Wachstum: linear, quadratisch und exponentiell 17

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1 Seitenlänge s 0 0, s Würfeloberfläche S 0 1, S = 6s 2 Würfelvolumen V 0 0, V = s 3 Kantenlängen k k = 12s S s V s ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 2015

2 k s : Quadratische Funktion : ndere Funktion (kubische Funktion) : 2 Quadratische Funktion ndere Funktion F ndere Funktion (indirekte Proportionalität) G H Quadratische Funktion I ndere Funktion (kubische Funktion) K 3 uf dem 63. Feld: ,6 18 Körner uf dem 64. Feld: ,2 18 Körner uf den ersten 63 Feldern: ,2 18 Körner uf allen 64 Feldern: ,8 19 Körner ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 2015

3 In 1 cm 3 haben etwa 15 Körner Platz Körner 1,8 19 Körner brauchen etwa 1,8 19 : 15 cm 3 = 1,2 18 cm 3 Platz. 1,2 18 cm 3 = 1,2 12 m 3 ei 0 m 3 pro Wagen sind das etwa 1,2 Wagen. ei einer Wagenlänge von 20 m macht das eine Zuglänge von 20 1,2 m = 2,4 11 m = 2,4 8 km. as ist etwa das 1,5-Fache der ntfernung der rde von der Sonne (1,5 8 km) oder etwa mal den rdumfang ( km). 1 t Weizen beansprucht etwa 1 m 3 Platz. 1,2 12 m 3 : (6 8 ) = as ist etwa das Fache der Weltjahresproduktion. Seit der rfindung des Schachs wurde auf der ganzen Welt noch gar nicht so viel Weizen produziert. 4, Zeit (h) nzahl akterien etwa ,6 7 1, Volumen (cm 3 ) = 4 2,6 2 1, Mögliche : in infamilienhaus hat etwa ein Volumen von 0 m 3, das Material würde nach 72 Stunden also etwa den Wohnraum eines orfes einnehmen. as Volumen nach 96 Stunden entspräche dann einer Wurst, die rund um die rde gelegt etwa 1 m dick (urchmesser) wäre. In der Realität ist ein derartiges Wachstum allein schon wegen des fehlenden Platzes oder der fehlenden Nährlösung unmöglich. akterien scheiden oft ein Gift aus, das beim Überschreiten einer gewissen Konzentration den Prozess stoppt oder gar zum bsterben der Kultur führt. 5 Im ersten iagramm sieht die ntwicklung für die ersten 5, 6 Verdoppelungszeiten nicht allzu dramatisch aus. rst bei 7 oder 8 Verdoppelungszeiten fällt die ramatik auf. Gleiches kann man zu den beiden anderen iagrammen sagen: is zu 14, 15 bzw. bis zu 20, 21 Verdoppelungszeiten sieht die ntwicklung harmlos aus. ie xplosion kommt dann scheinbar aus dem Nichts. Offenbar ist es eine Frage des Massstabs bzw. der Skalierung, ob ein Vorgang durchschaubar wird. Oder umgekehrt: Obwohl exponentielles Wachstum immer dramatisch ist und den Kern zur Katastrophe in sich trägt, kann man durch die Wahl des Massstabs die ntwicklung verschleiern. Möglicherweise wird durch den lick zurück (harmlos, linear, fast horizontal) der lick nach vorn versperrt. ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 2015

4 Individuelle HF HF nlagejahr 5. nlagejahr 6. nlagejahr Mit dem Faktor 1,05 Mit dem Faktor 1,05 1,05 = 1,05 2 Mit dem Faktor 1,05 1,05 1,05 = 1,05 3 Mit dem Faktor 1,05 1,05 20 ndkapital = nfangskapital 1,05 x 8 HF , HF HF , HF (doppelt so viel wie bei ) HF , HF (viel weniger als die Hälfte von ) Individuelle ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 2015

5 Totes organisches Material zersetzt sich im Verlaufe der Zeit. Radioaktive und gewöhnliche Kohlenstoffe sind davon gleichermassen betroffen. Weil die 14-tome auch dem radioaktiven Zerfall unterliegen, halbiert sich ihr radioaktiver nteil alle Jahre. ieser nteil gibt deshalb uskunft über den Zeitraum, in dem eine Pflanze, ein Tier, ein Mensch nicht mehr lebendig ist, bzw. über den Zeitpunkt, seit dem der natürliche Stoffwechsel aufgehört hat. in linearer Verlauf liegt dann vor, wenn in gleichen Zeiträumen der nteil immer um gleich viel abnimmt, wenn also der zugehörige Graph eine fallende Gerade ist. eim radioaktiven Zerfall ist aber die nzahl der Zerfälle proportional zur vorhandenen nzahl tome: ie vorhandene nzahl tome nimmt aber dauernd ab, also auch die nzahl der zerfallenden tome. Zu einem lter von Jahren gehört ein 14-nteil von etwa 60 % (eine knappe Halbwertszeit). Zu einem 14-nteil von 20 % passt ein lter von etwa Jahren (zwischen zwei und drei Halbwertszeiten). In vier Halbwertszeiten halbiert sich der 14-nteil viermal: % 25 % 12,5 % 6,25 % us dem Graphen lässt sich ablesen, dass ein 14-nteil von 58 % etwa einem lter von 4 0 (±0) Jahren entspricht. ie Mumie stammt also aus der Zeit um 2 0 (±0) vor hristus. 14,5 % passen zu einem lter von etwa Jahren. ie Holzkohlenreste stammen also aus der Zeit um vor hristus. 11 Für eine Halbwertszeit 0, = 0, =,0 % Für drei Halbwertszeiten = 0,125 = 12,5 % = 1 (auf drei Ziffern genau) 8 ei Jahren 0, % (gegen die in ufgabe 9 grafisch geschätzten etwa 60 %) ei 4 0 Jahren 0, = 0,58 (wie in ufgabe ) Für den Wert 0,145 aus ufgabe 11: 0, ,163 und 0, ,144. ie Formel liefert also für knappe Jahre den nteil 0,145, was für die Holzkohlenreste aus der Höhle von Lascaux die atierung vor hristus ergibt. 0,886 0,298 0, ,302 0, = 0, ,300 in 14-nteil von 0,300 passt also zu einem lter von 9,95 Jahrtausenden ( 000 Jahre). ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 2015