- noch eine lokale Minimumstelle sein. Es handelt sich um einen Sattelpunkt (vgl. Abb. 8.2). Die Hesse-Matrix lautet Abbildung 8.2: Der Graph der Funktion f(x, y) = x 2 y 2 H f (x, y) = ( 2 2 (d) f(x, y) = x 2. Jeder Punkt auf der y-achse ist ein lokales Minimum. Die Hesse-Matrix lautet ( ) 2 H f (x, y) =. ).

47 8.3 Lokale Extremwerte 47 (e) f(x, y) = ax 2 + 2bxy + dy 2 (a ) Die Hesse-Matrix ist gerade die Matrix ( 2a 2b H f (x, y) = 2b 2d ) =: 2A. Wir nehmen folgende Koordinatentransformation vor: Es gilt x = x by y = ay f(x, y ) = a(x by ) 2 + 2b(x by )(ay ) + d(ay ) 2 = ax 2 2abx y + ab 2 y 2 + 2abx y 2ab 2 y 2 + a 2 dy 2 = ax 2 + a(ad b 2 )y 2 In den neuen Koordinaten lautet die Hesse-Matrix ( ) a H f (x, y) = 2 a(ad b 2, ad b 2 = det A. ) Es folgt det A >, a > (, ) lokales Minimum det A >, a < (, ) lokales Maximum det A < (, ) Sattelpunkt det A = eine Gerade von lokalen Extremstellen Es sei nun U R 2 offen, f : U R eine genügend oft differenzierbare Funktion. Es sei x ein stationärer Punkt von f. Dann können wir f in einer Umgebung von x näherungsweise durch das Taylorpolynom 2-ten Grades ersetzen: f(x, y) f(x, y ) (f xx(x, y )(x x ) 2 Aus eispiel 8.3.1(e) folgt dann + 2f xy (x, y )(x x )(y y ) + f yy (x, y )(y y ) 2 ) Satz (Extremstellentest für 2 Variable) Es sei U R 2 offen, f : U R beliebig oft differenzierbar, x ein stationärer Punkt von f. Dann gilt (a) det H f (x, y ) >, f xx (x, y ) > (x, y ) lokale Minimumstelle.

48 48 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher (b) det H f (x, y ) >, f xx (x, y ) < (x, y ) lokale Maximumstelle. (c) det H f (x, y ) < (x, y ) Sattelpunkt. eispiel f(x, y) = x 3 y 2 + 3x 2. estimmung der stationären Punkte: grad f(x, y) = (3x 2 + 6x, 2y), grad f(x, y) = (, ) 3x(x + 2) =, 2y = (x, y) = (, ), ( 2, ). Extremstellentest: H f (x, y) = ( 6x ), det H f (, ) < (, ) Sattelpunkt det H f ( 2, ) = 12 >, 6 < ( 2, ) lokale Maximumstelle 8.4 Extremwerte mit Nebenbedingungen Wir betrachten nun Extremwertaufgaben f(x 1,..., x n ) = Extr!, wobei die Menge der zulässigen Punkte x = (x 1,..., x n ) durch eine Nebenbedingung g(x 1,..., x n ) = eingeschränkt ist. Notation f( x) = Extr! N: g( x) =. Gesucht sind die Extrema von f(x) für diejenigen x R n, für die g( x) = ist. eispiel Aus einem kreisrunden lech vom Radius 1 ist ein Rechteck maximalen Flächeninhalts auszuschneiden (vgl. Abb. 8.3). ezeichnen wir die Seiten dieses Rechtecks mit 2x und 2y, so lautet die Aufgabe f(x, y) = xy = max! N: x 2 + y 2 1 =. Um Extrema unter Nebenbedingungen zu bestimmen, gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten.

49 8.4 Extremwerte mit Nebenbedingungen 49 y x Abbildung 8.3: Zu eispiel Methode: Einsetzen Man löst, falls möglich, g(x 1,..., x n ) nach einer Variablen auf, zum eispiel nach x n, x n = h(x 1,..., x n 1 ), und setzt dies in die Funktion f(x 1,..., x n ) ein. Dann hat man eine Extremwertaufgabe ohne Nebenbedingungen zu lösen: f(x 1,..., x n 1, h(x 1,..., x n 1 )) = Extr!. eispiel In eispiel genügt es, die Extremwerte von f(x, y) = xy auf dem Halbkreis y = 1 x 2 zu bestimmen. Einsetzen in f(x, y) ergibt die Funktion F (x) := x 1 x 2. Die kritischen Punkte von F sind die Lösungen der Gleichung F (x) = 1 2x2 1 x 2 =, also ( x y ) = ( ), ( ). Damit erhält man als mögliche Extremalpunkte auf dem Kreis x 2 +y 2 1 = : ( ) ( ) ( ) ( ) a = 1 2, a = 1 2, b = 1 2, b = 1 2.

50 5 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher Da f auf dem Kreis Maximal- und Minimalstellen hat, sind wegen f( a) = f( a) = 1/2 und f( b) = f( b) = 1/2 die Punkte a, a Maximalstellen und b, b Minimalstellen. Die Lösung der Extremwertaufgabe ist daher, wie nicht anders erwartet, ein Quadrat der Seitenlänge Methode: Parametrisierung der Nebenbedingungen Für n = 2 zum eispiel bestimmt man eine Parameterdarstellung ( ) x(t) t y(t) der Kurve g(x, y) =. Dann hat man eine Extremwertaufgabe ohne Nebenbedingungen zu lösen: F (t) := f(x(t), y(t)) = Extr! eispiel ( ) In eispiel betrachtet man die Parameterdarstellung cos t t des Kreises x sin t 2 + y 2 1 = und hat die Aufgabe zu lösen. cos t sin t = Extr! 3. Methode: Lagrange-Multiplikatorregel Um die 3. Methode zu motivieren, versuchen wir, das Problem geometrisch zu lösen. eispiel Wir betrachten wieder eispiel Wir betrachten die Höhenlinien der Funktion f(x, y) = xy im Verhältnis zum Kreis g(x, y) = x 2 + y 2 1 =. Die Extremalstellen sind gerade die Stellen, an denen die Niveaulinien f(x, y) = c die Kurve g(x, y) = berühren (vgl. Abb. 8.4). An diesen Stellen sind die Vektoren grad f(x, y) und grad g(x, y) parallel, d.h. linear abhängig. Satz (Lagrange-Multiplikator) Zu jeder Lösung a des Extremalproblems f( x) = Extr! N : g( x) = mit f, g total differenzierbar und grad g( a) gibt es ein λ R, so dass gilt: grad f( a) + λ grad g( a) =.

51 8.4 Extremwerte mit Nebenbedingungen 51 Abbildung 8.4: Zur Lagrange schen Multiplikatorregel Definition Die Zahl λ heißt Lagrange-Multiplikator. Aus Satz ergibt sich das folgende Lösungsverfahren: Lagrangesche Multiplikatorregel 1. Schritt. Man bildet die Lagrangesche Hilfsfunktion L(x 1,..., x n, λ) := f(x 1,..., x n ) + λg(x 1,..., x n ) und berechnet grad L(x 1,..., x n, λ). 2. Schritt. Man bestimmt die Lösungen (x 1,..., x n, λ) des Gleichungssystems L (x 1,..., x n, λ) = f (x 1,..., x n ) + λ g (x 1,..., x n ) = x 1 x 1 x 1... L (x 1,..., x n, λ) = f (x 1,..., x n ) + λ g (x 1,..., x n ) = x n x n x n L λ (x 1,..., x n, λ) = g(x 1,..., x n ) =. 3. Schritt. Hat man in Schritt 2 die Lösung (x 1,..., x n, λ) gefunden, so untersucht man, ob (x 1,..., x n ) tatsächlich eine Extremalstelle ist.

52 52 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher eispiel Wir betrachten wieder das eispiel Schritt. L(x, y, λ) = xy + λ(x 2 + y 2 1). 2. Schritt. L x = y + 2λx = L y = x + 2λy = L λ = x2 + y 2 1 =. Aus den ersten beiden Gleichungen folgt x = ( 2λ) 2 x. Daraus folgt x = und y =, was im Widerspruch zur dritten Gleichung steht, oder λ = ± 1 2. Daraus folgt y = ±x. Wir erhalten wieder die Lösungen a = ( ), a = ( ), b = ( ), b = eispiel Gesucht sind diejenigen Punkte der Ellipse ( x 2 a + y2 2 b = 1, 2 ( ) die von den größten oder kleinsten Abstand haben (statt Abstand: Quadrat des Abstandes) (Scheitelpunkte): ). 1. Schritt. 2. Schritt. f(x, y) = x 2 + y 2 = Extr! N: x2 a 2 + y2 b 2 1 =. L(x, y, λ) = x 2 + y 2 + λ( x2 a 2 + y2 b 2 1). L x L y L λ = x2 = 2x + 2λ a 2 x = (1) = 2y + 2λ b 2 y = (2) a + y2 1 =. (3) 2 b2

53 8.4 Extremwerte mit Nebenbedingungen 53 Offenbar gilt λ (λ = x = y = im Widerspruch zu (3)). x = y = ±b y = x = ±a. Die Scheitelpunkte sind also (a, ), ( a, ), (, b), (, b). Wir kommen nun noch einmal auf die estimmung von Extremwerten einer Funktion f : D R, D R 2, zurück. Wir nehmen an, dass der ereich D durch eine Kurve g(x, y) = begrenzt wird: Dann ergibt sich folgende Liste von D = {(x, y) R 2 g(x, y) }. Kandidaten für Extremstellen (a) Stationäre Stellen von f im Innern von D: g(x, y) <. (b) Extremstellen in der Randkurve von D: Extremwertproblem mit Nebenbedingung: f(x, y) = Extr! N: g(x, y) =. (c) Punkte von D, in denen f nicht differenzierbar ist. Durch Vergleich der Funktionswerte an diesen Stellen ermittelt man das globale Maximum bzw. Minimum von f auf D. eispiel Wir betrachten wieder die Funktion f(x, y) = x 3 y 2 + 3x 2, nun auf der Kreisscheibe x 2 + y (a) Die lokalen Extremstellen im Innern wurden bereits bestimmt: a = ( 2, ) lokale Maximumstelle (b) Die Extremstellen auf dem Rand f(x, y) = Extr! N: x 2 + y 2 16 = bestimmen wir mit der Lagrangeschen Multiplikatorregel: L(x, y, λ) = x 3 y 2 + 3x 2 + λ(x 2 + y 2 16) L x = 3x 2 + 6x + 2λx = (1) L y = 2y + 2λy = (2) L λ = x 2 + y 2 16 = (3)

54 54 Kapitel 8. Funktionen mehrerer Veränderlicher Aus (2) folgt y = oder λ = 1. Extremstellen: b = ( 4 Funktionswerte: y = x = ±4 λ = 1 3x 2 + 8x = ), b, c = x = oder x = 8 3 x = y = ±4 x = 8 3 y2 = = 8 9 y = ±4 5 3 ( 4 f( a) = 4, ) ( ) ( ), c, d 8 = 3 8, e = f( b) = 112, f( b) = 16, f( c) = f( c) = 16, f( d) = f( e) = Ergebnis: Globales Maximum in b: f( b) = 112 Globales Minimum in b, c, c: f( b) = f( c) = f( c) =

55 Kapitel 9 Integration im R n 9.1 Integration über ereiche Wir wollen nun Funktionen mehrerer Veränderlicher integrieren. Wir betrachten zunächst den Fall n = 2. Wir beschränken uns bei den Mengen, über die wir integrieren wollen, auf reguläre ereiche: Definition Ein ereich R 2 heißt regulär, wenn gilt: (a) Der Rand besteht aus endlich vielen regulären Kurvenstücken. (b) ist nicht leer und zusammenhängend, d.h. je zwei Punkte x und x 1 aus lassen sich durch eine reguläre Kurve x(t), t [a, b], x(a) = x, x(b) = x 1, verbinden. (c) ist beschränkt und abgeschlossen. Es sei ein regulärer ereich. Wir wollen nun zunächst den Flächeninhalt von bestimmen. Dazu zerlegen wir die (x, y)-ebene durch ein Gitter achsenparalleler Geraden x = 1 2 n, y = 1 n (n =, ±1, ±2,...) k 2k in Quadrate mit dem Flächeninhalt 1 2 2k. Es sei s k () = Flächeninhalt aller Quadrate, die samt Rand ganz in liegen S k () = Flächeninhalt aller Quadrate, die mindestens einen Punkt von enthalten 55

56 56 Kapitel 9. Integration im R n Man kann zeigen, dass für einen regulären ereich gilt Wir definieren daher Definition lim s k() = lim S k (). k k Der Flächeninhalt von ist F () := lim k s k () = lim k S k (). Es sei nun f : R eine beschänkte stetige, nicht negative Funktion. Ziel: erechnung des Volumens des säulenförmigen Körpers, der von der (x, y)-ebene und dem Graphen von f begrenzt wird. Dazu zerlegen wir durch ein Netz regulärer Kurven in n reguläre Teilbereiche 1,..., n. Jedes i hat einen Flächeninhalt F i := F ( i ). Wir wählen nun für jedes i = 1, 2,..., n einen beliebigen Punkt (x i, y i ) i. Das Volumen der zylindrischen Säule über i mit der Höhe f(x i, y i ) ist f(x i, y i ) F i. Dann bilden wir die Riemannsche Summe aller dieser Säulenvolumina n Z n := f(x i, y i ) F i. i=1 Z n ist eine Approximation für das zu berechnende Volumen, die um so besser ist, je feiner das Netz gewählt wurde. Ähnlich wie bei dem einfachen Integral (I, 5) kann man zeigen, dass bei ständiger Verfeinerung des Netzes die Riemannschen Summen Z n gegen das Volumen als Grenzwert konvergieren. Dieser Grenzwert ist unabhängig davon, wie die Zerlegungen und Zwischenpunkte (x i, y i ) i gewählt wurden. Definition Der Grenzwert wird mit f(x, y)df oder fdf bezeichnet und heißt Doppelintegral (Gebietsintegral, kurz: Integral) von f über. Das Symbol df heißt Flächenelement. n f(x, y)df := lim f(x i, y i ) F i n i=1