Liebe Schülerinnen und Schüler! Lösung zu Aufgabe 2: 5. und 6. Klasse Lösungen zu den Aufgaben vom Juni 2006 (Nr. 4)

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1 5. und 6. Klasse Lösungen zu den Aufgaben vom Juni 2006 (Nr. 4) Liebe Schülerinnen und Schüler! Hier sind nun Lösungsvorschläge zu den Aufgaben der Nr.4, Juni Bitte lest euch diese Lösungsvorschläge wie immer gut durch und versucht diese zu verstehen. Das kann euch beim Lösen von anderen Aufgaben helfen. Lösung zu Aufgabe 1: a) Hier siehst du, wie man die neun Ziffern im 3 3-Quadrat verteilen kann, so dass ein magisches Quadrat entsteht. Die magische Summe beträgt 15. Diese erhältst du übrigens, indem du ( ) : 3 rechnest. Das angegebene magische Quadrat der Ordnung 3 kannte man schon in China um 2200 vor Beginn unserer Zeitrechnung. Der Sage nach entdeckte Kaiser Yu es auf dem Rücken einer göttlichen Schildkröte. Die Römer nannten dieses magische Quadrat Saturnsiegel. b) Die magische Summe im Dürer-Quadrat beträgt 34. Auch hier erhältst du die magische Summe, indem du ( ) : 4 rechnest. Auch im Dürer-Quadrat ergibt sie sich in jeder Zeile, Spalte und Diagonale. c) Die magische Summe 34 findest du an verschiedenen Stellen im Dürer-Quadrat. Unten siehst du eine Auswahl. Vielleicht hast du eins gefunden, das hier nicht dabei ist. Lösung zu Aufgabe 2: Bei dieser Aufgabe kommt es auf das logische Denken und geschicktes Kombinieren an. Natürlich gibt es verschiedene Möglichkeiten, an die Lösung heranzugehen. Hier möchten wir dir eine Möglichkeit zeigen, wie man die Aufgabe lösen kann. Um dabei die Übersicht nicht zu verlieren, ist es günstig, sich eine Tabelle (wie in Tabelle 1 gezeigt) anzulegen.

2 Nun muss man den Text genau lesen. Die so gewonnenen Informationen überträgt man dann in die Tabelle. Zum Beispiel entnimmt man der Aussage b) Der Erfurter ist älter als David., dass David nicht aus Erfurt kommen kann. In der Tabelle wird das an der entsprechenden Stelle mit einem markiert, wie es in der Tabelle 1 zu sehen ist. Diese Eigenschaft (David wohnt in Erfurt) trifft nicht zu. Ein X verwendet man dagegen dann, wenn eine Eigenschaft zutrifft. Hat man die ersten Informationen ausgewertet, erhält man die Tabelle 2. Dort haben wir auch noch die Aussage notiert, die zu dem zugehörigen Eintrag gehört. Nun kommt das Alter der Jungen ins Spiel: Weil Andreas der Älteste ist und nicht in Gotha wohnt (c) und der Weimarer älter als die Jungen aus Erfurt und Jena ist (a), muss Andreas aus Weimar sein. Das trägt man nun mit einem X in die Tabelle (Tabelle 3) ein. Das hat aber die zusätzlichen Striche in Tabelle 4 zur Folge. Daraus kann man nun sofort entnehmen, dass Christian aus Gotha kommen muss (Tabelle 5). Daraus entwickelt sich die Tabelle 6, aus der man nun die Zuordnung der Jungen zu ihren Wohnorten entnehmen kann: Andreas kommt aus Weimar, Bert aus Erfurt, Christian aus Gotha und David kommt aus Jena. Nun kann man die Jungen auch nach dem Alter ordnen: Andreas > Bert > David = Christian. Lösung zu Aufgabe 3: a) Für diese Aufgabe können wir natürlich keine allgemeine Lösung angeben. Wir werden auf deinem Lösungsblatt nachsehen, was du notiert hast. Aber hier gibt es ein Beispiel: Peter wurde am geboren. Sein Geburtsdatum würde dann mit Römischen Zahlen als XV.III.MCMXCIII geschrieben. b) Das Gebäude mit der Inschrift MCMLXXVIII wurde 1978 ( ( ) ) erbaut. c) Asterix und Obelix wollen in den 6. Kräutergarten. Also müssen sie dem Schild zum VI. Kräutergarten folgen. In der Tabelle siehst du noch einmal die verschiedenen Angaben der Wegweiser übersichtlich zusammengestellt. Römische Zahlen Zehnersystem Richtung Kräutergarten Entfernung Kräutergarten Entfernung VI DLXXIV m geradeaus III DXXIII m links IV DXXXVIII m rechts Asterix und Obelix müssen also weiter geradeaus gehen und noch 574 Meter laufen. d) An einem Haus, das in diesem Jahr (2006) erbaut wurde, müsste man die Römische Zahl MMVI ( ) anbringen. Seite 2

3 Lösung zu Aufgabe 4: Natürlich solltest du bei dieser Aufgabe auch mit großen Zahlen rechnen. Aber ebenso solltest du sehen, dass du dir Möglichkeiten schaffen kannst, solche großen Zahlen zu veranschaulichen. Darüber hinaus bekommst du sicher auch eine besondere Hochachtung vor den Menschen, die ein solches Bauwerk ohne unsere technischen Hilfsmittel schaffen konnten. a) , 5 t = t Die Gesamtmasse der Pyramide beträgt zirka t. b) Um die Anzahl der benötigten Züge auszurechnen, kannst du zuerst die Anzahl der Waggons berechnen, die zum Transport der Steinmasse nötig wäre. Da ein Waggon 20 t transportieren kann, erhältst du t : 20 t = Waggons. Weil zu einem Zug 50 Waggons gehören sollen, erhältst du : 50 = Es wären also 5750 Züge notwendig, um die Steine zu transportieren. c) Ein Jahr hat 365 Tage. Wenn jeden Tag ein Zug mit Steinen an der Baustelle ankommen würde, dann würde es 5750 : 365 = 15 Rest 275, also ca. 16 Jahre dauern, bis alle Steine da wären. Lösung zu Aufgabe 5: Für die beiden Aufgabe geben wir jeweils zwei verschiedene Lösungswege an. Der erste Lösungsweg enthält mehr inhaltliche Überlegungen, der zweite eine formale Rechnung. a1) Nach dem Aufgabentext erhalten die Götter Siva und Vischnu und die Sonne = = 7 10 der im Haufen vorhandenen Lotusblumen. Dazu kommt noch 1 4 der Blumen für Bhavani. 7 Es sind damit = aller Blumen verbraucht, und es bleiben noch 1 20 der Blumen übrig. Das sind die 6 Lotusblumen, die der ehrwürdige Lehrer erhält. Demzufolge müssen im gesamten Haufen 120 Lotusblumen gewesen sein. a2) Bezeichnest du die Anzahl der Lotusblumen in dem Haufen mit x, so kannst du folgendes schreiben: x ( ) x = 6. Von der Anzahl der x der Lotusblumen werden Bruchteile an die Götter verteilt. Am Ende bleiben 6 Blumen übrig. x ( ) x = x ( ) x = x x = x = x = 360 : 3 x = 120 Damit waren insgesamt 120 Lotusblumen im Haufen enthalten. b1) Der erste und der zweite Geselle nehmen vom gesamten Gewinn = 11. Dann bleiben noch 17 vom Gewinn übrig. Das sind aber die 17 Gulden, die der dritte Geselle bekommt. Folglich muss der gesamte Gewinn Gulden betragen haben. Davon hat der erste Geselle 4 und der zweite 7 Gulden bekommen. b2) Bezeichnest du bei dieser Aufgabe die Menge des Geldes mit x, das die drei Gesellen gewonnen haben, so kannst du auch hier folgendes schreiben: x ( ) x = 17 x ( ) x = 17 x 11 x = x = 17 : 17 x = Der gesamte Gewinn betrug also Gulden. Davon hat der erste 4 Gulden, der zweite 7 Gulden und der dritte Geselle 17 Gulden erhalten. Lösung zu Aufgabe 6: Zur Lösung der Aufgabe bestimmen wir die Längen der Strecken P A, P B und AB durch Konstruktion. Anschließend können wir aus diesen drei Strecken das Dreieck P AB konstruieren, in dem wir dann den Winkel AP B direkt messen können. Beginnen wir mit P A: Diese Strecke ist eine Raumdiagonale in einem Quader mit den Seitenlängen Seite 3

4 2 cm, 2 cm und 8 cm, der links im Schrägbild dargestellt ist. Dort haben wir auch ein Hilfsdreieck P QR eingezeichnet. Dieses Hilfsdreieck ist bei Q rechtwinklig. In einem räumlichen Modell des Würfels kann man das gut sehen. Nun klappen wir das Hilfsdreieck um P Q in die Zeichenebene und können dort die Länge von P A direkt messen, wie es unter dem Quader abgebildet ist. Seite 4

5 Nun P B: Diese Strecke ist ebenfalls eine Raumdiagonale in einem Quader mit den Seitenlängen 4 cm, 8 cm und 8 cm, der rechts im Schrägbild dargestellt ist. Auch hier haben wir ein Hilfsdreieck P RB, das bei R rechtwinklig ist, eingezeichnet. Die Umklappung dieses Dreiecks ist wieder direkt unter dem Quader dargestellt. Dort können wir die Länge von P B direkt messen. Zum Schluss die Strecke AB: Sie ist eine Diagonale in einem Quadrat mit den Seitenlängen 6 cm, die unten konstruiert ist. Daneben ist das Dreieck P AB zu sehen, das aus den drei konstruierten Strecken gebildet wird, Hier können wir nun den gesuchten Winkel α direkt messen. Wir erhalten α = Dieses Ergebnis erhalten wir, wenn wir möglichst sauber und genau konstruiert haben. Das ist aber nicht immer ganz einfach. Insbesondere beim Übertragen von Streckenlängen schleichen sich oft kleine Ungenauigkeiten ein. Solche Ungenauigkeiten sind aber beim Konstruieren auch nicht ganz zu vermeiden. Solltest du eine ähnliche Konstruktion gemacht haben und dabei den Winkel α mit 43 0 bis 47 0 gemessen haben, dann hast du gut konstruiert! Lösung zu Aufgabe 7: Wenn wir alle möglichen Würfelnetze bestimmen wollen, müssen wir systematisch vorgehen. Deshalb bestimmen wir zuerst alle möglichen (zusammenhängenden) Anordnungen von sechs Quadraten, die entlang den Kanten zusammengesetzt sind. Unter diesen Quadratanordnungen, die auch Hexominos heißen, suchen wir dann die Würfelnetze heraus. So kann uns kein Würfelnetz verloren gehen. Auch wollen wir hier zwei Hexominos als gleich ansehen, wenn sie durch Verschiebung, Drehung oder Spiegelung ineinander überführt werden können. Seite 5

6 Wir sortieren die Hexominos nach der maximalen Länge einer geradlinigen Quadratfolge. Diese Quadratfolge mit maximaler Länge legen wir immer senkrecht. Mit einer 6er-Folge gibt es genau ein Hexomino. Mit einer 5er-Folge, gibt es genau drei verschiedene Hexominos, wie sie im Bild zu sehen sind. Alle weiteren Hexominos mit einer 5er-Folge stimmen mit einem der drei gezeigten Hexominos überein. Nun sind die 4er-Folgen dran. Zu jeder 4er-Folge müssen noch zwei weitere Quadrate hinzugefügt werden. Diese können entweder auf einer Seite oder auf zwei verschieden Seiten der 4er-Folge liegen. Im oberen Bild liegen die beiden Quadrate rechts von der 4er-Folge und im unteren auf beiden Seiten. Darüber hinaus erkennen wir, dass die unteren sechs Hexominos auch gleichzeitig Würfelnetze sind. Im Bild sind sie dunkler ausgemalt. Nun die 3er-Folgen. Zu einer 3er-Folge gehören noch weitere drei Quadrate. Diese können entweder auf einer Seite oder zwei auf einer und eins auf der anderen Seite angeordnet sein. Das obere Bild zeigt die möglichen Anordnungen der drei zusätzlichen Quadrate auf der rechten Seite der 4er-Folge. Im unteren Bild sind zwei Quadrate rechts und eins links der 3er-Folge angeordnet. Bei diesen Hexominos müssen wir aufpassen, dass keine waagerechten 4er-Folgen entstehen, denn diese wären schon weiter oben (bei den 4er-Folgen) enthalten. Hier finden wir vier weitere Würfelnetze. Es gibt genau ein Hexomino bei dem es nur 2er-Folgen gibt. Dieses ist aber auch ein Würfelnetz. Andere Hexominos gibt es nicht. Damit haben wir auch gleichzeitig alle Würfelnetze gefunden. Es sind genau 11 Stück. Das waren die letzten Lösungen vor der Sommerpause. Wir wünschen dir eine erholsame Zeit und würden uns freuen, wenn du auch im kommenden Schuljahr dich wieder an den beteiligen würdest. Vorhergehende Ausgaben der gibt es zusammen mit den Lösungen im Internet unter schmitzm/gedankenblitze. Die GedankenBlitze sind per unter zu erreichen. Seite 6