Das äußere Schwerefeld eines Rotationssphäroids

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1 Paper-ID: VGI 960 Das äußere Schwerefeld eines Rotationssphäroids Godfried Oliwa Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen, Wien VIII, Friedrich Schmidt-Platz Österreichische Zeitschrift für Vermessungswesen 48 (4), S BibT E Title = {Das {\"a}u{\ss}ere Schwerefeld eines Rotationssph{\"a}roids}, Author = {Oliwa, Godfried}, Journal = {{\"O}sterreichische Zeitschrift f{\"u}r Vermessungswesen}, Pages = {--9}, Number = {4}, Year = {960}, Volume = {48} }

2 OSTERREICHISCHE ZEITSCHRlfT f ÜR UERMESSUftGSQlESEn Herausgegeben vom OSTERREICHISCHEN VEREIN FOR VERMESSUNGSWESEN Offizielles Organ des Bundesamtes für Eich- und Vermessungswesen (Gruppen f. Vermessungswesen), der Österreichischen Kommission für die Internationale Erdmessung und der Österreichischen Gesellschaft für Photogrammetrie REDAKTION: emer. o. Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. H. Rohrer, o. Prof. Hofrat Dr. phil., Dr. techn. e. h. K. Ledersteger und ORdVD. Dipl.-Ing. Dr. techn. Karl Levasseur Nr. 4 Baden bei Wien, Ende August 960 XLVIII. Jg. Das äußere Schwerefeld eines Rotationss>häroids Von Godfried Oliwa, Wien ( Veröjfetlic/g des Bdesates fiir Eich- und Vermessgswese). Einleitung. Die. Entwicklung des Potentials W der tatsächlichen Erde im Außenraum nach zonalen Kugelfunktionen kann formal in W = U + T zerlegt werden. U wird als Niveausphäroid -ten Ranges bezeichnet. Es gibt nun zwei klassische Entwicklungsmöglichkeiten der Theorie der Niveausphäroide. Die eine stammt von Helmert. Die Eigenschaft der Äquipotenz wird durch Gleichsetzung der Potentialwerte am Pol und Äquator erreicht. Die zweite Möglichkeit wurde von Darwin angewendet. In dem Ausdruck für U müssen, damit dieser an der Oberfläche des Sphäroids einen konstanten Wert annimmt, die Summen der mit den zonalen Kugelfunktionen verbundenen Glieder je für sich verschwinden. Die Darwinschen Entwicklungen führen auf Systeme von Gleichungen, die linear in den Stokesschen Konstanten sind; sie sind bequemer als die Helmertschen Ableitungen, die auf eine Gleichung höheren Grades führen. 2. Das Sphäroid. Ist xz yz + : = die Gleichung eines Rotationsellipsoides, so lautet die Gleichung der Meridianellipse in geozentrischen Koordinaten r, o, wo r der Leitstrahl, o die geozentrische Poldistanz und e = a - c die Abplattung a ist : r = a ( + cos2 o ; e )- -}

3 4 Durch Reihenentwicklung folgt: r = a ( - e cos2 o - 2- e2 (cos2 o - cos4 o) - -(4 cos2 o - 9 cos4 o + 5 cos6 o). Dies ist die Gleichung der Meridianellipse bis einschließlich der in e kubischen Glieder. Die Gleichung des Sphäroids gleicher Abplattung entsteht durch Einführung der Formparameter f und d.f ist von derselben Ordnung wie das Quadrat, d von der des Kubus der Abplattung. Die Gleichung der Meridiankurve des Rotations-Niveausphäroids, also bei Beschränkung auf die zonalen Kugelfunktionen, lautet: r = a ( - e cos2 o + ( - e 2 ) ( cos2 o - cos4 o) + Das Potential im Außenraum ist : + ( d - ) ( 4 cos2 o - 9 cos4 o + 5 cos6 o) ). ( ) w 2 u" = Y"n sor- -5 s2r-p2 + 5 s4r-5p4-6 S6R-7P6 + R2 (l- P 2) Hierbei sind die S2k (k = 0,, 2, ) Massenfunktionen, w die Winkelgeschwindigkeit, die P2k die zonalen Kugelfunktionen und x die Gravitationskonstante. Die Forderung, daß die Oberfläche des Sphäroids in allen Punkten den gleichen Wert besitzt, wird dadurch erfüllt, daß für R der Leitstrahl r eingesetzt wird. Damit ist aber der Weg klar vorgezeichnet. Die mathematischen Entwicklungen sind durchaus elementar. Es sind zunächst die Ausdrücke (; r (n =,, 5, 7) und ( r zu bilden.. Reihenentwicklungen. Wird der Einfachheit halber: = - e, 2 = f - e 2, = d - ; und cos2 o = t gesetzt, so kann r = a ( + t + 2 (t- t2 ) + h (4t - 9t2 + 5t )) geschrieben werden. Wird nach Potenzen von t geordnet, so folgt r = a ( + a t + a2t2 + a t ), wobei a = , a 2 = - ( ), a = 5 ist. Durch unbestimmten Ansatz für!!_ = + ct + c2t2 + c t ergibt sich für die c: Co = c = - a = - (; ) c2 = - a2 + a2 = ( ) + ( 2 + 2; 2) c = - a + 2aa2 - a = ; Durch einfache Berechnung folgt für )

4 lls die Tabelle = 2 c c2 + c 2 c + 6cc2 + c = s n=7 Sc 7c Sc2 + l0c 2 7c2 + 2lc 2 Sc + 20cic 2 + lüc 7c + 42cic2 + Sc Weiterhin ergibt sich leicht c2 = ( ) + ( ) = e 2-2(fe - e) + (t- e2) +(9d- f e) C = -h S =e +2(fe - e)- S (d- e) Es ist also: c = e - f + 2 e2-4 d + 2 e c2 = C = f. -- e 2 + 9d - - e -2'e J' Sd + e + 2fe. 2 Da S2 eine Größe erster, S4 eine zweiter und S6 dritter Ordnung der Abplattung e sein wird, ergeben sich verschiedene zulässige Vernachlässigungen. In der folgenden Tabelle werden die Koeffizienten der Reihenentwicklung für die Niveausphäroide U2 und /4 mit aufgeführt. c = e -f + 2 e 2-4d + 2e Tabelle 2a U4 e -f + 2 e2 e c2 = C = f- e d - -2 e -2/e -5d+ e+2fe 2 f- 2 e2 c = (e - f + e2) C2 = ( + e2) e C = Ü cs =Se C25 = Q C5 = Ü

5 6 Die Koeffizienten der Reihenentwicklung für ( r sind: u6 a2 = - 2 (e - f + e 2) a22 = - 2 (f - 2e 2) a2 = 0 Tabelle 2b - 2e 0 0 In den folgenden Entwicklungen werden gewisse Formeln und Identitäten aus der Theorie der Kugelfunktion verwendet. Sie sind aus der Literatur bekannt und leicht zu verifizieren. Die zonalen Kugelfunktionen sind durch Po = P 2 = T (t- ) P 4 = -if (St2-0t + ) P6 = l6 (2 t - 5t2 + 05t - 5) definiert, wobei t = cos 2 o ist. Daraus ergeben sich folgende Identitäten: t = -T (2P 2 + ) 8 4 t2 = 5P4 + 7P t - 2 p p 4 + 2T p Ferner sei noch an die oft benutzten Fonneln 8 2 P2 2 = 5 P4 + 7P P2P4 = Tf p P4 + 7P2 erinnert. 4. Die Bedingungsg/eic/zungen fiir die S Werden in den Reihenentwicklungen ( r = + Cn t + C2 (2 + C l t die obigen Identitäten benützt, so gilt

6 ( ) 2 = ( + a2 + a22 + a2) + ( a2 + a22 + C2) P2 + ( 8 24 ) a22 +77a2 P4+ 2 a 2P6 Wird ( )" mit P_ und ( ) 2 mit ( -P2) multipliziert, wobei gleichzeitig die Formeln für P22 und P2P 4 benützt werden, so ergeben sich In Hinblick auf den Potentialausdruck werden die obigen Gleichungen mit a' - S ' (/' }5 a5' -if (i'"f un 4 a ' '. ' er e e nac lllu tjp JZiert. - So 2 S2 2 S4 8 S6 d w2 2 d R 'h l I l' Werden nun die Koeffizienten von Pi, P4 und P6 für sich Null gesetzt, so folgt die Bedingung für den konstanten Potentialwert:

7 l 8 Setzt man abkürzend : -S2 -A - B ---C S6 w 2a und -D so folgt weiterhin sehr (Soa2) ' (Soa4) ' (Soa6) - (So 4 n) - leicht die Berechnung für die U2, U4 und U6. Für das Rotations-Niveausphäroid von Bruns ist c = e und alle anderen cik = 0, ebenso alle aik = 0. Daher kommt nur die Gleichung für P2 in Frage: -7 e --A2 7 --D 7 =. 0 und es gilt A2-5 ( e ---D ) = Beim Helmertschen Niveausphäroid U 4 ist C2 =f - --e2 2 C e a2 = -2e und alle anderen cu.- und au, sind Null. c = e - f + 2 e2 \ Es bestehen für P2 und P 4 die Gleichungen: Daraus folgt leicht, wenn für A2 der Ausdruck von oben benützt wird: A4=+(e- D-- -f- e2+ &-ed) B4 = -(7e2-5eD - 2.f) Diese Ausdrücke sind mit den Darwinschen identisch. (Siehe etwa Ansel, Theorie des irdischen Schwerefeldes im Handbuch für Geophysik, Seite 665 oben, wenn der Ausdruck Seite 666 oben angewendet wird.) Für das Rotations-Niveausphäroid U6 ergeben sich, wenn die Ta bellen 2 Berücksichtigung finden, nach längerer, aber einfacher Rechnung: A6 = 2_ ((e - ]_ D - e2 + - ed - -:._.r) + -:._ (d - E_ e2 D - Df - 2_ fe )) B6 =! ((e2-5ed- 2.f-7e + \ 2 } e2d )--h (48d +.fd- 2 6 <::r)) C6 = (6e - 5e2D) --h ( 2e.f + lod -5.fD)

8 9 4n So Setzt man --- = M so findet man : S2 = a2 MA'6> S4 - = - 4n 4n 4n a4 MB'6und S6 = a 6 C'6. Um die in der englischen Literatur gebräuchlichen Symbole einzuführen, sei mit Cook für das Potential gesetzt: U Y-,! (i = - / ( )" P (cos i)). DieJz = A6,J 4 = - B6und J6= = ; C6 sind die Stokesschen Konstanten. Für das Niveauellipsoid folgen mitf = d = 0 die Formeln 5.2 von Cook [l]. Es sei bemerkt, daß die Folgerungen Cooks über eine nicht-isostatische Erde nicht hinreichen, denn es wird f, eine Größe von der zweiten Ordnung der Abplattung, nicht berücksichtigt. 5. Die theoretische Schwere al(f dem Sphäroid Abschließend sei hier nur kurz darauf hingewiesen, daß sich die theoretische Schwere g aus den obigen Entwicklungen kraft der Beziehung g = wo TY, = () :y, W0 = (J;:i ur ist, durch Reihenentwicklung berechnen läßt. ru u Zusammenfassung ( w,2 + W0 2 )t, Ausgehend von den klassischen Definitionen Helmerts und Darwins für Niveausphäroide werden die Beziehungen zwischen den charakteristischen Parametern und den Stokesschen Konstanten J bis zur dritten Ordnung der Abplattung abgeleitet. Als ein Spezialfall ergeben sich die Formeln von Cook, die sich auf das Niveauellipsoid beziehen. Die Entwicklungen sind bewußt elementar im Anschluß an Darwin geführt. Summary Starting from Helmert's and Darwin's classical theory of the equipotential surfaces, being spheroids of revolution, the Potential of a spheroidal mass will be developed in spherical harmonics up to terms of the third order of the fiattening e. Terms of higher order will be neglected. The relation between the characteristical parameters and the Stokian constants is shown. A. H. Cook's formulae are special cases of it concerning to the ellipsoidal spheroids. The developments in spite of their wilfully elementary manner are carried out in pursuance of Darwin's method. Literatur: [l] Cook, The External Gravity Field of a Rotating Spheroid to the order of e. The Geophysical Journal of the R. A. S., Volume 2, Nr., September 959.