Einführung in die stochastische Finanzmathematik

Transkript

1 Vorlesungsnotizen Einführung in die stochastische Finanzmathematik Hanspeter Schmidli Mathematisches Institut der Universität zu Köln

2

3 INHALTSVERZEICHNIS iii Inhaltsverzeichnis 1. Einführung ins State-Pricing Arbitrage und State-Prices Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten Optimaler Nutzen und Preise von Aktiven Äquilibrium, Pareto-Optimalität, vollständige Märkte Pareto-Optimalität und der repräsentative Händler Modelle in diskreter Zeit Der Markt Martingale und Arbitrage Vollständige Märkte und Optionspreise Optimales Stoppen und Amerikanische Optionen Stochastische Analysis Das stochastische Integral Die Itô-Formel Stochastische Differentialgleichungen Der Ornstein Uhlenbeck-Prozess Mehrdimensionale Differentialgleichungen Das Black Scholes-Modell Preise und partielle Differentialgleichungen Zinsratenmodelle Obligationen und Obligationsoptionen Klassische Zinsratenmodelle Das Vasicek-Modell Das Cox Ingersoll Ross-Modell Das Heath Jarrow Morton-Modell Obligationen mit Kreditrisiko Zinsswaps

4 iv INHALTSVERZEICHNIS 8. Forwards and Futures Forwards Futures Portfolio Theorie Markowitz-Diversifikation Markowitz-Effizienz Portfolio-Selektion Optimaler Nutzen Das Benchmark-Portfolio Kontrolle der Shortfallwahrscheinlichkeit Indexmodelle Kapitalmarktgleichgewicht: Capital-Asset-Pricing-Model Das Marktindexmodell Portfoliotheorie mit einer sicheren Anlage Capital-Asset-Prising-Model (CAPM) State-Price-beta-Modelle Risikomasse Einführung Akzeptanzmengen Darstellung von konvexen Risikomassen Weitere Aspekte Aktien mit Dividendenzahlungen Devisenoptionen Kombination von Optionspositionen Straddles Strangles Spreads Butterflies Spezielle Optionen

5 INHALTSVERZEICHNIS v Asiatische Optionen Optionen auf Futures Optionen auf Optionen Barrieren-Optionen Digitale Optionen Portfolio Insurance A. Stochastische Prozesse und Stoppzeiten 19 A.1. Stochastische Prozesse A.2. Stoppzeiten A.3. Prozesse von beschränkter Variation A.4. Quadratische Variation B. Die Brownsche Bewegung 116 C. Martingale 118 D. Änderung des Masses 125 E. Trennung von konvexen Mengen 126 F. Gronwalls Lemma 126 Literatur 128 Index 129

6 vi INHALTSVERZEICHNIS

7 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING 1 1. Einführung ins State-Pricing In diesem Kapitel betrachten wir eine Periode. Das heisst, wir können nur zu den Zeitpunkten und 1 handeln. Im weiteren arbeiten wir mit einem Raum, wo die Welt nur eine endliche Anzahl möglicher Zustände hat. Das heisst, zum Zeitpunkt 1 gibt es nur eine endliche Anzahl möglicher Preise Arbitrage und State-Prices Es gibt S IIN verschiedene Zustände der Welt, {1, 2,..., S}. Ein Agent kann in N IIN Aktive investieren. Die Preise zur Zeit Null sind im Vektor q = (q i ) zusammengefasst, wobei q i den Preis des Aktivs i bezeichnet. Die N S Matrix D bezeichnet die Preise zur Zeit 1. Das ist, D ij ist der Preis des Aktivs i, falls j der richtige Zustand der Welt ist. Der Zeilenvektor θ bezeichnet ein Portfolio. Der Agent kauft θ i Einheiten des i-ten Aktivs. Ein negatives θ i bedeutet, dass der Agent den Aktiv verkauft, ihn aber erst zum Zeitpunkt 1 ausliefert (Forward). Der Kaufpreis des Portfolios ist dann θq. Die möglichen Werte des Portfolios zum Zeitpunkt 1 sind θd, wobei die j-te Koordinate den Wert bezeichnet, falls j der richtige Zustand der Welt ist. Definition 1.1. Ein Portfolio θ heisst Arbitrage, falls θq und θd > (mindestens eine Koordinate ist streng positiv) oder θq < und θd. Falls es Arbitrage gibt, ist es möglich, Geld zu generieren. Da in so einem Fall alle Agenten das Arbitrageportfolio kaufen wollen, würde sich der Preis sofort ändern. Eine Arbitrage kann in einem funktionierenden Markt nur kurzzeitig existieren. Wir können daher annehmen, dass es keine Arbitrage gibt. Satz 1.2. Es gibt genau dann keine Arbitrage, wenn ein Vektor ψ IR S mit streng positiven Koordinaten existiert, so dass q = Dψ. Definition 1.3. State-Price-Vektor. Ein Vektor ψ, der die Bedinungen aus Satz 1.2 erfüllt, heisst Beweis. gilt Nehmen wir an, es gebe einen State-Price-Vektor ψ. Ist nun θq, so θdψ = θq.

8 2 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING Da ψ nur streng positive Koordinaten hat, impliziert θd, dass θd =. Ist θq <, folgt θdψ <. Also gibt es eine streng negative Koordinate von θd. Definieren wir nun M = {( θq, θd) : θ IR N } and K = IR + IR S +. Keine Arbitrage ist äquivalent mit K M = {}. Die Mengen M und K \ M sind beide konvex. Daher gibt es eine lineare Funktion F : IR S+1 IR (Lemma E.1), so dass F (z) < F (x) für alle z M und alle x K \ M. Da M ein linearer Unterraum ist, muss F auf M verschwinden. Also gibt es α IR und ψ IR S, so dass F (v, c) = αv + cψ. Da F (v, c) > für alle (v, c) K \ M gilt, ist α > und ψ j > für alle j. Für θ IR N erhalten wir αθq + (θd)ψ = F ( θq, θd) =. Somit folgt, dass ψ/α ein State-Price-Vektor ist, da θ beliebig ist. Nehmen wir an, wir wollen den Preis eines neuen Aktivs (z.b. einer Option) bestimmen. Die Werte zum Zeitpunkt 1 sind durch einen Vektor d gegeben. Soll keine Arbitragemöglichkeit geschaffen werden, muss also ein State-Price-Vektor existieren. So ein State-Price-Vektor muss auch State-Price-Vektor im Markt ohne den neuen Aktiv sein. Also sind alle möglichen Preise zur Zeit durch die Formel dψ gegeben, wobei ψ ein State-Price-Vektor des Marktes ohne den neuen Aktiv ist. Ist d nicht linear abhänging von den Zeilen von D, wird die Menge der möglichen State-Price- Vektoren verkleinert Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten Wir versehen nun den Markt mit einem Wahrscheinlichkeitsmass IIP. Sei p j die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand j der richtige Zustand ist. Da alle Zustände möglich sein sollen, muss p j > gelten. Sei ψ ein State-Preis-Vektor, und ψ = S j=1 ψ j. Definieren wir das Wahrscheinlichkeitsmass IIP, das den Zuständen die Wahrscheinlichkeiten ˆψ j gilt = ψ j /ψ zuordnet. Dann sind die Masse IIP und IIP äquivalent. Es q i ψ = S D ij ˆψj = IIE [D i ], wobei die Zufallsvariable D i den Wert des i-ten Aktivs bezeichnet. j=1 Nehmen wir nun an, es sei möglich ein Portfolio θ zu konstruieren, so dass θd = (1, 1,..., 1). Ein solches Portfolio würde unabhänging vom Zustand der Welt

9 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING 3 zum Zeitpunkt 1 den Wert 1 haben. Der Wert zum Zeitpunkt ist dann θq = θdψ = ψ. Der Preis einer risikolosen Einheit ist damit ψ, das heisst ψ ist ein risikoloser Diskontierungsfaktor. Somit ist q i = ψ IIE [D i ] der diskontierte erwartete Wert des i-ten Aktivs. Aus diesem Grunde nennt man das Mass IIP risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmass. Wird ein neuer Aktiv mit Auszahlung d zum Markt dazugefügt, so kann der Preis des Aktivs durch ψ IIE [d] ausgedrückt werden, wobei d den Preis des neuen Aktivs bezeichnet Optimaler Nutzen und Preise von Aktiven Wir nehmen nun an, dass es ein Portfolio ˆθ mit der Eigenschaft ˆθD > gibt. Das heisst, es gibt eine Möglichkeit so zu investieren, dass man im Zeitpunkt 1 keine Schulden hat, und in mindestens einem Zustand der Welt nicht alles Kapital verloren hat. Ein Agent ist definiert durch eine streng wachsende Nutzenfunktion U : IR S + IR und ein Einkommen e IR S +. Der Agent handelt mit den N Aktiven, was wir durch ein Portfolio θ darstellen. Da der Agent nicht mehr Geld ausgeben kann, als er hat, muss die Bedingung θq erfüllt sein. Den Betrag θq konsumiert der Agent zur Zeit. Das Kapital im Zeitpunkt 1 ist daher in der Menge X (q, e) = {e + θd IR S + : θ IR N, θq }. Insbesondere muss der Agent so investieren, dass er im Zeitpunkt 1 keine Schulden hat. Der Agent will nun seinen erwarteten Nutzen optimieren. Er versucht somit ein Portfolio θ zu finden, so dass U(e + θ D) = sup U(c). (1.1) c X (q,e) Ein solches Portfolio muss θ q = erfüllen. Ansonsten gibt es ein λ >, so dass (θ + λˆθ)q. Da (θ + λˆθ)d > θ D und U wachsend ist, kann θ nicht optimal sein. Die Existenz eines optimalen Portfolios hängt mit der keine Arbitrage Eigenschaft zusammen.

10 4 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING Proposition 1.4. Wenn die Gleichung (1.1) eine Lösung hat, kann keine Arbitrage existieren. Falls U stetig ist und keine Arbitrage existiert, dann hat (1.1) eine Lösung. Beweis. Nehmen wir an, dass θ existiert. Sei θ eine Arbitrage. Dann ist λ θq für alle λ >. Die Funktion λ U(e + (θ + λ θ)d) ist wachsend in λ, da U streng wachsend ist und θd gilt. Somit muss θd = gelten, da sonst θ nicht existieren könnte. Somit gilt θq <. Es gibt daher ein λ >, so dass ( θ + λˆθ)q. Wir schliessen, dass (θ + θ + λˆθ)d > θ D. Da U streng wachsend ist, ist dies ein Widerspruch. Somit kann keine Arbitrage existieren. Nehmen wir nun an, dass U stetig ist, und dass es keine Arbitrage gibt. Es ist klar, dass X (q, e) abgeschlossen ist. Sei Y = {θ IR N : e + θd IR S +, θq }. Die Menge Y ist abgeschlossen und konvex. Da Y ist λθ Y falls θ Y und λ [, 1]. Sei nun {θ n } eine Folge in Y, so dass θ n. Dann gibt es eine Teilfolge von {θ n / θ n } die konvergiert, sagen wir gegen θ. Die Folge λθ n / θ n konvergiert dann gegen λθ. Daher ist λθ Y für alle λ >. Dies ist nur möglich, falls θ q und θ D. Da es keine Arbitrage gibt, gilt θ D =. Wir schliessen, dass X beschränkt ist. Somit ist X (q, e) kompakt. Also ist U = sup{u(c) : c X (q, e)} endlich. Da U stetig ist, existiert c, so dass U(c ) = U. Die Menge {θ : θq } ist abgeschlossen. Der Beweis oben zeigt, dass es ein Portfolio θ gibt, so dass c = e + θd. Dies ist die Lösung der Gleichung (1.1). Satz 1.5. Nehmen wir an, es gebe eine Lösung zu (1.1), so dass c = e+θ D > streng positive Koordinaten hat. Sei U(c ) die Ableitung von U in c, und nehmen wir an, dass sie existiert und dass die partiellen Ableitungen verschieden von Null sind. Dann gibt es eine Zahl λ >, so dass λ U(c ) ein State-Price-Vektor ist. Beweis. Da U wachsend ist, gilt U(c ). Sei θ ein Portfolio mit Preis θq =. Wir definieren die Funktion g θ (α) = U(c + αθd).

11 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING 5 Die Funktion hat ein Maximum in α =. Daher gilt θd U(c ) =. Da dies für jeden Vektor θ orthogonal zu q gilt, gibt es ein µ IR\{}, so dass D U(c ) = µq. Da es, siehe Proposition 1.4, keine Arbitrage gibt, impliziert ˆθD >, dass ˆθq >. Aus µˆθq = ˆθD U(c ) > folgt, dass µ >. Für λ = 1/µ erhält man q = λd U(c ). Da die partiellen Ableitungen strikt positiv sind, ist λ U(c ) Vektor. ein State-Price- Korollar 1.6. Sei U konkav und differenzierbar. Dann ist ein c X (q, e) mit der Eigenschaft c = e + θ D > mit streng positiven Koordinaten und mit θ q = genau dann optimal, wenn es ein λ > gibt, so dass λ U(c ) ein State-Price- Vektor ist. Beweis. Ist c optimal, dann folgt die Aussage aus Satz 1.5. Für die entgegengesetzte Richtung nehmen wir an, es gebe ein θ, so dass U(c + θd) U(c ) und c + θd X (q, e). Dann ist θq. Da U konkav ist, gilt d dµ U(c + µθd) = θd U(c ) = λ 1 θq. µ= Das heisst, U(c +µθd) hat ein Maximum in µ =. Daher gilt U(c +θd) = U(c ). Ein Spezialfall ist der erwartete Nutzen. Sei p j die Wahrscheinlichkeit, dass j der richtige Zustand der Welt ist. Sei u : IR + IR eine streng wachsende Funktion. Der erwartete Nutzen ist definiert als U(c) = S p j u(c j ) = IIE[u(c)]. j=1 Ist u differenzierbar, dann ist U(c) = (p j u (c j )) j. Gibt es eine optimale Lösung c der Gleichung (1.1), dann existiert ein λ >, so dass q i = λ j D ij p j u (c j).

12 6 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING Schreiben wir ψ = j p ju (c j) = IIE[u (c )] und ˆψ j = p j u (c j)/ψ, erhalten wir S q i = λψ IIE [D i ] = λψ ˆψ j D ij. Wir können dies als diskontierten erwarteten Profit unter dem Mass IIP interpretieren. j= Äquilibrium, Pareto-Optimalität, vollständige Märkte Nehmen wir and, es gebe m Händler, die alle durch eine Nutzenfunktion U i und Einkommen e i definiert sind. Definition 1.7. Ein Äquilibrium für die Ökonomie {(U i, e i ), D} sind Variablen (θ 1,..., θ m, q), so dass für jeden Händler i e i + θ i D gilt, und θ i die Funktion U i (e i + θd) unter der Nebenbedingung θq maximiert, so dass i θi =. Ein Markt heisst vollständig, falls {θd : θ IR N } = IR S. Ein Markt heisst unvollständig, falls er nicht vollständig ist. Sei e = i ei das Gesamteinkommen. Definition 1.8. Eine Konsumverteilung (c 1,..., c m ) (IR S +) m heisst zulässig, falls c c m e. Eine zulässige Konsumverteilung heisst Pareto-optimal, falls für jede zulässige Konsumverteilung (ĉ 1,..., ĉ m ) mit U i (ĉ i ) U i (c i ) für alle i gilt, dass U i (ĉ i ) = U i (c i ) für alle i. Es gibt einen Zusammenhang zwischen vollständigen Märkten und Pareto-Optimalität. Proposition 1.9. Sei der Markt vollständig, und (θ 1,..., θ m, q) ein Äquilibrium. Dann ist die Konsumverteilung (e 1 + θ 1 D,..., e m + θ m D) Pareto-optimal. Beweis. Da j θj D =, ist die Konsumverteilung zulässig. Proposition 1.4 impliziert, dass es keine Arbitrage gibt. Nehmen wir an, es gebe eine zulässige Konsumverteilung (ĉ 1,..., ĉ m ), so dass U i (ĉ i ) U i (e i +θ i D), und dass die Ungleichung für mindestens ein i streng ist. Da der Markt vollständig ist, gibt es einen Vektor (ˆθ i ), so dass ĉ i = e i + ˆθ i D. Da die Konsumverteilung zulässig ist, gilt ˆθ i i D. Aus der Optimalität folgt, dass θ i q = und ˆθ i i q >, da sonst ein j existieren würde, für das θ j nicht optimal wäre. Aber dann ist ˆθ i i eine Arbitrage. Daher muss die Äquilibrium-Konsumverteilung Pareto-optimal sein.

13 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING 7 Proposition 1.1. Nehmen wir an, dass ein State-Price-Vektor ψ existiert. Der State-Price-Vektor ist genau dann eindeutig, wenn der Markt vollständig ist. Beweis. Nehmen wir an, dass der Markt vollständig ist, und dass φ ein State- Price-Vektor ist. Dann gibt es ein θ, so dass θd = (φ ψ). Also gilt (φ ψ) (φ ψ) = θd(φ ψ) = θ(q q) =. Daher ist φ = ψ. Nehmen wir an, dass der Markt unvollständig ist. Dann hat nicht jede Gleichung θd = c eine Lösung θ. Das bedeutet, dass es eine nichttriviale Lösung φ IR S der Gleichung Dφ = gibt. Aber dann gibt es ein λ >, so dass ψ λφ echt positive Koordinaten hat. ψ λφ ist dann ein State-Price-Vektor Pareto-Optimalität und der repräsentative Händler Für λ IR m + definieren wir die Nutzenfunktion m U λ (x) = sup λ i U i (c i ). (1.2) c 1 + +c m x c i IR S + Hilfssatz Sei U i konkav für alle i. Eine Konsumverteilung (c 1,..., c m ), die zulässig ist, ist genau dann Pareto-optimal, wenn es ein λ IR m + mit streng positiven Koordinaten gibt, so dass (c 1,..., c m ) die Gleichung (1.2) an der Stelle x = e = c c m löst. Beweis. Sei (c 1,..., c m ) Pareto-optimal. Definieren wir die Mengen U = {y IR m : y i U i (z i ) U i (c i ), für ein z zulässig} und J = IR m + \ {}. Dann gilt U J =. Seien y und y zwei Vektoren in U und α (, 1). Dann gilt αy i + (1 α)y i αu i (z i ) + (1 α)u i (z i ) U i (c i ) U i (αz i + (1 α)z i ) U i (c i ) ; das heisst, U ist konvex. Auch J ist konvex. Somit gibt es einen Vektor λ IR m, der eine lineare Funktion z λz definiert, so dass λy < λz für jedes beliebige Paar y U und z J (Lemma E.1). Da U gilt λz > für z J und λ hat strikt positive Koordinaten. Da ein Randpunkt von J ist, folgt λy für alle y U. Daher löst (c 1,..., c m ) die Gleichung (1.2). Sei nun (c 1,..., c m ) eine Lösung von (1.2). Sei (ĉ 1,..., ĉ m ) zulässig, so dass U i (c i ) U i (ĉ i ). Als Lösung von (1.2) muss U i (c i ) = U i (ĉ i ) für alle i gelten. Daher ist (c 1,..., c m ) Pareto-optimal. i=1

14 8 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING Proposition Seien für alle i die Nutzenfunktionen U i konkav und streng wachsend. Nehmen wir an, dass der Markt vollständig ist, und dass (θ 1,... θ m, q) ein Äquilibrium sei. Dann gibt es ein λ IR m + mit streng positiven Koordinaten, so dass U λ (e) = i λi U i (c i ), wobei (c 1,..., c m ) die Äquilibrium-Konsumverteilung ist. Weiter gilt, dass (, q) ein Äquilibrium für den Einzelhändlermarkt {(U λ, e), D} ist. Beweis. Da ein Äquilibrium existiert, gibt es keine Arbitrage (Proposition 1.4), und es existiert ein State-Price-Vektor ψ (Satz 1.2). Jeder Händler will seinen Nutzen U i (c i ) = U i (e i + θd) maximieren unter der Nebenbedingung θq = θdψ = (c i e i )ψ. Da der Markt vollständig ist, kann jedes c i IR S + erzeugt werden. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir e i > annehmen, da sonst c i = gelten würde. Die Lösung maximiert die Funktion U i (c i ) α i (c i e i )ψ für ein α i IR. Da U i streng wachsend ist, folgt α i >. Sei λ i = 1/α i. Für jede zulässige Konsumverteilung (x 1,..., x m ) haben wir m m ( m m λ i U i (c i ) = λ i U i (c i ) c i e )ψ i = λ ( i U i (c i ) α i (c i e i )ψ ) i=1 i=1 i=1 m λ ( i U i (x i ) α i (x i e i )ψ ) = i=1 m λ i U i (x i ). i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 m ( m λ i U i (x i ) x i e )ψ i i=1 i=1 Dies beweist den ersten Teil. Nehmen wir an, es gebe ein x IR S +, so dass U λ (x) > U λ (e) und (x e)ψ. Dann muss es eine Konsumverteilung (x 1,..., x m ) geben, so dass i xi = x, i λi U i (x i ) > i λi U i (c i ) und m m m λ i α i x i ψ = xψ eψ = c i ψ = λ i α i c i ψ. Aber dann gilt m λ ( i U i (x i ) α i (x i e i )ψ ) m > λ ( i U i (c i ) α i (c i e i )ψ ), i=1 i=1 was ein Widerspruch ist, da es einen Händler i geben muss, so dass c i seinen Nutzen nicht maximiert.

15 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING 9 Korollar Falls, zusätzlich zu den Annahmen von Proposition 1.12, e > streng positive Koordinaten hat, und U λ in e differenzierbar ist, dann kann λ so gewählt werden, dass U λ (e) ein State-Price-Vektor ist. Das heisst, q = D U λ (e). Beweis. Aus Korollar 1.6 folgt, dass es ein µ gibt, so dass µ U λ (e) ein State- Price-Vektor ist. Ersetzen wir λ durch λ/µ, folgt die Aussage.

16 1 2. MODELLE IN DISKRETER ZEIT 2. Modelle in diskreter Zeit Wir arbeiten nun auf einem messbaren Raum (Ω, F). Wir nehmen in diesem Kapitel an, dass der Raum Ω endlich ist Der Markt Wir nehmen an, dass es d + 1 Aktiven gibt, mit Preis S n = (S n, S 1 n,..., S d n) zur Zeit n. Der Preisprozess ist {F n }-adaptiert. Wir nehmen an, dass F = {, Ω}, das heisst, man hat keine Information im Zeitpunkt. Wir nehmen einen endlichen Zeithorizont N an, das heisst I = {, 1,..., N}. Wir nehmen daher auch an, dass F N = F, das heisst, im Zeitpunkt N kennt man die ganze Information. Wir nehmen weiter an, dass S n > für alle n. Der Aktiv {S n} heisst risikoloser Aktiv, die anderen riskante Aktiven. Der Einfachheit halber normieren wir S = 1. Wir verwenden den risikolosen Aktiv zum Diskontieren, β n = 1/S n, und setzen S i n = β n S i n. Eine Handelsstrategie ist ein vorhersehbarer Prozess φ = {(φ n,..., φ d n)}. φ i n bezeichnet die Anzahl Einheiten des Aktiv i, die im Intervall (n 1, n] im Portfolio gehalten werden. φ muss vorhersehbar sein, da man zur Zeit n 1 über die Anzahl entscheiden muss. Der Wert des Portfolios zur Zeit n ist V n (φ) = φ n S n = d φ i nsn i. i= Der diskontierte Wert ist Ṽ n (φ) = β n φ n S n = φ n Sn. Definition 2.1. Eine Handelsstrategie heisst selbstfinanzierend, falls φ n S n = φ n+1 S n. Selbstfinanzierend kann auch auf folgende Arten ausgedrückt werden. Hilfssatz 2.2. Folgende Aussagen sind äquivalent: i) Die Strategie φ ist selbstfinanzierend.

17 2. MODELLE IN DISKRETER ZEIT 11 ii) Für jedes n gilt V n (φ) = V (φ) + wobei S j = S j S j 1. n φ j S j, j=1 iii) Für jedes n gilt n Ṽ n (φ) = V (φ) + φ j S j, j=1 wobei S j = S j S j 1 = β j S j β j 1 S j 1. Beweis. Übung. Proposition 2.3. Zu jedem vorhersehbaren Prozess {(φ 1 n,..., φ d n)} und für jedes F -messbare V gibt es einen eindeutigen Prozess φ, so dass die Strategie φ selbstfinanzierend ist mit Startwert V. Beweis. Selbstfinanzierend bedeutet, dass Ṽ n (φ) = φ n + d φ i S n d n n i = V + φ i j S j i, i=1 j=1 i=1 da S j =. Daher ist φ n eindeutig. Dass {φ n} vorhersehbar ist, folgt aus φ n = V + n 1 j=1 d φ i j S j i i=1 d φ i S n n 1 i. i=1 Wir haben keine Einschränkung gemacht, dass immer eine positive Anzahl Aktiven im Portfolio sein müssen. φ n < bedeutet, dass man sich Geld leiht, um das Portfolio zu erwerben. φ i n < nennt man eine kurze Position. Das bedeutet, dass man einen Forward Vertrag eingeht. Das heisst, man verspricht in Zukunft φ i n Aktiven zu liefern, und erhält die Prämie dafür heute. In unserem Markt sind kurze Positionen erlaubt. Der Wert eines Portfolios darf aber nicht negativ werden, das heisst, ein Händler muss immer seinen Verpflichtungen nachkommen können.

18 12 2. MODELLE IN DISKRETER ZEIT Definition 2.4. Eine Strategie φ heisst zulässig, falls sie selbstfinanzierend ist und falls V n (φ) für alle n. Eine Strategie φ heisst Arbitrage, falls sie zulässig ist, V (φ) = und V N (φ) >. Der (diskontierte) Gewinn ist definiert als G n (φ) = n d φ i j S j i. j=1 i= Martingale und Arbitrage Hilfssatz 2.5. Ein Markt erlaubt Arbitrage genau dann, wenn es einen vorhersehbaren Prozess (φ 1,..., φ d ) gibt, mit G N >. Beweis. Falls es Arbitrage gibt, hat die entsprechende Handelsstrategie die behauptete Eigenschaft. Nehmen wir an, es gebe einen vorhersehbaren Prozess mit G N >. Gilt G n (φ) für alle n, dann haben wir eine Arbitrage gefunden. Sei n := sup{k < N : IIP[ G k (φ) < ] > }. Sei A = { G n (φ) < }. Wir definieren die Strategie ψ j = 1I A 1I j>n φ j. Dann erhalten wir G j (ψ) = 1I A 1I j>n ( G j (φ) G n (φ)). Daher gilt G N (ψ) >. Wir haben also eine Arbitrage konstruiert. Satz 2.6. Es gibt keine Arbitrage genau dann, wenn es ein äquivalentes Mass IIP gibt, so dass der diskontierte Preisprozess S ein Martingal unter IIP ist. Beweis. Nehmen wir an, dass es ein äquivalentes Martingalmass gibt. Sei φ eine selbstfinanzierende Strategie mit V (φ) = und V N (φ). Dann ist Ṽ n (φ) = n φ j S j j=1 ein IIP -Martingal; das heisst, IIE [V N (φ)] = V (φ) =. Da die Masse äquivalent sind, gilt auch IIP [V N (φ) ] = 1, und damit IIP [V N (φ) = ] = 1. Das Gleiche muss auch unter IIP gelten. Nehmen wir an, dass es keine Arbitrage gibt. Zu jedem vorhersehbaren Prozess {(φ 1 j,..., φ d j)} assozieren wir die Zufallsvariable G N (φ). Bezeichnen wir den Raum dieser Variablen mit V. V ist dann ein konvexer Unterraum des Vektorraumes der Zufallsvariablen. Da Ω nur endlich viele Elemente hat, gilt IIE[X 2 ] < für alle X V. Sei Γ der Raum der echt positiven Zufallsvariablen. Dann gilt Γ V =.

19 2. MODELLE IN DISKRETER ZEIT 13 Somit gibt es eine Zufallsvariable λ, die eine lineare Funktion X IIE[λX] definiert, so dass IIE[λX] > IIE[λY ] für alle X Γ und Y V (Satz von Hahn Banach, Verallgemeinerung von Lemma E.1). Da V ein Unterraum ist, muss IIE[λY ] = gelten für alle Y V, und somit IIE[λX] > für alle X Γ. Da damit IIE[λλ ] = IIE[(λ ) 2 ], schliessen wir, dass λ. Da IIE[λ] = IIE[1λ] >, haben wir λ >. Da auch IIE[λ1I λ= ] =, schliessen wir, dass IIP[λ > ] = 1. Wir dürfen nun annehmen, dass IIE[λ] = 1. Das Mass IIP [A] = IIE[λ1I A ] ist daher äquivalent. Da IIE[λ G N (φ)] =, schliessen wir aus Lemma C.3, dass S ein Martingal ist Vollständige Märkte und Optionspreise Ein bedingter Anspruch ist eine positive Funktion der Variablen {S n : 1 n N}. Wir nennen einen Anspruch europäisch falls es nur eine Funktion von S N ist. Beispiele sind die Call-Option h = (S i N K)+ oder die Put-Option h = (K S i N )+. Optionen können aber auch vom Preis in mehreren Zeitpunkten abhängen, wie zum Beispiel die Asiatische Option h = (k 1 N j=n k+1 Si j K) +. Definition 2.7. Ein bedingter Anspruch h heisst erreichbar, falls es eine zulässige Strategie φ gibt, mit der Eigenschaft, dass V N (φ) = h. Ein Markt heisst vollständig, falls jeder bedingte Anspruch erreichbar ist. Bemerkung. Ist ein Markt arbitragefrei, dann genügt es, eine selbstfinanzierende Strategie zu finden, die den Schlusswert h hat. Da {Ṽn(φ)} ein IIP -Martingal ist, gilt Ṽn(φ) = IIE [ h F n ]. Damit ist Ṽn(φ). Da die Masse äquivalent sind, gilt diese Eigenschaft auch unter IIP. Das heisst, φ ist eine zulässige Strategie. Dass ein Markt arbitragefrei sein sollte, kann ökonomisch begründet werden. Dass ein Markt vollständig sein sollte, entbehrt jeder theoretischen Grundlage. Die Vollständigkeit ist aber eine nette Eigenschaft, die die Theorie einfacher macht. Viele der Modelle, die in der Praxis verwendet werden, haben diese Eigenschaft. Satz 2.8. Ein arbitragefreier Markt ist genau dann vollständig, wenn es ein eindeutiges äquivalentes Mass IIP gibt, unter dem die diskontierten Preise Martingale sind.

20 14 2. MODELLE IN DISKRETER ZEIT Beweis. Nehmen wir an, der Markt sei arbitragefrei und vollständig. Sei h eine F N -messbare Zufallsvariable. Dann gibt es eine Strategie φ, die h reproduziert. Da φ selbstfinanzierend ist, gilt h S N N = ṼN(φ) = V (φ) + φ j S j. j=1 Seien nun IIP 1 und IIP 2 zwei äquivalente Martingalmasse. Dann gilt [ h ] [ h ] IIE 1 = V SN (φ) = IIE 2. SN Da h beliebig ist gilt IIP 1 = IIP 2 auf F N = F. Nehmen wir nun an, der Markt sei arbitragefrei und unvollständig. Es gibt dann ein äquivalentes Martingalmass IIP (Satz 2.6). Sei V der Unterraum der Zufallsvariablen der Form U + N φ n S n, n=1 wobei U F -messbar, und {φ n } vorhersehbar ist. Definieren wir das Skalarprodukt X Y = IIE [XY ]. Es gibt eine Zufallsvariable h, die nicht erreichbar, und damit nicht in V ist. Daher gibt es eine Zufallsvariable X, die orthogonal zu V ist, das heisst IIE [XY ] = für alle Y V. Da der Raum endlich ist, ist X = sup Ω X <. Da 1 V, ist IIE [X] =. Definieren wir das äquivalente Mass so gilt IIP 1 [A] = IIE [( 1 + X 2 X ) 1I A ], [ N IIE 1 φ n S ] n = n=1 für jeden vorhersehbaren Prozess {φ n }. Somit ist (Hilfssatz C.3) { S n } ein IIP 1 - Martingal. Da X, ist IIP 1 verschieden von IIP. Nehmen wir nun an, dass der Markt arbitragefrei und vollständig ist. Dann gibt es ein eindeutiges Martingalmass IIP. Für einen bedingten Anspruch h gibt es dann eine Strategie {φ}, die h reproduziert. Wir haben, dass {Ṽn(φ)} ein IIP -Martingal ist. Daher gilt V n (φ) = S niie [ h S N F n ].

21 2. MODELLE IN DISKRETER ZEIT 15 Der Wert der Strategie ist daher eindeutig durch h bestimmt. Die Hedging-Strategie ist auch eindeutig bestimmt, Ṽ n (φ) Ṽn 1(φ) = φ n S n. Daraus lässt sich die Strategie {φ n } berechnen. Es ist zu bemerken, dass wir die Vorhersehbarkeit nicht zeigen müssen. Durch die Vollständigkeit des Marktes wissen wir, dass es eine vorhersehbare Strategie gibt, die die obige Formel erfüllt. Die Lösung muss also diese Strategie sein. In einem nicht vollständigen Markt können wir aber nicht sicher sein, dass eine Lösung {φ n } der Gleichung auch vorhersehbar ist. Weiter ist zu bemerken, dass IIP keine Rolle spielt. Man muss nur das Mass IIP kennen, um den Preis zu bestimmen. Proposition 2.9. Ist in einem vollständigen und arbitragefreien Markt der Preis des bedingten Anspruchs h zur Zeit n verschieden von S niie [h/s N F n], dann gibt es eine Arbitrage (im um h vergrösserten Markt). Beweis. Nehmen wir an, der Preis V n sei strikt höher als S niie [h/s N F n]. Dann kann man den bedingten Anspruch verkaufen, die Strategie ˆφ n anwenden, wobei ˆφ i k = φi k für i 1, k n und ˆφ k = φ k + (V n V n (φ))/s n. {φ k } ist die Replikationsstrategie von h. Es ist einfach zu sehen, dass die Strategie selbstfinanzierend ist. Der Wert der Strategie zum Schlusszeitpunkt ist h + (V n V n (φ))s N S n > h, und man hat einen sicheren Gewinn, nachdem man die Verpflichtung h bezahlt hat. Ein ähnliches Argument kann man im Falle V n < V n (φ) verwenden. Betrachten wir nun eine amerikanische Option. Das ist ein adaptierter positiver Prozess {Z n }. Bei einer amerikanischen Call Option haben wir Z n = (S i n K) +, bei einer amerikanischen Put Option haben wir Z n = (K S i n) +. Der Halter der Option kann zu jedem Zeitpunkt n bestimmen, ob er die Option ausübt, oder wartet. Wenn der Halter die Option zum Zeitpunkt n ausübt, erhält er den Betrag Z n. Die Option kann aber nur einmal ausgeübt werden. Es ist klar, dass zum Zeitpunkt N der Wert der Option U N = Z N ist. Zum Zeitpunkt N 1 haben wir die Möglichkeit, die Option auszuüben, was den Wert Z N 1 hat. Man kann auch mit der Ausübung warten. Dies hat den gleichen Wert, wie der bedingte Anspruch Z N. Da im vollständigen Markt Z N repliziert werden

22 16 2. MODELLE IN DISKRETER ZEIT kann, kann der Halter ohne Risiko sich für den höheren Wert im Zeitpunkt N 1 entscheiden. Das heisst, der Wert der amerikanischen Option im Zeitpunkt N 1 ist U N 1 = max{z N 1, SN 1IIE [Z N /SN F N 1 ]}. Durch Induktion erhalten wir den Wert zur Zeit n U n = max{z n, SnIIE [U n+1 /Sn+1 F n ]}. Sei nun Ũn = U n /Sn der diskontierte Wert der amerikanischen Option. Proposition 2.1. Der Prozess {Ũn} ist ein IIP -Supermartingal. Es ist das kleinste Supermartingal das Z n = Z n /S n dominiert. Beweis. Es ist klar, dass {Ũn} Z n dominiert. Aus Ũ n = max{ Z n, IIE [Ũn+1 F n ]} IIE [Ũn+1 F n ] folgt auch die Supermartingaleigenschaft. Sei nun {M n } Supermartingal das Z n dominiert. Dann gilt M N Z N = ŨN. Nehmen wir an, dass M n Ũn. Dann gilt M n 1 IIE [M n F n 1 ] IIE [Ũn F n 1 ]. Somit haben wir M n 1 max{ Z n 1, IIE [Ũn F n 1 ]} = Ũn 1. Somit dominiert {M n } den Prozess {Ũn}.

23 3. OPTIMALES STOPPEN UND AMERIKANISCHE OPTIONEN Optimales Stoppen und Amerikanische Optionen Wir arbeiten nun mit einem beliebgigen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, IIP ). Betrachten wir einen adaptierten Prozess {Z n } und definieren wir U N = Z N, und U n = max{z n, IIE [U n+1 F n ]} für n N 1. Wir wissen (Proposition 2.1), dass {U n } das kleinste Supermartingal ist, das {Z n } dominiert. Der Prozess {U n } heisst Snell-Hülle des Prozesses {Z n }. Hilfssatz 3.1. Betrachten wir die Stoppzeit ν = inf{n : U n = Z n }. Dann ist der Prozess {U ν n} ein Martingal. Beweis. Da Z N = U N ist ν N. Wir schreiben n U ν n = U + 1I ν j U j. j=1 Somit ist U ν (n+1) U ν n = 1I ν n+1 U n+1. Falls ν n, dann ist IIE [U ν (n+1) U ν n F n ] =. Falls ν > n, so ist Z n < U n. Das heisst U ν n = U n = IIE [U n+1 F n ] = IIE [U ν (n+1) F n ], was die Martingaleigenschaft beweist. Wir bezeichnen nun mit T n die Menge aller Stoppzeiten mit Werten in [n, N]. Korollar 3.2. Die Stoppzeit ν hat die Eigenschaft dass U = IIE [Z ν ] = sup ν T IIE [Z ν ]. Beweis. Da {U ν n} ein Martingal ist haben wir U = IIE [U ν N] = IIE [U ν ] = IIE [Z ν ]. Für ein beliebiges ν T ist {U ν n } ein Supermartingal (Satz C.5). Daher gilt U IIE [U ν N ] = IIE [U ν ] IIE [Z ν ].

24 18 3. OPTIMALES STOPPEN UND AMERIKANISCHE OPTIONEN Wir interpretieren T als alle möglichen Strategien, die ein Halter der Option anwenden kann. Wir sehen dann, dass ν eine optimale Strategie ist. Falls man sich zum Zeitpunkt n befindet, zeigt ein ähnliches Argument, dass wobei ν n = inf{j n : U j = Z j }. Satz 3.3. Martingal ist. U n = sup ν T n IIE [Z ν F n ] = IIE [Z νn F n ], Eine Stoppzeit ν ist genau dann optimal, falls Z ν = U ν und {U ν n } ein Beweis. Ist Z ν = U ν und {U ν n } ein Martingal, dann folgt wie im Beweis von Korollar 3.2, dass ν optimal ist. Sei ν optimal. Dann gilt U = IIE [Z ν ] IIE [U ν ]. Da {U ν n } ein Supermartingal ist, muss das Gleichheitszeichen gelten, und es folgt, dass IIE [Z ν ] = IIE [U ν ]. Da U ν Z ν bedeutet dies, dass U ν = Z ν. Da {U ν n } ein Supermartingal ist, gilt siehe Satz C.5. Also ist U IIE [U ν n ] IIE [U ν ], IIE [U ν n ] = IIE [U ν ] = IIE [IIE [U ν F n ]]. Da aber U ν n IIE [U ν F n ], gilt U ν n = IIE [U ν F n ], und wir haben die Martingaleigenschaft bewiesen. Da {U n } ein Supermartinal ist, hat es eine Doob-Zerlegung (Satz C.1) U n = M n A n. Proposition 3.4. Die grösste mögliche optimale Stoppzeit ist ν max = inf{n : A n+1 } N. Beweis. Da {A n } vorhersehbar ist, ist ν max eine Stoppzeit. Da U νmax n = M νmax n folgt, dass {U νmax n} ein Martingal ist. Weiter gilt U νmax = = N 1 j= N 1 j= 1I νmax=ju j + 1I νmax=nu N 1I νmax=j max{z j, IIE [U j+1 F j ]} + 1I νmax=nz N.

25 3. OPTIMALES STOPPEN UND AMERIKANISCHE OPTIONEN 19 Da für ν max = j < N A j = gilt und A j+1 >, erhalten wir IIE [U j+1 F j ] = M j A j+1 = U j A j+1 < U j. Wir schliessen, dass U j = Z j, das heisst U νmax = Z νmax. Somit ist ν max optimal. Sei nun ν eine optimale Stoppzeit. Da {U ν n } ein Martingal ist und M = U, haben wir U = IIE [U ν n ] = IIE [M ν n ] IIE [A ν n ] = U IIE [A ν n ]. Also ist IIE [A ν n ] =, das heisst A ν n =. Somit ist ν inf{n : A n+1 > } = ν max. Nehmen wir nun an, dass {X n } eine homogene Markovkette auf einem endlichen Raum E ist. Das heisst, es gibt eine Funktion P : E E [, 1], so dass IIP[X n+1 = y X = x,..., X n = x n ] = P (x n, y). Insbesondere gilt y E P (x, y) = 1. Die Preise der Aktiven seien von der Form S n = S(X n ) für eine Funktion S : E IR d+1. Nehmen wir nun an, Z n = ψ(n, X n ). Dann ist die Snell-Hülle gegeben durch U n = u(n, X n ), wobei u(n, x) = ψ(n, x) und, für n N 1, u(n, x) = max{ψ(n, x), P u(n + 1, x)}. Wir definieren hier P f(x) = y E P (x, y)f(y). Kehren wir nun zu einem arbitragefreien und vollständigen Markt zurück. Wir haben gesehen, dass der Preis einer amerikanischen Option durch die Formel U n = S n sup ν T n IIE [Z ν /S ν F n ] gegeben ist. Die Doob-Zerlegung ist Ũn = M n Ãn. Da der Markt vollständig ist, gibt es eine selbstfinanzierende Strategie φ, so dass V N (φ) = S N M N. Wir erhalten Ṽ n (φ) = IIE [ṼN(φ) F n ] = IIE [ M N F n ] = M n. Damit ist Ũ n = M n Ãn = Ṽn(φ) Ãn. Definieren wir A n = S nãn, erhalten wir U n = V n (φ) A n.

26 entweder gilt IIP [S 1 N K F N 1] = 1 oder S 1 N ist F N 1-messbar und S N 1 = S N OPTIMALES STOPPEN UND AMERIKANISCHE OPTIONEN Diese Strategie ist gut für den Verkäufer der Option. Er erhält die Prämie U, und hat dann immer den Wert V n (φ) = U n + A n U n Z n. Der Verkäufer kann also jederzeit seiner Verpflichtung nachkommen. Der Halter der Option kann eine optimale Stoppzeit ν wählen. Dann ist A ν = und der Verkäufer macht keinen Gewinn. Investiert der Käufer in das Portfolio φ, hat er zu jedem Zeitpunkt vor ν max den Wert U n. Verwendet er eine optimale Stoppzeit, dann hat das Portfolio zum Stoppzeitpunkt den Wert U ν = Z ν, was genau dem Wert der Option entspricht. Stoppt der Käufer nicht optimal, macht der Verkäufer einen Gewinn. Beispiel 3.5. Nehmen wir an, S n sei deterministisch und wachsend. Wir betrachten eine amerikanische Call-Option Z n = (S 1 n K) +. Für den diskontierten Wert der europäischen Call-Option erhalten wir c n = β N IIE [(S 1 N K) + F n ] IIE [ S 1 N β N K F n ] = S 1 n β N K. Daher gilt c n S 1 n β N S nk S 1 n K. Da c n >, haben wir c n (S 1 n K) +. Somit ist der Wert der europäischen Option mindestens so gross, wie die Auszahlung der amerikanischen Option. Da ν = N eine mögliche Strategie ist, gilt auch c n sup ν T n S niie [β ν (S 1 ν K) + F n ], und somit haben wir Gleichheit. Wir schliessen daraus, dass A n = und ν max = N. Damit ν ν max muss gelten, dass S N 1 β NIIE [(S 1 N K)+ F N 1 ] = c N 1 = (S 1 N 1 K)+. Aus Jensens Ungleichung schliessen wir IIE [(S 1 N K)+ F N 1 ] (S N β N 1S 1 N 1 K)+, also (S 1 N 1 K) + (S 1 N 1 KS N 1β N ) +. Dies ist nur möglich, falls S N 1 = S N oder (S1 N K)+ deterministisch ist. Das heisst,

27 4. STOCHASTISCHE ANALYSIS Stochastische Analysis 4.1. Das stochastische Integral Nehmen wir an, wir wollen das Integral W s dw s definieren, wobei W eine standard Brownsche Bewegung ist. Wir könnten versuchen, das Integral über Riemann- Summen zu definieren. Wir betrachten zwei Möglichkeiten, und wobei t i = it/n. Dann ist A n = B n = n W ti 1 (W ti W ti 1 ) i=1 n W ti (W ti W ti 1 ), i=1 A n + B n = n (W ti + W ti 1 )(W ti W ti 1 ) = i=1 n i=1 W 2 t i W 2 t i 1 = W 2 t. Weiter gilt B n A n = n (W ti W ti 1 ) 2. i=1 Aus dem Beweis von Hilfssatz B.4 wissen wir, dass lim n B n A n = t. Wir schliessen, dass und lim A n = 1(W 2 n 2 t t) lim B n = 1(W 2 n 2 t + t). Wir können daher nicht einfach das stochastische Integral über Riemann-Summen definieren. In der Praxis wird man in einem Markt ein Portfolio zu einem Zeitpunkt t festlegen und in einem Zeitpunkt s > t wieder ändern. Da man nur die Information bis zum Zeitpunkt t verwenden kann, werden wir die Riemann-Summen {A n } zur Definition verwenden. Wir beginnen mit einem stückweise konstanten adaptierten Prozess {Y t }. Für Y ist es natürlich, das Integral Y s dw s = N t 1 i= Y τi (W τi+1 W τi ) + Y t (W t W τnt )

28 22 4. STOCHASTISCHE ANALYSIS zu definieren, wobei N t = max{i : τ i t}. Der so definierte stochastische Prozess { Y s dw s } ist stetig, und hat die folgende wichtige Eigenschaft. Sei τ n = inf{t : Y s dw s > n}. Dann ist { τ n t Y s dw s } ein Martingal. Hilfssatz 4.1. Seien {X t } und {Y t } zwei stückweise konstante Prozesse und W eine Brownsche Bewegung. Dann sind { Y s dw s } und {M t } lokale Martingale, wobei M t = Y s dw s X s dw s Y s X s ds. (4.1) Sind {X t } und {Y t } beschränkt, so sind { Y s dw s } und {M t } Martingale. Beweis. Nehmen wir zuerst an, dass sup t {max{ X t, Y t }} C <. Sei s < t. Fügen wir die Stoppzeiten t und s zu {τ i } und ordnen die Stoppzeiten, so können wir annehmen, dass es ein k = k(ω) gibt, so dass τ k = t, und dass es ein l = l(ω) gibt, so dass τ l = s. Wir bemerken zuerst, dass IIE [( (Nt 1) n = i=1 n i=1 ) 2 ] Y τi (W τi+1 W τi ) = IIE [( n i=1 ) 2 ] Y τi 1I τi <t(w τi+1 W τi ) n IIE[Y τi 1I τi <ty τj 1I τj <t(w τi+1 W τi )(W τj+1 W τj )]. j=1 Ist i < j, so erhalten wir IIE[Y τi 1I τi <ty τj 1I τj <t(w τi+1 W τi )(W τj+1 W τj )] = IIE[Y τi 1I τi <ty τj 1I τj <t(w τi+1 W τi )IIE[W τj+1 W τj F τj ]] =. Das anlaoge Resultat gilt für i > j. Somit erhalten wir IIE [( (Nt 1) n i=1 ) 2 ] Y τi (W τi+1 W τi ) = = = n i=1 n i=1 n i=1 IIE[Y 2 τ i 1I τi <t(w τi+1 W τi ) 2 ] IIE[Y 2 τ i 1I τi <tiie[(w τi+1 W τi ) 2 F τi ]] IIE[Y 2 τ i 1I τi <t(τ i+1 τ i ) F τi ] C 2 t. Somit ist τ n t Y v dw v quadratisch integrierbar, und damit gleichmässig integrierbar. Wir haben dann [ ] IIE Y v dw v Fs = s [ ] Y v dw v + IIE Y v dw v Fs. s

29 4. STOCHASTISCHE ANALYSIS 23 Wir haben weiter s Y v dw v = N t 1 i=n s Y τi (W τi+1 W τi ) = i=n s Y τi 1I τi <t(w τi+1 W τi ), Wegen der gleichmässigen Integrierbarkeit gilt [ ] IIE Y v dw v Fs = IIE[Y τi 1I τi <t(w τi+1 W τi ) F s ], s i=n s Wir erhalten IIE[Y τi 1I τi <t(w τi+1 W τi ) F s ] = IIE[Y τi 1I τi <tiie[(w τi+1 W τi ) F τi ] F s ] =, und damit Also ist Y s dw s ein Martingal. Wir haben [ s ] IIE X v dw v Y v dw v Fs = und s [ ] IIE Y v dw v Fs =. s s [ s ] IIE X v dw v Y v dw v Fs =. Somit müssen wir [ IIE Y v dw v X v dw v s s s [ ] X v dw v IIE Y v dw v Fs =, s s ] Y v X v dv F s = zeigen. Sei nun {τ n } die wachsende Folge der Sprungzeiten von beiden Prozessen X und Y, und nehmen wir weiterhin an, dass t und s zu den Stoppzeiten gehören. Wegen der Hölder-Ungleichung haben wir [ ] 2 [( IIE Y v dw v X v dw v IIE T k t T k t T k t ) 2 [( Y v dw v ]IIE ) 2 ] X v dw v. T k t Die rechte Seite kann beliebig klein gemacht werden. Wenn wir also die Summe durch die endliche Summe ersetzen, können wir den Fehler beliebig klein machen. Dies bedeutet, dass wir Summe und Erwartungswert vertauschen dürfen. Wir erhalten [ ] IIE Y v dw v X v dw v Fs s = i=n s s j=n s IIE[Y τi X τj 1I τi <t1i τj <t(w τi+1 W τi )(W τj+1 W τj ) F s ].

30 24 4. STOCHASTISCHE ANALYSIS Ist i < j, so erhalten wir IIE[Y τi X τj 1I τi <t1i τj <t(w τi+1 W τi )(W τj+1 W τj ) F s ] = IIE[Y τi X τj 1I τi <t1i τj <t(w τi+1 W τi )IIE[W τj+1 W τj F τj ] F s ] =. Das analoge Resultat gilt für j < i. Weiter gilt für i = j Also IIE[Y τi X τi 1I τi <t(w τi+1 W τi ) 2 F s ] = IIE[Y τi X τi 1I τi <tiie[(w τi+1 W τi ) 2 F τi ] F s ] [ ] IIE Y v dw v X v dw v Fs = s Damit ist M ein Martingal. s = IIE[Y τi X τi 1I τi <t(τ i+1 τ i ) F s ]. IIE[Y τi X τi 1I τi <t(τ i+1 τ i ) F s ] i=n s [ ] = IIE X v Y v dv. Sind X und Y nicht beschränkt, betrachten wir die Stoppzeiten τ n = inf{t : max{ X(t), Y (t) } n}. Es folgt, dass { τ n Y s dw s } und {M t τ n } Martingale sind. Daher sind { Y s dw s } und {M t } lokale Martingale. Wir sehen, dass {( Y s dw s ) 2 Y 2 s ds} ein lokales Martingal ist, falls Y stückweise konstant ist. Da wir diese Eigenschaft auch erwarten, wenn wir die Definition des stochastischen Integrals ausdehnen, brauchen wir die Bedingung Y 2 s ds < für alle t. Wir nennen die Klasse aller Prozesse, die diese Bedingung erfüllen L 2 loc. Da wir annehmen, dass alle Prozesse cadlag sind, sind alle Prozesse in dieser Klasse. Die Klasse der Prozesse mit IIE[X 2 s ] ds < nennen wir L 2. Wir wollen nun die Prozesse in L 2 durch beschränkte stückweise konstante Prozesse approximieren. Hilfssatz 4.2. s Sei X L 2. Dann gibt es eine Folge {X n } von beschränkten stückweise konstanten Prozessen, so dass Beweis. [ ] lim IIE (Xs n X s ) 2 ds =. (4.2) n Sei H der Raum aller beschränkten Prozesse aus L 2, für die die Aussage gilt. Konvergiere Y n H nach Y punktweise und beschränkt. Dann gibt es ein m n,

31 4. STOCHASTISCHE ANALYSIS 25 so dass n mn (Y s Y s ) 2 ds < n 1. Ist Y n H, dann gibt es einfache Prozesse {Y n,k }, so dass (4.2) für {X k = Y mn,k } und X = Y mn gilt. Wählt man einen Index k(n), so dass IIE[ mn,k(n) (Y s Ys mn ) 2 ds] < n 1, dann gilt [ n lim IIE n (Ys mn,k(n) ] Y s ) 2 ds =, da (a + b) 2 2(a 2 + b 2 ). Somit gilt (4.2) für {X n s = Y mn,k(n) s 1I s n } und X = Y. Also ist Y H. Da die konstanten Funktionen und 1I A 1I Tn t<tn+1 für A F Tn stückweise konstante Prozesse sind, enthält H nach dem monotonen Klassentheorem alle beschränkten Prozesse. Sei nun X unbeschränkt. Dann gibt es Folgen von einfachen Prozessen {X n,k } die X1I X n approximieren. Da IIE[ X 2 s 1I Xs >n ds], folgt mit der obigen Konstruktion, dass X die Behauptung des Hilfssatzes erfüllt. Wir können nun ein stochastisches Integral auf ganz L 2 definieren. Satz 4.3. Sei X L 2. Dann gibt es einen eindeutigen Prozess X dw, so dass für jede Folge {X n } von beschränkten stückweise konstanten Prozessen, die { [ n IIE (Xs n X s ) ds] } < (4.3) n erfüllt, für alle T > gilt, dass sup t T Xs n dw s X s dw s fast sicher und in L 2 (IIP). X dw ist ein stetiges quadratisch integrierbares Martingal. Weiter, ist Y L 2, dann ist und (4.1) ist ein Martingal. { X s Y s ds Xs 2 ds Y 2 s ds} 12, (4.4) Bemerkung. Wegen Hilfssatz 4.2 gibt es immer eine Folge, die (4.3) erfüllt.

32 26 4. STOCHASTISCHE ANALYSIS Beweis. Sei {X n } eine Folge von einfachen Prozessen, die (4.3) erfüllt. Dann ist [ ] IIE sup dw s Xs n dw s n t T n n = 2 n { [ IIE X n+1 s sup t T (X n+1 s X n s ) dw s 2 ]} 1 2 { [ T ]} 1 4IIE (Xs n+1 Xs n 2 2 ) dw s [ T { IIE { IIE [ T (X n+1 s [(X n+1 s ]} 1 Xs n ) 2 2 ds ]} 1 X s ) (Xs n X s )] 2 2 ds = 2 n 8 { [ T IIE (Xs n X s ) ds]} <, n wobei wir die Proposition C.9 sowie (a + b) 2 2(a 2 + b 2 ) verwendet haben. Somit ist X n dw eine Cauchyfolge, und damit konvergiert X n dw gleichmässig auf beschränkten Zeitintervallen gegen einen Prozess X dw fast sicher. Wegen der gleichmässigen Konvergenz, ist IIE[( X s dw s ) 2 ] <, und der Grenzprozess ist stetig. Weiter gilt mit Hilfe des Lemmas von Fatou [ ] IIE sup Xs n 2 dw s X s dw s t T [ = IIE lim sup ] Xs n dw s X m 2 s dw s m t T [ lim IIE m sup t T [ T X n s dw s X m s dw s 2 ] ] lim 4IIE (Xs n Xs m 2 ) dw s = lim m [ T ] = 4IIE (Xs n X s ) 2 ds, m [ T 4IIE ] (Xs n Xs m ) 2 ds und die Konvergenz ist somit auch in L 2 (IIP). Falls X =, dann muss der Grenzprozess auch sein, und daher hängt X dw nicht von der gewählten Approximation mit stückweise konstanten Prozessen ab. Es gilt [ ] IIE (Xs n ) 2 ds ( 2 IIE [ ] [ ] ) (Xs n X s ) 2 ds + IIE (X s ) 2 ds

33 4. STOCHASTISCHE ANALYSIS 27 Der erste Term ist beschränkt, da er für n nach konvergiert, der zweite ist unabhängig von n. Somit folgt, dass Xn s dw s für jedes feste t gleichmässig integrierbar ist. Weiter ist [ ( ) ] [ 2 ( ) ] 2 IIE X s dw s = IIE (X s Xs n ) dw s + Xs n dw s ( [ ( ) ] 2 [( ) ]) 2 2 IIE (X s Xs n ) dw s + IIE Xs n dw s ( [ ] [ ] ) 16 IIE (Xs n X s ) 2 ds + IIE (X s ) 2 ds und damit, wenn man n gegen Unendlich gehen lässt, [ ( ) ] 2 [ ] [ ] IIE X s dw s 16IIE (X s ) 2 ds 16IIE (X s ) 2 ds <. Da damit { s Xn u dw u } gleichmässig integrierbar ist, folgt [ ] [ ] IIE X u dw u Fs = IIE Xu n dw u Fs s lim n = lim n IIE s [ ] Xu n dw u Fs = und damit X dw ein quadratisch integrierbares Martingal. (4.4) ist ein klassisches Resultat aus der Analysis. Seien nun {X n } und {Y n } Folgen von beschränkten stückweise konstanten Prozessen, die X und Y approximieren. Aus (4.4) folgt (Xn s X s )Ys n ds und X s (Ys n Y s ) ds, woraus (Xn s Ys n X s Y s ) ds folgt. Wie oben gesehen, sind die Prozesse X n dw Y n dw und Xn s Ys n [ IIE X u dw u s = lim n IIE = lim n IIE s [ s ds gleichmässig integrierbar. Somit ist ] [ Y u dw u Fs = IIE lim n s ] Xu n dw u Yu n dw u Fs s [ s X n u Y n u [ = IIE lim n Xn u Yu n s s ] du F s du Dies beweist, dass (4.1) ein Martingal ist. ] [ F s = IIE s X n u dw u X u Y u du s F s ]. Y n u dw u Fs ] Bevor wir das Integral ausdehnen, benötigen wir ein Resultat über das gestoppte Martingal.

34 28 4. STOCHASTISCHE ANALYSIS Hilfssatz 4.4. Sei X L 2 und τ eine Stoppzeit. Dann gilt Beweis. Wir haben τ t X s dw s = [( ) 2 ] [ IIE X s 1I τ>s dw s = IIE Weiter haben wir aufgrund des Stoppsatzes X s 1I τ>s dw s. ] Xs 2 1I τ>s ds = IIE [ τ t ] Xs 2 ds. [ τ t ] [ τ t [ ]] IIE X s dw s X s 1I τ>s dw s = IIE X s dw s IIE X s 1I τ>s dw s Fτ t Daraus folgt was die Behauptung beweist. [( τ t IIE X s dw s [ τ t τ t ] = IIE X s dw s X s 1I τ>s dw s [ τ t ] [ τ t = IIE Xs 2 1I τ>s ds = IIE X s 1I τ s dw s ) 2 ] =, ] Xs 2 ds. Wir wollen im weiteren das Integral auf L 2 loc ausdehnen. Definieren wir T n = inf{t : X2 s ds > n}, so ist T n X 2 s ds integrierbar, und T n. Satz 4.5. Sei X L 2 loc. Dann gibt es einen eindeutigen stochastischen Prozess τ X dw, so dass, falls τ eine Stoppzeit ist, so dass IIE[ X2 s ds] <, so gilt τ t X s dw s = X s1i τ>s dw s. X dw ist dann ein stetiges lokales Martingal. Ist weiter Y L 2 loc, so ist (4.1) ein lokales Martingal. Beweis. Wählen wir T n wie oben, können wir T n t X s dw s = X s1i Tn>s dw s definieren. Aus Hilfssatz 4.4 folgt, dass für m > n das Integral T n t X s 1I Tm>s dw s mit X s1i Tn>s dw s übereinstimmt. Damit können wir also X dw definieren. Ist nun τ eine Stoppzeit, so dass IIE[ τ X2 s ds] <, so erhalten wir Tn t X s 1I τ>s dw s = = X s 1I τ>s 1I Tn>s dw s = Tn (τ t) X s dw s. τ t X s 1I Tn>s dw s

35 4. STOCHASTISCHE ANALYSIS 29 Lassen wir n, sehen wir, dass die verlangte Bedingung gilt. Ist Y ein beliebiger Prozess, so dass Y τ t = X s1i τ>s dw s für jede Stoppzeit τ mit IIE[ τ X2 s ds] <, so erhalten wir Y Tn t = X s 1I Tn>s dw s = Tn t X s dw s, und Y muss mit dem konstruierten Prozess übereinstimmen. Da T n t X s dw s ein Martingal ist, ist X dw ein lokales Martingal. Ist Y L 2 loc, so wählen wir die Stoppzeiten τ n = inf{t : min{ X2 s ds, Y 2 s ds} > n}. Dann ist M τn t ein Martingal, und damit M ein lokales Martingal. Wir weiten nun die Definition des stochastischen Integrals auf Martingale der Form N t = X s dw s aus. Wir wollen Y dn konstruieren. Wir wollen zeigen, dass aus der analogen Konstruktion wie X dw folgt, dass Y dn = Y X dw. Hilfssatz 4.6. Sei Y ein stückweise konstanter Prozess. Dann gilt Y τk (N τk+1 t N τk t) = k= Y s X s dw s. Beweis. Ist X ein stückweise konstanter Prozess, so können wir annehmen, dass X und Y die selben Stoppzeiten benutzen. Also gilt Y τk (N τk+1 t N τk t) = k= Y τk X τk (W τk+1 t W τk t) = k= Y s X s dw s. Sei nun X L 2. Wählen wir eine Folge von stückweise konstanten Prozessen X n, die X approximiert. Setzen wir Nt n = Xn s dw s. Nehmen wir zuerst an, dass Y durch eine Konstante c beschränkt ist. Wir haben dann [( IIE Y τk (N τk+1 t N τk t) k= k= Y s X s dw s ) 2 ] { [( ) 2 3 IIE Y τk (N τk+1 t N τk t Nτ n k+1 t + Nτ n k t) ( + Y τk (Nτ n k+1 t Nτ n k t) k= ( ) 2 ]} + Y s (Xs n X s ) dw s Y s X n s dw s ) 2

36 3 4. STOCHASTISCHE ANALYSIS Der mittlere Term ist Null, und die beiden anderen Terme konvergieren gegen Null, wenn man mit n geht. Also gilt auch in diesem Fall die Behauptung. Ist nun Y nicht beschränkt, so erhalten wir für T m = inf{t : Y t > m} Tm t Y τk (N τk+1 T m t N τk T m t) = Y s X s dw s. k= Lassen wir m gilt auch in diesem Fall die Behauptung. Für einen beliebigen Prozess X L 2 loc sei T n = inf{t : X2 s Ys 2 ds > n}. Dann erhalten wir Tn t Y τk (N τk+1 T n t N τk T n t) = Y s X s dw s. k= Lassen wir n, folgt die Behauptung. Wir definieren nun L 2 (N) als die Klasse der Prozesse Y L 2 loc, so dass gilt IIE[ Y 2 s Xs 2 ds] <. Satz 4.7. Sei Y L 2 (N). Dann gilt für jede Folge Y n von stückweise konstanten Prozessen, so dass IIE[ (Y n s Y s ) 2 Xs 2 ds], dass sup t T { Y n s dn s Y sx s dw s } fast sicher und in L 2 (IIP) nach Null konvergiert. Beweis. Aus [ { IIE sup t T [ = IIE Y n s sup t T [{ T 4IIE sup t T dn s { Y s X s dw s } 2 ] Y n s X s dw s Y s X s dw s } 2 ] (Y n s Y s )X s dw s } 2 ] = 4IIE folgt die Konvergenz in L 2 (IIP). Weiter gilt für n m [ { } ] 2 IIE Ys n dn s Ys m dn s [ 2IIE ( 8 IIE sup t T [ T { (Y n s Y n s X s dw s { + Ys m X s dw s [ T (Y n s Y s X s dw s } 2 ] [ T Y s ) 2 Xs 2 ds + IIE Y s X s dw s } 2 ] (Y m s ] Y s ) 2 Xs 2 ds ]) Y s ) 2 Xs 2 ds. Somit ist Y n s dn s ein Cauchyfolge. Der Grenzwert kann nur Y n s X s dw s sein. Somit ist die Konvergenz auch fast sicher.