Ein zensiertes Regressionsmodell für Schlachtdaten von Bioschweinen F. BERNARDI, N. BRUNNER, G.M. GEISBERGER, M. KÜHLEITNER und C.

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1 Ein zensiertes Regressionsmodell für Schlachtdaten von Bioschweinen F. BERNARDI, N. BRUNNER, G.M. GEISBERGER, M. KÜHLEITNER und C. LEEB 1. Problemstellung. Aufzeichnung und Auswertung von Daten gehören mit zu einer erfolgreichen Schweinemast. Was aber tun, wenn Daten nur unvollständig vorhanden sind? Im Rahmen eines vom Landwirtschaftsministeriums geförderten Projekts 1 BEP Bioschwein stellte sich die Frage, wie hoch in der Endphase der Mast die mittlere Gewichtszunahme eines Schweins pro Tag ist. Dadurch ist es möglich, auf der Basis der zu erwarteten Preisentwicklung zu entscheiden, ob höhere Endgewichte der Schweine im Hinblick auf die längere Mastdauer rentabel sind. Werden tägliche bzw. wöchentliche Gewichtsaufzeichnungen gemacht, so berechnet man die mittleren Gewichtszunahmen problemlos mit Hilfe der linearen Regression, welche in Excel mittels Trendlinie zugänglich ist. Im vorliegenden Fall wurde das Gewicht eines Schweins aber nur einmal, nämlich zum Schlachtzeitpunkt gemessen. Konkret wurden 18 Ferkel mit einem Durchschnittsgewicht von 45 Kilogramm in einer Bucht eingestallt und unter gleichen Bedingungen gemästet. (Es handelt sich um etwas ältere Ferkel; üblich sind 10 Wochen alte Ferkel mit rund 30 bis 35 kg.) Zum Verkauf gelangten sukzessive die schwersten Tiere. Nur diese wurden zum Verkaufszeitpunkt gewogen. 2 Tabelle 1 erfasst das Lebendgewicht dieser Tiere. (Nicht erfasst wurde allerdings das Geschlecht.) Tabelle 1. Verkaufsdaten von Schweinen aus einer Mastbucht. Masttage Anzahl Schlachtschweine Lebendgewichte (kg) , 156, 157, , 150, 151, 153, 153, 154, 154, 156, 158, , 146, 147, 150 Die naheliegende Methode zur Bestimmung der mittleren Gewichtszunahme wäre die lineare Regression. Nur, warum sollte man die Gewichte von 18 verschiedenen Tieren, wo von jedem Tier nur ein Gewichtswert, nämlich der zum Verkaufszeitpunkt vorliegt, mittels Trendlinie verbinden? Tatsächlich liefert diese Vorgehensweise keine brauchbare Schätzung für die Gewichtszunahme. Die Regressionslinie fällt und aus ihrer Formel liest man ab: Die Tiere scheinen pro Tag 0,42 kg an Gewicht zu verlieren! Dies liegt jedoch nicht daran, dass die Tiere eine Fastenkur besuchen, sondern ist durch die Systematik der Datenerfassung bedingt: Nur die schwersten Tiere werden in Tabelle 1 berücksichtigt. Sie verschwinden nach dem Verkauf aus dem Datensatz, während die leichteren Tiere zunächst ignoriert werden. Es handelt sich demnach um einen zensierten Datensatz. Die Behandlung solcher Daten erfordert eine eigene Methode. 1 BEP Bioschwein, Einführung und Monitoring von Betriebs-Entwicklungs-Plänen (BEP) Tiergesundheit und Wohlbefinden in österreichischen Bioschweinebetrieben, Forschungsprojekt Nr , BMLFUW LE.1.3.2/0134-II/1/ Bei der Planung der Verkaufszeitpunkte, die aus organisatorischen Gründen mehrere Wochen vorher fixiert werden, kann es sinnvoll sein, auch individuelle Gewichtszunahmen abzuschätzen. So müssen schwere Tiere rechtzeitig verkauft werden, weil ab 130 kg Nutzgewicht (nach Ausschlachtung) ein Preisabschlag erfolgt.

2 2. Methode. Um eine Regressionslinie für zensierte Daten zu berechnen, wenden wir die Maximum Likelihood (ML) Methode an und nehmen für das mittlere Gewicht der Schweine zum Zeitpunkt t (in Tagen, 164 t 186) einen linearen Zuwachs an: (1) (t) = a + b t. Die Funktion (1) ist die ML-Schätzung der Gewichte. Die Abweichung der tatsächlichen Gewichte von diesem Schätzwert ist zufällig. Wir nehmen dafür eine Normalverteilung mit der zeit-unabhängigen Varianz an. Die Wachstumsparameter a, b und die Varianz kennen wir nicht. Wir berechnen sie durch Maximierung der Likelihood. Wenn ein Schwein zum Zeitpunkt t das Gewicht x hat, so beträgt die Likelihood für diese Beobachtung N(x, (t), ). Hier ist N die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung. Die Likelihood einer Beobachtungsreihe ist das Produkt der einzelnen Likelihoods. Sie ist eine Funktion der unbekannten Parameter a, b, und. Man sucht jene Parameterwerte, bei denen die Likelihood der beobachteten Datenreihe maximal ist. 3 Das ist die ML-Schätzung. Bei den zensierten Daten der Tabelle 1 ist für jedes Schwein nur das Gewicht zu einem ausgesuchten Zeitpunkt bekannt. Über die Gewichte zu den beiden anderen Zeitpunkten und deren Likelihood können wir nur Vermutungen anstellen. Ohne zusätzliche Annahmen würde die ML Methode die klassische Regressionslinie liefern. Wir modifizieren daher den ursprünglichen ML-Ansatz, indem wir die Likelihood der Beobachtungsreihe zum Zeitpunkt t noch mit geeigneten Wahrscheinlichkeiten über die vermuteten Gewichte der nicht beobachteten Schweine multiplizieren. Unsere Annahme beruht darauf, dass die Schweine auch in der Endphase der Mast Gewicht zunehmen. Wir unterscheiden für jedes der 18 Schweine drei Typen A, B, C von Daten: Das gemessene Gewicht zum Verkaufszeitpunkt (A), das vermutete Gewicht vor dem Verkaufszeitpunkt (B) und das hypothetische Gewicht danach (C), wenn das Schwein weiter gemästet worden wäre. Zu A, von einem Schwein, das zum Zeitpunkt t verkauft wird und dessen Gewicht dann x beträgt, berechnen wir die Likelihood in Excel als: (2) =NORMVERT(x; (t); ; 0). Zu B, wenn das Schwein zu einem späteren Zeitpunkt s > t verkauft und gewogen wird, dann wissen wir zum Zeitpunkt t: Das Schwein war erstens sicher nicht schwerer, als das leichteste zum Zeitpunkt t verkaufte Schwein, dessen Gewicht sei min(t), und es war zweitens sicher nicht schwerer, als zum Zeitpunkt s, wo sein Gewicht x ist. Wir multiplizieren die obige Likelihood mit der Wahrscheinlichkeit dieser Aussage und berechnen diese in Excel als: (3) =NORMVERT(MIN(min(t); x); (t); ; 1). Zu C, wenn das Schwein bereits zu einem früheren Zeitpunkt f < t mit dem Schlachtgewicht x verkauft wurde, dann wäre es zum Zeitpunkt t bei weiterer Mästung sicher schwerer geworden. Wir multiplizieren die obige Likelihood auch mit der Wahrscheinlichkeit dafür: (4) =1 NORMVERT(x; (t); ; 1). 3 Je größer die Likelihood, desto wahrscheinlicher ist die Beobachtung.

3 3. Aufbereitung in Excel. Zur Auswertung dieses Modells erstellen wir ein Tabellenblatt mit der Beschriftung von Tabelle 2. In A1:C2 schreiben wir Text für die gesuchten Parameter. In den Bereich A6:B23 tragen wir die Daten von Tabelle 1 ein. Wir sortieren dabei die Tabelle, zuerst nach dem Verkaufszeitpunkt und bei gleichen Verkaufszeitpunkten nach dem Gewicht. In der Spalte C berechnen wir (t) nach (1). In C6 steht die Formel =$A$3+$B$3*A6. Wir kopieren diese nach unten bis in C23. In A3:C3 stehen plausible Startwerte für das Wachstumsmodell (1): a = 45 kg ist das Durchschnittsgewicht der Ferkel dieses speziellen Datensatzes bei der Einstallung, b = 0,5 kg pro Schwein und Tag liegt an der unteren Grenze der üblichen Gewichtszunahme, = 5 kg ist die gerundete Standardabweichung der Messdaten (Tabelle 1). Tabelle 2. Beschriftung des Tabellenblatts. A B C D 1 Parameter 2 A B 3 45,0 0,5 5,00 t: 4 (t): 5 Tag LG in kg ML-Schätzer min(t): In E3:G3 tragen wir die drei Verkaufszeitpunkte 164, 172, 186 ein. In E4:G4 berechnen wir dazu (t) nach (1), und in E5:G5 stehen min(t), d.h. die kleinsten Gewichte zu den jeweiligen Verkaufsterminen. In E5 steht die Zahl 150 (kleinstes Gewicht zum Verkaufstermin 164), in der Zelle F5 die Zahl 148 (kleinstes Gewicht zum Verkauftermin 172) und in der Zelle G5 die Zahl 143 (kleinstes Gewicht zum Verkaufstermin 186). Im Bereich E6:G24 berechnen wir zu den Verkaufszeitpunkten die Likelihoods und Wahrscheinlichkeiten entsprechend unserem Modell. Es empfiehlt sich zur besseren Übersichtlichkeit, die Bereiche E6:E9, F10:F19 und G20:G23 (zu diesen Terminen sind diese Gewichte bekannt) einzufärben. Wir berechnen zuerst die Likelihoods zu den Beobachtungsdaten (A); in E6 schreiben wir die Formel =NORMVERT($B6;E$4;$C$3;0). Anschließend kopieren wir dies in die Bereiche E6:E9, F10:F19 und G20:G23. (Die $ sind so gesetzt, dass die Bezüge beim Kopieren korrekt bleiben.) Als nächstes berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten zu den vermuteten Schweinegewichten (B); in E10 schreiben wir =NORMVERT(MIN(E$5;$B10);E$4;$C$3;1) und kopieren dies in den Bereich E10:E23 und F20:F23. Abschließend berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten der hypothetischen Schweinegewichte (C). In F6 schreiben wir =1 NORMVERT($B6;F$4;$C$3;1). Wir kopieren die Formel in die Bereiche F6:F9 und G6:G19. Zur Berechnung der maximalen Likelihood maximieren wir statt des Produkts die Summe der Logarithmen der Likelihoods. Dazu schreiben wir in H6 die Formel =LN(E6) und kopieren dies in den gesamten Bereich H6:J23. In H4 bilden wir die Summe =SUMME(H6:J23); oberhalb beschriften wir die Zelle als Log-Likelihood. Zur Maximierung verwenden wir den Solver: die Zielzelle H4 soll maximal werden; die veränderbaren Zellen sind A3:C3. Nach dem Druck auf den Lösen-Button erhalten wir den

4 Maximalwert 85,271 für die Log-Likelihood bei den Parameterwerten a = 9,218, b = 0,822 und = 9, Ergebnis. Das Modell liefert eine geschätzte mittlere Gewichtszunahme von b = 0,822 kg pro Tag und Schwein in der Endphase der Mast. Dieses Resultat ist mit den Erfahrungswerten des Betriebs kompatibel. Diese Zunahme in der Endphase liegt im Mittel über den Zunahmen während der Mast (0,5 bis 0,7 kg/d). Dies kann für den Datensatz begründet werden, weil in der Endphase die Futtermenge erhöht wurde, da der Lieferant für Ballaststoffbeigaben ausgefallen ist. 5. Alternative Modelle. Das Problem bei der Verwendung zensierter Daten ist es, dass wir über die nicht beobachteten Daten Vermutungen anstellen müssen. Unterschiedliche Vermutungen liefern alternative Modelle, und je weniger Messdaten im Vergleich zu vermuteten Daten verfügbar sind, umso mehr hängt die Schätzung von den Modellannahmen ab. Wir illustrieren dies, indem wir unser Modell mit den Ergebnissen für alternative Modelle vergleichen. 4 Variante 1: Alternatives ML-Modell. Als naheliegende Variante betrachten wir die auf (1) gestützte Hypothese, dass die Schweine während eines Zeitraums t um b t kg zunehmen. Diese Annahme führt zu folgenden Wahrscheinlichkeiten für die vermuteten bzw. hypothetischen Gewichte: (3a) =NORMVERT(MIN(min(t); x b (s t)); (t); ; 1) und (4a) =1 NORMVERT(x + b (t f); (t); ; 1). Wenn wir diese Formeln in das Tabellenblatt einsetzen, erhalten wir aus der ML-Schätzung die Aussage: Das Gewicht nimmt während der Mastendphase im Mittel um 0,25 kg pro Tag und Schwein ab. Die Log-Likelihood beträgt 94,011. Da das erste Modell bei gleichen Daten, gleicher Parameterzahl und einfacherer Struktur eine höhere Log-Likelihood hat, verwerfen wir diese Modellvariante. 5 Die dominanten Tiere in der Bucht wachsen demnach rascher als die anderen Tiere, die ihrerseits nach der Schlachtung der dominanten Tiere rascher zunehmen. Variante 2: Klassische Regression. Wenn wir die Regressionslinie nur durch die gemessenen Verkaufsgewichte legen, erhalten wir einen noch stärkeren täglichen Rückgang von 0,421 kg. Das zugrunde liegende ML-Modell postuliert, dass die Gewichte B und C keinerlei Einschränkungen unterliegen (die Wahrscheinlichkeiten in Formeln 4 und 5 werden gleich 1 gesetzt). Diese Annahme wäre bei der zufälligen Auswahl der verkauften Schweine, unabhängig von ihrem Gewicht, gerechtfertigt. Hier widerspricht das Ergebnis jedoch klar den Erfahrungstatsachen. Aus einem positiven Anstieg der klassischen Regressionslinie lässt sich auch umgekehrt keine qualitative Aussage gewinnen, ob die mittlere Gewichtszunahme größer ist, als bei einem Datensatz mit fallender Regressionslinie. 6 4 Eine Übersicht über verschiedene Modellannahmen und Berechnungsmethoden findet man z.b. bei Dempster et al., J. Royal Statistical Soc. B39/1977, S. 1 ff. 5 Mehr zu dieser Überlegung bei Burnham/Anderson: Model Selection and Multimodel Inference, Berlin Unter den Betriebsdaten gibt es einen Datensatz mit sehr geringer errechneter Gewichtszunahme, wo die Regressionslinie aber ansteigt, weil die Hälfte der Schweine (wegen des langsamen Wachstums) erst am Schluss verkauft wurde.

5 Variante 3: Mastendphase mit Diät. Da die Schweine in der Endphase der Mast bei zuviel Futter leicht verfetten, gibt es auch Fütterungsstrategien, welche die Tiere in der Endphase auf Diät setzen. In diesem Fall ist nicht auszuschließen, dass das Gewicht einzelner Tiere abnimmt. (Im Hinblick auf das Erfordernis der artgerechten Haltung, wo Jungschweine wachsen sollen sie wiegen als erwachsenes Tier ca. 180 bis 250 kg, dient diese Annahme nur der Illustration der theoretischen Flexibilität des Modells.) Auch dies ist mit unserem Tabellenblatt modellierbar: Formel (3b) unten besagt nur: Zum Schlachten werden die fettesten Tiere ausgesucht. Formel (4) wird nicht angewandt (Multiplikation mit 1), weil keine Information über das Wachstum vorhanden ist. (3b) =NORMVERT(min(t); (t); ; 1). 6. Diskussion. Je mehr Messdaten verfügbar sind, umso geringer wird die Abhängigkeit der Schätzung vom Modell. Weil wir nur die Verkaufsdaten A erfasst haben, beruhen unsere Modellrechnungen nur zu 1/3 auf Messdaten. Unsere Ergebnisse dienen daher nur der Illustration der Methode. Ein Betrieb kennt (bzw. kann dies ermitteln) zusätzlich zu den Verkaufsdaten auch die Gewichte der noch nicht verkauften Schweine (Daten B), eventuell auch noch zu weiteren Zeitpunkten, hat also eine mehr als doppelt so große Datenbasis. Unvermeidbar ist nur die Zensierung bei den Daten C über die verkauften Schweine. Diese Zensierung hat aber nicht mehr so starke Auswirkungen auf die Schätzgenauigkeit, denn mit ML-Schätzern wird bereits ab 50% gemessenen Daten eine Genauigkeit erzielt, die der klassischen Regression gleichkommt. 7 Die Methode der zensierten Regression ist daher für Betriebe von Interesse, die ihre bisherigen Endmast-Analysen mittels klassischer Regression unter Berücksichtigung aller verfügbaren Daten verfeinern wollen. Unvermeidbar wird eine zensierte Regression bei allen Fragestellungen, wo nur Daten über die geschlachteten Tiere zur Verfügung stehen. Wenn zum Beispiel befürchtet wird, dass die Gewichtszunahme bei der Fütterungsstrategie vor allem auf Fettzunahme beruht, wird man analog zu oben Modelle über die Fettmasse entwickeln (mit der Hypothese: Die verkauften Schweine sind jene mit der höchsten Fettmasse ). Anschrift der Autoren: Georg-Michael Geisberger, Weilhart 3, 5134 Schwand/Innkreis g.m.geis@aon.at Florian Bernardi und Christine Leeb, Nutztierwissenschaften/NAS Norbert Brunner und Manfred Kühleitner, Mathematik/DIBB BOKU, Gregor Mendel Stasse 33, 1180 Wien Vorname.Nachname@boku.ac.at 7 Dies wurde in Simulationsexperimenten bestätigt von Kuttatharmmakul et al., Analytica Chimica Acta 441/2001, S. 215 ff.