mathbuch Mathematik für die Sekundarstufe I Lösungen zum Arbeitsheft, Teil II 1.Auflage Online-Code D500-01

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1 mathbuch Mathematik für die Sekundarstufe I Lösungen zum rbeitsheft, Teil II.uflage Online-ode 00-0 Schulverlag plus G Klett und almer Verlag

2 mathbuch Lösungen zum rbeitsheft 3+, Teil II S. 0 9 Gleichungsssteme = a = b = = = 0 g = g = + g = 0 g + 0 = 0 Mögliche Lösung: us einem Steigungsdreieck die Steigung a herauslesen en chsenabschnitt b auf der -chse herauslesen ine Gleichung mit der Form = a + b formulieren iese Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner multiplizieren und dann auf die Form + + = 0 bringen ie eakten Koordinaten des Schnittpunkts heissen ( 4 / ) 3 g = 3 g = + 6 a = 0, b = Mögliche Lösung: Steigung der Geraden: a = = 8 4 = 4 = = 0, 4 lso lautet die Gleichung vorläufig: = 0, + b b ist noch zu bestimmen, zum eispiel durch insetzen der Koordinaten (4/4) des Punktes in die Gleichung: = 0, + b 4 = 0, 4 + b b = + 4 = 0 7 () =,4 +, () =,6, g 3 = ( /6) 0 g g (7,/,) ( / 7 ) = 0, + Mögliche Lösung: = 0 0 P(6/4) 0 0 Schnittpunkt: (0/30,) ie beiden Geraden verlaufen ähnlich steil, sind also nahezu parallel und schneiden sich dementsprechend in relativ grosser ntfernung vom Ursprung. Mögliche Lösung: g = + g = P(/3) g g 8 Individuelle Lösungen (0/30,) eingesetzt in () führt zu,4 0 +, = 30, Gleichung () erfüllt (0/30,) eingesetzt in () führt zu,6 0, = 30, Gleichung () erfüllt ie Kontrolle durch insetzen in beide Gleichungen liefert den eweis, dass (0/30,) der Schnittpunkt ist. 9 = = = = 3 = = 4 = = 4 0 urch Umformen der beiden Gleichungen finde ich heraus, dass () und () aequivalent sind. Jedes der unendlich vielen Zahlenpaare, die Lösung der Gleichung () sind, ist auch Lösung der Gleichung (). (") = (") = = s handelt sich um nur eine Gerade. ie Gerade geht z.. durch die Punkte (0/ ), ( /0) 3 oder (0/ ) 3 ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 0

3 mathbuch Lösungen zum rbeitsheft 3+, Teil II 3 as Gleichungssstem hat keine Lösung. ie beiden Geraden sind parallel, es gibt also keinen Schnittpunkt. Mögliche Lösung: () = + + = 0 () = + + = 0 Ich wähle zwei Gleichungen = a + b, die sich nur in b unterscheiden. So ist sichergestellt, dass die Steigungen gleich und nur die chsenabschnitte verschieden sind. amit sind die beiden entsprechenden Geraden parallel und besitzen keinen Schnittpunkt. ementsprechend hat das Gleichungssstem keine Lösung. 3 () = + (') + = 0 () = (') + = 0 s sind nur dann unendlich viele Lösungen zu erwarten, wenn die beiden Gleichungen des Sstems aequivalent sind. equivalent ist eine Gleichung zu einer anderen dann, wenn sie durch eine erlaubte Umformung aus der anderen hervorgeht. Ich erfinde also eine einfache Gleichung und forme sie um, in diesem eispiel durch Multiplikation der Gleichung mit dem Faktor ( ). Ich gewinne so eine Gleichung (), die aequivalent zur Gleichung = + ist. 4 6 und 6 9 und ,3 Liter à % und,7 Liter à 40 % 7 90 Liter kaltes und 0 Liter heisses Wasser 8 Liter à 40 % und 0 Liter à % S. 6 0 Quadratische Funktion und Gleichung Parabel = Parabel = + 3 Parabel 3 = Parabel Parabel Parabel 3 ie Konstante v bewirkt eine Verschiebung des Scheitelpunktes der Parabel und der Parabel insgesamt um v inheiten nach oben oder unten. er Scheitelpunkt bleibt dabei auf der -chse. Parabel = Parabel = Parabel 3 = 0, Parabel Parabel Parabel 3 9 =, Grad F etwa 7,8 Grad 40 Grad Fahrenheit entsprechen genau 40 Grad elsius. 0 km/h stromabwärts: 33,333 km/h stromaufwärts: 6,666 km/h 8,333 km/h ie Konstante a bewirkt, dass die Parabel breiter (für a < ) oder schmaler (für a > ) wird. 3 Parabel = Parabel = ( ) Parabel 3 = ( + 3) Parabel Parabel Parabel 3 u bewirkt eine Verschiebung des Scheitelpunktes der Parabel und der Parabel insgesamt um u inheiten nach rechts oder links je nachdem, ob u positiv oder negativ ist. er Scheitelpunkt bleibt dabei auf der -chse. ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 0

4 4 mathbuch Lösungen zum rbeitsheft 3+, Teil II 4 a = a b = au c = au + v 0 und F 7,6 776 und 0, G (4 + 6 ) und (4 6 ) H 0 und I ( p + p q ) und ( p p q ) b + b K 4ac und b b 4ac a a (0/8) (6/8) (3/ ) (/0) und (4/0) 6 Zu Graph passt Gleichung. Zu Graph passt Gleichung. Zu Graph 3 passt Gleichung 4. Zu Graph 6 passt Gleichung. Gleichung 3 passt zu keinem der vorgegebenen Graphen Graph 9 Individuelle Lösung = = ( ) = ( ) = ± = 3 = Gleichung 6 passt ebensowenig zu einem der vorgegebenen Graphen = = 4 ( + 4) = 4 ( + 4) = ± = = 6 = 0 + = 6 ( ) = 6 ( ) = ± 4 = = 3 Graph Zu Graph 4 passt folgende Gleichung: = 0 Zu Graph passt folgende Gleichung: = und 3 4 und 4 0 und 0 ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 0

5 mathbuch Lösungen zum rbeitsheft 3+, Teil II 0 Graph Graph Graph 3 S. 7 8 ruchteile in Figuren ,7 % 40 as Verhältnis des Umfangs des ganzen Kreuzes zur Summe aller Umfänge der hellgrünen Kreuze beträgt 9 : ,78 % 79 7a 6 8a + 7a,9a 3 n u 0 = 0 4 = = = 3, Graph (3/0) und (/0) Graph ( /0) und ( 6/0) Graph 3 (/0) und ( 3/0) ie Nullstellen der Funktionen sind die Lösungen der Gleichungen. b + a b a b 4ac b und 4ac = 8 und 0 = und 9 = 4 und = 3 = und 3 = = = und 3 und 4 und 3 4 Gleichung hat keine Lösung. kann nicht gleich sein. Gleichung hat keine Lösung. s kann nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden. Gleichung 4 hat keine Lösung. s kann nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden. 3, und 4 6 ie Seiten messen 9,47 cm und 0,7 cm. 7 as and ist entweder cm oder cm breit. 8 ine Kathete ist cm lang, die andere ist 0 cm lang. 9 und oder 0 und oder 3 4 er Umfang des ursprünglichen Rades beträgt 4, m. ie drei Quaderkanten messen 9 m, 3 m und 33 m. (n ) = n = n Wenn man die Zacken der Figur nach aussen «klappt», entsteht ein Quadrat mit dem gleichen Umfang wie die Figur. ie Seitenlänge des entstandenen Quadrats ist kürzer n als die des ursprünglichen Quadrats. n = nie nie Für u = 4 ist die Gleichung unlösbar. Für u = wäre n = 0,8. n = nie nie Für = 0, ist die Gleichung unlösbar. Für = 0,6 wäre n =. S. 9 Wie genau ist genau? as bedeutet, dass der Weltrekordläufer eine Zeit zwischen 9,7 s und 9,8 s gelaufen ist. as bedeutet, dass rmin Har eine Zeit zwischen 9,9 s und 0,0 s gelaufen ist. as bedeutet, dass ennis Kipruto Kimetto eine Zeit zwischen h min 6, s und h min 7, s gelaufen ist. Minimum 6,4 m Maimum 6,63 m vernünftiges rgebnis 6, m Minimum,4 87 m Maimum,6 77 m vernünftiges rgebnis, m 0,3 m 3 Minimum Maimum vernünftiges rgebnis km 3 88, kg 89 kg, kg kg 0 kg 4 u = m = 0 m relativer Fehler bei : % u =, m = 0,3 m relativer Fehler bei : etwa % u =,3 m = 0,7 m relativer Fehler bei : etwa rund 00 rund 8 m 6 Maimum 33, g: 3,40,40,40 π cm 3 =, g/cm 3 4 3,4,0,0 π Minimum 33,4 g: cm 3 =, g/cm 3 vernünftig gerundeter ichtewert:,69 g/cm 3 4 etwa ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 0

6 6 mathbuch Lösungen zum rbeitsheft 3+, Teil II 7 Maimum 7,7 Fuhren as heisst, es sind 73 Fuhren zu kalkulieren. 8 u = ,6 km u = 40 03,866 km u 3 = 40 03,8904 km ie verschiedenen Werte machen einen Unterschied von rund 0 km aus. In diesem Fall ist am Äquator auch der Umfang am grössten, nämlich km. Vertretbar ist auch das rgebnis km (auf vier Ziffern genau). Zum Vergleich: Wenn man mit r = km rechnet, kommt man auf km (auf vier Ziffern genau) und damit auf einen Unterschied von ungefähr 0 km. 9 Minimum 49,90 77 m 0 m Maimum 6,07 87 m 6 m S Rollerkauf ' = + und ' = 8 (/ 6) (/ 8) (6/ 6) (4/0) (4/ 6) F(/ 6) = F HF HF eides ist gleich teuer. Individuelle Lösungen bbildung bbildung bbildung 3 chsenspiegelung chsenspiegelung chsenspiegelung und rehung 3 Individuelle Lösungen =SUMM(8:8) s bedeutet, dass der Kunde mit seiner Schuld mit der Zahlung der letzten Rate ein wenig unter Null geraten ist. r verfügt also am Schluss theoretisch über ein kleines Guthaben. Individuelle Lösungen Siehe Lösung in der Tabellenkalkulation ' = und ' = (6/ ) (8/ ) (6/ 6) (0/ 4) (6/ 4) F(6/ ) HF Individuelle Lösungen Individuelle Lösungen Individuelle Lösungen 6 Individuelle Lösungen S Grösse Lage Form (0/) (4/0) (/) (3/8) (3/) F(4/) und F bbildung Punktspiegelung bbildung rehung bbildung 3 rehung F Verschiebung ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 0

7 mathbuch Lösungen zum rbeitsheft 3+, Teil II 7 4 bbildung bbildung 4 rehung und Spiegelung Spiegelung und rehung bbildung bbildung Punktspiegelung rehung bbildung 3 bbildung 6 Zerrung Spiegelung und rehung ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 0

8 8 mathbuch Lösungen zum rbeitsheft 3+, Teil II ie bbildungen,, 4, und 6 sind Kongruenzabbildungen. In der bbildung bleiben Grösse und Form der Figur erhalten. Im Term werden die Variablen und mit oder multipliziert. Mögliche Lösung: ' = und ' = ie bbildung ergäbe eine Streckung mit dem Faktor. Mögliche Lösung: ' = + und ' = 8 bbildung 6 ( / ) (/ 3) (3/ ) (/) (/ ) F(/ ) F = F bbildung im Punkt (0/0), also im Ursprung 7 Streckung mit Streckzentrum (0/0) und dem Streckfaktor (,/0,) ( 0,/,) (/0,) ( /,) ( 0,/0,) F( /0,) = F = bbildung, und 4 sind Ähnlichkeitsabbildungen. ei Ähnlichkeitsabbildungen bleiben die Winkel gleich gross. Im Term sind die Faktoren bei den Variablen und gleich. er Faktor bei und entspricht dem Streckungsfaktor. F Mögliche Lösung: ' = 3 + ' = 3 G Mögliche Lösung: ' = 3 + ' = ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 0

9 mathbuch Lösungen zum rbeitsheft 3+, Teil II 9 bbildung 3 S Kugelrund Oberfläche O 79 mm Volumen V 6 mm 3 Oberfläche O 0 cm Volumen V 0 cm 3 Oberfläche O 46 cm Volumen V 9 cm 3 Oberfläche O 60 cm Volumen V 800 cm 3 m grössten ist die Schnittfläche genau in der Mitte, also am «Äquator». m kleinsten ist sie in der Nähe der «Pole». F = = 3 ie grösste Schnittfläche entspricht einer Kreisfläche mit dem Inhalt πr. ie Oberfläche ist mit 4πr aber genau viermal so gross. araus lassen sich alle gesuchten Formeln ableiten. Wenn wir die Schnittfläche nennen, lauten die Formeln folgendermassen: Radius r = π Oberfläche O = 4 Volumen V = 4 = 4 3 π π erechne die fehlenden ngaben in der Tabelle. bbildung 4 urchmesser [cm] Radius [cm] grösstmögliche Schnittfläche [cm ] Oberfläche [cm ] Volumen [cm 3 ] ,3, ,6, ,, ,4 6, ,8, ,0 3,0 30, r d urchmesser Kugel Radius Kugel r O Oberfläche Kugel Radius Kugel ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 0

10 0 mathbuch Lösungen zum rbeitsheft 3+, Teil II r 3 4 S evölkerungswachstum V 4, Volumen Kugel t [min] [ ] , 4 37, , 8 6,, 4 3, Radius Kugel 0 [ ] , 7, 3 9, 8 6,, 4 3, Temperatur [ ] er Radius der grossen Kugel ist 0-mal so gross wie der Radius der kleinen Kügelchen. ie Oberfläche von 000 kleinen Kügelchen ist insgesamt 0-mal grösser als die Oberfläche einer einzigen grossen Kugel, die das gleiche Volumen hat wie die 000 Kügelchen zusammen. 7 V = mm 3 O = 7,7 mm icke = 0,6 mm 8 Situation % Situation % Situation 3 % egründung: er nteil des Kugelvolumens am Volumen des Würfels bleibt immer derselbe. ies kann man aus der Formel für das Kugelvolumen entnehmen. Wir vergleichen Situation mit Situation : In Situation beträgt das Volumen der Kugel 4 πr 3. 3 In Situation ist der Radius einer Kugel halb so gross wie bei der grossen Kugel, er beträgt also in ezug auf die Kugel in Situation r. as Volumen einer Kugel aus Situation beträgt also 4 π( r ) 3 = 4 π r 3 = 4 πr ie acht Kugeln in Situation haben also das gleiche Volumen wie die Kugel in Situation ie Temperaturabnahme pro Zeiteinheit wird immer geringer und geht allmählich gegen Null. 0 Grad Grad Mögliche Lösung: Nach 3 Minuten vielleicht Grad, nach 6 vielleicht 0 Grad. 3 ie ussage stimmt. s braucht etwa 3 Minuten zum Halbieren von 40 auf 0 Grad. Zum Halbieren von 9 auf 4, Grad braucht es ebenfalls etwa 3 Minuten. jeweils etwa 3 Minuten 4 0, Für jedes Grad Temperaturdifferenz zwischen Flüssigkeit und Umgebung nimmt die Temperatur um 0, Grad pro Zeitschritt (das sind hier 3 Minuten) ab. Individuelle Lösungen Zeit [min] 6 iese Formel geht davon aus, dass die Zunahme der Temperatur innert einer bestimmten Zeit proportional zur ifferenz der Umgebungstemperatur (hier 0 Grad) und der Wassertemperatur ist. Individuelle Lösungen Individuelle Lösungen :, Wenn der urchmesser von Kugel doppelt so gross ist wie derjenige von Kugel, dann ist der Radius von Kugel auch doppelt so gross wie derjenige von Kugel. ist die grösste Schnittfläche von Kugel doppelt so gross wie diejenige von Kugel. ist die Oberfläche von Kugel doppelt so gross wie diejenige von Kugel. ist das Volumen von Kugel achtmal so gross wie dasjenige von Kugel. Wenn das Kugelvolumen von Kugel 7-mal so gross ist wie dasjenige von Kugel, dann ist die Oberfläche von Kugel neunmal so gross wie diejenige von Kugel. ist die grösste Schnittfläche von Kugel dreimal so gross wie diejenige von Kugel. ist der urchmesser von Kugel neunmal so gross wie derjenige von Kugel. ist der Radius von Kugel dreimal so gross wie derjenige von Kugel. Wenn die Oberfläche von Kugel einen Hundertstel der Oberfläche von Kugel beträgt, dann ist der urchmesser von Kugel auch 00 des urchmessers von Kugel. ist der Radius von Kugel zehnmal kleiner als derjenige von Kugel. ist die grösste Schnittfläche von Kugel auch 00-mal kleiner als die grösste Schnittfläche von Kugel. ist das Volumen von Kugel 00-mal kleiner als das Volumen von Kugel. ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 0

11 mathbuch Lösungen zum rbeitsheft 3+, Teil II S inmaleinstafel Mögliche Lösungen: eispiele Feststellung rklärung = = = = 97 ie Summe der zwei gelben Felder ist immer um grösser als die Summe der zwei grünen Felder. gelb ab + (a + )(b + ) = ab + a + b + grün a(b + ) + b(a + ) = ab + a + b eispiele Feststellung rklärung = = = = 6 ie Summe der zwei gelben Felder ist immer um 4 grösser als die Summe der zwei grünen Felder. gelb ab + (a + )(b + ) = ab + a + b + 4 grün a(b + ) + b(a + ) = ab + a + b eispiele Feststellung rklärung = = = = 80 ie Summe der zwei gelben Felder ist gleich wie die Summe der zwei grünen Felder. gelb ab + a(b + ) = ab + a grün (a )(b + ) + (a + )(b + ) = a(b + ) = ab + a eispiele Feststellung rklärung = = = = 9 ie beiden ifferenzen stimmen mit den beiden Faktoren im oberen Feld überein. ab a(b ) = ab ab + a = a (a + )b ab = ab + b ab = b eispiele Feststellung rklärung 4 = 4 = = = 8 8 = = 4 ie Produkte wachsen von links nach rechts auf den Waagrechten immer schneller an. Wir finden ein quadra tisches Wachstum mit folgendem Merkmal: ie ifferenz zweier benachbarter Felder nimmt von links nach rechts immer um zu. ifferenz: (a + )(b + ) ab = a + b + a + b + ((a ) + (b ) + ) = a + b + a + b + = F eispiele Feststellung rklärung 6 = 7 7 = = = = 80 7 = 77 ie Produkte wachsen von oben nach unten auf den Senkrechten immer lang samer an. ie ifferenz zweier benachbarter Felder nimmt von oben nach unten immer um ab. ifferenz: (a + )(b ) ab = a + b a + b ( a + b + ) = a + b + a b = G eispiele Feststellung rklärung 4 3 = = 0 4 = = 8 6 = = = 4 8 = 40 ie ifferenzen sind allgemein um grösser als die ifferenz der beiden Faktoren a und b, die im Feld mit dem grös seren Produkt stehen. ab (a + )(b ) = ab ab + a b + = a b + ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 0

12 mathbuch Lösungen zum rbeitsheft 3+, Teil II Sie ist immer durch 3 teilbar. er erste der zwei Faktoren links und der zweite der Faktoren rechts ergeben die Summe 3. benso ergeben der zweite Faktor rechts und der erste Faktor links die Summe 3. Mit Variablen ausgedrückt heisst das:. Faktor links a. Faktor rechts (3 a). Faktor rechts b. Faktor links (3 b) Somit präsentiert sich die ifferenz der beiden Produkte wie folgt: a (3 b) b (3 a) = 3a ab 3b + ab = 3a 3b = 3 (a b) ie ifferenz ist also durch 3 teilbar. 3 ie ifferenz 6 ist gleich 4. ie ifferenz ist auch gleich 4. ie ifferenz ist auch gleich 4. a (a + 3) (a ) (a + 4) = a + 3a a + a 4a + 4 = 4a 4a + 4 = 4 4 ie ifferenz von zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen ist immer gleich der Summe der beiden aufeinander folgenden Zahlen, aus denen die Quadrate gebildet worden sind. lgebraisch gesagt: (a + ) a = a + a + a = a + a + = a + (a + ) 30 + (30 + 3) = 3 = (30 + 3) + (3 + 3) = 3 = (30 + 3) + (3 + 3) + (3 + 33) = 33 = = 3 8 = ggt = 8 = 7 37 = ggt = 7 44 = = ggt = 3 3 = 8 64 = 3 = 3 3 ggt = 3 = 4 Lösung = 8 Lösung = 8 Lösung = 8 In allen drei Fällen wird die Summe 8 erreicht. 6 Individuelle Lösungen 7 ie Seitenmittelpunkte eines reiecks werden miteinander verbunden. So wird das ursprüngliche reieck in vier deckungsgleiche reiecke geteilt. as mittige reieck wird entfernt. In die übrig gebliebenen reiecke wird erneut je ein reieck gezeichnet, indem die jeweiligen Seitenmitten verbunden werden. uch diese mittigen reiecke werden entfernt. Usw. 8 lgebraische Verallgemeinerung: a + (a + a + ) + (a + + a + ) + (a + + a + 3) + + (a + n + a + n) = (a + n) + = 6 = 4 + = = lgebraische Verallgemeinerung: a a + = (a ) S lgorithmen eide lgorithmen funktionieren nach dem Prinzip des ufteilens und wieder Zusammenfügens. ei Quicksort findet die Sortierung beim ufteilen statt, bei Mergesort wird im Prozess des Zusammenfügens (Mischen) sortiert. Schritt 84 = Schritt 49 = Schritt 3 3 = Schritt 4 4 = Vom Original zu Stufe findet ein Zuwachs von 4-mal ein Viertel des Quadrats mit der Grundfläche a statt: 4 a 4 Von Stufe zu Stufe findet ein Zuwachs von 8-mal ein chtel des Quadrats mit der Grundfläche a statt: 8 a 8 Von Stufe zu Stufe 3 findet ein Zuwachs von 6-mal ein Sechzehntel des Quadrats mit der Grundfläche a statt: 6 a 6 6 a = 8 a = 4 a = a cm Stufe 9 03 reiecke und 047 Quadrate ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 0