Rotation eines Punktes um eine Achse allgemeiner Lage

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1 Rotation eines Punktes um eine chse allgemeiner Lage Es gibt eine allgemein, in der arstellenden Geometrie übliche Methode, dieses eispiele zu lösen: 1) chse in Wahrer Größe darstellen - ein weiterer Seitenriss erforderlich. 2) ie chse projizierend machen - ein weiterer Seitenriss erforderlich. 3) en Normalabstand des Punktes zur chse in die vorangegangenen Risse zurückführen und jeweils die Haupt- und Nebenachsen und die Ellipsen zu konstruieren. 4) Sichtbarkeit bestimmen. ei diesem eispiel wird aber eine einfachere Methode verwendet. evor diese ufgabe gelöst werden wird, ist es gut mit einer einfacheren ufgabenstellung zu beginnen. 1

2 Rotation eines Punktes um eine chse in zweiter Hauptlage ie chse g ist parallel zu 2, wie im Grundriss zu sehen ist. as bedeutet, dass die chse im ufriss in Wahrer Größe dargestellt ist. er Punkt P rotiert um diese chse auf einer Kreisbahn, der Mittelpunkt des Kreises liegt auf der chse. 2

3 Rotation eines Punktes um eine chse in zweiter Hauptlage ie chse g ist parallel zu 2, wie im Grundriss zu sehen ist. as bedeutet, dass die chse im ufriss in Wahrer Größe dargestellt ist. er Punkt P rotiert um diese chse auf einer Kreisbahn, der Mittelpunkt des Kreises liegt auf der chse. er Kreis ist senkrecht zur chse und da diese parallel zu 2 ist, muss der Kreis senkrecht auf 2 sein und daher projizierend dargestellt werden. er Mittelpunkt wird in den Grundriss übertragen. 3

4 Rotation eines Punktes um eine chse in zweiter Hauptlage x Rr x ie chse g ist parallel zu 2, was im Grundriss zu sehen ist. as bedeutet, dass die chse im ufriss in Wahrer Größe dargestellt ist. er Punkt P rotiert um diese chse auf einer Kreisbahn, der Mittelpunkt des Kreises liegt auf der chse. er Kreis ist senkrecht zur chse und da diese parallel zu 2 ist, muss der Kreis senkrecht auf 2 sein und daher projizierend dargestellt werden. er Mittelpunkt wird in den Grundriss übertragen. ls Nächstes wird die Wahre Größe des Kreisradius ermittelt. ies geschieht mit dem ifferenzdreieck. Im Grundriss wird die ifferenz der X-Werte von und abgenommen und im ufriss auf eine Senkrechte durch aufgetragen. as ergibt und der bstand zu M ist der Radius der Kreisbahn in Wahrer Größe. 4

5 Rotation eines Punktes um eine chse in zweiter Hauptlage Rr Rr Rr x Rr Rr ls Nächstes wird die Wahre Größe des Kreisradius ermittelt. ies geschieht mit dem ifferenzdreieck. Im Grundriss wird die ifferenz der X-Werte von und abgenommen und im ufriss auf eine Senkrechte durch aufgetragen. ieser Radius kann nun im ufriss auf die projizierende Kreisbahn aufgetragen werden und ergibt die Punkte und. Senkrecht zum Kreisdurchmesser, liegt der Kreisdurchmesser,, der im ufriss projizierend dargestellt ist. as ergibt und der bstand zu M ist der Radius der Kreisbahn in Wahrer Größe. Im Grundriss ist dieser urchmesser in Wahrer Größe auf einer Senkrechten zur chse durch, auf der der Radius in beiden Richtungen aufgetragen wird und die Punkte und ergibt. 5

6 Rotation eines Punktes um eine chse in zweiter Hauptlage Senkrecht zum Kreisdurchmesser, liegt der Kreisdurchmesser,, der im ufriss projizierend dargestellt ist. Im Grundriss ist dieser urchmesser in Wahrer Größe auf einer Senkrechten zur chse durch, auf der der Radius in beiden Richtungen aufgetragen wird und die Punkte und ergibt. Nun werden die Punkte und in den Grundriss übertragen. Sie liegen zwar nicht auf der chse, da sie ja senkrecht auf diese sind, sie werden aber darauf abgebildet. (Räumlich betrachtet liegt tiefer, höher, als die chse und der bstand beider ist der Kreisdurchmesser, der im Grundriss verkürzt dargestellt wird) 6

7 Rotation eines Punktes um eine chse in zweiter Hauptlage ie Kreisbahn, im Grundriss als Ellipse dargestellt, kann nun mittels Näherungskonstruktion gezeichnet werden. ie Sichtbarkeit ist einfach erklärt. ie chse g ist im linken Teil vom Mittelpunkt aus über der Kreisbahn (im ufriss zu sehen) und daher im Grundriss bis M sichtbar, im rechten Teil ist sie teilweise von der Kreisfläche abgedeckt. 7

8 Rotation eines Punktes um eine chse allgemeiner Lage Hh h Nun wieder zurück zur eigentlichen ufgabe, chse in allgemeiner Lage. Zunächst muss der Mittelpunkt der Kreisfläche, in der der Punkt P liegt, ermittelt werden. ies geschieht über die Methode ngittern mit Hauptebenen und Hauptgeraden. Im ufriss wird durch eine h1 gelegt und im Grundriss auf die senkrecht auf die chse liegende h1 angegittert. ies ergibt Punkt 1. 8

9 Rotation eines Punktes um eine chse allgemeiner Lage Hh 2 Hh2 2 Nun wieder zurück zur eigentlichen ufgabe, chse in allgemeiner Lage. Zunächst muss der Mittelpunkt der Kreisfläche, in der der Punkt P liegt, ermittelt werden. ies geschieht über die Methode ngittern mit Hauptebenen und Hauptgeraden. Im ufriss wird durch eine h1 gelegt und im Grundriss auf die senkrecht auf die chse liegende h1 angegittert. ies ergibt Punkt 1. as Gleiche wird mit einer h2 durchgeführt, im Grundriss parallel zu 2, im ufriss senkrecht auf die chse und den Schnittpunkt mit arstellung der chse in 2 in den Grundriss gelotet, ergibt Punkt 2. 9

10 Rotation eines Punktes um eine chse allgemeiner Lage Hh 2 Hh2 2 Nun wieder zurück zur eigentlichen ufgabe, chse in allgemeiner Lage. Zunächst muss der Mittelpunkt der Kreisfläche, in der der Punkt P liegt, ermittelt werden. ies geschieht über die Methode ngittern mit Hauptebenen und Hauptgeraden. Im ufriss wird durch eine h1 gelegt und im Grundriss auf die senkrecht auf die chse liegende h1 angegittert. ies ergibt Punkt 1. as Gleiche wird mit einer h2 durchgeführt, im Grundriss parallel zu 2, im ufriss senkrecht auf die chse und den Schnittpunkt mit arstellung der chse in 2 in den Grundriss gelotet, ergibt punkt 2. Punkt und Punkt 2 verbunden ergeben auf der chse den Mittelpunkt. ieser wird auch auf die chse im ufriss geführt und ergibt. 10

11 Rotation eines Punktes um eine chse allgemeiner Lage Hh x Rr 2 Hh2 2 x Nun gilt es die Wahre Größe des Radius der Kreisfläche zu ermitteln. ies geschieht, wie in der vereinfachten ufgabe vor diesem eispiel, mittels ifferenzdreieck. x ist die ifferenz der X-Werte von und P`. iese Strecke wird im ufriss auf eine Verbindung von und senkrecht auf aufgetragen und ergibt. ie Verbindung mit M`` = ist die Wahre Größe des Radius.. 11

12 Rotation eines Punktes um eine chse allgemeiner Lage Hh x Rr 2 Hh2 2 x ie Hauptachsen der Ellipsen (durch den Mittelpunkt) sind jeweils parallel zu den bbildungsebenen. So wird im Grundriss parallel zur h(- ) die Hauptachse durch und im ufriss parallel zu h2 ( - 2 ) die Hauptachse durch gelegt. ies ergibt die Punkte, und,. Nun fehlen noch die Nebenachsen, die auf der Hauptachse abgebildet werden. Eine Ellipse ist entweder durch beide chsen oder durch eine chse und einen beliebigen Punkt definiert. ie jeweils fehlende Größe kann konstruiert werden. uf der nächsten Seite ist dieses Prinzip erklärt.. 12

13 Ellipsenkonstruktion, Großkreis - Kleinkreis, mit Punkt P PGK 1 P PKK M P M KK GK PGK 2 In der oberen Konstruktion ist der Zusammenhang der Kreise der beiden chsen einer Ellipse zu erkennen. Wird der Großkreis auf die Ellipse vertikal zusammengedrückt, wird der Punkt PGK zum Punkt P. P M Ebenso wird der Kleinkreis horizontal auf die Ellipse gedehnt, wird der Punkt PKK auch zum Punkt P. PGK, PKK und M liegen auf einer Gerade. iese Konstruktion eines beliebigen Punktes einer Ellipse, wenn die beiden chsen gegeben sind, kann auch umgekehrt werden, nämlich, wenn eine chse und ein beliebiger Punkt gegeben ist, wie im ild 1 und die zweite chse konstruiert werden soll. PGK P PKK M 3 Im ild 2 wird von Punkt der Großkreis über den Punkt P hinaus gezeichnet. Von P aus wird eine Parallele zur Nebenachse gezogen, um einen Schnittpunkt PGK mit dem Großkreis zu erreichen. Im ild 3 wird PGK mit M verbunden und von Punkt P eine Parallele zur Hauptachse gelegt und die Verbindung PGK mit M geschnitten. ies ergibt P KK. Im ild 4 ergibt die Strecke PKK mit M den Radius des Kleinkreises und dieser Radius kann auf die Nebenachse gedreht werden. Es sind nun beide Ellipsenachsen definiert. P PKK M 4 Im ild 5 kann nun mit der Näherungskonstruktion die Ellipse gezeichnet werden. 5 P M 13

14 Rotation eines Punktes um eine chse allgemeiner Lage Hh 4 2 Hh2 2 3 Im Grundriss wird der Radius von ` über hinaus gezirkelt und mit einer Gerade von parallel zur Hauptachse geschnitten. ieser Schnittpunkt mit verbunden ergibt auf der Verbindungsgeraden ein Teilstück - 3 welches genau die Länge der halben Nebenachse im Grundriss darstellt. Ebenso wird im ufriss der Radius von über hinaus gezirkelt und mit einer Gerade von parallel zur Hauptachse geschnitten. ieser Schnittpunkt mit verbunden ergibt auf der Verbindungsgeraden ein Teilstück - 4 welches genau die Länge der halben Nebenachse im ufriss darstellt. 14

15 Rotation eines Punktes um eine chse allgemeiner Lage Hh Rr 2 Hh2 2 ie neu konstruierten Nebenachsen werden in Richtung der jeweiligen Hauptachse vom jeweiligen Mittelpunkt aus aufgetragen und ergeben die Punkte,, und. 15

16 Rotation eines Punktes um eine chse allgemeiner Lage Hh Rr 2 Hh2 2 ie neu konstruierten Nebenachsen werden in Richtung der jeweiligen Hauptachse vom jeweiligen Mittelpunkt aus aufgetragen und ergeben die Punkte,, und. ie Ellipsen können in beiden Rissen gezeichnet werden. WIHTIG: ie Punkte,,, im Grundriss korrelieren nicht mit den gleichnamigen Punkten im ufriss, es sind konstruktive Insellösungen pro bbildungsebene. Es gibt auch eine Lösung mit konjugierten urchmessern, das sind urchmesser, die im Raum auf der Kreisfläche senkrecht aufeinander stehen und in den bbildungen verkürzt erscheinen. amit sind aber dann die Ellipsenkonstruktionen in den Rissen aufwendiger. 16

17 Rotation eines Punktes um eine chse allgemeiner Lage Zur estimmung der Sichtbarkeit ist es wichtig, die Lage der chse zu betrachten. Sie reicht von links, vorne und oben, nach rechts, hinten und unten, wobei oben und unten im ufriss und vorne und hinten im Grundriss zu erkennen ist. Somit ist die chse der Kreisscheibe im ufriss von links, oben bis zum Mittelpunkt, im Grundriss von links vorne bis zum Mittelpunkt sichtbar. Im rechten Teil ist die chse von der Kreisscheibe verdeckt. ufgabe gelöst! 17

18 Zusatzaufgabe Zylinder auf die Kreisfläche aufsetzen Hh S S Hh2 2 ls zusätzliche ufgabe könnte noch zu lösen sein, einen Zylinder mit dem halben Radius der Kreisfläche als Zylinderhöhe zu konstruieren. azu ist es nötig die chse in Wahrer Größe zu zeichnen, auf der dann der halbe Radius aufgetragen werden kann. Im Grundriss wird auf die chse im Mittelpunkt eine Senkrechte gezeichnet, auf der die Höhe (Y-Werte von ) aufgetragen wird (grüne Strecke). ie Verbindung mit S ergibt die Wahre Größe der chse. ies ergibt den Punkt. 18

19 Zusatzaufgabe Zylinder auf die Kreisfläche aufsetzen Hh M2 S S M2 Hh2 2 M2 Rr/2 Nun wird auf der chse in Wahrer Größe der halbe Kreisradius aufgetragen und damit ist der Mittelpunkt des zweiten Kreises des Zylinders M2 konstruiert. ieser neue Mittelpunkt wird in Grund- und ufriss, M2, M2, zurückgeführt. 19

20 Zusatzaufgabe Zylinder auf die Kreisfläche aufsetzen Hh M2 S S M2 Hh2 2 M2 Rr/2 Über die Haupt- und Nebenachsen, wie bei den schon gezeichneten Ellipsen der ersten Kreisebene, können die Ellipsen mit dem Mittelpunkt M2 in Grund- und ufriss ebenfalls gezeichnet werden. 20

21 Zusatzaufgabe Zylinder auf die Kreisfläche aufsetzen M2 S S M2 Über die Haupt- und Nebenachsen, wie bei den schon gezeichneten Ellipsen der ersten Kreisebene, können die Ellipsen mit dem Mittelpunkt M2 in Grund- und ufriss ebenfalls gezeichnet werden. ie Sichtbarkeit wurde schon bei der einfachen Kreisscheibe besprochen, sie gilt auch für den Zylinder. ie ufgabe ist gelöst! 21