Vermessung von Meteorbahnen

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1 Vermessung von Meteorbahnen mit sphärischer Trigonometrie Ausgangspunkt Für die 3-dimensionale Vermessung von Meteorbahnen und Berechnung des Aufschlagspunkts auf der Erde kann das folgende Programm verwendet werden: Dabei wird mit Hilfe der Trigonometrie die räumliche Bahn des Meteors ausgehend von 2 Beobachtungen von verschiedenen Standorten berechnet. Dies ist ausreichend bei kleinen Distanzen des Meteors bis zu 100 bis 200 km Entfernung. Für grössere Entfernungen ist es vorteilhaft, die Krümmung der Erde und den nicht parallelen Verlauf der geographischen Koordinaten zu berücksichtigen. Dies soll im Folgenden dargestellt werden. Sphärische Trigonometrie Die Beobachtungen oder Sichtlinien des Meteors von verschiedenen Standorten projiziert auf die Erdoberfläche (Azimut) und die Verbindungslinie zwischen den zwei Standorten werden durch Grosskreise auf der kugelförmig angenommen Erde dargestellt. Diese schneiden auf der Kugel sphärische Dreiecke heraus, welche mit Hilfe der sphärischen Trigonometrie berechnet werden. In einem 2. Schritt werden die Höhen berechnet. Das nautische Dreieck ist ein Beispiel für die Anwendung der sphärischen Trigonometrie zur Ortsbestimmung. ( Der Nordpol, der Zenit des Beobachters und der Sternort bilden die Ecken des Dreiecks mit Seitenlängen 90 - phi, 90 - delta und 90 - h mit geographische Breite: phi Deklination: delta Höhe des Sterns über Horizont: h Der Winkel am Pol entspricht dem Stundenwinkel t, der Winkel im Zenit dem Azimut A (mit negativem Vorzeichen) und der Winkel am Stern dem parallaktischen Winkel Ein sphärisches Dreieck ist durch insgesamt 3 Seiten oder Winkel bestimmt, die übrigen können aus diesen drei Stücken bestimmt werden. (siehe z.b. E. Voellmy, Mathematische Formeln und Tabellen, Orell Füssli. Dies sollte älteren Mittelschülern noch ein Begriff sein) So gilt zum Beispiel für das nautische Dreieck M. Dubs Seite 1/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,

2 (Wikipedia, s.o.) Die gleichen Formeln können auch zur Distanz- und Azimutberechnung zwischen den zwei Beobachtungsorten mit Breite phi1 und phi2, Längenunterschied delta Lambda verwendet werden (P und Q sind die beiden Standorte der Beobachter): Distanz PQ = ARCCOS(SIN(phi1)*SIN(phi2)+COS(phi1)*COS(phi2)*COS(dlam)) in Bogenmass, nach Multiplikation mit Re (Erdradius) in km (Die Formeln werden direkt wie in EXCEL verwendet geschrieben). Zur besseren Lesbarkeit sind im EXCEL-Datenblatt die meisten Winkel in Bogen- und Gradmass angegeben, die Distanzen in km. Beim Azimut muss man aufpassen, da der ARCSIN nicht eindeutig ist. Um immer die Lösung im richtigen Quadranten zwischen 0 und 360 zu finden, bietet sich ein Trick an, der in Jean Meeus, Astronomical Formulae for Calculators (Willman-Bell, 1982) beschrieben ist. Dabei wird anstelle des Sinussatzes der Kotangentensatz verwendet: ctg a sin b = cos b cos gamma +sin gamma ctg alpha, mit Winkeln alpha und gamma sowie Seiten a (gegenüber alpha) und b (siehe Voellmy, op.cit.). Etwas umgeformt und auf unser Problem übersetzt wird daraus: Azimut PQ = ARCTAN (SIN(dlam)/(-COS(dlam)*SIN(phi1)+TAN(phi2)*COS(phi1))). Der Tangens ist immer noch zweideutig, tg(alpha ) = tg(alpha). Der Trick besteht darin, den ARCTAN durch die Umwandlung von kartesischen in Polarkoordinaten zu ersetzen, d.h. man verwendet die Beziehung Azimut = ARCTAN2(x, y) arctan(y/x). Dabei sind x,y kartesische Koordinaten, von welchen das Argument im richtigen Quadranten, je nach Vorzeichen von x und y gebildet wird. Man muss nun nur verifizieren, dass dabei in EXCEL oder einer anderen verwendeten Programmiersprache wirklich der richtige Winkel herauskommt. Im folgenden wird das Azmut von Norden (0 ) über Osten gezählt (bei Meeus von Südenüber Westen), östliche Länge und nördliche Breite positiv. Dann gilt: Azimut Az PQ = ARCTAN2(-COS(dlam)*SIN(phi1)+TAN(phi2)*COS(phi1);SIN(dlam)), für das Azimut der Richtung des zweiten Standorts Q vom Standort P aus. Da der Grosskreis zwischen P und Q die Längengrade unter verschiedenen Winkeln schneidet, sind die Azimute von P nach Q und von Q nach P nicht genau um 180 verschieden, das Kugeldreieck zwischen P, Q und Meteor weist also andere Winkel auf als das ebene Dreieck. Weitere sphärische Dreiecke werden durch die beiden Beobachtungspunkte einerseits und den Meteor zu Anfang, Ende oder am Aufschlagspunkt der Erde gebildet. Diese werden analog berechnet, durch geeignete Substitution der Variablen, unter Berücksichtigung der richtigen Vorzeichen. Dafür sei auf das EXCEL-Datenblatt verwiesen. Zur Kontrolle werden die geographischen Meteorkoordinaten aus Abstand und Azimut sowohl von P als auch von Q aus berechnet. Mit falschem Vorzeichen der Länge müssten mit hoher Wahrscheinlichkeit unterschiedliche Werte herauskommen. Erdkrümmung In 113 km Entfernung werden die Höhen wegen der Erdkrümmung 1 km zu tief berechnet. Dieser Fehler steigt quadratisch an, in 360 km sind es also bereits rund 10 km. Dieser Fehler wird durch einen (quadratischen)korrekturterm korrigiert: h1 = d1*tan(ha_1)+d1^2/2/re (d1 und h1 in [km]) (Für die Berechnung des Aufschlagspunktes wurde die Erdkrümmung vorerst vernachlässigt). Beispiel Als Beispiel wurden die Daten im zitierten Berechnungsschema mit sphärischen Koordinaten gerechnet und mit den Rechnungen mittels kartesischer Koordinaten verglichen. Die Abweichungen sind gering, da sich bei den Distanzen von maximal 130 km die Fehler noch M. Dubs Seite 2/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,

3 kaum auswirken gegenüber Messfehlern. Hier ein Vergleich der Resultate mit beiden Methoden, mit den gleichen Messdaten: kartesisch sphärisch Distanz von Sternwarte Bülach nach Osservatorio di Gnosca: km Richtung von Sternwarte Bülach nach Osservatorio di Gnosca: Distanz von Sternwarte Bülach zum Meteor-Fusspunkt (aufleuchten): km Distanz von Sternwarte Bülach zum Meteor-Fusspunkt (verlöschen): km Distanz von Osservatorio di Gnosca zum Meteor-Fusspunkt (aufleuchten): km Distanz von Osservatorio di Gnosca zum Meteor-Fusspunkt (verlöschen): km Meteor-Fusspunkt (aufleuchten): nördl. Breite: östl. Länge: Meteor-Fusspunkt (verlöschen): nördl. Breite: östl. Länge: OK Länge der Meteor-Spur am Boden: km Richtung der Meteor-Spur: Höhe des Meteor-Aufleuchtpunktes über Grund: km Höhe des Meteor-Verlöschpunktes über Grund: km Eintrittswinkel des Meteors in die Erdatmosphäre: Länge der Meteor-Bahn im Raum: km Meteor-Geschwindigkeit: km / Sek. Länge der Dunkelflug-Spur: km möglicher Aufschlagpunkt: nördl. Breite: östl. Länge: Da die Beobachtungsorte fast auf dem gleichen Längengrad liegen, sind die Abweichungen durch die Verwendung von kartesischen Koordinaten relativ gering. Grössere Abweichungen gibt es, wenn die Beobachtungsstationen in Ost West Richtung weiter entfernt liegen, wie sich leicht berechnen lässt. Die Resultate von Bülach - Gnosca noch graphisch dargestellt: M. Dubs Seite 3/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,

4 Refraktion Diese wird zum Teil berücksichtigt, da ja die Koordinaten der Richtung aus Sternkoordinaten abgeleitet werden, welche ebenfalls der Refraktion unterliegen. Der Rest könnte eventuell durch eine Höhenkorrektur in den unteren Schichten der Atmosphäre korrigiert werden. Beispiel: Bei 5 Höhe beträgt die Refraktion 10. Ersetzt man die Atmosphäre mit variabler Dichte und Brechungsindex durch eine Schicht von 7 km Höhe und konstantem Brechungsindex, so ergibt sich eine Ablenkung um rund 230 m in der Höhe. Dabei ist der Meteor bei einer Höhe von 80 km rund 600 km entfernt, was einem Winkelfehler von rund 1.5 entspricht. Ich denke, das ist ebenfalls vernachlässigbar. Höhe der Standorte Diese ist in der zweiter Version berücksichtigt (sphärische Rechnung), H1_ Höhe Standort 1, H2_ Höhe [km], Höhe Aufschlagpunkt HI_ [km] Abplattung Die Abweichung bei 45 N kann berechnet werden (s. Max Waldmeier, Leitfaden der astronomischen Ortsbestimmung, Aarau 1958! Trotz dem Alter des Buchs stimmt das immer noch) Länge des Breitengrads bei Kugelgestalt und Ellipsoid: m resp m Länge des Längengrads/cos(phi) bei Kugelgestalt und Ellipsoid: m resp m. Berechnet mit Re= m und Abplattung 1/ Ich denke, der Positionsfehler von rund 200m/Grad kann vernachlässigt werden. Krümmungsradius des Meridians: Aus: A manual of Spherical Astronomy, Chauvenet, Präzession Durch die Präzession ändern die Sternkoordinaten laufend. Sternkataloge beziehen sich deshalb auf ein fixes Datum, heute meistens J2000 (entspricht 2000, Jan. 1.5, das J steht für Julianische Epoche, basierend auf einer Jahreslänge von Tage), ältere auf B1950 (1949 Dez :09 UT, B für Besseljahre mit Tage, siehe Wikipedia: Epoche). Für die Berechnung von Höhe und Azimut auds Rektaszension und Deklination wird aber der aktuelle Ort des Pols und Frühlingspunkt benötigt, d.h. die Rektaszension und Deklination zur aktuellen Zeit. Die Abweichung beträgt rund 50.3"/Jahr oder 2014 rund 12'. Für die Umrechnung können folgende Formeln verwendet werden (Suppl. Nautical Almanac, vereinfacht) α = α "*(Y ) "*( Y )*sin(α)*tan(δ) δ = δ "*( Y )*cos(α) wobei Y dem Jahr entspricht, mit Bruchteil für Datum, α und δ Rektaszension und Deklination in geeigneten Winkeleinheiten oder mit Verwendung des Julianischen Datums: Y 2000 = [JD )]/ M. Dubs Seite 4/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,

5 Radiant, Korrektur der Erdrotation und Erdanziehung Der beobachtete Radiant (topozentrisch) ändert sich im Lauf der Nacht bedingt durch die Geschwindigkeit des Beobachters in Ost-West-Richtung. Die Geschwindigkeit des Meteors bezüglich des nichtrotierenden Erdmittelpunkts (geozentrisch) erhält man mittels Vektoraddition in einem kartesischen Koordinatensystem am Ort des Meteors (x-achse nach Osten, y-achse nach Norden, z-achse nach Zenit) mit v x (Beobachter) = 2*π*R e /86160s*cos(ϕ) = cos(ϕ)*465m/sec Die so korrigierte Geschwindigkeit des Meteors beim Eintreffen in die Erdatmosphäre muss zusätzlich um die Erdanziehung korrigiert werden. Die Erdanziehung erhöht einerseits die Geschwindigkeit gegenüber der Geschwindigkeit ausserhalb des Gravitationsfelds der Erde und andererseits die Richtung, falls der Radiant nicht im Zenit liegt. Dabei verkleinert sich die Zenitdistanz, man spricht deshalb auch von Zenitattraktion. Diese Einflüsse müssen korrigiert werden, falls die ungestörte Richtung und Geschwindigkeit gesucht sind, z.b. für eine Bahnberechnung. Sowohl Erdrotation und Erdanziehung ändern je nach Beobachtungsort und zeit und werden in den tabellarischen Werten der Radianten der verschiedenen Meteorströme berücksichtigt. (Für die Bahnberechnung muss zur geozentrischen Geschwindigkeit des Meteors noch die Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne, rund 30 km/sec vektoriell addiert werden, was am einfachsten in einem kartesischen Ekliptikkoordinatensystem geschieht). Julianisches Datum Für Berechnung von Zeitintervallen (z.b. bei Bahnberechnung) ist das Kalenderdatum nicht praktisch, man verwendet deshalb das Julianische Datum, beginnend ab v.chr. mittags, entsprechend JD = h JD = , MJD = h JD = , MJD = Das modifizierte Julianische Datum erhält man durch Subtraktion von , wobei die Tage um Mitternacht beginnen, für unsere Zwecke praktischer. Für die Berechnung des Julianischen Datums ist in Meeus, Astronomical Formulae for Calculators eine Rechenmethode angegeben. Einfacher kann das MJD in EXCEL berechnet werden, für Daten ab gilt: MJD = Excel Datum Dummerweise wird das Jahr 1900 in EXCEL als Schaltjahr gerechnet, was aber im Gregorianischen Kalender seit 1582 nicht mehr der Fall ist, deshalb Vorsicht. EXCEL für Mac verwendet eine andere Datumszählung, mit Nullpunkt ! Eine gute Beschreibung und Berechnung von fast allen Kalendern findet sich hier: auch für arabische oder Mayakalender. M. Dubs Seite 5/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,

6 Verwendung von Orbit zur Berechnung Das Programm UFO Orbit V2.30 erlaubt die Berechnung der Meteorbahn aus der Schnittfläche der Ebenen aufgespannt durch Beobachter und Grosskreis durch die Beobachtungspunkte (Aufleuchten und Erlöschen). Dadurch sollten sich Fehler in der genauen Bestimmung dieser Punkte vermeiden lassen. Nach einigen Schwierigkeiten konnte die Rechnung durchgeführt werden. Die Daten werden im Format R90 eingegeben (siehe Manual Das Programm weist noch einen Fehler auf, bei mir hat es nur richtig gerechnet, wenn die Zeitzone des PC auf UTC (0h) eingestellt ist und die Zeiten in UTC angegeben werden. Dies ist in der neusten Version (V2.31) auf meine Anregung hin korrigiert worden. Weiter ist zu beachten, dass das Azimut in R90 von Süden gerechnet wird!! was ich anfänglich nicht beachtet habe. Schliesslich hat es aber funktioniert: Mit Orbit! Korrekte Höhen für Bülach (550 müm) und Gnosca (255 müm) ergeben noch eine Verbesserung der Fehler der zwei Bahnen. M. Dubs Seite 6/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,

7 Vergleich mit meinen Rechnungen: Grün: mit UFO Orbit Rot: Rechnung sphärisch und kartesisch Übereinstimmung hervorragend! kartesisch Sphärisch UFO Orbit Meteor-Fusspunkt (aufleuchten): nördl. Breite: östl. Länge: Meteor-Fusspunkt (verlöschen): nördl. Breite: östl. Länge: Höhe des Meteor-Aufleuchtpunktes über Grund: Höhe des Meteor-Verlöschpunktes über Grund: Die Eingaben für UFO Orbit werden im Blatt Orbit zusammengestellt und auf das Blatt R90 kopiert. Zur Berechnung dieses Blatt in neue Arbeitsmappe kopieren und als *.CSV abspeichern (Wichtig: Komma als Trennzeichen, in Windows Systemsteuerung, Ländereinstellungen einstellen). Nachtrag: Seit 26. Feb gibt es eine neue Version von UFO Orbit (V2.31), welche die oben erwähnten Problem nicht mehr hat: Special Note: Version Up changes from V2.30 to Update leap second file UFOx_LSec.csv (values on 2013 and 2014 were added) 2. External input csv R91 format became acceptable. R91 format is equal to R90 format except the first column "ver" identifier. If it is "R90" than the local time will be converted using Windows system timezone setting of your PC(same as V2.30). If it is "R91" then the local time will be converted using Tz value(hour,ex. JST = 9) in the record and the system time zone will be ignored. Die entsprechende Änderung in Bahnberechnung-sphaerisch-kartesisch V2.xls wurde vorgenommen. (R90 ersetzt durch R91, Azimut korrigiert). M. Dubs Seite 7/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,

8 Verwendung von UFO Analyze Mit add: Verzeichnisse mit Daten auswählen: AVI und M.M.bmp sind notwendig. In M.xml sind die Daten für die Analyse bereits zusammengestellt (speziell Kameraprofil) Mit Click auf * können einzelne Verzeichnisse ausgewählt oder entfernt werden. Im Verzeichnis \UA2\PROF sind die Default Kameraprofile gespeichert (Müssen bei der ersten Verwendung mit neuer Kameraposition erstellt werden, siehe Anleitung. Mit View kann der Clip abgespielt werden, falls das nicht funktioniert, fehlt ev. ein Codec. Als nächstes muss die Ausrichtung der Kamera eingestellt resp. überprüft werden. Mit Auto - Smask werden die beobachteten Sterne angezeigt. Mit fovh (Gesichtsfeld in Grad), az, ev und rot (Azimut, Höhe und Drehung der Kamera) wird die Kamera so ausgerichtet, dass die Katalogsterne in die Nähe der gemessenen Sterne zu liegen kommen. Mit Smag kann die Anzahl der Katalogsterne übersichtlich gestaltet werden. M. Dubs Seite 8/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,

9 Mit manual link werden Katalog- und gemessene Sterne verbunden und anschliessend mit adj pos all (linkes Panel) die Ausrichtung verbessert. Wiederholen, bis etwa ok. Dann mit Link Auto link wiederholen. Ddpix lim so einstellen, dass die Rechenzeit nicht zu lang wird. Die Fehler werden angezeigt (rms <0.5 Pixel ok). Mit mag werden die gemessenen Helligkeiten mit Kataloghelligkeit verglichen, funktioniert für hellere Sterne (im Bsp. Mag < 2.8) Mit SD können falsche Zuordnungen entfernt werden, mit lim kann eingestellt werden, wie weit entfernt verlinkt wird, mit s können Sterne sichtbar gemacht werden. Mit save N kann die star map gespeichert werden. Mit analyze wird die Bahn vermessen, falls Positionen OK. Falls alles richtig eingestellt ist, können auch in Main analyze all alle Daten gleichzeitig analysiert werden (funktioniert aber nur, falls korrekte Kameraprofile in \PROF hinterlegt sind. Eine Zusammenfassung der Resultate kann mit >Rxml gespeichert werden (Zeit, Anfangspunkt, Endpunkt, Dauer, Azimut, Höhe, RA, Dec) für alle Objekte). Mit >Mcsv wird ein EXCEL file als Input für UFO Orbit erzeugt. Dieses in Datenverzeichnis für UFO Orbit kopieren oder abspeichern. Daten kontrollieren, falsche Trails entfernen (z.b. mit Duration < 0.1 sec) UFO Orbit Datenverzeichnis auswählen Daten M.CSV laden Mit Auswahl pair sollte es dann so aussehen: M. Dubs Seite 9/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,

10 In der Trail map sollten sich je zwei Geraden schneiden, falls nichts sichtbar, mit single station überprüfen, ob etwas sinnvolles da ist. Falls keine Schnittpunkte sichtbar sind, Zeiten überprüfen! Einstellung Time Zone etc. Fehler in M.CSV suchen. Falls ok, sollte auch ein Ground Map sichtbar sein: Sowie Orbit map: M. Dubs Seite 10/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,

11 Dabei wird von jedem Standort aus die Geschwindigkeit berechnet sowie mit unified radiant noch eine mittlere Lösung gerechnet. M. Dubs Seite 11/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,

12 Keine Übereinstimmung der Geschwindigkeit, Distanz vermutlich falsch! M. Dubs Seite 12/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,

13 Hier stimmen die Geschwindigkeiten etwas besser! Abgespeichert in poslog.txt in entsprechenden Verzeichnis, wird überschrieben! fno= 62 lng= lat= h= fno= 63 lng= lat= h= vo= 17.3 sec= 0.01 fno= 70 lng= lat= h= vo= 17.3 sec= 0.09 fno= 72 lng= lat= h= vo= 13.9 sec= 0.18 fno= 73 lng= lat= h= vo= 16.5 sec= 0.21 fno= 75 lng= lat= h= vo= 15.9 sec= 0.24 fno= 80 lng= lat= h= vo= 18.1 sec= 0.31 fno= 84 lng= lat= h= vo= 14.1 sec= 0.40 fno= 85 lng= lat= h= vo= 14.7 sec= 0.45 fno= 87 lng= lat= h= vo= 14.8 sec= 0.48 fno= 94 lng= lat= h= vo= 16.5 sec= 0.57 fno= 96 lng= lat= h= vo= 14.0 sec= 0.66 fno= 114 lng= lat= h= vo= 12.4 sec= n= 12 (1.04 sec), ave= , Vo1= km/s, Vo2= km/s, dvo= (km/sec^2) ---- Mögliche Fehler Falls 2 Meteorspuren gemessen werden mit Unterbruch erhöhe leap: Mit zwei Teilspuren gibt s Probleme mit UFO Orbit! Mit Systemsteuerung\Alle Systemsteuerungselemente\Anzeige Textgrösse auf 125% setzen könne die Eingabefelder besser gelesen werden, aber die übrigen Anwendungen werden zu gross: M. Dubs Seite 13/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,

14 Literatur, Links, diverses Comets and Meteor Streams, J.G.Porter, London 1952 (spez. Ch. 6, Meteor Orbits, recht ausführlich Zenitattraktion, tägl. Bewegung des Radiant. Appendix: Schritt für Schritt Berechnung von Kometen- und Meteorbahnen) A manual of Spherical Astronomy, Chauvenet, Whipple et al, Reduction Methods for photographic meteor trails, Borovicka et al, 2007, Atmospheric deceleration and light curves of Draconid meteors Koordinatensysteme, Zeit exakt: Ausführliche Formeln für Positionsbestimmung, die Bibel für Astrometrie: K. SeidelmannExplanatory Supplement to the Nautical Almanac, US Naval Obs. Washington, 1992 Bahnberechnung aus Radiant, Geschwindigkeit: zur Kontrolle eigener Rechnung, geschützte Datei, nicht direkt verwendbar, da Rechnungen ausgeblendet Meteor Orbit Determination Workshop 2010: Astrometrie von Fotos: M. Dubs Seite 14/14 Bahnberechnung Meteor aus 2 MessungenV3.doc,