Kombinatorische Grundschaltungen

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1 Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Mikro und Nanoelektronik Fachgebiet Elektronische Schaltungen und Systeme Kombinatorische Grundschaltungen Versuch im Informationselektronischen Praktikum Studiengang Elektrotechnik und Informationstechnik 2.Studienschwerpunkt: Mikro, Nanoelektronik und Elektrotechnologie (BA) Betreuer: Dipl.Ing. Thomas Rommel Raum H556, Tel Praktikumsraum: H 555

2 Inhaltserzeichnis. VERSUCHSZIEL THEORETISCHE GRUNDLAGEN ALLGEMEINES REGELN FÜR DIE VERKNÜPFUNG VON VARIABLEN X UND KONSTANTEN, GESETZE DER BOOLESCHEN ALGEBRA BOOLESCHE BASISFUNKTIONEN FÜR ZWEI EINGANGSVARIABLE WAHRHEITSTAFEL, KDNF UND KKNF MINIMIERUNG VON SCHALTFUNKTIONEN Allgemeines KarnaughVerfahren Verfahren nach QuineMcCluskey Verfahren nach QuineMcCluskey Realisierung on mehrstufiger Logik ALLGEMEINE BEDIENUNGSHINWEISE DER GRAFIKEDITOR FEHLERBEHEBUNG AUFGABEN HAUSAUFGABEN VERSUCHSDURCHFÜHRUNG Kürzung (Aufgabe.ic3) Überlastschutz (Aufgabe2.ic3) SegmentDekoder (Aufgabe3.ic3) Codewandler (Aufgabe4.ic3) Faktorisierung (Aufgabe5.ic3) Multipleer 3auf (Aufgabe6.ic3) LITERATUR... 5 Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 2

3 . Versuchsziel Kennenlernen und Erproben on kombinatorischen Schaltungen, Regeln und Gesetzen der Schaltalgebra. 2. Theoretische Grundlagen 2.. Allgemeines Das Verhalten on kombinatorischen Bausteinen (dazu gehören Negatoren, NAND und NORGatter) läßt sich mit Booleschen Gleichungen beschreiben, wobei die Variablen dieser Gleichungen nur die zwei diskreten Zustände und annehmen können. Jede Logik kann als eine Funktion y der Eingangsariablen beschrieben werden, kurz y = f(). Die hier dargestellten Grundlagen sind nur andeutungsweise dargestellt. Ausführlichere Erläuterungen zu diesen Themen sind im Lehrbuch Synthese und Analyse digitaler Schaltungen on Prof. Dr. Scarbata [] nachzuschlagen Regeln für die Verknüpfung on Variablen und Konstanten, Regeln für Negation zweier Zustände: = (lies: Negation on Null ist Eins) = Regeln für die Konjunktion zweier Zustände und : = (lies: Null und Null ist Null) = = = Regeln für die Disjunktion zweier Zustände und : + = (lies: Null oder Null ist Null) + = + = + = Regeln für die Verknüpfung on Zuständen mit Variablen: = (lies: Null und ist Null) = + = (lies: Null oder ist ) + = Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 3

4 2.3. Gesetze der Booleschen Algebra Ähnlich wie bei reellen Zahlen eistieren auch für die Schaltalgebra Grundgesetze zur Vertauschung on Variablen: (in der Kurzschreibweise entfällt der Operator) Kommutatigesetz + = + = Assoziatigesetz ( + ) + 2 = + ( + 2 ) ( ) 2 = ( 2 ) Distributigesetz ( ) + 2 = ( + 2 )( + 2 ) ( + ) 2 = Inersionstheorem ( + ) = nach DeMorgan ( ) = + Unter der Anwendung der genannten Regeln und Gesetze lassen sich einige sehr häufig auftretende Kürzungsregeln angeben: + = = + = = + = ( + ) = + = + ( + ) = + = + ( + ) = ( + ) = + = Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 4

5 2.4. Boolesche Basisfunktionen für zwei Eingangsariable Die folgende Tafel gibt eine Übersicht über alle möglichen Funktionen für 2 Eingangsariable und : Verhaltensbeschreibung Schaltfunktion α y = konst. Operationssymbole Schaltzeichen neuere y = + NOR 2 y = 2 3 y 3 = 4 y = 4 Inhibition Negation Inhibition 5 y = Negation, /,, 5 6 y = + Antialenz ~, +, 6 ~ M2 7 y = NAND / 7 8 y = 8 AND, UND Konjunktion,, 9 y = + Äquialenz 9 ~, =, ~ = y = Identität y = + Implikation y = 2 y = + 3 y = y = konst. 5 Identität Implikation OR, ODER Disjunktion +, 2.5. Wahrheitstafel, KDNF und KKNF Die Wahrheitstafel (auch Schaltbelegungstabelle, Funktionstabelle oder Wahrheitstabelle genannt) besteht aus der linken Seite mit allen Kombinationen der Eingangsariablen (Eingangsbelegungen) und einem rechten Teil mit der (den) Ausgangsfunktion(en). Im Variablenteil werden systematisch alle Zustände, meist im Binärcode eingetragen, wobei e = 2 k Möglichkeiten bei k Eingangsariablen eistieren. Im Ausgangsteil werden entsprechend der Aufgabenstellung die Werte, oder d eingetragen. Werden alle Kombinationen berücksichtigt, so entsteht damit eine ollständige (kanonische) Beschreibung der Logikfunktionen. Stimmen Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 5

6 zwei Logikschaltungen in ihren Wahrheitstafeln überein, so sind sie äquialent. Aus dieser Tafel lassen sich sowohl die kanonische disjunktie Normalform (KDNF) als auch die kanonische konjunktie Normalform (KKNF) ablesen. Die konjunktie Verknüpfung aller in der Schaltfunktion y = f() orkommenden Variablen k... κ... in negierter oder nicht negierter Form bezeichnet man als Minterme m ε. Die Minterme m ε sind den e = 2 k möglichen Eingangsbelegungen ε einer Schaltfunktion fest zugeordnet. Ist die Variable κ in der Eingangsbelegung ε gleich, geht sie negiert in den Minterm m ε ein, ist die Variable κ in der Eingangsbelegung ε gleich, geht sie nicht negiert in den Minterm m ε ein. Eine DNF, die ausschließlich Minterme m ε disjunkti erknüpft, heißt Kanonische Disjunktie Normalform KDNF. Bestandteil eine KDNF sind nur diejenigen Minterme m ε, für die y ε = ist. Die disjunktie Verknüpfung aller in der Schaltfunktion y = f() orkommenden Variablen k... κ... in negierter oder nicht negierter Form bezeichnet man als Materme M ε. Die Materme M ε sind den e = 2 k möglichen Eingangsbelegungen ε einer Schaltfunktion fest zugeordnet. Ist die Variable k in der Eingangsbelegung e gleich, geht sie nicht negiert in den Materm M ε ein, ist die Variable κ in der Eingangsbelegung ε gleich, geht sie negiert in den Materm M ε ein. Eine KNF, die ausschließlich Materme M ε konjunkti erknüpft, heißt Kanonische Konjunktie Normalform KKNF. Bestandteil einer KKNF sind nur diejenigen Materme M ε, für die y ε = ist. Beispiel: Antialenzfunktion für 2 Variable: ε y m ε M ε y = + = Σ,2 KDNF y = ( + )( + ) = Π,3 KKNF Aus der KKNF wird durch Umformung die KDNF: y = ( + )( + ) y = = y = Minimierung on Schaltfunktionen Allgemeines Die kanonischen Formen sind häufig mit Redundanz ersehen. Der Aufwand zur Schaltungsrealisierung läßt sich durch Minimierung senken. Zur Minimierung bedient man sich unterschiedlicher Verfahren. Eine grafische und übersichtliche Darstellung kleinerer Probleme (bis maimal 6 Eingangsariablen sinnoll) ist der KarnaughPlan. Bei einer größeren Anzahl on Eingangsariablen bietet sich das QuineMcCluskeyVerfahren an, welches auch leicht auto Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 6

7 matisierbar ist. Beim QuineMcCluskeyVerfahren werden alle Elementarkonjunktionen systematisch erglichen, die Primimplikanten ermittelt und mit einer tabellarischen Auswahl die Kernprimimplikanten selektiert. Die Kernprimimplikanten sind die für die Realisierung unbedingt notwendigen Terme, die mit den restlichen Primimplikanten so zu ergänzen sind, daß die minimierte Gleichung mit der Ausgangsfunktion inhaltlich übereinstimmt KarnaughVerfahren Das KarnaughVerfahren ist eine grafische Methode zur Minimierung on Schaltfunktionen. Eine noch überschaubare Anzahl on Eingangsariablen liegt etwa bei 5 bis 6. Jeder Eingangsbelegung ε entspricht ein Feld in dem KPlan. Die Felder werden so angeordnet, daß sich in horizontaler und ertikaler Richtung benachbarte Felder in genau einer Variablen unterscheiden. Man kann den KPlan leicht durch Spiegelung erzeugen. In jedem Feld wird der entsprechende Ausgangswert y ε = f( ε ) eingetragen. Die Minimierung einer KDNF erfolgt nach den 2 Regeln: ) Überdeckung aller Felder mit einer (bei KKNF die Felder mit einer ) mit möglichst wenigen, dafür 2) mit möglichst großen Blöcken aus symmetrischen benachbarten Feldern. Jeder Block entspricht Kernprimimplikanten bzw. Primimplikanten. Ein Block wird durch diejenigen Eingangsariablen repräsentiert, die sich für jede Belegung ε innerhalb des Blockes nicht ändern. Beispiel: y = Σ,,2,3,4,6,7,8,9,,5 3 2 Ergebnis: y = Verfahren nach Quine McCluskey Verfahren nach QuineMcCluskey Ausgangspunkt ist eine kanonische Normalform, z. B. KDNF. Die Elementarkonjunktionen werden entsprechend ihrem Dezimalwert in einen Binärcode umgewandelt. Anschließend werden alle Binärcodes nach Indegruppen sortiert (entsprechend der Häufigkeit der in den Binärcodes). Die so sortierten Dualcodes werden nach aufsteigender Indegruppe in eine Tabelle eingetragen. Durch diese Anordnung wird erreicht, daß benachbarte Indegruppen Kodewörter enthalten, die sich in der Anzahl der enthaltenen en immer um eine unterscheiden. Im darauffolgenden Schritt werden alle Vertreter der einen Indegruppe mit allen Vertretern der benachbarten Indegruppe erglichen und ggf. gekürzt. In einer neuen Tabelle wird eine erfolgte Kürzung durch einen gekennzeichnet und die ursprünglichen Dezimalwerte notiert. Eine erfolgte Kürzung wird in der Ausgangstabelle durch ein Häkchen ermerkt. Das Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 7

8 Verfahren wird nun soweit fortgesetzt, bis keine Kürzungen mehr möglich sind. Alle nicht mit einem Häkchen ersehenen Binärcodes stellen die weiter zu erwendenden Primimplikanten dar (Beispiel aus ). Ausgangsfunktion Gr. 3 2 Dez Kürzung Kürzung Gr. 3 2 Dez Kürzung Kürzung Gr. 3 2 Dezimal Kürzung/Primimplikant,,2, 2,3, 8,9,2,3,2 4,6,4 2,6,8,9 p p2 (p) p3 (p3) (p2),2 2,3 2,3 3,4,3 9,,9 3, 2,3 6,7 2,6 3,7 3,7,5 3, 7,5 p4 (p4) p5 (p5) p6 (p6) Ergebnis: y = Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 8

9 Tabellarisches Auswahlerfahren Das Kürzungsergebnis ist zwar minimiert, muß aber nicht die minimale Schaltfunktion darstellen. Durch das tabellarische Auswahlerfahren wird untersucht, welche Primimplikanten Kernprimimplikanten sind und ob es mehrere alternatie Lösungen für eine minimale Schaltfunktion gibt. Die Tabelle wird wie folgt aufgestellt: ) waagerecht trägt man alle Primimplikanten ein 2) senkrecht werden alle Elementarkonjunktionen aufgelistet 3) überall, wo ein Primimplikant Bestandteil einer Elementarkonjunktion ist, wird dies mit einem Kreuz ermerkt und die Elementarkonjunktion abgestrichen 4) Herorheben jener Markierungen, bei denen eine Elementarkonjunktion nur ein einziges Mal abgedeckt wird; diese Primimplikanten sind bereits eindeutig Kernprimimplikanten 5) man ersucht, die restlichen Elementarkonjunktionen durch wenige weitere Primimplikanten abzudecken. Dabei können sich ohne weiteres mehrere äquialente Lösungen ergeben. 6) Die endgültige Lösung besteht aus den eindeutigen Kernprimimplikanten sowie den ausgesuchten Primimplikanten. Die Lösung stellt die minimale Schaltfunktionen dar (also keine kanonische Form!). Im Anschluß kann die Schaltung unter Verwendung des Satzes on DeMorgan in die orgesehene Schaltkreistechnik, z. B. NANDGatter, umgerechnet werden. Elementar Konjunktion k 3 2 k k 2 k 3 k 4 k 6 k 7 k 8 k 9 k k Das Ergebnis lautet: y min = p 2 p 3 p 6 In NANDRealisierungen erhält man: y min = y min = 2 3 Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 9

10 2.6.4 Realisierung on mehrstufiger Logik Unter gewissen Umständen kann es sinnoll sein, anstelle der klassischen 2stufigen Schaltungsrealisierung mehrstufige Logik zu entwerfen. Gründe dafür sind z. B. erminderte Hazardanfälligkeit aufgrund gleicher Signallaufzeiten, Erzielung geringerer Gatterbreiten und Verminderung des Schaltungsaufwandes bei Schaltfunktionen mit einem hohen Anteil an antialenten bzw. äquialenten Verknüpfungen ab einer bestimmten Anzahl an Eingangsariablen. Die Realisierung solcher mehrstufiger Logik kann im NAND oder im NORBasissystem mit Hilfe der Faktorisierungsmethode aus dem KarnaughPlan erfolgen und soll an dem nachfolgenden Beispiel kurz demonstriert werden. y = + (Antialenz) NANDRealisierung y 2 = + (Äquialenz) NORRealisierung. Schritt Zunächst wird der KarnaughPlan aufgezeichnet und der Startpunkt für die Faktorisierung bestimmt. Dabei kann unabhängig om erwendeten Basissystem mit einer einzelnen, einer einzelnen oder z. B. in größeren KPlänen mit einem Block on zusammengehörigen en oder en begonnen werden. y : y 2 : Der Startpunkt wird zunächst mit einem NAND bzw. einem NORGatter realisiert. y : y 2 : T T 2. SCHRITT BLOCKBILDUNG Es werden alle umliegenden en (beim Start mit en ) bzw. alle umliegenden en (beim Start mit en ) zur Blockbildung herangezogen und die Blöcke durch Gatter realisiert! Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7

11 Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 Dieses Einsammeln der und wird abwechselnd solange durchgeführt, bis entweder alle oder alle in Blöcken untergebracht sind. Im orliegenden Beispiel ist es bereits nach der 2. Stufe der Fall. 3. Schritt Abschlußgatter Alle Gatterausgänge der zweiten Stufe werden jetzt auf ein gemeinsames Abschlußgatter (NAND bzw. NOR) zusammengeführt, wobei unter Umständen der Ausgang dieses Gatters nochmals negiert werden muß. Ob der Negator notwendig wird, kann u. a. anhand des realisierten KarnaughPlanes und des KarnaughPlanes der Ausgangsfunktion überprüft werden. y y 2 T 2 T T 22 T 2 T T 22 y y 2

12 3. Allgemeine Bedienungshinweise Das Praktikum wird auf dem Logic Circuit Trainer CE3 absoliert. Dabei handelt es sich um eine kombinierte Hard und Softwarelösung. Die Schaltungen werden mit einem Grafikeditor eingegeben und dann in der Hardware emuliert! Durch den Emulator werden nur funktionelle Werte wiedergegeben. Zeitliche Emulationen sind daher nicht möglich! Es ist aus diesem Grund erforderlich, daß alle Schaltorgänge per Hand langsam (ca. in Sekunden Abständen) erfolgen müssen. Die Hardware ist om Praktikumserantwortlichen bereits ollständig orgefertigt. Eine Veränderung der Hardware ist nur unter Zustimmung des Verantwortlichen zulässig! Die Praktikumsrechner sind mit dem Betriebssystem Windows NT 4. ausgestattet. Login Benutzername: prak_dst Kennwort: prak_dst Arbeitserzeichnis: D:\Praktik\Dst\Kombina Nur in diesem Verzeichnis werden Dateien gespeichert! Das Programm für den CE 3 wird automatisch gestartet! 3.. Der Grafikeditor In Abb. sehen Sie den Grafikeditor des CE3. Die Bedienung ist logisch aufgebaut und selbsterklärend. Alle fürs Praktikum benötigte Bauelemente sind in der Symbolleiste Registerkarte Digital erfügbar. Durch das Anklicken eines Symbols (z.b. ANDGatter) wird das entsprechende Bauelement aktiiert und durch einen weiteren Klick, läßt es sich auf der Arbeitsfläche platzieren. Run Abb : Arbeitsbildschirm Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 2

13 Mit dem Klick der rechten Maustaste auf einem Symbol lassen sich die Eigenschaften (Properties) erändern, bzw. das Bauelement spiegeln (reerse) und Löschen (Delete). Verschoben wird es durch Drag und Drop. In Abb. 2 wird ein Dialogfenster für die Eigenschaften an Hand eines ORGatters gezeigt. Dadurch lassen sich auch OR, NAND, Eclusie OR (Antialenz) und Eclusie NOR (Äquialenz) Gatter realisieren. Die Anzahl der Eingänge ist auf 3 begrenzt. Unter der Registerkarte Custom IC s sind auch Gatter mit mehreren Eingängen erfügbar. Abb. 2: Properties der Symbole Für die meisten Aufgaben ist die eterne Beschaltung schon orgegeben. Beachten Sie die Anweisungen in den einzelnen Aufgaben bei der Versuchsdurchführung! Die Verdrahtung erfolgt einfach durch Anklicken und Ziehen der Inputs oder Outputs der Bauelemente. Nur wenn die Maus die Form eines Lötkolbens annimmt, läßt sich eine Verdrahtung realisieren. Nach beendeter Eingabe kann über die Taste RUN die Schaltung in der Hardware emuliert werden Fehlerbehebung Klicken Sie bei Auftreten der Fehlermeldung Daten Oerrun die Fehlermeldung weg und starten Sie RUN erneut! Bei allen anderen Fehlermeldungen wenden Sie sich bitte an Ihren Betreuer! 4. Aufgaben 4.. Hausaufgaben Wie kann man die Äquialenz zweier Schaltfunktionen beweisen? Beweisen Sie die Richtigkeit einer on Ihnen selbst gewählten Kürzungsregel! Wie gelangt man aus einer beliebig gegebenen Schaltfunktion zur KDNF und zur KKNF dieser Funktion? Worin besteht der Unterschied zwischen beiden? Machen Sie sich an einem Beispiel mit den Lösungserfahren nach QuineMcCluskey und Karnaugh ertraut! Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 3

14 Nennen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der einzelnen Kürzungserfahren! Wann würden Sie welches Verfahren anwenden? 4.2. Versuchsdurchführung Allgemeine Hinweise: Zu jeder Aufgabe gibt es ein File (Aufgaben.ic3 ; n = Aufgabennummer), in dem eine gewisse Vorerdrahtung bereits implementiert ist. Öffnen Sie diese Datei und speichern Sie sie nach Eingabe ihrer Schaltungen und Überprüfung im CE3 unter dem gleichen Namen wieder ab! Kürzung (Aufgabe.ic3) Überprüfen Sie die Richtigkeit der in 2.5. orgestellten Beispiele, indem Sie die ungekürzten und gekürzten Formen in allen Zwischenschritten in den CE3 eingeben und auf Äquialenz überprüfen Überlastschutz (Aufgabe2.ic3) Durch eine logische Schaltung soll überwacht werden, daß an 4 möglichen Verbraucheranschlüssen gleichzeitig nur maimal 2 Verbraucher angeschlossen sind. Dazu soll bei Anschluß on mehr als 2 Verbrauchern ein optisches (LED) und ein akustisches (Piepser) Alarmsignal ausgelöst werden. a) Entwickeln Sie die Schaltbelegungstabelle und die KDNF! b) Minimieren Sie die KDNF mit Karnaugh und überprüfen Sie die minimierte Schaltung im CE3! (Diese Aufgabe muß nicht abgespeichert werden!!!) c) Erzeugen Sie durch Umformen eine reine NANDSchaltung und überprüfen Sie diese im CE3! SegmentDekoder (Aufgabe3.ic3) Entwickeln Sie einen 7SegmentDekoder, der die Ziffern und 9 und die Heatetraden A bis F anzeigt. Lösen Sie die Aufgabe nach dem gleichen Schema wie in Minimieren Sie jedoch mit dem QuineMcCluskeyVerfahren nur das Segment g. Stellen Sie das Segment praktisch dar und überprüfen Sie ihre Entwicklung durch den CE3! a f e g d b c h Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 4

15 Codewandler (Aufgabe4.ic3) Es soll eine Kombinatorik entworfen werden, welche folgenden GrayCode in einen Binärcode umwandelt: zugeordnete Gray Code Binärcode Ziffern g 3 g 2 g g b 3 b 2 b b Faktorisierung (Aufgabe5.ic3) Entwerfen Sie eine mehrstufige Logik für folgende Schaltfunktion mit Hilfe der Faktorisierungsmethode und testen Sie ihren Entwurf mir Hilfe des CE3. Beginnen Sie mit dem Block b,5 und erwenden Sie NANDGatter! f() = Σ,2,3, Multipleer 3auf (Aufgabe6.ic3) Entwerfen Sie einen minimierten 3auf Multipleer und überprüfen Sie die Schaltung im CE3! 5. Literatur [] Scarbata, Gerd Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 5

16 Symthese und Analyse digitaler Schaltungen, Oldenbourg Verlag, 996 Verantwortliche Betreuer: Dipl.Ing. Th. Rommel, Tel. 7 6