Uber die Menge der Punkte in welchen die Ableltung unendlich ist,

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1 Uber die Menge der Punkte in welchen die Ableltung unendlich ist, von Zygmunt ZAHOESKI in Lwow, U.R.S.S. Man verdankt V. Jarnik (Tohoku Math. Journal, vol. 37 (1933) S. 248) ein Beispiel einer stetigen Funktion, deren Ableitung in jedem Punkte einer gegebenen Gs-Menge unendlich wird, und deren Dinische Ableitungen in der Komplementarmenge endlich bleiben. Dabei stellt er die Frage, ob es uberall differenzierbare Funktionen gibt, die denselben Bedingungen genilgen(1). In dieser Arbeit geben wir die Losung dieses Problems, welche positiv ausfallt. Gestutzt einfachen Bogen, der uberall eine Tangente besitzt, eine derartige Paxameterdarstellung angegeben werden kann, bei welcher die Funk- besitzen. Dies gilt sogar im allgemeineren Falle, wenn in jedem Bogenpunkte, mit Ausnahme von hochstens einer abzahlbaren Menge genumgebung der Spitze innerhalb des betreffenden Kegels liege. Hilfssatz. (Lusin-Menchoff) Es seien M1 und M2 zwei Ausserdem sei M2 abgeschlossen und bestehe nur aus den Dichtig- and Ms aus den Dichtigkeitspunkten von M1, M2 aus den Dichtigkeitspunkten der Menge M3 besteht. Aus unserem Beweise wird noch folgendes hervorgehen : wenn Bedingungen nicht vor, dann gilt (1) fur ein gewisses M3 bei allen m.

2 322 ZYGMUNT ZAHORSKI: Beweis. Fur die Zwecke dieser Arbeit genugt es anzunehmen, (2) das Komplement der Menge M2 in Bezug auf das Intervall (0,1), wobei die Intervalle Jn offen und getrennt sind. In (2) wird durchgreifend eine unendliche Numerierung vorgenommen. Besteht also J nur aus endlichvielen getrennten Intervallen, so versteht man unter Jn fur n>n leere Mengen. Wir wahlen jetzt in jedem Jn eine Punktfolge P1,n, P2,n,...folgendermassen: P1,n ist der Mittelpunkt des Intervalls Jn, P2k,n liegt links, P2k+1,n rechts von P1,n, in der Entfernung Jn /2k+1 vom Rande diesel Intervalls. Wenn die Endpunkte des Intervalls Jn im Innern von (0,1) liegen, so bezeichne ich die offenen Intervalle (P2,n, P1, n), (P2k+2, n, P2k, n), (P1, n, P3, n), (P2k+1, n, P2k+3, n) mit J2, n, J2k+2, n, J1, n, J2k+1,n. Wenn Jn leer ist, so sind auch die Jk, n leer. Ist 1 Endpunkt' des Jn, so wild J2k, n wie oben definiert, J1,n=(P1,n,1), J2k+1,n=leere Menge fur k>0 gesetzt. Ist 0 Endpunkt des Intervalls Jn, so werden wir ahnlich verfahren ; jetzt sind namlich die J2k,n leere Mengen fur k>1. Der Fall Jn setzen : dann ist (3) Ich teile nun die Menge der Intervalle Jk,n in Klassen ein, indem eine abgeschlossene nur aus den Dichtigkeitspunkten von M1, besto- (4) wo p eine positive Konstante ist. Wir setzen (5) M3' besteht nur aus den Dichtigkeitspunkten von M1 wobei (6)

3 UBER DIE MENGE DER PUNKTE U. S. W. 823 Die Menge Ms' ist abgeschlossen. Wurde namlich eine konvergente Punktfolge aus Ms' einen nicht zu M2 gehorenden Grenzpunkt besitzen, so musste dieser zu einem der Jk,n gehoren. Dann mussten aber fast alle Punkte der Folge zu einer oder hochstens zu zwei Fk,n-Mengen gehoren. Da die Summe dieser zwei Mengen abgeschlossen ist, so muss der Grenzpunkt zu einem Fk,n, und damit zu M3' gehoren, was zu beweisen war. keitspunkt von Ms' ist. Gehort x2 zu M2, dann ist (7) (8) erstreckt wird. Dabei ist x1 der linke Endpunkt der Streoke Jk,n, welche x0+h enthalt, falls eine solche existiert. Anderonfalls setze man xi=x0+ h. Es bezeichne x2 den rechten Endpunkt des Intervalls Jk,n welches x0+h enthalt, falls es uberhaupt ein solches gibt. Anderenfalls setze man x2 = x0 + h. Sei weiter (9) Da Jk,n <h< 1/m, so hat man

4 324 ZYGMUNT ZAHORSKI: (10) Nach (9) ist (11) (12) (xs ist der zu x0+h nachstliegende Punkt von M2 mit der Eigen- wenn wenn (13) Nach (10), (13) wonn (14) M1(x1, x0+h) >0. Ist M1(x1, x0+h) =0, so folgt aus (10) Die letzte Formel bekommt man auch, wenn x0+h=x1. Man hat also in jedem Falle

5 UBER DIE MENGE DER PUNKTE U. S. W. 325 and wegen (7), (8) (15) (16) d. h. x0 ist ein rechtsseitiger Dichtigkeitspunkt von M3'. Ahnlich Da nach (3), (4) so schliesst man aus (5) : (17) endliche Teilfolge der Fk,n, nach deren Beseitigung aus M3' die vergenz der Reihe (17) gibt es immer endliche Teilfolgen der verlangten Art. Da jedes Fk,n in einem Jk,n mit derselben Numerierung liegt, so ist sich von M3' nur um eine solche Punktmenge unterscheidet, die von M2 eine positive Entfornung besitzt, und da wie oben gezeigt wurde, jeder Punkt von M2 Dichtigkeitspunkt von M3' ist, so hat M2 dieselbe Eigenschaft auch in Bezug auf M(3). Also bleiben die Formeln (6) and (16) richtig, wenn man in ihnen die Menge M3' durch M(3) Gx and M3,x wie folgt : Ji,x ist das mit Jki,ni konzentrische offene Intervall mit

6 326 ZYGMUNT ZAHORSKI: mit (es kann a=b sein). Ich setze M3= M3, b, und erhalte damit eine Menge, die allen Bedingungen des Hilfssatzes genugt. Insbesondere, (15) fur jodes h, (18) Es ist also der ganze Hilfssatz bowiesen. (19) wo Fk abgeschlossen sind. Offenbar kann man eine abgeschlossene Bedingungen (20) (21) (22)

7 UBER DIE MENGE DER FUNKTE U. S. W. 327 (23) (24) genugen, so existiert nach dem Hilfssatze eine abgeschlossene Menge (25) nach Formel (17) von der Konstante p ab. Die in der rechten monoton wachsende Funktion von p. Man kann also p>pn-1+1 Zahl p, welche der Menge Pn+1 zugeordnet ist, bezoichne ich mit pn. Aus (18) folgt dann (26) Sei (27) und erfullen die oben genannten Bedingungen. Aus (19), (20) folgt (28)

8 328 ZYMUNT ZAHORSKI : immer moglich ; man setzt namlich M1 welche wegen (21), (22) die Bedingungon a), b) offenbar erfullt sind. und erfullen die Bedingungen a), b). Jetzt setzen wir : (29) dieger Eigenschaft). Aus (29) folgt und (29), a) zufolge (30) (29) (24)

9 UBER DIE MENGE DER PUNKTE U. S. W. 329 (30) (31) Dann ist (32) (34) Aus (31), (34), (22) erhalten wir and aus (23) Aus allem schliessen wir (35)

10 330 Z. ZAHORSKI : UBER DIE MENGE DER PUNKTE U. S. W. z(x) nach oben asymptotisch halbstetig ist. Aus (29), a), b) folgt : ist, w. z. b. w. Funktion z1(x) ist auch asymptotisch stetig fur x=x0, da sie die Kleinere von zwei asymptotisch stetigen Funktionen ist. Ausserdem ist z1(x) beschrankt und nach (31), (29), (33) z(x0) =z1(x0). Daraus (36) folgt w. z. b. w. Lwow, 31. August, (Eingegangen am 15 ten Juli, 1941.)