KÖRPERBILDER EINE MATHEMATISCHE HERAUSFORDERUNG

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1 KÖRPERBILDER EINE MATHEMATISCHE HERAUSFORDERUNG Stefan Volkwein Fachbereich Mathematik und Statistik, Universität Konstanz Dank an K. Bredies, S. Keeling, F. Kappel, K. Kunisch, M. Mutsaers, M. Weiser Life Sciences Bilder des Lebens, 6. Oktober 2009 Mathematical Optimization and Applications in Biomedical Sciences

2 Spezialforschungsbereich (SFB) Beteiligte Institute SFB Mathematical Optimization and Applications in Biomedical Sciences K. Kunisch (Leitung) und R. Stollberger Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen (Uni Graz) Institut für Medizintechnik (TU Graz) Institut für Numerische Mathematik (TU Graz) Institut für Physiologie (MedUni Graz)

3 Beitrag der Mathematik im interdisziplinären Team (medizinische) Anwendung Versuch = Messungen Messtechnik mathematisches Modell Parameterschätzung optimales Design Mathematik Mathematik = parametriertes Modell Validierung (medizinische) Anwendung

4 Gliederung Unterstützung in der Magnetresonanz-Hyperthermie Parameterschätzung/-identifikation Verständnis des Herz-Kreislauf-Systems Kontrolltheorie Verarbeitung vieler Magnetresonanz-Bilder Optimierung von (partiellen) Differentialgleichungen Bestimmung von Zellrändern Shapeoptimierung

5 Beispiel 1 Magnetresonanz-Hyperthermie Kooperation mit M. Weiser (Zuse Institut Berlin) und Charité

6 Medizinische Anwendung Magnetresonanz-Hyperthermie (Charité, Berlin Buch)

7 Mathematische Formulierung Modell: Differentialgleichung ( ) div ( κ(x) u(x) ) + c(x)w(x)(u(x) u a ) = f (x) mit Leitfähigkeit κ, Absorptionsrate f, spezifischer Wärme c, Körpertemperatur u und konstanter systemischer Temperatur u a = 37 C Ziel Identifikation der Perfusion aus Meßwerten für Temperatur und Perfusion Mathematische Optimierung Minimiere Modell-Messung durch Wahl von w in ( )

8 Numerische Ergebnisse Numerische Lösungsstrategie eigens entwickeltes, effizientes Optimierungsverfahren passende Approximation des Modells Meßwerte identifizierte Temperatur identifizierte Perfusion

9 Beispiel 2 Herz-Kreislaufsystem Kooperation mit F. Kappel (Uni Graz) und M. Mutsaers (TU Eindhoven)

10 Modell-Blockdiagramm u baroreceptor regulator Pas u right ventricle H Sr,σr left ventricle H Sl,σl Pas HEART venous systemic arterial pulmonary venous pulmonary arterial systemic Pvs Pap Pvp Pas pulmonary peripheral Rp systemic peripheral Rs Ṙs local methabolic control Workload W

11 Optimierungsansatz noise u noise Pas u length: Tc Cardiovascular system Zeithorizont für Optimierung Optimierungshorizont T h < Endzeit u intern Receding horizon controller P as length: 1 Zeithorizont für Steuerung T h T c u intern length: T h Zeithorizont für u intern < T h

12 Optimierungsalgorithmus û k 1 calculate û k û k 1 U, k 1 calculate cost Ĵk Ĵ k û k simulate x k λ 1 (T) = 0 x k simulate uĵ(uk ) 2 U calculate norm uĵ(ûk ) 2 U stopping criteria u k x k λ 1 λ 1 estimate uĵ(ûk ) uĵ(ûk ) update û (depends on s) update s û k+1 simulate verify inequality u k+1 x k+1 backtracking x k+1 calculate cost Ĵk+1 Ĵ k+1

13 Numerisches Ergebnis Pressure (Pas) (mmhg) / Heart rate (H) (min 1 ) Simulation results of transition with parameters after estimation Simulations P as Simulations H Measurements P as Measurements H Time (minutes)

14 Beispiel 3 Bildgebung Ergebnisse von K. Bredies und S. Keeling et al. (Uni Graz)

15 Bildrekonstruktion für Parallel Imaging Ziel: Beschleunigung der MR Datenakquisition, dynamische Untersuchungen verlangen hohe zeitliche Auflösung. [Beispiel] Strategie: Unterabtasten. Nachteil: Bilder werden gestört. Störungen müssen korrigiert werden. Die Hardware: übliche Spule kleinere Spulen Die kleineren Spulen messen parallel mit komplementärer Unterabtastung, aber ihre Bilder sind moduliert und gefaltet. Durch Minimierung eines ausgewählten Funktionals: moduliert und gefaltet rekonstruiert

16 Registrierung von Bilderfolgen Ziel: Die Bewegung in der Folge zu entfernen, einzelne Gewebepunkte müssen untersucht werden. [Beispiel] Gesucht wird eine hinreichend glatte Transformation oder Registrierung, die einen Gewebepunkt in einem Bild mit seiner Stelle in einem anderen Bild verbindet. Eine Herausforderung: Welches Ähnlichkeitsmaß verbindet ein Gewebepunkt vor und nach Kontrastmittel? vor Kontrastmittel nach Kontrastmittel Durch Minimierung eines ausgewählten Funktionals: [Lösung]

17 Segmentierung trotz verlaufender Intensitäten Eine Herausforderung in der Segmentierung: Wenn die Intensitäten eines Objektes verlaufend sind, Bilder mit verlaufenden Intensitäten in Objekten wird das segmentierte Objekt oft abgestuft: [Beispiel] Ziel: Diese Abstufung soll nicht entstehen und ganze Objekte sollen automatisch identifiziert werden. Durch Minimierung eines ausgewählten Funktionals: [Lösung]

18 Segmentierung von Durchlichtmikroskopiedaten Metabolismus der Hefe Saccharomyces cerevisiae 3D-Fluoreszenzmikroskopie Lipid-Droplets (Fetttröpfchen) 2D-Durchlichtmikroskopie Zellbegrenzungen (nicht invasiv) Ziel: zellbasierte quantitative Analyse Dazu: Detektion der Zellgrenzen

19 Anwendung der mathematischen Bildverarbeitung Standard-Modell: helligkeits- und differenzbasierte Randdetektion Snake-Modell: Zellränder durch numerische Optimierung ( β min G(γ(t)) + α γ (t) 2 dt γ(t) γ (t) dt γ S 2 1 S 1 ) p

20 Integration in die Datenverarbeitungspipeline Software zur automatisierten Segmentierung von Mikroskopiedaten Verarbeitung von großen Datensätzen (1000+) Zellbasierte quantitative Auswertung möglich

21 Vielen Dank! Weitere Informationen im Internet SFB: math.uni-graz.at/mobis Kristian Bredies: bredies Stephan L. Keeling: math.uni-graz.at/keeling Karl Kunisch: math.uni-graz.at/kunisch Stefan Volkwein: