Neue Hashfunktionen. 1 Systematisierung der Bitfolgen

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1 Neue Hashfunktionen (Ernst Erich Schnoor) Die wesentliche Aufgabe einer Hashfunktion besteht in der Umformung digitaler Zeichen beliebiger Länge (n) zu einer eindeutigen digitalen Ausgabe (H) in festgelegter Form (term) [#1]. Das kann ein einzelner Wert, eine eindeutige Zeichenfolge (Vektor) oder eine bestimmte Struktur (z.b.: Matrix) sein. Mit Einführung der Computer verlegte sich die Hashwertberechnung auf die digitale Technik. Dabei vollzieht sich die gesamte Operation in einem einheitlichen Ordnungssystem, im Bitsystem zur Basis 8: Bytetechnik. Offensichtlich wurden bisher einige Bereiche der digitalen Technik die Systematisierung der Bitfolgen als nicht so wichtig erachtet. Diese Lücke soll hier zunächst vorangestellt werden. 1 Systematisierung der Bitfolgen Eine Information ist mehrschichtig. Sie muss aus mindestens zwei Bit bestehen, allgemein aus einer Folge von Bits. Die Bits sind in ihrer Menge unbegrenzt (1 bis ). Um mit Bitfolgen systematisch zu arbeiten, müssen sie systematisiert, d.h. skaliert und in feste Abschnitte (Units) geteilt werden. Es liegt ein vergleichbares Phänomen vor, wie bei der Menge aller Zahlen. Wie in der Zahlentheorie lassen sich auch die Bitfolgen in einem Stellenwertsystem ordnen. Für 8-bit Folgen kann dann beispielsweise vom Bitsystem zur Basis 8 gesprochen werden. Im Einzelnen: System Alphabet Bitfolgen: 1-bit = Bitsystem zur Basis 1 = 2^1 Zeichen = 2 Units 2-bit = Bitsystem zur Basis 2 = 2^2 Zeichen = 4 Units 3-bit = Bitsystem zur Basis 3 = 2^3 Zeichen = 8 Units 4-bit = Bitsystem zur Basis 4 = 2^4 Zeichen = 16 Units 5-bit = Bitsystem zur Basis 5 = 2^5 Zeichen = 32 Units 6-bit = Bitsystem zur Basis 6 = 2^6 Zeichen = 64 Units 7-bit = Bitsystem zur Basis 7 = 2^7 Zeichen = 128 Units 8-bit = Bitsystem zur Basis 8 = 2^8 Bytes = 256 Bytes 9-bit = Bitsystem zur Basis 9 = 2^9 Zeichen = 512 Units 10-bit = Bitsystem zur Basis 10 = 2^10 Zeichen = 1024 Units 11-bit = Bitsystem zur Basis 11 = 2^11 Zeichen = 2048 Units 12-bit = Bitsystem zur Basis 12 = 2^12 Zeichen = 4096 Units 13-bit = Bitsystem zur Basis 13 = 2^13 Zeichen = 8192 Units 14 -bit = Bitsystem zur Basis 14 = 2^14 Zeichen = Units 15-bit = Bitsystem zur Basis 15 = 2^15 Zeichen = Units 16-bit = Bitsystem zur Basis 16 = 2^16 Zeichen = Units 32-bit = Bitsystem zur Basis 32 = 2^32 Zeichen = Units Die zugrunde liegenden Zusammenhänge zeigt die folgende Übersicht:

2 Zu jedem Bitsystem muss ein umfassendes System Alphabet festgelegt werden. Der Aufbau des Stellenwertsystems wird am besten mit der kopfstehenden System- Pyramide dargestellt. In der bisherigen Technik der Hashwertberechnung wird fast ausschließlich im Bitsystem zur Basis 8 gerechnet. Zur Überwindung dieser Einschränkung erscheint vor allem das vom Autor entwickelte CypherMatrix Verfahren geeignet, erläutert im white paper : "Grundfunktion des CypherMatrix Verfahrens".

3 2 Das CypherMatrix Verfahren Mit dem CypherMatrix Verfahren können vor allem Verschlüsselungen und Hashwertberechnungen durchgeführt werden. Dabei ist die Verschlüsselung sehr einfach: Ein Generator erzeugt das erforderliche System-Alphabet und im Codierbereich wird mit der Bit-Konversion der Chiffretext geschrieben. Beide Bereiche werden kombiniert, können aber auch getrennt verwendet werden. Für eine Hashwertberechnung ist der getrennte Einsatz des Generators ausreichend. Vom Ansatz her können folgende Hashwertberechnungen vorgenommen werden: 1. Einfache Verfahren (auf Bit-Konversion gegründet), 2. dynamische Verfahren (auf CypherMatrix Gestaltung gegründet). Im Folgenden wird nur das einfache Verfahren erläutert. Das dynamische Verfahren ist ausführlich im white paper >CypherMatrix< als dynamische Hashfunktion beschrieben. 2.1 Der Hashwert Generator Ein Schlüssel ist nicht erforderlich. Digitale Zeichenfolgen (Dateien) werden in feste Klartextblöcke im Bitsystem zur Basis 8 aufgeteilt. Der erste Block wird als Startsequenz verwendet. Um das durch die Eingabe initiierte einheitliche Ordnungsystem im Bitsystem zur Basis 8 zu verlassen, wird eine Umwandlung in ein anderes Bitsystem durchgeführt: Bit-Konversion. Der entstehende neue digitale Sekundärtext im angestrebten Bitsystem wird der Hashfunktion des CypherMatrix Verfahrens unterworfen und das Ergebnis als Hashwert im Zahlensystem zur Basis 62 ausgegeben. Das originäre Bitsystem zur Basis 8 kann jeweils konvertiert werden nach Basis 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14 und Basis 15. Höhere Umwandlungen sind durchaus möglich.

4 2.1.1 Praktisches Beispiel Als praktisches Beispiel soll der Hashwert für die Datei Gefangen.txt (2294 Bytes) ermittelt werden: Die Gefangenschaft von König Löwenherz AM 11.Juli 1192 wurde Akkon von den Kreuzfahrern des 3.Kreuzzuges eingenommen. Mit dabei war damals auch das Heer des Babenberger Herzogs Leopold V., das bereits zwei Jahre zuvor ins heilige Land aufgebrochen war und durch die lange Reise und vor allem durch eine Seuche im Lager stark strapaziert war. Zum anderen waren hier auch die unversehrten Truppen des englischen Königs Richard I. und die Männer des französischen Königs Philipp II. August. Von diesem Zeitpunk ranken sich die Legenden um ein weltgeschichtliches Ereignis, das vor Akkon seinen Ausgang nahm und mit einer spektakulären Lösegelderpressung endete. Sicher schwer übel genommen wurde Richard Löwenherz, dass er nur das französische Heer mit den Beutestücken und an sich genommenen Schätzen beteiligen wollte, nicht aber die schon monatelang vor Akkon ausharrenden deutschen, kaisertreuen Truppen. Der Babenberger Herzog trat noch im Jahr 1191 die Heimreise an. Bei seiner Rückreise im Herbst 1192 erlitt Richard Löwenherz Schiffbruch und musste auf dem Landweg durch das Gebiet der ihm feindlich gesinnten Grafen von Görz und der Babenberger. Im Dezember 1192 wurde er trotz seiner Verkleidung als Pilger in Erdberg bei Wien von den Gefolgsleuten des Babenberger Herzogs erkannt und von dessen treuen Ministerialen Hadmar von Kuenring auf die Burg Dürnstein gebracht. Im Jänner 1193 reiste Leopold V. mit seinem Gefangenen zum Hoftag Kaiser Heinrich VI. nach Regensburg. Da er sich aber mit dem Kaiser über die Entschädigung nicht einigen konnte, nahm er den englischen König wieder mit nach Dürnstein. Mitte Februar 1193 kam ein bemerkenswerter Vertrag in Würzburg zustande, der die Bedingungen der Übergabe des englischen Königs an den Kaiser regelte. Zu Ostern 1193 wurde Richard Löwenherz von Dürnstein nach Speyer gebracht und dann in der Festung Trifels von Kaiser Heinrich VI. gefangen gehalten. Die Freilassung erfolgte endlich am 4.Februar 1194 in Mainz. Das Lösegeld für die Freilassung König Richards I. stellt eine der größten Geldtransaktionen des Mittelalters dar ( Mark Silber Kölner Gewichts kg), deren Aufbringung selbst England mit seinen festländischen Besitzungen sehr schwer fiel. TUI Flussgenuss 2013 Es gilt für den zu bearbeitenden Text eine eindeutige Bestimmungsformel als Hashwert zu finden. Für das vorstehende Beispiel wird das Programm MyHash13.exe verwendet (Blocklänge 2x13 Bytes, Bitsystem zur Basis 13).

5 Das Programm wandelt den Originaltext vom Bitsystem zur Basis 8 in einen Sekundärtext im Bitsystem zur Basis 13 um. Zunächst ist die Definition eines sachgerechten System Alphabets im Umfang von 8192 Zeichen erforderlich. Einzelzeichen in der geforderten Anzahl stehen nicht zur Verfügung, sie können daher nur als Doppelzeichen mit Hilfe der Ziffern des Zahlensystems zur Basis 128 das sind Ziffern generiert werden. Im Quellcode: SUB Alphabet SHARED Alphabet$(), Kappa (Kappa = 4538) FOR C=1 TO 8192 ' Umfang des Alphabets: 8192 Zeichen X## = C + Kappa CALL DezNachSystem (128, X##, Zeichen$) ' Umwandlung zum Zahlensystem 128 Digit$ = 00 +Zeichen$ Digit$ = RIGHT$(Digit$,2) ' Alphabet Doppelzeichen Alphabet$(C) = Digit$ NEXT C END SUB DezNachSystem (,,) ist eine vom Autor entwickelte Funktion zur Umwandlung von Zahlen vom Zahlensystem zur Basis 2 bis zur Basis 256.

6 Das erzeugte Alphabet zur Basis 13 zeigt beispielsweise folgende Doppelzeichen: Alphabet$(1) = Zx Alphabet$(2048) = pw Alphabet$(4096) = âw Alphabet$(6144) = }w Alphabet$(8192) = Åw Bit-Konversion Der Text wird in serielle Textblöcke bestimmter Länge geteilt (26 Bytes). Als ersten Block liest das Programm folgende Zeichenfolge ein: Die Gefangenschaft von Kön hex: E E F 6E 20 4B 94 6E Basis 8: Basis 13: Index (+1) Alphabet Basis 13 qç kî âš ïh ye c@ Sekundärtext Basis 13: Runde dázp âenëf 1 xœ rj«mgtgüìuæüàz h àëæå çˆfdªx 2 j g à ïbg } b#uvzx rƒ îmy Fâsuc 3 wžìtæéíxg«îâtgp&oz0î î tuš ç mp 4 &Lè å îq&«î VyPy rk î Y Cæ Xz 5 #Wi à jé ƒï}tafwxyräéî Yã DuäYO 6 wžwrzéì tg ìuæmpz Züå m 2 o6wp 7 zya ì bvwgtydƒadf@qè} íêpqn ç it 8 q0iü} äxêuˆî äytz2wrè íé}6üdpswl 9 z0árášíq&«ïçleswì{ h ìêf ˆfæüYO Der Sekundärtext umfasst dieselbe Anzahl Bits wie der Originaltext, nur in anderer Struktur, d.h. in einem anderen Bitsystem mit einem veränderten System Alphabet (Basis 13). Kein Bit wurde hinzugefügt und kein Bit wurde weggelassen. Insoweit besteht in digitaler Betrachtung Identität zwischen beiden Texten. An Stelle des Originatextes kann daher auch der Sekundärtext der Hashwertberechnung zugrunde gelegt werden.

7 2.2 Hashwertberechnung Es gilt für den eigelesenen Text eine eindeutige Bestimmungsformel als Hashwert zu finden. Dabei werden die Grundzüge des Datengenerators auf den Sekundärtext angewendet. Durch die Konversion der Klartextblöcke vom Bitsystem zur Basis 8 (26x8=208) zum Bitsystem zur Basis 13 (208:13 = 16) erhalten die Blöcke eine sekundäre Länge von 2x16 Doppelzeichen. In jedem Durchlauf wird daher ein Textblock von 32 Zeichen (Units) zu einem Rundenhashwert H(p) verdichtet. Beispiel für den ersten Durchgang: dázp âenëf (32 Units) Das Verfahren durchläuft die folgenden Stufen: Analyse Jedes Zeichen des Textblocks a(i) (Unit) wird positionsgewichtet, indem sein Wert mit seiner Position p(i) innerhalb des Blocks und der Zeit t multipliziert wird. Die Zeit ist nicht relevant, daher: t=1. Die Produkte addieren sich zum Zwischenwert H(k): n H(k) = (a i + 1) * p i * t i t i = 1 i = 1 H(k) = Mit der Positionsgewichtung unterscheiden sich zwar die Units a(i), aber Kollisionen als Folge des Austausches von Units innerhalb der Zeichenfolge sind noch nicht ausgeschlossen. Zur Vermeidung von Kollisionen wird die Trennkonstante C(k) eingeführt. Sie bestimmt sich allein aus der Länge (n) des Textblocks und einem individuellen Anwender Code (1 bis 99). C(k) = n * (n 2) + code code = 1 C(k) = 32* = 961 Die Ableitung der Trennkonstanten C(k) wird im Artikel "Bestimmungsfaktoren für Kollisionsfreiheit" dargelegt [#2]. Unter Einbindung der Trennkonstanten C(k) und des Durchlaufs r(j) wird der Bestimmungswert H(k) wie folgt errechnet: n H(k) = (a i + 1) * ( p i + C k + r j ) i = 1 H k =

8 2.2.2 Rundenhashwert Zur Verdichtung der Bestimmungsbasis wird eine Funktion (Hashfunktionsfolge) eingeführt, die die Eingangsdaten zu einer umfangreichen Folge in einem höherwertigen Zahlensystem expandiert und zum Rundenhashwert H(p) summiert. Das Zahlensystem der Expansion ist wählbar zwischen 64 bis 96. Hier wird die Basis 77 festgelegt. Für jedes Zeichen der Eingabe-Seqzenz errechnet das Verfahren den dezimalen Wert (s i ), der dann zu (d i ) (Ziffern im Zahlensystem zur Basis 77) umgewandelt wird. Gleichzeitig ermittelt das Verfahren die Summe aller einzelnen Ergebnisse (s i ) als zusätzlichen Wert H(p) zur Bestimmung verschiedener Steuerungsparameter. s i = (a i + 1) * p i * H k + p i + code + r j s i d i (base 77) Hp = d 1 + d 2 + d d i + d m (m = Anzahl der Zahlen im System zur Basis 77) Das Zahlensystem zur Basis 77 umfasst die folgenden Ziffern: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ abcdefghijklmnopqrstuvwxyz&#@àáâãäåæçèéêë (definiert vom Autor, nicht standardisiert) Bestimmungsdaten Mit dem ersten Durchlauf werden die Parameter für das System-Alphabet zur Basis 13 erzeugt Trennkonstante C(k): 961 Analyse Wert (H k ): Rundenhashwert (H p ): Aus diesen Daten ermittelt sich der Parameter Kappa wie folgt: Kappa ((H k + H p ) MOD 8190) +1 = 4538 Beginn System-Alphabet Der Parameter Kappa wird nur im ersten Durchlauf festgelegt, da ein System-Alphabet für den gesamten Lauf der Funktion ausreicht. Anschließend wird der erste Durchlauf zur Ermittlung des ersten Rundenhashwertes verwendet. Als Bestimmungsdaten ergeben sich: Der zweite Durchlauf mit dem Sekundärtext: Trennkonstante C(k): 961 Analyse Wert (H k ): Rundenhashwert (H p ): xœ rj«mgtgüìuæüàz h àëæå çˆfdªx (32 Units)

9 führt zu folgenden Bestimmungsdaten: Trennkonstante C(k): 961 Analyse Wert (H k ): Rundenhashwert (H p ): Auf diese Weise werden alle Sekundärtextblöcke durchlaufen und die einzelnen Rundenhashwerte addiert zum endgültigen Hashwert H. Das Ergebnis gibt das Programm im Zahlensystem zur Basis 62 aus. 3 Endgültiger Hashwert H Die Zwischenergebnisse jeder Runde werden zum finalen Hashwert H addiert und das Ergebnis in dreifacher Notation ausgegeben: Serielle Hashwerte in GEFANGEN.TXT Rundenwert Analyse Runde Gen.Alphabet

10 Endgültiger Hashwert für: GEFANGEN.TXT Dezimal: Basis 16: 18DB7A0B032D Basis 62: 7lAvVgOT ================================ 3.2 Vergleich mit anderen Hashwerten Die heute üblichen Hashwertberechnungen zeigen für die Datei Gefangen.txt folgende Hashwerte: SHA 1 E7 42 C4 C5 BA 8C D6 28 C8 D2 C7 FD BB 8A AA 71 F1 57 E5 7B RIPEMED-160 2B 8A 22 1B FE D0 C1 8B 0B 0A AC FA 6F DB FA 89 3F CE A7 4B Die Hashfunktion MyHash13 dagegen ergibt als finalen Hashwert ein erheblich kürzeres Ergebnis. 7lAvVgOT Im Vergleich mit bisherigen Ergebnissen kann mit diesem Hashwert handlicher umgegangen werden. Außerdem kann mit dem Hashwert gerechnet werden (Menue: Rechnen). Dabei können alle Zahlensysteme von zur Basis 2 bis zur Basis 128 verwendet werden. 3.3 Sensibilität der Hashfunktion Zur Darstellung der Sensibilität der Hashfunktion wird mitten im Text ein Bit von 1 auf 0 gesetzt: im Text wird Jänner 1193 in Jänner 1192 geändert. Alles Übrige bleibt jedoch unverändert.... Jänner Hashwert: 7lAvVgOT Jänner Hashwert: 7lAEHCxh

11 Durch die Änderung von einem Bit (1 nach 0) ergibt sich eine Differenz der finalen Hashwerte: bisheriger Text : 7lAvVgOT geänderter Text:: 7lAEHCxh Differenz: hetqm Das Programm enthält eine weitere Funktion: Vergleich. Mit der Abweichungen im Vergleichstext sofort lokalisiert werden können.

12 Der Wertebereich der Funktion reicht von 4 bis zu 10 Ziffern im Zahlensystem zur Basis 62. Einige Beispiele: Information Inhalt Bytes Hashwert Basis 62 Hashwert Basis 10 Datei 1 ab 2 AuBC Datei 2 aa 2 fpto Datei 3 ba 2 X3Q Datei 4 bb 2 RXDY MyHash13.exe code S9T4zKgjK xtcoding.exe code ztleymytd ExPeter.txt Datei IFYnlhdwQi Die vorstehenden Beispiele zeigen den Umfang der Hashwert Ergebnisse für verschiedene Anwendungen.

13 4 Abschließende Bemerkungen Ausführliche Erläuterungen und weitere Beispiele zum CypherMatrix Verfahren sind im Internet unter: zusammengestellt. Das Programm MyHash13 und vergleichbare Programme können vom Autor per angefordert werden. München, im September Hinweise [#1] Knudsen, Lars R., Lai, Xuejia und Preneel, Bart Attacks on Fast Double Block Length Hash Functions, Journal of Cryptology, Vol.11#1. New York, 1998, p.59 [#2] Kollisionfrei: telecypher.net/kollfrei.pdf