Miniskript Differentialgeometrie I WS 2006

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1 Tim Hoffmann Miniskript Differentialgeometrie I WS 2006 Tim Hoffmann 23. Januar 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Name of the game Use of the game Kurven in R Definitionen Bogenlänge und Umparametrisierung Umparametrisierung Parametrisierung nach Bogenlänge Krümmung Hauptsatz Neue Kurven aus alten I: Evolvente und Evolute Neue Kurven aus alten II: Traktrix und Bäcklundtransformation Einschub: Gruppen, Wirkungen, Flüsse Bogenlängenerhaltende Flüsse Variationsrechnung und elastische Kurven Raumkurven Spezielle Rahmen im R Frenetrahmen Normalenbündel, Paralleltransport und parallele Rahmen

2 DG I 0. Vorlesung Tim Hoffmann 2 4 Flächen im R Tangentialraum Die 1. Fundamentalform Flächeninhalt Krümmung: Gaußkrümmung I Normalkrümmung und Weingartenoperator Theorema Egregium: Gaußkrümmung II Kurven auf Flächen Krümmungslinien Konfokale Quadriken Asymptotenlinien Rotationsflächen konstanter Krümmung K konstant H konstant Minimalflächen Etwas Funktionentheorie Assoziierte Familie Hyperbolischer Raum 62 6 Baby Liegruppen Die klassischen Gruppen Quaternionen Darstellung Flächen im R 3 : Hauptsatz 77 2

3 DG I 1. Vorlesung Tim Hoffmann 3 Vorbemerkung Dieses Skript dient in erster Linie meiner Vorlesungsvorbereitung. Für mit Sicherheit vorhandene inhaltliche und formale Fehler wird keinerlei Haftung übernommen. Literatur Antonio Ros, Sebastian Montiel (Übersetzer), Curves And Surfaces (Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society (2006) ISBN: M. P.do Carmo Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, vieweg studium W. Kühnel, Differentialgeometrie Vieweg 1999 b.z.w. Differential geometry Curves Surfaces Manifolds AMS 2002 Differentialgeometrie Skript von D. Ferus ferus/dg/diffgeo1.pdf 1 Einleitung 1.1 Motivation Name of the game Geometer bezeichnet klassisch einen Landvermesser (heute ist eher Geodät gebräuchlich 1. Die klassische Differentialgeometrie war zunächst die Beschreibung geometrischer Objekte mit Methoden der Analysis. Punkte, Kurven und Flächen kann man im euklidischen Raum (R n ) durch karthesische Koordinaten beschreiben. Zur Koodinatisierung von komplizierteren Mengen benutzt man Abblidungen (Karten) die die Mengen lokal auf ein Stück 1 In der Differentialgeometrie werden mit Geodäten bisweilen aber auch Geodätische bezeichnet: loka kürzeste Kurven auf einer Mannigfaltigkeit 3

4 DG I 1. Vorlesung Tim Hoffmann 4 R n abbilden. Abstrahiert man dieses Konzept, kommt man zum Studium der Mannigfaltigkeiten. Wir werden uns zunächst mit Kurven in R 2 und R 3 und danach mit Fächentheorie beschäftigen. Wie so oft in der Mathematik ist es auch in der Differentialgeometrie ein Hauptanliegen Invarianten der untersuchten Objekte innerhalb des betrachteten Rahmens zu finden. Eine gewichtige Rolle wird hier der Krümmungsbegriff einnehmen. In seiner als Erlanger Programm bekannt gewordenen Antrittsvorlesung (1872) hat Felix Klein gezeigt, wie man euklidische und die diversen nichteuklidischen Geometrien verheiheitlicht behandeln kann, wenn man sie als Invariantentheorie verschiendener (Transformations)Gruppenoperationen versteht Use of the game Einige Beispiele, die den Nutzen differentialgeometrischer Methoden veranschaulichen können, seien hier vorangestellt. Einige werden im Laufe der Vorlesung präziser gefasst, mögen aber schon jetzt einen Eindruck vermitteln, wohin die Reise geht. Kurven: Klothoide im Strassenbau: Wie plant man eine Straße mit Kurve? Eine intuitive Vorstellung von Krümmung hat man mit dem Einschlag des Lenkers beim Fahrradfahren. Hält man den Lenker konstant (und nicht zentriert) fährt man im Kreis. Wie baut man nun eine Straße die um die Kurve gehen soll? die naheliegende Idee auf das gerade Stücke ein Stück Kreisbogen folgen zu lassen ist nicht praktisch und sogar gefährlich: Wollte man soeiner linie folgen muss man den Lenker ruckartig bewegen. Idealerweise sollte die Lenkbewegung stetig sein. Zum Einsatz kommen hier Klothoiden Kurven, deren Krümmung linear ist. Wie man sie erzeugt werden wir in Beispiel 2.5 sehen. Flächen: Minimalflächen, Flächen im Industriedesign. Differenzierbare Flächen sind in vielen Bereichen wichtig. Neben klassischen Beispielen wie Minimalflächen (Flächen mit minimaler Oberfläche bei gegebenem Rand), die Anwendungen in der Biologie und Physik genauso wie in der Architektur haben, spielen sie auch in der Modellierung für Design und Computergraphik eine Rolle. So ist die Differenzierbarkeitsordnung bis zu einer gewissen Ordnung eine sichtbar Eigenschaft von Oberflächen, was sich zum Beispiel in den Re- 4

5 DG I 1. Vorlesung Tim Hoffmann 5 flektionslinien von Krosserien zeigt (Früher wurden Modelle in der Automobilentwicklung mit Leuchtstoffröhren abgeleuchtet um Designschwächen aufzudecken, heute simuliert man das mit Raytracern im Computer). Oberflächen werden in der Computergraphik meist als Spline oder Subdivisionflächen realisiert. Mannigfaltigkeiten: Eine der großen klassischen Anwendungsgebiete der Differentialgeometrie in der Physik ist sicherlich die Allgemeine Relativitätstheorie, die die Gravitation in einer Raumzeit durch die Krümmung des Raumes modeliert. Symplektische Geometrie bildet die Grundlage moderner Beschreibungen der Klassischen Mechanik und dynamischer Systeme. Bemerkung. Eine der größeren Schwächen der Differentialgeometrie ist der Mangel an konsistenter Notation. Es gibt mehr verschiedene Notationen als Bücher und die allermeisten sind in einer Wiese nicht konsistent, die die Lesbarkeit für eingeweihte erhöht, für Anfänger jedoch deutlich reduziert. Mein Dank an alle, die mit Hinweisen und Korrekturen geholfen haben (und helfen), diesen Text zu verbessern. 5

6 DG I 2. Vorlesung Tim Hoffmann 6 2 Kurven in R 2 Man kann den Begriff einer Kurve auf verschiedene weise einführen: Als Menge von Punkten, die eine gewisse Eigenschaft teilen ( eine Ellipse kann man als Menge der Punkte definieren, deren Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten einen festen Wert hat) E = {p R 2 p c 1 + p c 2 = c} mit c 1, c 2 R 2, c > 0 oder als Spur eines Punktes unter einer Bewegung (eine Ellipse kann man als geschlossen Orbit eines Himmelskörpers um ein Zentralgestirn erhalten) E(t) = 1 (cos t, sin t). 2 + cos t Die zweite Art hat Vorteile nicht nur wenn die Kurve sich z. B. selbst schneidet sondern auch im Hinblick auf unsere weiteren Untersuchungen. Trotzdem ist man zunächst an an geometrischen Eigenschaften der Punktmenge interessiert. Genauer an Eigenschaften die invariant sind unter (eigentlichen) euklidischen Bewegungen: Die Isometrien des R n sind die affinen Abbildungen des R n, deren linearer Teil orthogonal ist: E : R n R n, E(v) = Av + w für alle v R n mit w R n und AA T = Id (also A O(n)). Ist die Isometrie orientierungserhaltend (d.h. ist A SO(n)) so heißt sie (eigentliche) euklidische Bewegung, sonst uneigentlich. Wir werden falls nicht anders angemerkt unter differenzierbar immer C differenzierbar verstehen. 2.1 Definitionen Definition Sei I ein offenes (evtl unbeschränktes) Intervall. Eine differenzierbare Abbildung γ : I R n heißt Kurve. 2. Der Vektor γ (t) = ( d dt γ 1(t),..., d dt γ n(t) ) heißt Tangentialvektor von γ in t. Beachtenswert ist ausserdem, das die Differenzierbarkeit der Vektorfunktion γ nicht bedeutet, dass die Spur von γ glatt ist. Die Kurve γ(t) = (t 3, t 2 ) hat beispielsweise einen Knick in t = 0: 6

7 DG I 2. Vorlesung Tim Hoffmann Offenbar verschwindet γ an der fraglichen Stelle. Es ist für eine Kurve also durchaus erlaubt, sich selbst zu schneiden: Betrachte γ : I R 2, γ(t) = (t 3 4t, t 2 4): Die Spur einer injektiven Kurve muß nicht notwendig die Topologie eines Intervalls haben, wie das Folium Descartes γ : ( 1, ) R 2, γ(t) = 1 1+t 3 (3t, 3t 2 ) zeigt: Definition 2.2 Eine Kurve γ : I R n heißt periodisch mit Periode p R, falls I = R und γ(t + p) = γ(t) für alle t R gilt. Beispiel 2.1 (Lissajous Kurven) Die Kurven γ : R R 2, γ(t) = (a cos(ω 1 t δ 1 ), b sin(ω 2 t δ 2 )) heißen Lissajous Kurven. Sie sind genau dann periodisch, wenn ω 1 /ω 2 rational ist. Man kann sie als die Kurven eines idealen Spirographen (bei dem die Beiden Pendel keiner Dämpfung unterliegen) auffassen. 7

8 DG I 2. Vorlesung Tim Hoffmann 8 Definition 2.3 Eine Kurve γ : I R 2 heißt regulär, falls ihr Tangentialvektor nirgens verschwindet. Punkte t I mit γ(t) = 0 heißen singulär, solche mit γ(t) 0 regulär. γ heißt stückweise regulär, falls γ nur endlich viele singuläre Punkte hat. Beispiel 2.2 Ein Kreis mit Radius 1 rolle (schlupffrei) auf der x-achse. Gesucht ist die Kurve γ, die ein Punkt auf dem Kreis beschreibt und ein maximales Intervall, auf dem γ regulär ist. Man kann γ über den Rotationswinkel parametrisieren: Dann gilt γ(t) = (t, 1) (sin t, cos t) γ(t) = (1, 0) (cos t, sin t) und die singulären Punkte von γ sind bei k2π, k Z. Also ist γ auf jedem Intervall (k2π, (k + 1)2π) regulär. Die Kurve γ heißt Zykloide. 2.2 Bogenlänge und Umparametrisierung Als erste Invariante einer Kurve betrachten wir ihre Bogenlänge. Anschaulich sollte das die Länge eines Fadens sein mit dem man die Kurve nachlegen kann. Definition 2.4 Sei γ : I R 2 eine (stückweise) reguläre Kurve und [a, b] I. Dann heißt die Länge von γ auf [a, b]. L a,b (γ) = b a γ(t) dt Falls I unbeschränkt ist und die entsprechenden Integrale existieren, erklärt man sinngemäß auch L, (γ) etc. Das folgende Lemma zeigt, dass die Definition der Bogenlänge als Grenzfall der Länge von der Kurve einbeschriebenen Polygonen verstanden werden kann. 8

9 DG I 2. Vorlesung Tim Hoffmann 9 Lemma 2.5 Sei γ : I R 2 eine reguläre Kurve und [a, b] I. Dann existiert für jedes ɛ > 0 ein δ > 0 so daß für jede Zerlegung Σ = {a = t 0, t 1,..., t n+1 = b} von [a, b] mit max i t i+1 t i < δ gilt: n L a,b(γ) γ(t i+1 ) γ(t i ) < ɛ i=0 Beweis. Sei ɛ > 0. Mit γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)), setze f : I 2 R 2, f(x, y) = γ1 (x) 2 + γ 2 (y) 2. Offenbar ist f auf [a, b] 2 gleichmäßig stetig. Also gibt es ein δ > 0 so daß für alle x, x, y, ỹ [a, b] mit x x < δ und y ỹ < δ f(x, y) f( x, ỹ) < ɛ b a folgt. Sei nun Σ eine Zerlegung mit max i t i+1 t i < δ Dann existiert nach Mittelwertsatz für γ k und [t i+1, t i ] ein ξ k,i [t i+1, t i ] mit γ k (t i+1 ) γ k (t i ) = γ k (ξ k,i )(t i+1 t i ) Andererseits gilt nach Mittelwertsatz der Itegralrechnung ti+1 t i γ(t) dt = γ(η i ) (t i+1 t i ) = f(η i, η i )(t i+1 t i ) für ein η i [t i+1, t i ]. Da nach Wahl von Σ t i+1 t i < δ ist gilt ξ k,i η i < δ und also f(η i, η i ) f(ξ 1,i, ξ 2,i ) < ɛ b a Zusammen gilt somit b γ(t) dt γ(t i+1 ) γ(t i ) a = ti γ(t) dt γ(t i+1 ) γ(t i ) i i t i+1 = = (f(η i, η i ) f(ξ 1,i, ξ 2,i ))(t i+1 t i ) ɛ t i+1 t i = ɛ b a i i Beispiel 2.3 (Logarithmische Spirale) Die Kurve γ : R R 2 = C, γ(t) = ae (i b)t, a, b > 0 heißt logarithmische Spirale. Für ihre Bogenlänge auf [0, x] gilt L 0,x (γ) = x 0 a(i b)e (i b)t dt = a i b Insbesondere ist L o, (γ) = a i b b. 9 x 0 e bt dt = a i b (1 e bx ). b

10 DG I 2. Vorlesung Tim Hoffmann 10 Bemerkung. [nicht rektifizierbare Kurven] Um die Länge einer Kurve zu erklären braucht man i. a. mindestens C 1. Als Gegenbeispiel für eine nur stetige Kurve, für die man keine Bogenlänge erklären kann, kann die Koch Kurve herhalten. im Falle differenzierbarer (aber nicht stetig differenzierbarer) Kurven kann man { (t, t γ(t) = 2 sin( 1 t )), t 0 0, t = 0 betrachten. 10

11 DG I 3. Vorlesung Tim Hoffmann 11 Bemerkung. Die Bogenlänge einer Kurve ist invariant unter euklidischen Bewegungen: Sei γ : I R 2 reguläre Kurve, [a, b] I und T : R 2 R 2 euklidische Bewegung. Dann gilt für γ = T γ, T x = Ax + b, A SO(2), b R 2. L a,b ( γ) = b a γ(t) dt = b Umparametrisierung a b A γ(t), A γ(t) dt = γ(t) dt = L a,b (γ) Definition 2.6 Seien I, J Intervalle in R, φ : J I Diffeomeophismus und γ : I R 2 Kurve. Dann ist δ : J R 2, δ = γ φ eine neue Kurve mit gleicher Spur wie γ (γ(i) = δ(j)). δ heißt Umparametrisierung von γ. Ist γ regulär, so auch δ. Eine Umparametrisierung heißt orientierungserhaltend, falls φ > 0 ist. Lemma 2.7 Ist δ eine Umparametrisierung von γ wie oben und ist [a, b] J, so ist L a,b (δ) = L φ(a),φ(b) (γ). Beweis. Unter den Vorraussetzungen des Lemmas gilt: b L a,b (δ) = γ φ(t) φ(t) φ(b) dt = γ(u) du = L φ(a),φ(b) (γ). a Man beachte, das φ > 0 oder φ < 0 gelten muß, da φ Diffeomorphismus ist. φ(a) Parametrisierung nach Bogenlänge Sei γ : I R 2 reguläre Kurve, t 0 I. Dann ist s : I R, s(t) = L t0,t(γ) die Bogenlängenfunktion von γ. s ist monoton und stetig differenzierbar, also invertierbar und ein Diffeomorphismus von I J = s(i). Setze φ : J I, φ = s 1. Dann gilt für δ = γ φ: δ = ( γ φ) φ 1 = ( γ φ) ṡ φ = 1 Definition 2.8 Eine Kurve γ : I R 2 heißt nach Bogenlänge parametrisiert, falls γ 1. Wir haben bereits gezeigt: a 11

12 DG I 3. Vorlesung Tim Hoffmann 12 Satz 2.9 Jede reguläre Kurve kann nach Bogenlänge umparametrisiert werden. Man beachte jedoch, das die Parametrisierung nach der Bgenlänge nicht eindeutig ist: Zu zwei Kurvenγ und δ, die beide nach der Bogenlänge parametrisiert sind und orientierungserhaltende Umparametriseirungen von einander sind, gibt es ein t R so daß γ(s) = δ(s + t) ist. Wir werden im folgenden die Notationen d ds = 1 d ds dt dt und γ (s) = d dsγ(s) für die Ableitung nach der Bogenlänge von parametrisierten Kurven benutzen. 2.3 Krümmung Definition 2.10 Sei γ : I R 2 reguläre Kurve. Dann heißt T = γ = Einheitstangentialvektor, die Gerade ( r γ(t) ) + rt (t) Tangente von γ in t 0 1 und N(t) = it (t) = JT (t) mit J = die Normale von γ in t. 1 0 Beispiel 2.4 Betrachte den (positiv orientierten) Kreis mit Mittelpunkt c R 2 und Radius r. δ : R R 2, δ(t) = c + r(cos(t), sin(t)). Es gilt δ(t) = r( sin(t), cos(t)). D. h. δ ist nach Bogenlänge parametrisiert, genau dann, wenn r = 1 ist und die Normale von δ in t N(t) = ( cos(t), sin(t)) zeigt immer in Richtung von c δ(t). Bemerkung. Offenbar gilt T N ( T, N = 0) und N = 1. Ferner ist die Tangente von γ in t 0 die bestapproximierende Gerade durch γ(t 0 ) an γ: γ(t) (γ(t 0 ) + (t t 0 )α) lim = γ(t 0 ) α t t 0 t t 0 Also verschwindet die Differenz von γ zu einer Geraden durch t 0 genau dann von 1. Ordnung, wenn die Richtung der Geraden α ein Vielfaches von T (t 0 ) ist. Wir wollen nun den Begriff der Krümmung für eine reguläre Kurve einführen. Anschaulich sollte ein Kreis vmo Radius r überall konstante Krümmung haben und eine kleinere Krümmung je größer der Radius r ist. Wir definieren also die Krümmung eines Kreises mir Radius r als κ = 1/r. γ γ 12

13 DG I 3. Vorlesung Tim Hoffmann 13 Für eine allgemeine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve γ : I R 2 mit werden wir jetzt den bestapproximierenden Kreis suchen. Es gelte γ (t 0 ) 0. Man betrachtet dazu Kreise duch γ(t 0 ) und γ(t) mit gleichem Einheitstangentialvektor wie γ in t 0. Nun gilt für den Winkel φ zwischen der Normalen N(t 0 ) und γ(t) γ(t 0 ) und den Radius des Kreises r. cos φ = N(t 0 ), γ(t) γ(t 0) γ(t) γ(t 0 ) = γ(t) γ(t 0) 2r Mit der Taylorentwicklung von γ(t) in t 0 γ(t) = γ(t 0 ) + γ (t 0 )(t t 0 ) + γ (t 0 ) 2 (t t 0 ) 2 + o(t t 0 ) 3 ergibt sich γ(t) γ(t 0 ) 2 = N(t 0 ), γ (t 0 ) (t t 0 ) 2 + o(t t 0 ) 3 2r 2 Teilt man beide Seiten durch (t t 0 ) und nimmt den Limes t t 0 erhält man schließlich für den Radius des bestapproximierenden Kreises: N(t0 ), γ (t 0 ) = 1 r γ (t 0 ) 2 = 1 r Man beachte, das der Radius hier vorzeichenbehaftet ist. Definition 2.11 Sei γ : I R 2 eine Bogenlängenparametrisierte Kurve und sei t I. Dann heißt κ(t) = N(t), γ (t) = N(t), T (t) die Krümmung von γ in t. Ist κ(t) 0, so heißt der Kreis mit Radius 1/κ(t) durch γ(t), der in γ(t) die gleiche Tangente wie γ hat Schmeigkreis oder Krümmungskreis von γ in t. Bemerkung. Die Krümmung einer Kurve ist invariant unter Umparametrisierungen. Bemerkung. [kinematische Interpretation] Sei γ : I R 2 Kurve, t I. γ(t) heißt Geschwindigkeitsvektor, γ(t) Beschleunigung und γ (t) Krümmungsvektor von γ in t. Ist γ nach der Bogenlänge parametrisiert, so ist die Beschleunigung gleich dem Krümmungsvektor und γ hat nur Beschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung. Bemerkung. Wenn κ 0, so ist γ(i) in einer Geraden enthalten (Übung). Ist κ konstant aber ungleich Null, so ist γ(i) in einem Kreis enthalten: Betrachte die Mittelpunkte der Krümmungskreise c(s) = γ(s) + rn(s) und ihre Ableitung c (s) = γ (s)+rn (s). Da für die Normale N(s), N(s) = 1 gilt folgt N(s), N (s) = 0. Also ist N parallel zu T. Andererseits ist 13

14 DG I 3. Vorlesung Tim Hoffmann 14 N(s), T (s) = 0 also N (s), T (s) = N(s), T (s) = κ(s). Da in unserem Fall κ(s) = 1/r gilt folgt c (s) = T (s) T (s) = 0. Also fallen alle Krümmungskreise zusammen und da für jedes t der Punkt γ(t) in dem Krümmungskreis bei t liegt, ist γ(i) in diesem Kreis enthalten. 14

15 DG I 4. Vorlesung Tim Hoffmann 15 Bemerkung. Krümmung in allgemeiner Parametrisierung: κ(t) = det( γ, γ) γ 3 Definition 2.12 Lokale Extrema der Krümmung einer Kurve heißen Scheitel der Kurve. 2.4 Hauptsatz Satz 2.13 (Hauptsatz) Sei I R ein offenes Intervall und κ : I R eine differenzierbare Funktion. Dann existierte eine bis auf euklidische Bewegungen eindeutige bogenlängenparametrisierte Kurve γ : I R 2, die κ als Krümmung besitzt. Beweis. Sei κ : I R gegeben, s 0 I. Existenz: Definiere θ : I R durch θ(s) = s s 0 κ(t) dt und setze T (s) = e iθ(s). Offenbat hat T (s) Länge 1 und es gilt T (s) = κ(s)it (s) also ist it (s), T (s) = κ(s). Nun kann man γ(s) als Integral über T (s) erklären: s ( s s ) γ(s) = T (t) dt = cos(θ(t)) dt, sin(θ(t)) dt. s 0 s 0 s 0 Eindeutigkeit: Sei nun δ : I R 2 eine weitere bogenlängenparametrisierte Kurve, deren Krümmung ebenfalls κ sei. Wir zeigen, daß sich δ von γ nur um eine euklidische Bewegung unterscheidet. Sei d = γ(t 0 ) δ(t 0 ) und A = SO(2) die orthogonale Abildung, die die ON Basis (δ, iδ ) auf (γ, iγ ) abbildet. Setze M(x) = Ax + b und γ = Mδ. Betrachte nun f(t) = 1 ( 2 γ (t) γ (t) 2 + i γ (t) iγ (t) 2). Dann ist d dt f(t) = κi γ(t) κiγ(t), γ (t) γ (t) κ γ(t) κγ(t), i γ (t) iγ (t) = 0 und f(t 0 ) = 0. Also f = 0 und γ γ = 0. Weiter ist aber γ(t 0 ) γ(t 0 ) = 0 und wegen d dt γ(t) γ(t) 2 = 2 γ (t) γ (t), γ(t) γ(t) = 0 folgt γ = γ. Bemerkung. Es genügt C k für die Krümmungsfunktion zu fordern. Das folgende Beispiel zeigt, das auch einfache Vorgaben zu Ergebnissen führen können, die nicht mehr durch elementare Funktionen darstellbar sind. Beispiel 2.5 (Klothoide) Gesucht ist eine bogenlängenparametrisierte Kurve γ : R R 2 mit linearer Krümmung κ(s) = as, a 0. Dem Hauptsatz folgend setzt man an: γ(s) = s s 0 e aiσ2 /2 dσ 15

16 DG I 4. Vorlesung Tim Hoffmann 16 und erhät im wesentlichen die imaginäre Errorfunktion: 1 i ( 2 π Erfi 1+i ) 2 a s γ(s) = a 2.5 Neue Kurven aus alten I: Evolvente und Evolute Definition 2.14 Sei γ : I R 2 bogenlängenparametrisierte Kurve und s 0 I. δ : I R 2, δ(s) = γ(s) + (s o s)γ (s) heißt Evolvente von γ. Bemerkung. δ entsteht durch Abwickeln von γ. δ ist nicht eindeutig. Die Wahl von s 0 gibt eine ein-parameter-familie von Evolventen. Es gilt δ, γ = γ γ + (s 0 s)γ, γ = 0. δ schneidet also die Tangen von γ senkrecht. Definition 2.15 Sei γ : I R 2 bogenlängenparametrisierte Kurve mit Krümmung κ 0. Die Spur der Krümmungskreismittelpunkte η : I R 2, heißt Evolute von γ. η(t) = γ(t) + 1 κ(t) iγ (t) Bemerkung. η ist tangential an die Normalen von γ. Beispiel 2.6 Die Evolute der Zykloide. Die Zykloide ist gegeben durch: γ(t) = (t sin(t), 1 cos(t)) (vergl. Beispiel 2.2). Für die Ableitungen gilt: γ(t) = (1 cos(t), sin(t)) γ(t) = (sin(t), cos(t)) det( γ(t), γ(t)) = cos(t) 1. Beutzt man die Formel für die Krümmung in allgemeiner Parametrisierung erhält man für η: γ(t) 2 η(t) = γ(t) + i γ(t) = (t sin(t + π), 1 cos(t + π)) det( γ(t), γ(t)) 16

17 DG I 4. Vorlesung Tim Hoffmann 17 Die Evolute der Zykloide ist also wieder eine (translatierte) Zykloide. Man beachte jedoch, das wir hier eine stetige Fortsetzung der Kurve genommen haben, da die Zykloide ja nicht regulär, ihre Evolute also nicht überall erklärt ist. Satz 2.16 Die Evolute einer Evolvente einer Kurve γ ist wieder die ursprüngliche Kurve γ. Beweis. Sei γ : I R 2 bogenlängenparametrisierte Kurve, s 0 I. Setze δ(t) = γ(t) + (s 0 s)γ (t) und η(t) = δ(t) + 1 κ δ (t) iδ (t). Für δ gilt: δ = γ γ + (s 0 s)iκγ und δ = (s 0 s)κ 2 γ + ((s 0 s)κ κ) Iγ Weiter ist det( δ, δ) = κ 3 (s 0 s) 2, also κ δ = sign κ/(s 0 s). Damit folgt η = γ(s) + (s 0 s)γ + s 0 s (s sign κ i2 0 s)κγ s 0 s κ = γ 17

18 DG I 5. Vorlesung Tim Hoffmann Neue Kurven aus alten II: Traktrix und Bäcklundtransformation Definition 2.17 Sei γ : I R 2 reguläre Kurve, t 0 I, p R 2. τ : I R 2 gegeben durch 1. τ(0) = p 2. τ γ = const 3. τ (τ γ) heißt (allgemeine) Traktrix zur Leitkurve γ. Bemerkung. Die Parallelität bedeutet τ = λ(τ γ). Wir berechnen λ. Es gilt d dt τ γ 2 = 0 τ γ, τ γ = 0. Damit erhält man λ(τ γ) γ, τ γ = 0 λ τ γ, τ γ = γ, τ γ. Das ergibt für λ γ, τ γ λ = τ γ 2 und man erhält als Differentialgleichung für τ τ = γ, τ γ (τ γ). τ γ 2 Als die Traktrix bezeichnet man meist die Traktrix einer Geraden (siehe Übung und Abbildung 1). Bemerkung. Die Traktrix einer Kurve ist i. a. nicht regulär. Definition 2.18 Sei γ : I R 2 reguläre Kurve τ : I R 2 Traktrix von γ. Dann heißt γ : U R 2 mit Bäcklund-Transformierte von γ. γ := γ + 2(τ γ) = 2τ γ Lemma 2.19 Ist γ nach Bogenlänge parametrisiert, so ist jede Bäcklundtransformierte γ wieder nach Bogenlänge parametrisiert (also insbesondere regulär). 18

19 DG I 5. Vorlesung Tim Hoffmann 19 Beweis. Sie γ : I R 2 bogenlängenparametrisierte Kurve und γ : I R 2 Bäcklundtransformierte von γ. Es gilt dann für v = 1/2( γ γ), v = const, v d dt (γ + v) und v v. Nun ist γ 2 = γ, γ = γ + 2v, γ + 2v = = γ, γ + 4 γ, v + 4 v, v = γ + v, v = 1 Abbildung 1: Traktrix und Bäcklundtransformierte der Geraden 2.7 Einschub: Gruppen, Wirkungen, Flüsse Definition 2.20 Sei X eine Menge, G eine Gruppe. Eine (Links-) Gruppenwirkung Ψ von G auf X ist eine Abbildung Φ : G X : X, (g, x) g x mit folgenden Eigenschaften 1. e x = x 2. g(h x) = (gh) x. Beispiel 2.7 G wirkt auf G durch Linksmultiplikation. Ψ : G G G, (g, h) gh. Sei V Vektorraum. Aut(V ) = {L L(V, V ) Linvertierbar} wirkt auf V durch (A, v) Av. SL(2, C) wikrt auf C als Möbiustransformation. Definition 2.21 Sei X eine Menge. Eine Linksgruppenwirkung von (R, +) auf X heißt Fluß auf X. 19

20 DG I 5. Vorlesung Tim Hoffmann 20 Beispiel 2.8 Sei F : R 2 R 2 ein differenzierbares Vektorfeld auf R 2. Dann definieren die Integralkurven von F einen Fluß auf R 2 φ(γ(t 0 ), t) = γ(t 0 + t). d γ(t) = F (γ(t)), dt Beispiel 2.9 (Krümmungfluß) Sei K die Menge der regulären Kurven in R 2. Dann definiert d dt φ(γ, t) = κn γ einen Fluß auf K. φ heißt Krümmungsfluß (im Englischen auch curve shortening flow oder heat flow). Satz 2.22 (Grayson, 87) Sei γ 0 : R R periodische reguläre Kurve mit Periode p und γ(t) γ(t + x) für alle 0 < x < p (d. h. γ ist einfach geschlossen). Dann existiert eine Familie von Kurven γ : [0, T ) R, (t, s) γ t (s) mit d dt γ t(s) = κ t (s)n t (s). γ ist glatt für alle t und konvergiert gegen einen Punkt für t T. Die Grenzform von γ ist ein Kreis. Beweis. Schwer. 2.8 Bogenlängenerhaltende Flüsse Wir wollen jetzt Flüsse untersuchen, die die Bogenlänge einer Kurve erhalten. Sei γ : I R 2 bogenlängenparametrisiert. Setze für die Evolution von γ γ = (α + iβ)γ mit reellen α und β an (hier bezeichne die Ableitung in Flußrichtung). Der Fluß erhält die Bogenlänge, falls d dt γ, γ = 0 ist: d dt γ, γ = 2 γ, γ = 2 (α + iβ )γ + (α + iβ)iκγ, γ = (α κβ)γ + (β + κα)iγ, γ = (α κβ). Der Fluß ist also genau dann bogenlängenerhaltend, wenn α = κβ 20

21 DG I 5. Vorlesung Tim Hoffmann 21 gilt. Setzt man µ := β + κα, so ist dann γ = µiγ Allgemein kann man also β vorgeben und α (und damit den Fluß) ausrechnen, wir sind jedoch an Flüssen interresiert, die sich lokal durch γ und seine Ableitungen an der Stelle ausdrücken lassen. Der einfachste Fall ist β 0. Dann ist α const und γ = const γ. Das ist einfach eine Reparametrisierung von γ. Setzt man β = κ an erhält man α = 1 2 κ2 + const. Die Konstante gibt wieder nur eine Reparametrisierung, wir setzen also o. E. const = 0. Nun ist ( ) κ 2 γ = 2 + iκ γ und κ = κ κ2 κ. Da die partielle Differentialgleichung für die Krümmung κ die modifizierte Korteweg de Vries (mkdv) Gleichung ist, heißt der Fluß für γ auch mkdv- Fluß. 21

22 DG I 6. Vorlesung Tim Hoffmann 22 Wir setzen wieder β = κ κ2 κ als das κ vom letzen Fluß und erhalten α = κβ = Für γ gilt dann: γ = κκ κ3 κ = κκ κ κ κ4 = κκ κ κ4. (κ(κ + 38 κ3 ) κ i(κ + 3 ) 2 κ2 κ ) γ. Bemerkung. Man kann die Methode zum erzeugen neuer lokal gegebener Flüsse mit β neu = κ alt fortsetzen und erhält eine Hirarchie von kommutierenden 2 Flüssen. 2.9 Variationsrechnung und elastische Kurven Definition 2.23 γ t : I R 2, t ( ɛ, ɛ) heißt Variation von γ : I R 2 falls γ 0 = γ und die Abbildung ( ɛ, ɛ) I R 2, (t, s) γ t (s) C ist. Definition 2.24 C [a, b] := {f : [a, b] R f C } bezeichne den Vektorraum der C -Funktionen auf [a, b] mit Skalarprodukt f, g = b a fg. C 0 (a, b) := {f C [a, b] supp(f) (a, b)} bezeichne den Untervektorraum der Funktionen mit kompaktem Träger aus C [a, b]. Bemerkung. Für jedes Intervall (a, b) existiert f C0 (a, b) mit f(x) 0 und f 0. Man kann f durch skalieren, verschieben und stauchen oder strecken aus f(x) = { 0 falls x 0 e 1 x falls x > 0 { 0 falls x 1 bzw. f(x) = e 1 1 x 2 falls x < 1 konstruieren. Lemma 2.25 Sei f C [a, b] und gelte f, g = 0 für alle g C0 dann ist f 0. (a, b), 2 Wir haben noch nicht erklärt, was es heißt, das zwei Vektorfelder oder Flüsse kommutieren 22

23 DG I 6. Vorlesung Tim Hoffmann 23 Beweis. Sei f C [a, b] mit f, g = 0 für alle g C0 (a, b). Angenommen f(x) 0 für x (a, b). O. E. sei f(x) > 0. Dann existiert ein δ > 0 derart, daß für alle y (x δ, x+δ) (a, b) f(y) 0 gilt. Wähle dann g C0 (a, b) mit supp(g) (x δ, x + δ) und g 0, g 0. Nun ist fg >= 0 und fg 0. Also ist f, g = b a fg 0, was ein Widerspruch ist. Definition 2.26 Sei γ : I R 2 bogenlängenparametrisierte Kurve. Die Biegeenergie von γ auf [a, b] I ist definiert durch E(γ) = b a κ 2 (t) dt. γ heißt freie elastische Kurve falls d dt E(γ t) = 0 für alle Variationen γ t von γ mit kompaktem Träger. Bemerkung. Sei E : R n R glatt gegeben. x R n ist kritischer Punkt von E, falls de x = E (x) = 0 ist. Das ist äquivalet zu der Bedingung das d dt E(χ(t)) = 0 für alle Kurven χ : ( ɛ, ɛ) Rn mit χ(0) = x. Bemerkung. In allgemeiner Parametrisierung ist E( γ) = b a κ2 γ (t)v(t) dt mit v(t) = γ (t). Sei jetzt γ t : I R 2 Variation von γ 0 : I R 2. O. E. sei γ t regulär und γ 0 nach Bogenlänge parametrisiert. γ t = d dt γ t heißt auch Variationsvektorfeld der Variation γ t. Im fogenden werden wir die Abeitung nach dem Kurvenparameter mit ( ) bezeichnen (nicht notwendig Bogenlänge) und mit ( ) die Ableitung in Variationsrichtung. Schreibt man wie vorher γ t = (α+iβ) γ t (s) γ t (s) so erhält man Da T T ist folgt γ t = vt t (γ t) = vt + vt ( γ t ) = (α βvκ)t + (αvκ + β )N. ) v = α βvκ T = (ακ + β v )N. Weiter ist ( ( ( T ) = α κ + ακ + β v+β v v 2 N (T ) = (vκn) = ( vκ + v ( κ)n + ivκ ) T = ( vκ + v κ)n vκ ακ + β v T. 23 ακ + β v ) κvt

24 DG I 6. Vorlesung Tim Hoffmann 24 Im Fall t = 0 ist v = 1 und also v = 0. Damit erhält man für den N-Anteil von ( T ) = (T ) κ = β + βκ 2 + ακ. Der T -Anteil liefert keine neuen Identitäten. Mit obigen Formlen kann man jetzt Ė berechnen3 : Ė(γ t ) = d b dt a κ2 v = b a 2κ κ + κ2 v = b a 2κ(β + βκ 2 + ακ ) + (κ 2 (α + βκ) = b a 2κβ κ 3 β + (κ 2 α) = b a 2κβ κ 3 β + (κ 2 α) b a = b a 2(κβ ) 2κ β + κ 3 β = b a 2κ β + κ 3 β = 2 b a β(κ + κ3 2 ) Man beachte, das alle Randterme wegfallen, da die Variation kompakten Träger hat und also α und β in der Nähe des Randes verschwinden müssen. Wir erhalten also das freie elastische Kurven durch charakterisiert sind. κ + κ3 2 = 0 Definition 2.27 Sei γ : I R 2 bogenlängenparametrisierte Kurve. γ : [a, b] R 2 heißt elastische Kurve falls Ė(γ t) = 0 für alle Variationen γ t von γ mit kompaktem Träger, für die außerdem L(γ t ) = 0 ist. Für elastische Kurven werden also nur Variationen, die die Bogenläge erhalten zugelassen. Nun ist aber L(γ t ) = b a v = b a α βκ = b a βκ. Lemma 2.28 (aus der Funktionalanalysis) Sei W euklidischer Vektorraum (evtl. unendlichdimensional), V W Untervektorraum mit V = {0} und U V Untervektorraum von V mit dim U <. Dann ist (V U ) = U. Setzt man jetzt W = C [a, b], V = C0 (a, b) und U = span(κ) so folgt unmittelbar, daß mit Ė = 0 (also κ + κ3 2, β = 0) und L = 0 (also κ, β = 0) für eine elastische Kurve für ein geeignetes λ R gilt. κ + κ3 2 + λκ = 0 3 die Glattheit der betrachteten Funktionen garantiert, daß man unter dem Integral differenzieren darf 24

25 DG I 7. Vorlesung Tim Hoffmann 25 Abbildung 2: Elastische Kurven zu λ = 1, 0.5, 0 und 0.5. Wir wollen jetzt Kurven γ betrachten, die unter dem mkdv-fluß invariant sind. Genauer sollen sie sich nur durch euklidische Bewegungen und eventuell Reparametrisierung evolvieren. Wir können γ bogenlängenparametrisiert annehmen und da der mkdv-fluß die Bogenlänge erhält muß also aκ = κ = κ κ2 κ bzw. 0 = κ κ2 κ + aκ für geeignetes a R gelten. Man kann einmal integrieren und erhält κ + κ3 2 + aκ + b = 0 mit b R. Für den Fall b = 0 folgt Lemma 2.29 Elastische Kurven evolvieren unter dem mkdv-fluß durch euklidische Bewegungen und Parameterschift. Um eine weitere Charakterisierung der Elastischen ( Kurven) zu erhalten betrachten wie noch einmal den Fluß dazu: v = κ a + iκ γ ist konstant für passendes a R, denn v = (κ κ + iκ ) γ + ( κ2 2 + a + iκ )iκγ = 0. Für v = 0 ist κ konstant und γ ist ein Kreis oder eine Gerade. Ist v 0 kann man e 1 = v v und e 2 = ie 1 setzen und erhält mit γ = xe 1 + ye 2 y = e 2, γ = i v v, γ = 1 ( κ2 v 2 + a)iγ + κ γ, γ = κ v. 25

26 DG I 7. Vorlesung Tim Hoffmann 26 Also gilt für passende µ, ν R: y = µκ + ν. Setzt man ỹ = y ν gilt für die durch ỹ = 0 gegebene Gerade g: Der Abstand von γ zu g ist proportional zur Krümmung κ von γ. 3 Raumkurven Die folgenden Begriffe kann man direkt aus der Theorie der ebenen Kurven übernehmen: Kurve: γ : I R n Regularität, Bogenlängenparametrisierung, Länge L(γ), Tangente und Einheitstangentialvektor T. Beispiel 3.1 Die Kurve γ : R R 3, γ(t) = (a cos(t), a sin(t), bt) heißt Helix. Für ebene Kurven hatten wir die Normale als N = it = iγ eingeführt und Krümmung als γ = κiγ erkärt. Das geht im R n, n > 2 nicht mehr. Was man verallgemeinern kann ist die Tatsache, das (T, N) Orthonormalbasis vom R 2 war. Definition 3.1 Sei γ : I R n reguläre Kurve mit Einhetstangentialvektor T = d ds γ. Ein (orthonormaler) Rahmen ist eine C -Abbildung F : I SO(n) mit F e 1 = T. Das Paar (γ, F ) heißt gerahmte Kurve. Die Matrix A gegeben durch d ds F = F = F A heißt Ableitungsmatrix von F. Wir werden jetzt einige Eigenschaften von A herleiten. Sei F = (F 1,..., F n ) Rahmen von γ : I R n. d ds F i = F Ae i = a ji F j. Die Einträge von A sind also die Koeffizienten der Darstellung von F i bezüglich der F j. 26

27 DG I 7. Vorlesung Tim Hoffmann 27 Wir betrachten jetzt zu s o I Γ(s) = F 1 (s 0 )F (s). Γ ist Kurve in R n2 durch Id bei s 0. Nun folgt aus det(γ(s)) 1 0 = d ds det(γ) s 0 = det(e 1,..., d ds Γ i,..., e n ) = Spur A(s 0 ) und genauso impliziert ΓΓ T = Id 0 = d ds ΓΓT + Γ d ds ΓT = A + A T. Also ist A schiefsymmetrisch. Allegemener hat man Lemma 3.2 Gilt F = F A so folgt (det F ) = det F Spur A. Beweis. (det F ) = det(f 1,..., F i,..., F n) = det(f 1,..., k a kif i,..., F n ) = det(f1,..., a ii F i,..., F n ) = det F Spur A. Definition 3.3 Wir definieren die Matrixalgebren so(n) := {A Mat(n, R) A T = A} und sl(n) = {A Mat(n, R) Spur A = 0}. Beispiel 3.2 Im Fall von R 2 gibt es keine Wahl: Sei γ : I R 2 regulär. Dann ist F = (T, N) Rahmen und es gilt ( ) 0 κ A =. κ 0 Für die Helix γ : I R 3, γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), für a, b 0. Ist das folgende F ein Rahmen: a c sin t cos t b c sin t F = a c cos t sin t b c cos t b a c 0 c mit c = γ (t). Die Ableitungsmatrix ist gegeben durch: 0 a 0 c A = a 2 0 b c 2 c 2 b 0 0 c 2 Satz 3.4 (Hauptsatz) Sei I R offenes Intervall und A : I so(n) glatt. Dann existiert eine bis auf euklidische Bewegungen eindeutige bogenlängenparametrisierte gerahmte Kurve (γ, F ) : I R n SO(n) mit F = F A. 27

28 DG I 7. Vorlesung Tim Hoffmann 28 Zum Beweis benötigen wir noch einige Lemmata: Satz 3.5 (Spezialfall von Picard-Lindelöf) Sei A : [a, b] gl(n) = R n2 differenzierbar, t 0 [a, b], F 0 gl(n). Dann existiert eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung F : [a, b] gl(n) mit F (t 0 ) = F 0 und F = F A. Was wir noch zeigen müssen ist, das falls A : [a, b] so(n) so ist F : [a, b] SO(n). Lemma 3.6 Ist A : [a, b] sl(n) differenzierbar, t 0 [a, b], F 0 SL(n) und F : [a, b] gl(n) mit F (t 0 ) = F 0 und F = F A, so ist F : [a, b] SL(n). Beweis. Für F wie in den Voraussetzungen gilt (det F ) = det F Spur A = 0. Also ist det F = const = det F 0 = 1. 28

29 DG I 8. Vorlesung Tim Hoffmann 29 Lemma 3.7 Ist A : [a, b] so(n) differenzierbar, t 0 [a, b], F 0 O(n) und F : [a, b] gl(n) mit F (t 0 ) = F 0 und F = F A, so ist F : [a, b] O(n). Beweis. (F F T ) = F F T + F F T = F AF T + F A T F T = F (A + A T )F T = 0. Also ist F F T = const = F 0 F0 T = Id. Zusammen folgt Lemma 3.8 Ist A : [a, b] so(n) differenzierbar, t 0 [a, b], F 0 SO(n) und F : [a, b] gl(n) mit F (t 0 ) = F 0 und F = F A, so ist F : [a, b] SO(n). Beweis. [vom Hauptsatz] Sei A : [a, b] so(n) differenzierbar, t 0 [a, b], F 0 SO(n) dann existiert für jedes [a, b] I mit t 0 [a, b] ein eindeutiges F : [a, b] SO(n) mit F (t 0 ) = F 0 und F = F A. Ausschöpfen von I liefert dann F : I SO(n). Setzt man weiter γ : I R n durch γ(s) = s t 0 F 1 (t) dt dann ist (γ, F ) die gesuchte gerahmte Kurve. Sei nun ( γ, F ) eine weitere Lösung. Dann folgt aus (F F 1 ) = F (A F 1 F A) F 1 = 0 das F F 1 = B SO(n) konstant ist. Weiter ist nun (γ B γ) = γ F F 1 γ = F 1 F e 1 = 0. Also ist γ = B γ c für ein c R n. 3.1 Spezielle Rahmen im R 3 Die Ableitungsmatrix für einen Rahmen F im R 3 hat die allgemeine Form 0 κ 1 κ 2 A = κ 1 0 τ κ 2 τ 0 und τ heißt die Torsion des Rahmens Frenetrahmen Sei γ : I R 3 bogenlangenparametrisierte Kurve. Ein( Rahmen mit κ 2 ) = 0 heißt Frenetrahmen. Ist γ(s) 0 für alle s I, so ist γ, γ γ, γ γ γ = (T, N, B) ein Frenetrahmen von γ. Beispiel 3.3 Der vorher gegebene Rahmen der Helix ist ein Frenetrahmen. Bemerkung. Nicht jede Kurve hat einen Frenetrahmen: (t, 0, e 1 t ), t > 0 γ(t) = (0, 0, 0), t = 0. (t, 0, e 1 t ), t < 0 29

30 DG I 8. Vorlesung Tim Hoffmann 30 Bemerkung. Sind alle Komponenten von γ reel analytisch (d. h. man kann γ als Potenzreihe entwickeln), so besitzt γ einen Frenetrahmen. Definition 3.9 Sei γ Kurve mit Frenetrahmen (T, N, B). B wird auch Binormale genannt und γ(s) + RT (s) + RN(s) heißt Schmiegebene von γ γ(s) + RN(s) + RB(s) heißt Normalebene von γ γ(s) + RT (s) + RB(s) heißt rektifizierende Ebene von γ Wir betrachten jetzt das lokale verhalten der Projektionen von γ auf die drei obigen Ebenen. Dazu entwickeln wir γ als Potenzreihe: γ(s) = γ(0) + st (0) + s2 2 κ(0)n(0) + ( s3 6 κ (0)N(0) κ 2 (0)T (0) +κ(0)τ(0)b(0)) ( + )... ( ) = γ(0) + s s3 κ(0) 6 T (0) + s 2 κ(0) 2 + s3 κ (0) 6 N(0) + s3 κ(0)τ(0) 6 B(0) +... Trägt man die Terme niedrigster Ordnung in s in den Faktoren vor T, N und B gegeneinander ab erhält man generisch N B B T N T Normalenbündel, Paralleltransport und parallele Rahmen Definition 3.10 Sei γ : I R n reguläre Kurve. Nγ = {(p, v) p I, v γ (p)} heißt Normalenbündel von γ. Ein Vektorfeld V : I R n heißt Normalenvektorfeld, falls (s, V (s)) Nγ. 30

31 DG I 8. Vorlesung Tim Hoffmann 31 Ein Normalenvektorfeld V heißt parallel (im Normalenbündel) falls V (s) γ (s) für alle s I (d. h. die Projektion von V auf das Normalenbündel verschwindet). Lemma 3.11 Seien V, W parallele Normalenvektorfelder. Dann ist V, W konstant. Beweis. d ds V, W = V, W + V, W = 0. Korollar 3.12 Parallele Normalenvektorfelder haben konstante Länge. Lemma 3.13 Sei γ : I R n regulär, t 0 I, V 0 R n mit V 0, γ (t 0 ) = 0. Dann existiert genau ein paralleles Normalenvektorfeld V : I R n mit V (t 0 ) = V 0. Beweis. Die Eindeutigkeit folgt aus dem Lemma davor. Für die Existenz setzt man W (s) = λ(s)γ (s) an. Ableiten der Bedingung W (s), γ (s) = 0 liefert dann λ(s) = W (s), γ (s). Die globale Existenz und Eindeutigkeit der Lösung dieser Differentialgleichung folgt wieder aus dem Satz 3.5. Definition 3.14 Sei γ : I R n regulär. Der Rahmen F : I SO(n) F = (γ, N 1,..., N n 1 ) heißt parallel, falls alle N i parallele Normalenvektorfelder sind. Beispiel 3.4 Jeder Rahmen in R 2 ist parallel. Beispiel 3.5 Ein paralleler Rahmen für die Helix. Sei (T, N, B) der bereits berechnete Frenetrahmen für die Helix γ(t) = (a cos t, a sin t, bt) (siehe Beispiel 3.2). Da N und B ON-Basis der Normalebene sind kann man für N 1 eines parallelen Rahmens N 1 = cos(α)n + sin(α)b ansetzen. Das liefert ( a cos(α) Ṅ 1 = c 2 T α sin(α) b ) ( ) b c 2 sin(α) N + cos(α) + α cos(α) B c2 die Bedingung das (T, N 1, N 2 ) mit Ṅ1 nur T Anteile hat bedeutet α = α 0 b c 2 t. Damit ist ein paralleler Rahmen. N 1 = cos(α 0 b t)n + sin(α c 2 0 b t)b c 2 N 2 = sin(α 0 b t)n + cos(α c 2 0 b t)b c 2 31

32 DG I 9. Vorlesung Tim Hoffmann 32 Satz 3.15 Sei γ : I R n regulär, t 0 I, F 0 SO(n) gegeben. Dann existiert genau ein paralleler Rahmen F : I SO(n) von γ mit F (t 0 ) = F 0. Die Ableitungsmatrix eines parallelen Rahmens ist gegeben durch 0 κ 1... κ n 1 κ A = κ n Im Falle R 3 ist die Torsion 0 und man definiert die komplexe Krümmung einer Kurve durch Ψ = κ 1 + iκ 2 bezüglich eines parallelen Rahmens. Ψ ist damit nur bis auf einen unitären Faktor bestimmt. Elastische Kurven im Raum erfüllen Ψ Ψ 2 Ψ + aψ = 0. 4 Flächen im R 3 Definition 4.1 f : R 2 R 3 heißt regulär, falls d (x,y) f : R 2 R 3 maximalen Rang hat (d. h. f x = x f(x, y) und f y = y f(x, y) verschwinden nicht und sind linear unabhängig, bzw. f ist Immersion.) Definition 4.2 Sei U R 2 offen. Ein parametrisiertes Flächenstück ist eine reguläre C -Abbildung f : U R 3. Die Kurven x f(x, y 0 ) und y f(x 0, y) heißen Parameterlinien von f. Ein unparametrisiertes Flächenstück ist eine Äquivalenzklasse von parametrisierten Flächenstücken, wobei zwei parametrisierte Flächenstücke f : U R 3 und f : Ũ R3 äquivalent heißen, falls es einen Diffeomorphismus φ : Ũ U gibt, so daß f = f φ gilt. Beispiel 4.1 R 2 R 3 f : R ( π 2, π 2 ) R3 f(x, y) = 32 cos x cos y sin x cos y sin y

33 DG I 9. Vorlesung Tim Hoffmann 33 ist ein parametrisiertes Flächenstück. Das Bild von f ist die Einheitssphäre ohne Nord- und Südpol. f : R 2 R 3, f(x, y) = 1 x 2 + y x 2y x 2 + y 2 1 ist auch ein parametrisiertes Flächenstück. Hier ist das Bild von f die Einheitssphäre ohne den Nordpol. Diese Abbildung heißt stereographische Projektion. Definition 4.3 Eine eingebettete Fläche im R 3 ist eine Teilmenge S R 3, S für die gilt: Zu jedem p S gibt es eine Umgebung V R 3 und ein parametrisiertes Flächenstück f : U R 3 (U R 2 offen) so daß f(u) = S V, f injektiv und f 1 : S V U stetig ist. Bemerkung. f : U S V ist Homöomorphismus. Das die Forderung der stetigen Umkehrabbildung wichtig ist, zeigt folgendes Beispiel: S = {(x, y, z) R 3 z ist rational} ist keine eingebettete Fläche. Man kann auch einfach fordern, das die f Diffeomorphismen sind. Ersetzt man in der Definition R 2 durch R n und R 3 durch R m erhält man eine Definiton für n-dimensionale (reguläre) Untermannigfaltigkeiten im R m. Beispiel 4.2 f : R 2 R 3, f(x, y) = (xa cos y, xa sin y, by). ist eine eingebettete Fläche. Sie heißt Helikoid. Graphen von glatten Funktionen sind eingebettete Flächen. Die Einheitssphäre ist eingebettete Fläche. Als Parametrisierungen kann man beispielsweise die stereographische Projektion aus Beispiel 4.1 und eine entsprechende zweite Abbildung nehmen, die den Südpol auslässt (wie sieht sie aus?). 33

34 DG I 9. Vorlesung Tim Hoffmann 34 Satz 4.4 Sei W R 3 offen, h : W R glatt und d p h 0 für alle p W : Sei weiter x R mit h 1 ({x}). Dann ist h 1 ({x}) eine eingebettete Fläche. Beweis. Die Existenz lokaler Parametrisierungen folgt direkt aus dem Satz über implizite Funktionen. Satz 4.5 (aus Analysis) Sei W R 3 offen, p = (x, y, z) W, h : W R glatt. Ist nun h(p) = a und h z (p) = z f(p) 0, so gilt: Es existieren offenen Umgebungen U R 2 von (x, y), V R von z und ein differenzierbares g : U V, so daß U V W, g(x, y) = z und {p U V h(p) = a} = {(x, y, g(x, y)) (x, y) U}. ( ) 2 Beispiel 4.3 T = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 a + z 2 = r 2 } mit a > r > 0 ist eingebettete Fläche. Sie heißt Rotationstorus. 4.1 Tangentialraum Definition 4.6 Sei M R n offen. Dann heißt T M = M R n das dfn- Tangentialbündel von M. Für p M heißt T p M = {p} R n der Tangentialraum von M in p. v T p M heißt Tangentialvektor und eine Abbildung F : M T M mit p (p, v(p)) T p M heißt Tangentialvektorfeld. Bemerkung. Ist jetzt f : M R n R m glatt, so betrachten wir das Differential von f als Abbildung df : T M T R m, und d p f : T p M T f(p) R m. Genauso werden wir die Ableitungen von Kurven ab jetzt mit einem Fußpunkt versehen betrachten: γ = (γ, d ds γ). Definition 4.7 Ist S R 3 eingebettete Fläche, p S mit Parametrisierung f : U R 3, f(q) = p. Man definiert den Tangentialraum von S in p als T p S = d q f(t q U) und das Tangentialbündel T S T R 3 von S als T S = p S T ps. Bemerkung. Spätestens jetzt ist der Begriff vom Tangentialbündel nicht mehr trivial wie der folgende Satz zeigt: Lemma 4.8 (Satz vom Igel) Jedes stetige Tangentialvektorfeld F : S 2 T S 2 hat mindestens eine Nullstelle. 34

35 DG I 10. Vorlesung Tim Hoffmann Die 1. Fundamentalform Sei M R 3 offen, p M. Für v, w T p M mit v = (p, ṽ) und v = (p, w) ist v, w := ṽ, w R 3 ein euklidisches Skalarprodukt auf T pm definiert. Definition 4.9 Sei f : U R 3 parametrisertes Flächenstück. Die Abbildung g, die jedem Punkt p U die symmetrische positiv definite Bilinearform g p : T p U T p U R, g p (v, w) = d p f(v), d p f(w) zuordnet heißt erste Fundamentalform von f oder auch die von f auf U induzierte Riemannsche Metrik. Bemerkung. In der klassischen Literatur werden die Koeffizienten der Darstellungsmatrix von g bezüglich der Standardbasis von R 2 meist mit E, F und G bezeichnet: ( ) g(v, w) = v T E F w F G E = g(e 1, e 1 ) = f x, f x F = g(e 1, e 2 ) = f x, f y G = g(e 2, e 2 ) = f y, f y Mit g kann man jetzt Winkel und Längen auf der Fläche messen: Definition 4.10 Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück. γ : I R 3 heißt Kurve auf dem Flächenstück f falls es eine ebene Kurve γ : I U mit γ = f γ gibt. Beispiel 4.4 Die Parameterlinien von f sind Kurven auf f. Die Länge von γ ist L a,b (γ) = b a γ = b a d γf( γ ) = b a g( γ, γ ). Sind γ und δ Kurven auf f mit γ(t 0 ) = δ(t 1 ) so ist der Schnittwinkel zwischen ihnen cos α = γ (t 0 ), δ (t 1 ) γ (t 0 ) δ (t 1 ) = g( γ (t 0 ), δ(t 1 )) g( γ (t 0 ), γ (t 0 ))g( δ (t 1 ), δ (t 1 )) Definition 4.11 Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück. f heißt orthogonal parametrisiert falls f x, f y = 0 = g((1, 0), (0, 1)) (also F 0) gilt. f heißt konform parametrisiert falls darüberhinaus f x, f x = f y, f y (also E = G) gilt. 35

36 DG I 10. Vorlesung Tim Hoffmann 36 ist sogar f x, f x = f y, f y = 1, so heißt f isometrisch parametrisiert (und g ist gleich dem Standardskalarprodukt auf R 2 ). Bemerkung. Ist f konform parametrisiert, so sind die Schnittwinkel von Kurven auf f gleich denen ihrer Urbilder. Ist f isometrisch, so gilt das auch für Längen. Beispiel 4.5 Der Zylinder f : R 2 R 3, f(x, y) = (cos x, sin x, y) ist isometrisch parametrisiert. Das Helikoid aus Beispiel 4.2 ist orthogonal parametrisiert. Beispiel 4.6 (Rotationsflächen) Sei γ = (γ 1, γ 2 ) : I R 2 reguläre Kurve mit γ 1 (s) 0. f. a. s I. Dann heißt das parametrisierte Flächenstück f : I R R 3, f(x, y) = (γ 1 (x) cos y, γ 1 (x) sin y, γ 2 (x)) Rotationsfläche zur Meridiankurve γ. Rotationsflächen sind orthogonal parametrisiert und man kann durch Umparametrisierung der Meridiankurve sogar konforme Parametrisierung erreichen. Als Beispiel wollen wir die (um 90 gedrehte) Kettenlinie γ(t) = (cosh t, t) (vergl Übung) rotieren: f(x, y) = (cosh(x) cos(y), cosh(x), sin(y), x). Diese Fläche heißt Katenoid. Definition 4.12 Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück. Dann existiert eine eindeutige Abbildung N : U S 2 in die Einheitssphäre, so daß für jedes p U f x (p), f y (p) (f(p), N(p)) und (f x (p), f y (p), (f(p), N(p))) eine positiv orientierte Basis von T f(p) R 3 sind. N heißt die Gaußabbildung von f. Wir werden aber auch N(p) für den Normalenvektor (f(p), N(p)) von f in p schreiben. Offenbar ist N = f x f y f x f y. 4.3 Flächeninhalt Definition 4.13 Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück. Der Flächeninhalt von f ist definiert als: A(f) = det(f x, f y, N) dxdy = f x f y. U U 36

37 DG I 10. Vorlesung Tim Hoffmann 37 Fu r Kurven hatten wir die La nge als Grenzwert einer polygonalen Approximation interpretiert. Man ko nnte hoffen, das man etwas Vergleichbares fu r Fla chen durch Approximation mit Triangulierungnen erreichen kann. Das ist leider nicht mehr so einfach mo glich. Ein einfaches Gegenbeispiel hat H. A. Schwarz 1880 gegeben (Die Schwarz sche Laterne): Diese Approximation des Zylinders durch Triangulierungen konvergiert zwar punktweise, allerdings kann der Grenzwert des Fla cheninnhalts beliebig groß werden. Das Problem ist, das man nicht notwendigerweise auch die Konvergenz der Normalen hat. R Bemerkung. Man hat auch A(f ) = U EG F 2, denn E F 0 det(fx, fy, N )2 = det((fx fy N )T (fx fy N )) = det F G 0 = EG F

38 DG I 11. Vorlesung Tim Hoffmann 38 Satz 4.14 Seien f : U R 3 und f : Ũ R3 zwei äquivalente Parametrisierungen. Dann ist A(f) = A( f). Beweis. f = f bedeutet es gibt einen Diffeomorphismus φ : Ũ U mit f = f φ. Nach dem Transformationssatz aus der Analysis ist dann aber U det(f x, f y, N) dxdy = Ũ det(f x, f y, N) φ det dφ = f 1x f 1y N 1 φ 1x φ 1y 0 Ũ det f 2x f 2y N 2 φ 2x φ 2y 0 f 3x f 3y N ɛ = Ũ det( f x, f y, ɛn) mit ɛ = sign det(dφ). Beispiel 4.7 Lamberts zylindrische Projektion f : [0, 2π) ( 1, 1) R 3, f(x, y) = (cos(x) 1 y 2, sin(x) 1 y 2, y) ist flächentreu (Übung). Beispiel 4.8 Katenoid und (umparametrisiertes) Helikoid haben dieselbe Gaußabbildung: Für das Katenoid gilt f(x, y) = (cosh x cos y, cosh x sin y, x) f x (x, y) = (sinh x cos y, sinh x sin y, 1) f y (x, y) = ( cosh x sin y, cosh x cos y, 0) f x f y = ( cosh x cos y, cosh x sin y, cosh x sinh x) f x f y = cosh 2 x N(x, y) = 1 cosh x ( cos y, sin y, sinh x) Das Helikoid reparametrisieren wir wie folgt: x sinh x, y y π/2 und erhalten g(x, y) = (sinh x sin y, sinh x cos y, y π/2) g x (x, y) = (cosh x sin y, cosh x cos y, 0) g y (x, y) = (sinh x cos y, sinh x sin y, 1) g x g y = f x f y Woraus die Behauptung folgt. Es gilt sogar, das die beiden Flächen dieselbe 1. Fundamentalform besitzen: E = cosh 2 x, F = 0, G = cosh 2. Man nenn zwei Flächen für die das gilt isometrisch zueinander. 38

39 DG I 11. Vorlesung Tim Hoffmann Krümmung: Gaußkrümmung I Definition 4.15 Sei f : U R 3 parametrisertes Flächenstück. Dann heißt Gaußkrümmung von f in p. K(p) = det(n x, N y, N) det(f x, f y, N) Offenbar erhält man K(p) als Limes des Quotienten der Flächeninhalte von f und seiner Gaußabbildung: K(p) = lim r 0 A(N Dr(p)) A(f Dr(p)). D r (p) bezeiche hier die Kreisscheibe um p mit Radius r in U. Beispiel 4.9 f : R 2 R 3 hat K = 0, da N konstant ist f : U rs 2 R 3 hat K = 1 r 2. Für das Katenoid gilt 1 N x = ( cos y sinh x, sin y sinh x, 1) cosh 2 x 1 N y = cosh x (sin y, cos y, 0) 1 det(n x, N y, N) = cosh 2 x 1 und also K(x, y) =. Da Katenoid und Helikoid dieselbe Gaußabbildung und erste Fundamentalform haben, muß das Helikoid auch cosh 4 x dieselbe Gaußkrümmung besitzen Normalkrümmung und Weingartenoperator Wir setzen unsere Krümmungsuntersuchungen fort. Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück. Dann existiert für p U eine Umgebung V U, so daß f(v ) eingebettete Fläche ist. Sei nun v T p V. Dann spannen N(p) und d p f(v) eine Ebene durch f(p) auf, die f (zumindest lokal) tansversal schneidet. Der Schnitt von f mit dieser Ebene definiert (wieder lokal) eine glatte ebene Kurve γ (Übung). Ohne Einschränkung sei γ bogenlängenparametrisiert und es gelte γ : ( ɛ, ɛ) R 3 mit γ(0) = f(p). Dann ist γ (0) T p f und N(p) ist parallel zu γ (0). 39

40 DG I 11. Vorlesung Tim Hoffmann 40 Definition 4.16 Zu einer gegebenen Richtung v T p V heißt die Krümmung k(v) der Schnittkurve wie oben Normalkrümmung von f in p in Richtung v. Man muß hier eigentlich noch Wir werden jetzt κ(v) durch Untersuchung von d p N bestimmen. Dazu beobachten wir zunächst, daß aus dn(v) N folgt, das es zu die Orientierung jedem v T p U ein w T p U geben muß, so daß d p N(v) = d p f(w) gilt. Die Beziehung zwischen v und w ist offenbar linear: der Ebene Definition 4.17 Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück. Die lineare festlegen. Abbildung A Das machen p : T p U T p U, definiert durch d p N(v) = d p f(a p v) für alle v T wir etwas p U heißt Weingartenoperator von f in p. später. Definition 4.18 Die Zweite Fundamentalform ordnet jedem Punkt die Bilinearform h p : T p U T p U R zu. h p (v, w) := d p N(v), d p f(w) = N(p), d 2 pf(v, w) = g(av, w). Bemerkung. h p (v, w) misst den w-anteil der Änderung von N in v-richtung. Lemma 4.19 h ist symmetrische Bilinearform Beweis. [und Definition] Seien e 1 und e 2 die Standardbasis in T p U. Dann ist l := h(e 1, e 1 ) = N x, f x = N, f xx m := h(e 1, e 2 ) = N x, f y = N, f yx = N, f xy = N y, f x = h(e 2, e 1 ) n := h(e 2, e 2 ) = N y, f y = N, f yy 4 Wir werden später sehen das es genügt, das zwei Flächen isometrisch zueinander sind (also dieseble erste Fundamentalform haben) um zu schließen, das ihre Gaußkrümmungen übereinstimmen 40

41 DG I 12. Vorlesung Tim Hoffmann 41 Lemma 4.20 Die Darstellungsmatrix des Weingartenoperators A bezüglich der Standardbasis ist ( ) ( ) 1 ( ) a b E F l m A = =. c d F G m n Beweis. Es gilt ( v T l m m n ) ( w = h(v, w) = g(av, w) = v T A T E F F G ) w. Auflösen nach A liefert dann die Behauptung. Korollar 4.21 Für die Gaußkrümmung gilt K = det A = ln m2 EG F 2. Beweis. Wir betrachen die schiefsymmetrische bilineare Abbildung L(v, w) = det(df(v), ( df(w), ) N). Offenbar ist ihre Darstellungsmatrix durch L(v, w) = 0 T v T w gegeben, wobei T = EG F T 0 2 ist. Jetzt hat man aber ( ) 0 T det(n x, N y, N) = L(Ae 1, Ae 2 ) = e T 1 AT Ae T 0 2 ( ) 0 T ( ) = (a, c) bd =. EG F T 0 2 (ad bc) Damit und mit A(f) = EG F 2 ist dann aber K = det(nx,ny,n) det(f x,f y,n) bc. Bemerkung. Für spätere Verwendung halten wir noch fest: = ad 1 1 a = (mf lg), c = (lf me), EG F 2 EG F b = (nf mg), d = (mf ne). EG F 2 EG F 2 Bemerkung. Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte einer Matrix, d. h. K = det A = k 1 k 2 wenn die k i die Eigenwerte von A sind. Satz 4.22 (aus der linearen Algebra) Sei V endlich dimensionaler Vektorraum, g : V V R euklidisches Skalarprodukt und A : V V selbstadjungierter Operator. Dann existiert in V eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A. 41

42 DG I 12. Vorlesung Tim Hoffmann 42 Zu jedem v T p U betrachten wir jetzt k(v) = h p(v, v) g p (v, v) k(v) ist die Normalkrümmung, denn für jede Kurve γ in f durch f(p) = γ(0), die in f(p) N(p) als Normale hat, gilt γ (0) = d 2 pf( γ (0), γ (0)) + d p f( γ (0)) und damit γ (0), N(p) = d p f( γ (0)), d p N( γ (0)) = h p ( γ (0), γ (0)). Betrachtet man k(v) als Abbildung von S 1 so ist sie stetig auf einem Kompaktum, nimmt also Maximum und Minimum an. Lemma 4.23 In jedem Punkt sind Maximum und Minimum der Normalkrümmung die negativen Eigenwerte des Weingartenoperators. Beweis. Der Weingartenoperator A p ist selbstadjungiert bezüglich g p. Seien (e 1, e 2 ) ON-Basis aus Eigenvektoren von A p und k 1, k 2 die zugehörigen Eigenwerte. Dann kann man jedes v T p U mit g p (v, v) = 1 als v = cos αe 1 + sin αe 2 für ein geeignetes α schreiben. Damit ist aber k(v) = (k 1 cos 2 α + k 2 sin 2 α) was eine Konvexkombination von k 1 und k 2 ist. Definition 4.24 Die negativen Eigenwerte des Weingartenoperators heißen Hauptkrümungsrichtungendfn[Hauptkrümung]Hauptkrümmungen von f. Die zugehörigen Eigenrichtungen (b.z.w ihre Bilder unter f) heißen Hauptkrümungsrichtungen. Das Produkt der Hauptkrümmungen ist die Gaußkrümmung K = k 1 k 2 = det A, das arithmetische Mittel heißt mittlere Krümmung von f H := 1 2 (k 1 + k 2 ) = 1 Spur A. 2 Bemerkung. Man kann die mittlere Krümmung als normalisiertes Integral über die Normalkrümmungen erhalten: H = 1 2π h p (v, v) dt, wobei v = cos te 1 + sin te 2. 2π 0 42

43 DG I 12. Vorlesung Tim Hoffmann Theorema Egregium: Gaußkrümmung II Satz 4.25 (theorema egregium von Gauß) Zwei isometrisch parametrisierte Flächenstücke haben dieselbe Gaußkrümmung. Anders ausgedrückt: Die Gaußkrümmung hängt nur von der ersten Fundamentakform ab. Der folgende Beweis ist nicht sonderlich instruktiv aber recht kurz. Beweis. Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück. Zunächst schreiben wir die zweiten Ableitungen von f in f x, f y und N um dann aus der Vertauschbarkeit der dritten Ableitungen eine Formel für K ausschließlich in E, F und G und ihren Ableitungen herzuleiten. f xx, f x = 1 2 E x, f xx, f y = F x 1 2 E y, f xx, N = l, f xy, f x = 1 2 E y, f xy, f y = 1 2 G x, f xy, N = m, f yy, f x = F y 1 2 G x, f yy, f y = 1 2 G y, f yy, N = n. Für später halten wir noch fest: Die Koeffizienten Γ der zweiten Ableitungen bezüglich der ersten f xx = Γ 1 11 f x + Γ 2 11 f y + ln, f yy = Γ 1 22 f x + Γ 2 22 f y + nn f xy = Γ 1 12 f x + Γ 2 12 f y + ln = f yx = Γ 1 21 f x + Γ 2 21 f y + ln heißen Christoffelsymbole. Sie sind symetrisch in den unteren Indices. Es ist klar, dass die Christoffelsymbole durch Ableitungen von E, F und G auszudrücken sind. Nun hat man (f xx ) y = Γ 1 11y f x + Γ 1 11 (Γ1 12 f x + Γ 2 12 f y + ln) +Γ 2 11y f y + Γ 2 11 (Γ1 22 f x + Γ 2 2 f y + nn) + l y N + l(bf x + df y ), (f xy ) x = Γ 1 12x f x + Γ 1 12 (Γ1 11 f x + Γ 2 11 f y + ln) +Γ 2 12 f y + Γ 2 12 (Γ1 21 f x + Γ 2 21 f y + ln) + m x N + m(af x + cf y ) Hier sind a, b, c und d die Einträge der Darstellungsmstrix von A. betrachtet man jetzt den f y -Anteil von (f xx ) y = (f xy ) x so sieht man, das er bis auf zwei Terme nur Ableitungen von E, F und G enthält. Wir bringen sie auf eine Seite und haben: (etwas in Abl. von E,F und G) = ld mc = ld mb = lmf lne (lmf m2 E) = E(ln m2 ) EG F 2 EG F 2 = EK Hier haben wir die vorher angegebenen Ausdrücke für die Einträge von A eingesetzt. Insgesammt (und da E nicht verschwinden kann) haben wir also die gesuchte Formel für die Gaußkrümmung K hergeleitet. Korollar 4.26 Es gibt keine isometrische Prametrisierung der Sphäre. 43

44 DG I 13. Vorlesung Tim Hoffmann 44 Definition 4.27 Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück, p U und k 1, k 2 und K Hauptkrümmungen und Gaußkrümmung von f in p. p heißt: elliptischer Punkt falls K(p) > 0 hyperbolischer Punkt falls K(p) < 0 parabolischer Punkt falls K(p) = 0 und k 2 1 (p) + k2 2 (p) 0 Flachpunkt falls K(p) = k 1 (p) = k 2 (p) = 0 Nabelpunkt falls k 1 (p) = k 2 (p) Bemerkung. In einem Nabelpunkt ist H 2 K = 0. Satz 4.28 (Nabelpunktssatz) Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück, U zusammenhängend und jeder Punkt von f ein Nabelpunkt. Dann ist f(u) in einer Sphäre oder einer Ebene enthalten. Beweis. Sei ein f, U wie im Satz. Dann gilt k 1 = k 2 = H und dn = k 1 df. Insbesondere ist also N x = k 1 f x und N y = k 1 f y. Damit folgt aber k 1y f x + k 1 f xy = N xy = N yx = k 1x f y + k 1 f yx. Da f x und f y linear unabhängig sind schließt man dk 1 = (k 1x, k 1y ) = 0, also k 1 const. Ist jetzt k 1 0 so ist dn = 0 und N = v S 2. Man hat dann d v, f = v, df = N, df = 0 woraus die Ebengleichung v, f = const folgt. Ist aber k 1 λ 0, so ist m = f 1/λN konstant: dm = df 1/λdN = df + k 1 /λdf = 0. Also ist f in einer Sphäre mit Radius 1/λ um m enthalten. 4.7 Kurven auf Flächen Sei γ : I R 3 bogenlängenparametrisierte Kurve auf f : U R 3, γ = f γ. Der Rahmen F = (T, B, N γ) mit T = γ, N der Normalen von f und B = N γ T heißt Darboux-Rahmen von γ. Es ist F = F 0 κ g κ N κ g 0 τ g κ N τ g 0 κ g heißt geoddätische Krümmung, κ N Normalkrümmung und τ g geodätische Torsion. Da κ N = T, N = h( γ, γ ) ist, ist das die Normalkrümmung k( γ ).. 44

45 DG I 13. Vorlesung Tim Hoffmann 45 Definition 4.29 Eine Kurve γ = f γ auf einer Fläche f heißt Prägeodätische falls gilt κ g = 0 ( T N B N) und Geodätische im Falle dass γ nach Bogenlänge parametrisiert ist. Krümmungslinie falls gilt τ g = 0 ( N T B T γ ist Eigenvektor zum Weingartenoperator) Asymptotenlinie falls gilt κ N = 0 ( T B N B γ ist isotroper Vektor des Weingartenoperators) Beispiel 4.10 Die Geodätischen auf S 2 sind Großkreisbögen. Lemma 4.30 (Geodätische als Geradeste) γ ist Prägeodätische auf f genau dann wenn γ parallel längs γ in T f ist. Beweis. T f. γ ist Prägeodätische κ g = 0 γ N γ ist parallel in Lemma 4.31 (Geodätische als (lokal) Kürzeste) Sei γ : [a, b] R 3 bogenlängenparametrisierte Kurve auf f : U R 3 eine Kürzeste unter allen Kurven auf f mit gleichen Endpunkten. Dann ist γ Geodätische. Beweis. Beweis durch Variation. Sei γ bogenlängenparametrisierte Kurve auf f. Zunächst bestimmen wir die Variationsformel für die Bogenlänge. Ist γ t eine Variation von γ = γ 0, dann gilt für die Länge L a,b (γ t ) = L(γ t ): d dt L(γ t) t=0 = d b dt a γ, γ = b a γ,γ γ,γ = b a γ, γ = γ, γ b a b a γ, γ. Ist γ jetzt eine Kürzeste, so muß für alle Variationen von γ durch Kurven auf f mit festen Endpunkten d dt L(γ t) t=0 = 0 gelten. Wir haben also 0 = γ, γ b a b a γ, γ b = γ, κ g B + κ N N = a b a κ g γ, B denn für Variationen mit festen Endpunkten gilt γ(a) = γ(b) = 0 und da die Variation durch Kurven auf f war ist γ tangential an f. 45

46 DG I 13. Vorlesung Tim Hoffmann 46 Angenommen κ g ist sagen wir bei s 0 (a, b) ungleich 0. O. E. nehmen wir an κ g (s 0 ) > 0. Dann existiert ein I = (s 0 ɛ, s 0 + ɛ) [a, b] mit κ g > 0 auf I. Dann gilt aber für eine nicht verschwindende Variation γ t mit γ t = 0 auf [a, b] \ I und γ, B 0 auf I, dass b a κ g γ, B > 0 was ein Widerspruch ist. Bemerkung. Eine Kürzeste muß nicht immer existieren: Auf R 2 \ {(x, y) x 0} gibt es keine kürzeste Verbindung zwischen (1, 1) und (1, 1). Eine Kürzeste ist nicht immer eindeutig: Auf S 2 ist jeder Großkreisbogen zwischen zwei Antipoden Kürzeste. Der Satz ist nicht umkehrbar: Zwischen zwei Nicht-Antipoden auf S 2 ist nur der kürzere der beiden Großkreisbögen Kürzeste aber beide sind Geodätische. Man kann aber folgendes zeigen: Ist γ : [a, b] R 3 Geodätische, so existiert für jedes s 0 in [a, b] eine Umgebung I von s 0 in [a, b], für die gilt, dass für jedes s 1 I γ [s0,s 1 ] Kürzeste ist. 46

47 DG I 14. Vorlesung Tim Hoffmann 47 Bemerkung. In jedem Punkt gibt es zu jeder Richtung genau eine Geodätische. Schon die Geodätischen auf dem Rotationstorus sind nicht mehr geschlossen darstellbar. Satz 4.32 Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück und sei jede Geodätische auf f ebene Kurve. Dann ist f Nabelpunktsfläche. Beweis. Sei p U ist A p 0, so ist p Nabelpunkt. Ist A p 0, so existiert ein v T p U mit h(v, v) 0. Betrachtet man jetzt eine Geodätische γ durch p = γ(0) mit Ableitung γ (0) = v, dann spannen γ (p) und γ (p) lokal die Ebene von γ auf. Es folgt, daß d dt N γ(0) = hγ (0). Da das für jede nicht verschwindende Richtung v gilt, ist jede Richtung Eigenrichtung von A und p muss Nabelpunkt sein Krümmungslinien In jedem Punkt, der nicht Nabelpunkt ist, gibt es genau zwei Hauptkrümmungsrichtungen. Beispiel 4.11 Meridiankurven und Breitenkreise von Rotationsflächen sind Krümmungslinien. Satz 4.33 (Joachimsthal 1846) Zwei Flächen schneiden sich genau dann unter konstantem Winkel, wenn die Schnittkurve in beiden Flächenen dieselbe geodätische Torsion hat. Beweis. Seien f : U R 3 und h : U R 3 parametrisierte Flächenstücke und sei γ : I R 3 ihre gemeinsame Schnittkurve γ = f γ = h ˆγ. Der Schnittwinkel längs γ ist dann N f γ, N h ˆγ. Es ist also zu zeigen Nun gilt aber τ gf = τ gh d dt N f γ, N h ˆγ = 0. d dt N f γ, N h ˆγ = d γ N f γ, N h ˆγ + N f γ, dˆγ N h ˆγ = d γ N f γ, N h ˆγ, B f B f > + N f γ, B h B h, dˆγ N h ˆγ = τ gf N h ˆγ, B f > +τ gh N f γ, B h = (τ gf τ gh ) cos φ. 47

48 DG I 14. Vorlesung Tim Hoffmann 48 Ist also τ gf = τ gh, so ist der Schnittwinkel konstant. Ist andererseits der Schnittwinkel konstant, so sind die geodätischen Torsionen gleich, oder φ = ±π/2 was, bedeutet, das die Normalen von f und g parallel sind. Dann folgt aber wiederum die Gleichheit der geodätischen Torsion, da Normale und Binormale dann in beiden Darbouxrahmen bis auf Vorzeichen gleich sind Konfokale Quadriken Seien U und V offenen Teilmengen des R 3 und sei Φ : U V ein Diffeomorphismus. Man kann Φ als ein krummliniges Koordinatensystem auffassen. Die Koordinatenflächen sind dann drei 1-Parameter-Familien von Flächen und durch jeden Punkt p = Φ(x, y, z) geht genau eine Fläche aus jeder Familie. Sind die Partiellen Ableitungen von Φ paarweise orthogonal, so nennt man Φ auch ein dreifach orthogonales Flächensystem. Beispiel 4.12 Kugelkoordinaten f(r, φ, θ) = r(cos φ cos θ, sin φ cos θ, sin θ) und Zylinderkoordinaten g(r, φ, z) = (r cos φ, r sin φ, z) bilden jeweils ein dreifach orthogonales Flächensystem. Satz 4.34 (Dupin) Die Flächen eines dreifach orthogonalen Flächensystems schneiden sich in ihren Krümmungslinien. Beweis. Schneiden sich zwei Kurven γ 1 und γ 2 auf einer Fläche f orthogonal, so gilt für ihre geodätischen Torsionen τ g1 = g(a γ 1, ± γ 2) = g(a γ 2, ± γ 1) = τ g2. Nun gilt für die drei Kurven durch einen Punkt τ g1 + τ g2 = 0 in der Fläche 1, 2 τ g2 + τ g3 = 0 in der Fläche 2, 3 τ g3 + τ g1 = 0 in der Fläche 3, 1 und nach Satz von Joachimsthal sind die τ gi in den verschiedenen Flächen jeweils gleich. Also müssen alle geodätischen Torsionen verschwinden und die Schnittkurven sind Krümmungslinien. Ein weiteres dreifach orthogonales Flächensystem wollen wir jetzt untersuchen: Betrachte zu a > b > c > 0 und t R \ {a, b, c} die Flächen, die durch die Gleichung x 2 a t + y2 b t + 48 z2 c t = 1

49 DG I 14. Vorlesung Tim Hoffmann 49 gegeben sind. Für t < c erhält man so ein Ellipsioid, für c < t < b ein einschaliges Hyperboloid und für b < t < a schließlich ein zweischaliges Hyperboloid. Ist t > a hat man keine reelle Lösung mehr. Diese Flächen sind konfokale Quadriken. Sie heißen konfokal, weil das gleiche System eine Dimension niedriger gerade die Kegelschnitte mit gleichen Brennpunkten liefert. Man kann jetzt leich einsehen, das durch jeden Punkt p = (x 0, y 0, z 0 ) mit x 0, y 0, z 0 0 genau eine Fläche von jedem der drei Typen geht, denn die Funktion Φ t (x 0, y 0, z 0 ) = x2 0 a t + y2 0 b t + z2 0 c t (als Funktion von t) hat Pole erster Ordnung in a, b und c und ist monoton steigend, muss also auf jedem der Intervalle (, c), (c, b) und (b, a) die 1 genau einmal treffen, sagen wir in t 1, t 2 und t 3. Weiter kann man ausrechnen, das t j t i 4 grad Φti (x, y, z), grad Φ tj (x, y, z) = Φ tj (x, y, z) Φ ti (x, y, z) ist. Aus Φ t1 (x 0, y 0, z 0 ) = Φ t2 (x 0, y 0, z 0 ) = Φ t3 (x 0, y 0, z 0 ) = 1 folgt damit aber das die drei Flächen durch jeden Punkt sich jeweils senkrecht schneiden müssen. Insgesammt erhält man, daß die Flächen zusammen ein dreifach orthogonales Flächensystem bilden. 49

50 DG I 14. Vorlesung Tim Hoffmann 50 Um die Abblidung (x, y, z) (t 1, t 2, t 3 ) umzukehren, lösen wir nach x 2, y 2 und z 2 und erhalten: x 2 a t 1 + y2 b t 1 + z2 x 2 a t 2 + y2 b t 2 + z2 c t 1 = 1 c t 2 = 1 x 2 a t 3 + y2 b t 3 + z2 c t 3 = 1 x 2 = (a t 1)(a t 2 )(a t 3 ) (a b)(a c), y 2 = (b t 1)(b t 2 )(b t 3 ) (b c)(b a), z 2 = (c t 1)(c t 2 )(c t 3 ) (c a)(c b). Um eine Quadrik zu erhalten, hält man einen der drei Parameter t i fest. Die verschiedenen Wahlen der Vorzeichen geben einem Parametrisierungen den Quadrik in den acht offenen Oktanden des R Asymptotenlinien Für jeden Punkt p auf einer Fläche f gilt ist K > 0 (p ist ellipütisch), so existieren keine reellen Asymptotenrichtungen. ist K = 0 und k1 2 + k2 2 0, so gibt es genau eine Asymptotenrichtung. ist K = 0 = k 1 = k 2, so ist jede Richtung Asymptotenrichtung. ist K < 0 (p ist hyperbolisch), so gibt es in p genau zwei Asymptotenrichtungen. Durch jeden hyperbolischen Punkt gehen also genau zwei Asymptotenlinien. Wir werden später sehen, das man die Fläche dort lokal nach Asymptotenlinien parametrisieren kann. 50

51 DG I 15. Vorlesung Tim Hoffmann 51 Satz 4.35 Seien U und V offene Teilmengen des R 3 und Φ : U V ein konformer Diffeomorphismus. Dann bildet Φ Nabelpunktsflächen auf Nabelpunktsflächen ab. Beweis. Seien U und V offene Teilmengen des R 3 und Φ : U V ein konformer Diffeomorphismus. Sei ferner S U R 3 ein Stück Sphäre (für Ebenen geht der Beweis analog), p S und N die Normale von S in p. Betrachte zu jedem v T p S die Ebene E durch p, die von v und N aufgespannt wird. Offenbar ist der Schnitt γ von E mit S eine Krümmungslinie von S durch p. Betrachtet man nun das dreifach orthogonale Flächensystem, das durch die zu S konfokalen Sphären, die Ebenen durch den Mittelpunkt m von S, die senkrechtn zu E stehen, und den Kegeln mit Spitze m und Achse senkrecht zu E (und E als Grenzfall bei Öffnungswinkel π). Da Φ ein konformer Diffeomorphismus ist, ist das Bild dieses Flächensystems unter Φ wieder ein dreifach orthogonales. Gemäß Satz 4.34 (Dupin) sind also die Schnittkurven, und damit auch das Bild von γ, wieder Krümmungslinien. Da das für jeden Punkt p und jede Richtung v T p S geht, muss jeder Punkt in Φ(S) Nabelpunkt sein. Korollar 4.36 Inversionen an Sphären bilden Nabelpunktsflächen auf Nabelpunktsflächen ab. 4.8 Rotationsflächen konstanter Krümmung Wir wollen jetzt noch einmal Rotationsflächen betrachten, und Differentialgleichungen für die Meridiankurven herleiten, die einem Rotationsflächen mit konstanter Gauß- bzw. mittlerer Krümmung garantieren. Sei γ = (x, y) nach Bogenlänge parametrisiert und y > 0. Dann gilt x 2 + y 2 = 1 x x + y y = 0. Ist f : R 2 R 3 Rotationsfläche mit f(t, φ) = (x(t), y(t) cos(φ), y(t) sin(φ)) so gilt für den Weigartenoperator Ae 1 = κ γ e 1 = (x y x y )e 1 = det(γ, γ )e 1, Ae 2 = x y e K konstant Mit K = x y (x y x y ) folgt Ky = x (x y x y ) = x x y x 2 y = y. Also müssen x und y folgende Differentialgleichung erfüllen: y + Ky = 0, x = 1 y 2. Da Skalieren von f die Gaußkrümmung mit dem Quadrat des Faktors skaliert genügt es im Folgenden die Fälle K = 1, K = 0 und K = 1 zu betrachten. 51

52 DG I 15. Vorlesung Tim Hoffmann 52 K = 1: Bis auf einen Shift im Parameter t erhält man y(t) = c cos(t), x = 1 c 2 sin 2 t. Das ist ein elliptisches Integral falls c ±1 ist. Die Flächen sind für 0 < c 2 < 1 Spindeln (mit singulären Spitzen), für c = 0 die Sphäre und für c 2 > 1 Tonnen mit Randkreisen. K = 0: Man hat in diesem Fall y = 0, also y(t) = at + b. Ist a = 0 ist die Fläche ein Zylinder, ist 0 < a 2 < 1 erhält man einen Kegel und für a 2 = 1 eine (punktierte) Ebene senkrecht zur Rotationsachse. K = 1: die allgemeine Lösung lautet jetzt y(t) = ce t + de t. Umparametrisierung kann das zu sinh oder cosh machen, je nach Vorzeichen von c und d: Ist cd > 0 so ist y(t) = a cosh t und x(t) = 1 a 2 sinh 2 t. Ist cd = 0, so ist (o. E. d = 0, c = 1) y(t) = e t und x(t) = 1 e 2t = 1 e 2t arctanh 1 e 2t. Das ist eine Parametrisierung der Traktrix. Ist cd < 0 so ist y(t) = a sinh t und x(t) = 1 a 2 cosh 2 t. 52

53 DG I 15. Vorlesung Tim Hoffmann H konstant Im Falle von konstantem H hat man 2H = x y x y + x y. Wir wechseln die Variablen zu u = x y und v = y y. x und y kann man daraus durch y = u 2 + v 2 und x = u y zurück erhalten. Mit x x = y y erhält man 2Hv = x y + x y und 2Hu = y y 1 + y 2. Das kann man zu ( u v ) = ( 0 2H 2H 0 ) ( u v ) + ( 0 1 zusammenfassen. Ist H = 0 folgt u = 0 und also u = c, v = t + d. Ist c = 0 so ist x konstant und f ist eine Ebene. Ist c 0 und nehmen wir d = 0 an folgt y(t) = c 2 + t 2, x(t) = c arcsinh(t/c). Parametriseirt man nach x um (c sinh(x/c) = t, y(x) = c cosh(x/c)) sieht man, dass f das Katenoid ist. Ist H konstant und ungleich 0 kann man durch Skalieren H = 1/2 erreichen. In diesem Fall ist u = v und v = 1 u. Modulo Parametershift ist u(t) = 1 + c cos(t), und v(t) = c sin(t). Außer für c 2 = 0 oder c 2 = 1 führt das wieder auf elliptische Integrale. Man erhält für c 2 = 0 einen Zylinder, im Falle von 0 < c 2 < 1 eine Fläche, die Undoloid genannt wird, bei c 2 = 1 eine Sphäre, und im Falle von c 2 > 1 eine Fläche namens Nodoid. ) 53

54 DG I 16. Vorlesung Tim Hoffmann Minimalflächen Sei f : U R 3 parametrisches Flächenstück B U kompakt. Dann ist A(f B ) = det(f x, f y, N) Wir betrachen jetzt eine Normalvariation von f. Für ɛ : U I R sei Dann ist und B f t (x, y) = f(x, y) + ɛ(x, y, t)n(x, y) fx t = f x + ɛ x N + ɛn x = (1 + aɛ)f x + cɛf y + ɛ x N fy t = f y + ɛ y N + ɛn y = bɛf x + (1 + dɛ)ɛf y + ɛ y N N t = f t x f t y f t x f t y d dt A(f t B ) = d dt B det(f x, t fy, t N t ) = B ɛ t(a + d) det(f x, f y, N) = 2 B ɛ th det(f x, f y, N) Also mißt H die Flächeninhaltsänderung unter Normalvariationen. Insbesondere muss also für eine Fläche mit minimalem Flächeninhalt H = 0 gelten. Definition 4.37 Eine regulärreguläre Fläche mit Mittlerer Krümmung H = 0 heißt Minimalfläche. Beispiel 4.13 Die bereits bekannten Katenoid und Helikoid und die Enneperfläche aus den Übungen. Zur Konstruktion weiterer Beispiele brauchen wir den Laplace-Beltrami- Operator auf f. Die folgenden Überlegungen funktionieren auch in höheren Dimensionen, deshalb werden wir die Rechnungen allgemein durchführen. Die Definitionen von erster und zweiter Fundamentalform etc. übertragen sich analog. Zur Erinnerung: ist U R n offen, so ist v T U = U R n Tangentialvektor. Die Abbildung π : T U U, π(v) = π((p, ṽ)) = p heißt Fußpunktabbildung. π 1 (p) = T p U ist Vektorraum. Beispiel 4.14 X : U T U ist Vektorfeld auf U genau dann, wenn π(x) = id U. 54

55 DG I 16. Vorlesung Tim Hoffmann 55 Ist f : U V differenzierbar, so heißt Y : U T V Vektorfeld längs f falls π(y ) = f. Beispiel 4.15 Ist γ : I R n reguläre Kurve, dann ist γ Vektorfeld längs γ. Für ein differenzierbares h : U R schreibt man auch v h = d p h(v) und sagt v leitet h ab. Ist f : U R n Immersion, so bezeichnen wir die orthogonale Projektion in T f(p) R n auf df(t p U) mit τ p. Lemma 4.38 Sei X : U T R m differenzierbares Vektorfeld längs f : U R m. Dann existiert ein eindeutiges differenzierbares Vektorfeld X T mit d p f(x T ) = τ p (X). Beweis. Die Existenz und Eindeutigkeit folgen direkt aus der Regularität von f. Für die Differenzierbarkeit kann man die Bilder der Basisvektoren unter f orthonormalisieren und X bezüglich dieser darstellen. Da alle Operationen algebraisch sind kann man dann schließen, das auch X T differenzierbar ist. Definition 4.39 Sei f : U R m Immersion, h : U R glatt. Dann heißt das Vektorfeld grad f h : U T U gegeben durch Gradient von h. g(grad f h, v) = dh(v) Definition 4.40 Sei f : U R m Immersion, Y : U T U Vektorfeld und X T p U. Die Levi-Civita-Ableitung X Y ist definiert durch d p f( X Y ) = τ p (X d p f(y )). Lemma 4.41 Für Vektoren X, X 1, X 2, Vektorfelder Y, Y 1, Y 2 und eine Funktion φ gilt X1 +X 2 Y = X1 Y + X2 Y φx Y = φ X Y X (Y 1 + Y 2 ) = X Y 1 + X Y 2 55

56 DG I 16. Vorlesung Tim Hoffmann 56 X φy = (X φ)y + φ X Y X g(y 1, Y 2 ) = g( X Y 1, Y 2 ) + g(y 1, X Y 2 ) (Ricci-Identität). Beweis. Die ersten vier Idenditäten folgen direkt aus der Linearität des Differentials und der Projektion τ p sowie der Produktregel für die Richtungsableitung. Beispielsweise d p f( X1 +X 2 Y ) = τ p ((X 1 + X 2 ) d p f(y )) = τ p (X 1 d p f(y ) + X 2 d p f(y )) = X1 Y + X2 Y. Die Ricci-Idendität erhält man durch X g(y 1, Y 2 ) = X df(y 1 ), df(y 2 ) = X df(y 1 ), df(y 2 ) + df(y 1 ), X df(y 2 ) = τ p (X df(y 1 )), df(y 2 ) + df(y 1 ), τ p (X df(y 2 )) = g( X Y 1, Y 2 ) + g(y 1, X Y 2 ). Definition 4.42 Ist U offen in R n, f : U R m Immersion, h : U R differezierbar, so ist v v grad f h Endomorphismus auf T p U und man definiert den Laplace-Beltrami-Operator als f h = Spur grad f h. Satz 4.43 Sei f : U R n R n+1 offen. Dann gilt 5. f f = Spur h N Insbesondere ist also f minimal f ist harmonisch (d. h. f f = 0). Beweis. Sei (v k ) Orthonormalbasis. Dann ist f f = i ( f f i )e i = i k g( f v k grad f f i, v k )e i = i k (v k g(grad f f i, v k ) g(grad f f i, f v k v k ))e i = i k v k df i (v k )e i df i ( vk v k )e i = k v k df(v k ) df( vk v k ) = k v k df(v k ) τ p (v k df(v k )) = k v k df(v k ), N N = k h(v k, v k )N = Spur h N. 5 Man beachte hier, dass N bei Immersionen von R n nach R n+1 analog zum R 3 Fall zu bilden ist. 56

57 DG I 17. Vorlesung Tim Hoffmann 57 Bemerkung. Ein Operator, der die ersten vier Eingenschaften aus Lemma 4.41 hat heißt auch linearer Zusammenhang oder kovariante Ableitung. Ist ein weiterer linearere Zusammenhang, so ist die Differenz B(X, Y ) = X Y X Y ein Tensor (d. h. B ist multilinear und der Wert hängt nur vom Punkt ab). Ein Beispiel für eine andere kovariante Ableitung ist natürlich die Richtungsableitung eines Vektorfeldes D X Y. Für die folgenden Rechnungen wollen wir noch die folgende Notation für die konstanten Vektorfelder im R n in Richtung der Einheitsbasisvektoren einführen: i (p) := (p, e i ) T p R n. Lemma 4.44 Ist f konform, mit g(x, Y ) = λ 2 X, Y Rn, dann ist f h = λ 2 ( h + (n 2) grad log λ, grad h ). Beweis. Nach Definition ist f h = k f grad f h, k k. Wir müssen also grad f h und f in konformer Parametrisierung bestimmen: Für alle v T R n ist g(grad f h, v) = dh(v) = k v kdh( k ) = k v k k h = ( 1 h,..., n h), v = g(λ 2 grad h, v). Es gilt also grad f h = λ 2 grad h. Weiter ist i j = k i j, k k = k λ 2 g( i j, k ) k = λ 2 k i j f, k f k = λ 2 k ( i j f, k f j f, i k f ) k = λ 2 k ( i j f, k f k i f, j f + i f, k j f ) k = λ 2 k ( i j f, k f k i f, j f + j i f, k f i j f, k f ) k = λ 2 2 = λ 2 2 = λ 2 k ( i j f, k f k i f, j f + j i f, k f ) k k ( i(λ 2 j, k ) k (λ 2 i, j ) + j (λ 2 i, k )) k 2 ( iλ 2 j + j λ 2 i k kλ 2 i, j k ) = i log λ j + j log λ i grad log λ i, j. Da D i j = 0 ist folgt mit obiger Bemerkung, dass f i j D i j = i log λ j + j log λ i grad log λ i, j linear in beiden Eingängen ist. Damit hat man für beliebige Vektorfelder X, Y : f X Y = D XY + (X log λ)y + (Y log λ)x grad log λ X, Y. 57

58 DG I 17. Vorlesung Tim Hoffmann 58 Jetzt sind wir in der Lage f h zu bestimmen: f h = k f grad f h, k k = ( k D k grad f h + ( k log λ) grad f h + (grad f h + log λ) k, k grad log λ grad f ) h, k, k = ( k D k grad f ) h, k + grad f h, grad log λ +n grad f h (log λ) grad log λ, grad f h = ( k D k (λ 2 ) ( grad h, k + nλ 2 grad h (log λ) ) 2 = k λ k grad h), λ 3 k + λ 2 k grad h, k + nλ 2 grad h (log λ) = λ 2 ( h + (n 2) grad h, grad log λ ). Man sieht, dass sich die Dinge in Dimension 2 deutlich vereinfachen: Ist n = 2 und f konform, so gilt f h = 0 h = 0. Damit folgt unmittelbar der folgende Satz: Satz 4.45 Ist f : U R 3 ein konform parametriseirtes Flächenstück, so ist f genau dann minimal (d. h. H 0), wenn ist. f = f xx + f yy = 0 Das die Einschränkung auf konforme Parametrisierungen keine echte Einschränkung ist zeigt der (schwer zu beweisende und deshalb hier nur zitierte) Satz Satz 4.46 (Korn, Lichtenstein) Jede immersierte Fläche f : U R 2 R 3 kann lokal konform umparametrisiert werden. 58

59 DG I 18. Vorlesung Tim Hoffmann Etwas Funktionentheorie Definition 4.47 Sei G offenes Gebiet in C. f : G C heißt holomorph f(z) f(z in z 0 G falls lim 0 ) z z0 z z 0 =: f (z : 0) existiert. Beispiele für auf ihrem gesamten Definitionsbereich holomorphen Funktionen sind Polynome, Exponentialfunktion, sin und cos. Identifiziert man R 2 mit C, so gilt für f = (u, v) : R 2 C Ist f holomorph, so auch reell differenzierbar und es gelten die Cauchy- Riemann-Gleichungen: u x = v y, u y = v x. Sind u und v stetig partiell differenzierbar, mit u x = v y und u y = v x so ist f holomorph. Weiter definiert man die Wirtinger-Operatoren z := 1 ( 2 x i ), y z := 1 2 ( x + i y Damit gilt für f = u + iv : C C unter Benutzung der Cauchy-Riemann- Gleichungen f z = 1 2 (u x + iv x iu y + v y ) = 2 z u und für beliebiges f z z f = 1 4 f. Definition 4.48 f : G C heißt meromorph falls f holomorph ist bis auf isolierte Singularitäten, die alle Pole sind. Insbesondere ist dann in einer Umgebung von einer solchen Singularität z 0 f(z) = g(z) (z z 0 für geeignetes k ) k N und holomorphes g. Satz 4.49 Ist G einfach zusammenhängendes Gebiet und f : G C holomorph, so existiert eine holomorphe Stammfunktion F mit F = f. Beweis. Gesucht: F = U + iv mit F = U x iu y = u + iv = f. Also muss U x = u und U y = v sein. Das geht aber, da die Integrabilitätsbedingung wegen u y = v x gilt. Gleiches gilt für V x = v und V y = u. Offenbar erfüllt F dann die Cauchy-Riemann-Gleichungen. Zurück zu den Minimalflächen: Sei jetztf : U R 3. Setze φ := z f : U C3. Dann gilt 59 ).

60 DG I 18. Vorlesung Tim Hoffmann 60 3 k φ k 2 = ( k 1 4 (f kx 2 + f ky 2 ) = 1 4 x f 2 + k φ2 k = k i x f, y f ) y f 2 ( ) ( x f k) 2 2i x f k y f k ( y f k) 2 = 1 4 ( x f 2 y f 2 ) Ist k φ2 k = 0, so ist f konform, ist k φ 2 > 0, so auch Immersion. Weiter war ja f minimal f = 0 z z f = 0 z φ = 0 φ ist holomorph. Man kann f aus φ zurückgewinnen: Sei φ : U C 3 holomorph, mit k φ2 k = 0 und k φ 2 > 0, U einfach zusammenhängend. Dann existiert eine Stammfunktion F mit F = φ und wegen z F = 2 z ReF ist f = 2ReF dann konform immersierte Minimalfläche. Wir haben also die Konstruktion von Minimalflächen in R 3 auf die Konstruktion eines holomorphen φ = (φ 1, φ 2, φ 3 ) mit k φ2 k = 0 und k φ 2 > 0 zurückgespielt. Satz 4.50 (Weierstraßdarstellung) Sei U C offen, h : U C holomorph und g : U C meromorph mit folgenden Eigenschaften: Jede Nullstelle von h sei ein Pol von g. Ist p Pol von g der Ordnung n, so ist p Nullstelle von h der Ordnung 2n. Seien weiter φ 1 = 1 2 (1 g2 )h φ 2 = i 2 (1 + g2 )h φ 3 = gh. Dann sind die φ k holomorph. Nun sei F : U C holomorphe Stammfunktion von φ = (φ 1, φ 2, φ 3 ).. Dann ist f = 2ReF eine konform parametrisierte immersierte Minimalfläche. Beweis. Es gilt: Die φ k sind offenbar holomorph. φ erfüllt k φ 2 > 0: k φ 2 = 1 4 h 2 ( 1 g g g 2 ) > 0. φ erfüllt k φ2 k = 0: k φ2 k = 1 4 h2 (1 2g 2 +g 4 1 2g 2 g 4 +4g 2 ) = 0. Also ist f = 2Re φ konforme minimale Immersion. Bemerkung. In gewissem Sine kann man jede Minimalfläche so über C oder D 2 darstellen. 60

61 DG I 18. Vorlesung Tim Hoffmann 61 Beispiel 4.16 Die Enneperfläche ist durch g(z) = z und h(z) = 1 gegeben: φ(z) = 1 2 (1 z2, i + iz 2, 2z), F (z) = ( 1 2 z z3, i 2 z + i 6 z3, 1 2 z2 ), f(z) = x x3 3 + xy2, y + y3 8 3 x2 y, x 2 y 2 ) Assoziierte Familie Offenbar bleiben die Voraussetzungen im Satz erhalten, wenn man h durch e iλ h ersetzt. Man erhält eine Familie f λ von Flächen f λ = 2Ree iλ F = e iλ F + e iλ F = (cos λ i sin λ)f + (cos λ + i sin λ) F. Die Fläche bei λ = π 2 heißt konjugierte Minimalfläche. Beispiel 4.17 Katenoid und Helikoid sind konjugierte Minimalflächen: Man setzt g(z) = e z und h(z) = e z und erhält φ(z) = (sinh z, i cosh z, 1) und F (z) = (cosh z, isinh(z), z). Real- und Imaginärteil von F liefern die bekannten Formeln für Katenoid und Helikoid. 61