5.1 Adverse Selektion

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1 Mikroökonomik B Informationsökonomik 5.1 Adverse Selektion Paul Schweinzer 25. Juni / 62

2 Adverse Selektion Def. Adverse Selektion tritt auf, wenn die Handelsentscheidungen eines Individuums von dessen privater Information auf eine Art und Weise abhängen, welche sich negativ auf andere Marktteilnehmer auswirkt. Def. Der Pareto-effiziente Vertrag unter vollkommener und symmetrischer Information heißt First-Best Vertrag. Def. Der beschränkt Pareto-effiziente Vertrag unter asymmetrischer Information heißt Second-Best Vertrag. Bem. Adverse Selektion schließt First-Best Ergebnisse aus. 2 / 62

3 Beispiel adverser Selektion Wir betrachten den Markt für gebrauchte Autos mit einer großen Anzahl von identischen Käufern und privat über die Fahrzeugqualität informierten Verkäufern. Wir indizieren die Qualität eines Autos durch eine Zahl q [0,1]. Käufer sind bereit 3 2q für ein Auto der Qualität q zu zahlen. Verkäufer sind bereit ein Auto der Qualität q zum Preis von p = q zu verkaufen. Die Käufer kennen nur die Verteilung der Qualität: q U [0,1]. 3 / 62

4 Symmetrische Information First-Best Unter vollkommener Information werden alle Autos jeder Qualität verkauft da 3 2q q für alle q. Diese Allokation ist effizient. 4 / 62

5 Asymmetrische Information Second-Best Doch die Käufer kennen bloß die Verteilung q U [0,1]. Da die erwartete Qualität eines Autos am gesamten Markt gegeben ist durch q E[q] = 1 2, sind die Käufer höchstens bereit einen Preis von p = 3 q 2 = 3 4 zu bezahlen. Aber zu diesem Preis wird das oberste Marktsegment nicht angeboten, da in diesem die eigene Wertschätzung der Verkäufer höher ist als der höchste Preis, den die Käufer zu zahlen bereit sind. 5 / 62

6 Deshalb müssen die Käufer ihre Berechnung der erwarteten Marktqualität unter Ausschluß des oberen Qualitätsviertels erneut vornehmen. Die erwartete Qualität ist nun E[q ] = q = 3 8 und nur Preise bis höchstens p = 3 q 2 = 9 16 werden bezahlt. Aber zu diesem Preis wird bloß 9 16 < 3 4 des Marktes von den Verkäufern angeboten. Deshalb müssen die Käufer ihre Berechnung der erwarteten Marktqualität erneut wiederholen und der Markt schrumpft weiter. Dieser Zerfallsprozeß ist monoton und endet erst bei q = p = 0. Dh der gesamte Markt löst sich auf und kein einziges Auto wird verkauft. Dies ist sicher nicht effizient! 6 / 62

7 Adverse Selektion 1 p Separierender Preis p=q, Angebot q, poolender Preis.5 q, Qualitätspool { 0 q q 3 2 q} 1 q 7 / 62

8 Signalisierungsspiele: Spence (1974) In der Folge werden wir Arbeitsmarktmodelle besprechen. Die Grundidee ist dabei, daß es verschieden begabte Arbeiter gibt, zwischen denen eine Firma unterscheiden möchte. In Signalisierungsmodellen können die Arbeiter vor der Vertragsunterzeichnung Handlungen setzen, welche sie von ihren weniger qualifizierten Mitspielern unterscheiden. Um als Signal dienen zu können, müssen die Grenzkosten dieser Handlung von der Begabung der Arbeiter abhängen. Die informierte Partei (der Arbeiter) versucht also, Informationen an die uninformierte Partei (die Firma) zu signalisieren bevor ein Vertrag unterschrieben wird. Daher erhält die uninformierte Partei während des Spielverlaufes zusätzliche Informationen über die informierte Partei (also lernt) und aktualisiert ihre Beliefs. 8 / 62

9 Zeitliche Abfolge von Signalisierungsspielen 0. N wählt und kommuniziert die Typen der informierten Spieler. 1. Die privat informierten Spieler signalisieren (gleichzeitig) ihren Typ (und verändern dadurch die Beliefs der uninformierten Spieler). 2. Basierend auf ihren Beliefs, geben die uninformierten Spieler (gleichzeitig) bekannt, welche Verträge sie anbieten. 3. Die privat informierten Spieler wählen die von ihnen bevorzugten Verträge. 4. Ergebnisse & Auszahlungen werden realisiert. 9 / 62

10 Gleichgewichtskonzept Da wir Modelle mit privaten Typen und Zeitstruktur betrachten, 1. besprechen wir in der Folge extensive Spiele mit unvollständiger Information. 2. In Signalisierungsmodellen handelt die informierte Marktseite zuerst und somit besteht für die uninformierte Seite die Möglichkeit zu Lernen. 3. Daher ist das hier zu verwendende Gleichgewichtskonzept PBNGw (und nicht das einfachere TSPNGw wie später bei den Aussiebemodellen). 10 / 62

11 Spence s kompetitives Arbeitsmarktmodell Ein Arbeiter ist privat über seinen Typ {θ L,θ H } informiert. Die Produktivität von Typ θ i ist r(θ i ) = r i mit i {L,H}. Es gilt 0 < r L < r H. Zwei Firmen stellen Arbeiter auf der Basis der erwarteten Produktivität r L < E[r] < r H ein. Sie max t Ertrag r w. Arbeiter können ein beobachtbares Ausbildungsniveau e [0, ) erwerben, bevor sie einen Vertrag abschließen. Für die Kosten c(e,θ i ) dieser Ausbildung gilt konkret c(e, θi ) = eθ i mit i {L, H} und 0 < θ H < θ L : Ausbildungsgrenzkosten (Typen) sind für den hochproduktivien Arbeiter niedriger als für den niedrigproduktivien Arbeiter! generell benötigen wir nur single crossing: c eθ (e, θ) > 0. (c(0, θ) = 0, c e (e, θ) > 0, c ee (e, θ) 0, c θ (e, θ) > 0 e > 0.) Der Arbeiter max t u(w,e θ) = w c(e,θ) u(θ) 0. Es gilt u(θ L ) u(θ H ). Die a-priori Beliefs der Firmen: µ(θ H ) = Pr(θ i = θ H ) = 1 / / 62

12 Alternative Interpretation Im eben definierten Modell existiert nur ein einziger Arbeiter. Dieser ist privat über seinen Typ {θ L,θ H } informiert. Die beiden Firmen wissen, daß die Typen {θ L,θ H } mit a-priori Wahrscheinlichkeit 1 / 2 auftreten. Alternativ dazu können sie sich auch vorstellen, daß unendlich viele Arbeiter existieren: die eine Hälfte mit Typ θ L, die andere Hälfte mit Typ θ H. Die Firmen stellen dann (sehr) viele Arbeiter ein und bezahlen sie nach ihrer signalisierten Produktivität. Die beiden Interpretationen sind völlig äquivalent (aber technisch ist die zweite Variante schwieriger zu formalisieren). Deshalb ist es egal, ob wir Arbeiter im Plural oder Singular verwenden. 12 / 62

13 Bildung als Signal Da uninformierte und kompetitive Firmen ihren Arbeitern nur eine Kompensation auf Basis der Markterwartung anbieten können, ist es für höher qualifizierte Arbeiter ( hohe Produktivitätstypen ) von Vorteil, ihre höhere Produktivität zu signalisieren. Bildung wird von informierten Arbeitern als an sich völlig nutzloses aber beobachtbares Signal benutzt, um den Firmen den privaten Typ (& Produktivität) zu signalisieren. Die Idee ist, daß es für den niedrigen Produktivitätstyp r L kostspieliger ist Ausbildung zu erlangen als für den hohen Produktivitätstyp r H. Damit kann sich der hohe Produktivitätstyp vom niedrigen unterscheiden indem er mehr Ausbildung als dieser erwirbt. Dies ist nur möglich, wenn die Grenzkosten der Ausbildung ebenso vom Typ der Arbeiter abhängen wie die Produktivität. 13 / 62

14 Exkurs: Extensive Form des Spence Modells 14 / 62

15 Exkurs: Indifferenzkurven für w c(e, θ) Std-Mikro Indifferenzkurven eines Konsumenten der beide Güter (x 1,x 2 ) wertschätzt. x 2 Indifferenzkurven eines Konsumenten über ein Gut w und ein Schlecht e. w + x 2 + PSfrag w u(θ, e) = w c(e,θ) x 1 x 1 e e (In Jehle & Reny sind die Achsen w,e vertauscht.) 15 / 62

16 Spence-Mirrlees (single-crossing) Bedingung: c eθ (e, θ) > 0 Kernannahme im Signalisierungsmodell: Der Erwerb einer weiteren Einheit Ausbildung ist für den hohen Produktivitätstyp weniger kostspielig als für den niedrigen Typ. Der niedrige Produktivitätstyp besitzt also die steilere Indifferenzkurve. w + ū(w,e θ H ) ū(w,e θ L ) ẽ ẽ + Grenzkosten θ H < θ L! 16 / 62 e

17 First-Best Beachten sie, daß Bildung in diesem Modell reine Verschwendung darstellt sie verbessert die Produktivität der Arbeiter nicht. Dies ist jedoch nur eine Vereinfachung; alle Resultate bleiben auch für nützliche Bildung (dh r e (θ,e) > 0) bestehen. Unter beobachtbarer Produktivität (oder Kosten) wählt offensichtlich jeder Arbeiter e = 0, da Ausbildung keinen Zweck erfüllt, aber kostspielig ist. Jeder Arbeiter bekommt dann Lohn w i = r i, i {L,H}. 17 / 62

18 Second-Best Unbeobachtbarer Typ Unter unbeobachtbare Produktivität wählen die Arbeiter ein Ausbildungsniveau e auf Stufe 1. Wir definieren durch p i (e) = Pr(e(θ i ) = e) die Wahrscheinlichkeit mit der ein Arbeiter vom Typ θ i, i {L,H} Ausbildungsniveau e wählt. Auf Stufe 2 wird das Ergebnis des Spieles durch die Beliefs der Firmen bestimmt. Diese Beliefs repräsentieren die Vermutung der Firmen welchen Typ Arbeiter sie vor sich haben wenn sie dessen Bildungswahl e beobachten. Diese Beliefs sind gegeben durch die bedingte Wahrscheinlichkeit µ(θ i e), dh die a-priori Wahrscheinlichkeit aktualisiert durch das Signal e. 18 / 62

19 Wettbewerbsannahme Im Prinzip werden die Firmen untereinander und gegenüber den Arbeitern eine Aufteilung des gemeinsam erwirtschafteten Profits beschließen. Von diesen Verhandlungen wollen wir aber der Einfachheit halber abstrahieren. Deshalb machen wir hier bezüglich der Profitaufteilung die einfachste Modellannahme: vollständiger Wettbewerb (dh Nullprofite). Bertrand-Wettbewerb auf der letzten Spielstufe (Nullprofite) bestimmt den Gleichgewichtslohn durch die erwartete Produktivität w(e) = µ(θ H e)r H + µ(θ L e)r L [r L,r H ], e / 62

20 Lohnangebote w(e) = µ(θ H e)r H + µ(θ L e)r L Das technische Hauptproblem im eben dargestellten Modell ist das Verständnis der Evolution der Beliefs der uninformierten Spieler nachdem sie das Signal des informierten Spielers empfangen haben. Was sind sinnvolle Beliefs? Welche Beliefs sind nicht sinnvoll? r H w(ẽ) r L w(e) ẽ e Wir beginnen die Untersuchung mit dem uns bereits bekannten Gleichgewichtskonzept PBNGw. 20 / 62

21 PBNGw Def. Ein Perfekt Bayesianisches Nash Gleichgewicht (PBNGw) im Signalisierungsmodell ist eine Strategie p i (e) für jeden möglichen Typ des Arbeiters θ i, zusammen mit einer Menge von bedingten Wahrscheinlichkeiten µ(θ i e) und Lohnangeboten w(e) der Firmen, sodass: 1. Alle mit positiver Wahrscheinlichkeit im Gw gewählten Bildungsniveaus den Erwartungsnutzen des Arbeiters maximieren: dh für alle e mit p i (e ) > 0 gilt, daß e argmax e {µ(θ H e)r H + µ(θ L e)r } {{ L c(e,θ } i )}. =w(e) 2. Bedingte Beliefs, wenn möglich, durch die Bayes sche Regel errechnet werden µ(θ i e) = Pr(e θ i)pr(θ i ) Pr(e) = p i(e)µ(θ i ) j p j(e)µ(θ j ). 21 / 62

22 PBNGw 3. Nicht weiter eingeschränkte bedingte Beliefs für jeden anderen Fall spezifiziert werden (dh wenn ein e e beobachtet wird). 4. die Firmen den Arbeitern ihre erwartete Produktivität zahlen w(e) = µ(θ H e)r H + µ(θ L e)r L. Die einzige Einschränkung der Beliefs besteht darin, daß diese im Gw durch die Anwendung der Bayes schen Regel gebildet werden. Dh die Beliefs sind nur im Gw eindeutig definiert! Wir nehmen an, daß die Firmen gleiche (a-priori) Beliefs besitzen. Bevor wir das Modell auflösen können, müssen wir noch zwei weitere Konzepte einführen. 22 / 62

23 Verschiedene Gleichgewichtsarten Def. Ein separierendes PBNGw ( TrennGw ) im Signalisierungsmodell ist ein Gw in dem jeder Typ des informierten Spielers ein anderes Ausbildungs-Signal wählt: dh e H e L, sodass µ(θ H e H ) = 1 und µ(θ L e L ) = 1. In einem separierendem PBNGw gilt w(e (θ i )) = r i, i {L,H}. Def. Ein poolendes PBNGw ( SammelGw ) im Signalisierungsmodell ist ein Gw in dem jeder Typ des informierten Spielers das gleiche Ausbildungs-Signal wählt: dh e = e H = e L, sodass der resultierende Lohn w(e) = µ(θ H e)r H + µ(θ L e)r L. Es sind prinzipiell auch teilweise separierende Gw möglich, mit denen wir uns hier allerdings nicht beschäftigen werden. 23 / 62

24 In jedem separierendem PBNGw gilt Der Arbeiter vom Typ θ H gibt diesen auf Stufe 1 durch Wahl von e (θ H ) zu erkennen. Ein Arbeiter θ L wählt e (θ L ). Die Firmen zahlen den Arbeitern ihre gesamte Produktivität w(e (θ H )) = r H : Wenn eine Firma e (θ H ) beobachtet, dann setzt sie µ H = 1, dh w(e) = µ(θ H e)r H + µ(θ L e)r L = r H. w(e (θ L )) = r L : Wenn eine Firma e (θ L ) beobachtet, dann setzt sie µ L = 1, dh w(e) = µ(θ H e)r H + µ(θ L e)r L = r L. Der niedrig produktive Arbeiter wählt im Gw: e (θ L ) = 0. Wenn dem nicht so wäre, dh ẽ L > 0, dann würde der Arbeiter r L c(e,θ L ) = r L ẽ L θ L < r L bekommen. Gw-Typ-Separation verlangt somit e (θ H ) > / 62

25 Typ-Separation: u = w c(e, θ) w(e H ) = r H w P = E[r] w(e L ) = r L w e L = 0 + ê ū(θ L ) Notation: e L = e (θ L ) und e H = e (θ H ). w S (e) Gw s e H e 1 ū(θ H ) e Die strich-punktierte Line gibt die Lohnzahlungen w(e) an und repräsentiert somit die Beliefs der Firmen. Aber wir können diese außerhalb des Gw, dh für e / {el,e H }, zeichnen wie wir möchten! Die Bayes sche Regel ist nicht anwendbar, da im Gw Pr(e / {el,e H }) = 0! Daher ist jedes e H in der Menge Gw s Teil eines potentiellen separierenden PBNGw. (Gezeichnet sind 2 Gw mit e H {eh,e1 }.) 25 / 62

26 Im separierenden PBNGw Erwerben hochproduktive Arbeiter (andernfalls nutzlose) Ausbildung weil sie sich dadurch von den Firmen von ihren weniger produktiven Kollegen unterscheiden lassen und höhere Löhne erlangen. Um dies zu ermöglichen, müssen die Grenzkosten der Ausbildung typabhängig sein! Deshalb ist es den Firmen möglich, bestimmte Ausbildungsniveaus als separierende Signale zu interpretieren. 26 / 62

27 Interpretation der Signale Aber nicht alle Ausbildungsniveaus können als (eindeutige) Signale des Typs der Arbeiter benutzt werden w(e) = µ(θ H e)r H + µ(θ L e)r L. w(e) w(e) r H r H w(ẽ) r L r L ê e H e ẽ e 27 / 62

28 Aktualisieren von Beliefs Nehmen wir an, die Firmen beobachten ein ê > 0 wie eben gezeichnet. Ihr Problem ist, von den a-priori Wahrscheinlichkeiten µ(θ L ) = µ(θ H ) = 1 / 2 nach Beobachtung von ê auf eine sinnvolle bedingte Wahrscheinlichkeit µ(θ H e) zu kommen, wenn die Bayes sche Regel µ(θ H ê) = p H(ê)µ(θ H ) j p j(ê)µ(θ j ) = 0 0 =? nicht anwendbar ist, da die Wahrscheinlichkeit ê im Gw zu beobachten gleich Null ist. Dieses Problem tritt auf, da ê im Gw nicht gewählt wird: kein rationaler Spieler erwartet ê! 28 / 62

29 Etwas formaler besteht die Menge der in separierenden PBNGw möglichen Ausbildungsniveaus e für lineare Kosten eθ aus { [ Gw s = (e L,e H ) e rh r L L = 0 und e H, r ]} H r L. θ L θ H Die unter Schranke folgt vom Nutzen von Typ θ L u(e H θ L) = w(e (θ H )) θ L e H = w(e (θ L )) θ L e L = u(e L θ L) bzw im Gw, für r L = w(e (θ L )) & r H = w(e (θ H )), e H = r H r L θ L. Der Nutzen des hochproduktiven Typen ergibt die obere Schranke als u(e 1 θ H ) = w(e (θ H )) θ H e 1 = w(e (θ L )) θ H e L = u(e L θ H) e 1 = r H r L θ H. 29 / 62

30 Da die Löhne eindeutig aus den Beliefs bestimmt sind w (e) = µ (θ H e)r H + (1 µ (θ H e))r L, (im Gw und außerhalb), kann jedes e Gw s durch passende Beliefs als Gw-Signal des hohen Typen rationalisiert werden. Diese Beliefs sind im TrennGw natürlich µ (θ H e) = 1. Für Beliefs, die jedes e in Gw s jeweils µ (θ H e) = 1 mit belegen, erhalten wir unendlich viele PBNGW! Selbst wenn nur ein einziges e H Gw s als taugliches Signal für θ H interpretiert wird, sind doch viele mögliche Lohnangebote w (e) außerhalb des Gw mit diesem Gw vereinbar. Da aber Beliefs Teil der Gw-Definition sind, ist Eindeutigkeit von PBNGw (in diesem Spiel) de-fakto unmöglich! 30 / 62

31 Klarerweise existieren bessere und schlechtere separierende Gw für sowohl Firmen als auch Arbeiter. Aber PBNGw stellt uns kein Instrument zur Auswahl unter diesen Gw zur Verfügung! Beachten sie, daß Wenig produktive Arbeiter durch die Einführung von Bildung schlechter gestellt werden: sie bekommen E[r] wenn wir Bildung verbieten, aber nur r L < E[r] wenn wir sie zulassen. Hoch produktive Arbeiter von der Einführung von Bildung profitieren können oder auch nicht, je nachdem ob vor der Einführung der poolende Lohn hoch oder niedrig war (abhängig von den a-priori Wahrscheinlichkeiten). 31 / 62

32 Poolende Gw: w p (e) = µ(θ H e)r H + (1 µ(θ H e))r L r H E[r] r L w e L = 0 + Gw p e P ū(θ L ) w P (e) ê e 1 ū(θ H ) e Wiederum gibt die strichlierte Linie die Lohnzahlungen w p(e) und somit die Beliefs der Firmen an. Abgesehen vom Gw-Schnittpunkt E[r] = µ e H + (1 µ )r L können wir sie zeichnen wie wir möchten, da die Bayes sche Regel abseits des Gw-Pfades nicht anwendbar ist. Gegeben passende Beliefs ist damit jedes e [0,e p], dh im blauen Gw p, Teil eines möglichen poolenden PBNGw. 32 / 62

33 Ähnlich wie zuvor ist die Menge der möglichen e Gw p in poolenden PBNGw { [ Gw p = (e L,e H ) e L = e H 0, E[r] r ]} L. θ L Die obere Schranke dieser Menge stammt vom Nutzen des niedrigen Typs r L = w(0) w(ep ) θ LeP. Dies ergibt e P = w (e) r L θ L = µ(θ H e)r H + µ(θ L e)r L r L θ L für µ(θ H e) = µ(θ L e) = µ(θ H ) = µ(θ L ) = 1 / 2. Natürlich werden beide Typen auch alles was sie besser stellt akzeptieren. Wiederum gibt es bessere und schlechtere Gw aus Sicht beider Spieler. Das Pareto-dominante Gw ist el = e H = 0. Aber PBNGw wählt dieses nicht aus sondern gibt eine viel größere GW-Menge an. 33 / 62

34 Alles ist möglich: 3 PBNGw w wh = r H wp = E[r] + Gw p ū(θ L ) wp (e) w S (e) Gw s ū(θ H ) Beliefs bzw Lohnangebote die mehrere nicht-optimale poolende und separierende PBNGw unterstützen. w L = r L e L = 0 e P e H e 1 e 34 / 62

35 GW-Verfeinerungen Da uns PBNGw keinerlei Einschränkung dieser Gw-Mengen erlaubt, wenden wir uns einem stärkeren Verfahren zu Das intuitive Kriterium (InK) nach Cho & Kreps (1987), basiert auf der Idee, daß bestimmte Abweichungen vom Gw-Pfad im Interesse einiger Typen, aber nicht im Interesse anderer Typen sein können. 35 / 62

36 Cho & Kreps (1987): Intuitives Kriterium (InK) Def. (Cho & Kreps 1987) Es sei u (θ i ) = w(e (θ i )) θ i e (θ i ) eine PBNGw-Auszahlung von Typ θ i. Dann ist µ(θ j e) = 0 für ein nicht vom Gleichgewicht spezifiziertes e / {e (θ i ),e (θ j )}, wenn immer r H θ j e < u (θ j ) und r H θ i e u (θ i ), für i j {L,H}. Wenn eine Abweichung im Gw für einen Typ dominiert ist, aber nicht für einen anderen, dann sollte diese Abweichung nicht dem Spieler zugeschrieben werden für den die Abweichung dominiert ist. Beim InK geht es um Beliefs abseits des Gw-Pfades, da es das Verhalten nach einem nicht vom Gw vorgesehenen Signal e festlegt. 36 / 62

37 Intuitives Kriterium Der hochproduktive Typ θ H hält folgende Rede (an die Firmen) Ihr wisst, daß ein Ausbildungsniveau e > e (θ H ) dem niedrigen Typ geringeren Nutzen bringt als ein Ausbildungsniveau e = 0 = e (θ L ). Für mich hingegen ist ein Ausbildungsniveau e > e (θ H ) nicht so schlimm: ich bekomme davon jedenfalls höheren Nutzen als vom Vertrag den ihr dem niedrigen Typ im TrennGw anbietet. Deshalb ist es wirklich irrational ein Ausbildungsniveau e > e (θ H ) mit positiver Wahrscheinlichkeit dem niedrigen Typ zuzuschreiben! Denn nur ich kann von einem Signal e > e (θ H ) profitieren! Aber Spieltheorie ist allgemein bekannt und deshalb muß θ H diese Rede nicht wirklich halten: InK-rationale Spieler kennen sie bereits. 37 / 62

38 InK & Pooling Wenden wir das InK zuerst auf poolende Gw im Spence Modell an: In jedem poolenden Gw schneiden sich die Indifferenzkurven der beiden Typen wie durch die Spence-Mirrlees Bedingung angegeben; es gibt also (im folgenden Bild) einen schraffierten Keil der hohe und niedrige Typen trennt. In diesem Keil kann der hohe Typ θ H immer eine profitable Abweichung durch Wahl von e d finden. Für e d wird die Firma einen Lohn von w(e d ) = r H anbieten weil diese Abweichung im Gw nur für den hohen Produktivitätstyp profitabel ist während sie für den niedrigen Typ θ L dominiert ist. Dieses Argument zerstört alle poolenden Gw! 38 / 62

39 InK & Pooling w Das InK zerstört alle poolenden Gw! w d + ū(θ L ) ū(θ H ) Da w d = r H ist e d nur für den hohen Typ attraktiv. Gw p ū(θ L ) w P = E[r] e P e d µ(θ H e)r H +µ(θ L e)r L r L θ L e 39 / 62

40 Wir erlangen eine eindeutige Handlungsanleitung! Wenden wir uns nun den separierenden Gw zu. Für r L = w (e) θ L e und w (e) = r H gilt, daß Für jedes e > r H r L θ L, ist der Nutzen des niedrigen Typs θ L geringer als was er durch e = 0 im Gw bekommt. Dann sollten aber alle e > r H r L θ L dem hohen Produktivitätstyp θ H und nicht dem niedrigen zugeschrieben werden. Da das gleiche Argument für alle e > r H r L θ L gilt, gibt es keinen Grund exzessive Ausbildung zu erlangen und das einzig nicht dominierte Gw ist jenes mit minimalen Kosten eh = r H r L θ L. Wir haben ein eindeutiges separierendes Gw gefunden! 40 / 62

41 Separierende Gw Das InK zerstört alle außer einem separierenden Gw! w(e H ) = rh w P = E[r] w + ū(θl) w S (e) Gws ū(θh) w(e L ) = rl w H = r H w + ū (θ H ) e L = 0 ê e H e 1 e ū (θ L ) w P = E[r] ū 0 (θ L ) e P e H = rh rl θl ū 0 (θ H ) e 1 e 41 / 62

42 Dies ist ohne Zweifel großartig! Beachten sie aber, daß das Gw mit den geringsten Kosten nicht von der a-priori Produktivitätsverteilung abhängt. Nehmen sie an, daß die a-priori Wahrscheinlichkeit µ(θ L ) sehr klein wird µ(θ L ) = δ 0. In diesem Fall wirkt es übertrieben die Kosten für ein Ausbildungssystem zu tragen, um einen unproduktiven Arbeiter zu eliminieren der nur mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit auftritt. Zudem wird der resultierende Lohn nur unwesentlich höher sein als der Lohn im poolenden Gw. 42 / 62

43 Für µ(θ L ) = δ 0 existiert kein Gw w w(eh ) = r H Pr(θ L ) 0 wp = E[r] ū(θ H ) Gw s ws (e) In der Tat zerstört das poolende Gw für sehr niedrige µ(θ L ), das eindeutige, vom InK ausgewählte separierende Gw. w(e L ) = r L ū(θ L ) + Dh für manche Modellparameter existiert kein Gw! el = 0 ê e H e 1 e 43 / 62

44 Zusammenfassung Bertrand-Wettbewerb zwischen den Firmen ergibt Nullprofite. Das separierende Gw mit dem höchsten Lohn ist eine Pareto-Verbesserung über alle anderen Gw. Dh, wenn dieses Gw existiert, dann ist es beschränkt Parto-effizient. Die Wohlfahrtseffekte der Möglichkeit des Signalisierens von privaten Typen hängen von den Kosten des Signalisieren ab. Obwohl sich bessere Information generell positiv auf Wohlfahrt und Effizienz auswirkt, reduzieren die Signalisierungskosten die Wohlfahrt der Arbeiter. Der niedrige Produktivtätstyp profitiert immer vom Verbot von Ausbildung. Aber wenn der Anteil an hochqualifizierten Arbeitern hoch ist, dann ist es möglich, daß beide Typen durch Ausbildung schlechter gestellt werden! 44 / 62

45 Aussiebespiele ( screening ) In Aussiebemodellen versucht der uninformierte Spieler zwischen verschiedenen Typen von privat informierten Spielern zu unterscheiden, indem er eine Auswahl zwischen verschiedenen Verträgen anbietet. Die Idee ist dabei, daß die informierten Spieler zwischen diesen Verträgen auf Grundlage ihres privaten Typs wählen sollen: Sie sortieren sich selbst (self-selection). Zur Erleichterung des Verständnisses verwenden wir das gleiche Arbeitsmarktmodell zur Illustration von Signalisierung und Aussieben. Die Aussiebespielen zugrundeliegende Arbeit Rothschild & Stiglitz (1976) über Versicherungsmärkte Nobelpreis 2001 beinhaltet zusätzliche Beispiele. 45 / 62

46 Versicherungsbeispiel Betrachten sie folgendes Beispiel in dem ein Versicherungsunternehmen den Konsumenten die Wahl zwischen zwei verschiedenen Krankenversicherungsverträgen anbietet: eine billige Polizze dh niedrige monatliche Prämien mit hohem Selbstbehalt im Versicherungsfall und eine teure Polizze ohne Selbstbehalt. Wie werden sich privat über ihren Gesundheitszustand informierte Konsumenten verhalten? Welche Polizze werden sie kaufen? 46 / 62

47 Andere Aussiebebeispiele Wie ist die Situation beim Kauf einer Voll- oder Teilkasko KFZ-Versicherung wenn Fahrzeugbesitzer privat über ihr Fahrkönnen informiert sind? Weitere Beispiele: First-, Business-, Economy-Class Haute Couture vs Prêt-à-porter À la Carte vs Menü Apple vs PC Geschäftskonten vs Privatkonten MBA vs PhD / 62

48 Arbeitsmarkt als Aussiebespiel mit Wettbewerb Der private Informationstyp eines Arbeiters ist seine Produktivität θ i, mit i {L,H}. Es gibt also einen einzigen Arbeiter mit zwei möglichen Typen: θ H > θ L > 0 mit λ = Pr(θ = θ H ). Jeder Einstellungsvertrag spezifiziert eine (nutzlose aber) für die Arbeiter anstrengende Aufgabe t [0, ) zusammen mit einem dafür gezahlten Lohn w [0, ). Der Nutzen der Arbeiter ist konkret durch Lohn w minus Arbeitsleid c(t,θ) gegeben: w c(t,θ) = w t / θ. Generell benötigen wir allerdings bloß (Differenzierbarkeit &): c(0, θ) = 0, ct (t, θ) > 0, c tt (t, θ) > 0, c θ (t, θ) < 0, Spence-Mirrlees Bedingung: ctθ (t, θ) < 0. Es gibt zwei identische Firmen mit konstanten Skalenerträgen. (Also führt Bertrand-Wettbewerb wiederum zu Nullprofiten.) 48 / 62

49 Alternative Interpretation Wie bei den Signalisierungsspielen können wir uns auch hier das völlig äquivalente Modell mit unendlich vielen Arbeitern vorstellen: In diesem alternativen Modell besitzt der Bevölkerungsanteil λ den Typ θ H, der Anteil 1 λ hat Typ θ L. Da die beiden Interpretationen völlig äquivalent sind ist es egal, ob wir Arbeiter im Plural oder Singular verwenden. Ebenso wie bei der Bildung im Signalisierungsmodell ist die Annahme, daß die Produktion des Arbeiters im Unternehmen unabhängig von t is bloß eine Vereinfachung. Die natürliche Interpretation von t als beispielsweise Laufbahngeschwindigkeit verändert keine der Einsichten aus dem Modell. 49 / 62

50 Spence-Mirrlees Bedingung c tθ (t, θ) < 0 w u(θ L )=const + Wie im Signalisierungsmodell hat die Spence- Mirrlees Bedingung zentrale Bedeutung: c tθ (t,θ) < 0. w ū H H L u(θ H )=const ū L t t + t 50 / 62

51 Zeitliche Abfolge von Aussiebespielen 0. N wählt und kommuniziert die Typen der Arbeiter. 1. Die beiden Firmen geben gleichzeitig ein Menü von angebotenen Verträgen (w, t) bekannt. 2. Die Arbeiter wählen höchstens einen Vertrag. 3. Ergebnisse & Auszahlungen werden realisiert. Da die informierte Marktseite nach der uninformierten agiert, gibt es kein Lernen wie im Signalisierungsmodell (in dem zwischen Schritt 0. & 1. ein Signal geschickt wurde). Deshalb ist das angemessene Gleichgewichtskonzept TSPNGw. Wir benötigen keine Beliefs! 51 / 62

52 Def. Ein separierendes TSPNGw im Aussiebemodell ist ein Gw in dem jeder Typ einen anderen Vertrag auswählt: t H t L. Def. Ein poolendes TSPNGw im Aussiebemodell ist ein Gw in dem jeder Typ den gleichen Vertrag auswählt: ie. t H = t L. Def. Ein teilweise separierendes TSPNGw im Aussiebemodell ist ein Gw in dem einige Typen verschiedene Verträge und andere Typen gleiche Verträge auswählen. Für drei Typen θ L < θ M < θ H mag beispielsweise gelten, daß t H t M aber t M = t L im Gw ausgewählt werden. 52 / 62

53 First-Best Gw 1. Effiziente Verträge beinhalten t H = t L = Firmen machen keine Profite (Bertrand Wettbewerb). 3. Löhne entsprechen der Produktivität: w H = θ H, und w L = θ L. Natürlich sind die Typen aber nicht beobachtbar und wenn der effiziente Vertrag angeboten würde, dann würden alle Arbeiter (wh,0) wählen. Wir wenden uns also der Second-Best Analyse zu. 53 / 62

54 Lemma 1: Beide Firmen machen im Gw Nullprofite Dh Profite π i = 0, für i = 1,2. Beweis: (Bertrand) Wenn Π = i π i > 0 dann gilt für eine der beiden Firmen, daß π i Π/2. Aber diese Firma i könnte (fast) den gesamten Profit Π verdienen indem sie ihre Lohnangebote um ε > 0 erhöht. Also wird Firma i ihr Lohnangebot erhöhen. Im Gegenzug wird aber die andere Firma j = 3 i ebenfalls das Lohnangebot um ein geringes ε > 0 erhöhen. Dieses gegenseitige Überbieten kann nur bei Π = 0 aufhören. 54 / 62

55 Lemma 2: Es existiert kein poolendes Gw Beweis: Jeder Vertrag ( w, t) im schraffierten PSfragKeil zieht nur hohe Typen an und generiert positive Profite ( w < θ H ). Damit zerstört ein derartiger Vertrag den poolenden Vertrag (w p,t p ). θ H w E[θ] θ L w + (w p,t p ) u(θ L )=const u(θ H )=const t t 55 / 62

56 Lemma 3: Jeder Vertrag macht Nullprofite Ein Paar von Verträgen (w L,t L ), (w H,t H ) könnte sich gegenseitig bezuschussen aber in Summe Nullprofit abwerfen. Beweis: 1. Es sei w L < θ L (und passend w H > θ H ). Dann kann eine Firma positive Profite verdienen indem sie nur den Vertrag (w L + ε,t L ), ε > 0 anbietet der (zumindest) von den niedrig qualifizierten Arbeitern gewählt würde. Aber wir wissen von Lemma 1, daß dies nicht der Fall sein kann. 2. Es sei w H < θ H (und passend w L > θ L ). Von der Spence-Mirrlees Bedingung wissen wir, daß (w L,t L ) süd-westlich von (w H,t H ) liegen muss. Damit kann eine Firma positive Profite machen indem sie nur ( w, t) nord-östlich von (w H,t H ) anbietet. Dieser würde nur hochqualifizierte Arbeiter anziehen. Dies ist aber wiederum unmöglich wegen Lemma / 62

57 Illustration von Lemma 3 w + u(θ L )=const θ H In (separierenden) Gw erzeugt jeder einzelne Vertrag Nullprofit. w (w H,t H ) u(θ H )=const (w L,t L ) θ L t t 57 / 62

58 Lemma 4: Im separierenden Gw gilt t L = 0 w + Beweis: Es sei t L > 0. Dann können Firmen dadurch positive Profite machen, daß sie Verträge ( w, t) SW von (w L,t L ) anbieten und damit nur die niedrig qualifizierten Typen anziehen. (w L,t L ) ( w, t) u(θ L )=const (w L,t L ) t L = 0 t L > 0 t 58 / 62

59 Lemma 5: Im separierenden Gw gilt t H > 0 In einem separierenden Gw erfüllt t H θ H c(ˆt H,θ L ) = θ L. Beweis: Es sei t H > ˆt H. Dann können Firmen positive Profite dadurch machen, daß sie Verträge ( w, t) SW von (w H,t H ) anbieten und dadurch nur hochqualifizierte Typen anziehen. θ H θ L w + u(θ L )=const ( w, t) u(θ H )=const ˆt = th (w H,t H ) t 59 / 62

60 Satz (Rothschild-Stiglitz):!Gw {(θ L, t L ), (θ H, t H )} w + Beweis: Lemmata 1 5 zeigen zusammen, daß nur separierende Gw der Form t L = 0, t H gegeben durch w H c(t H,θ L ) = θ L, sowie w L = θ L und w H = θ H möglich sind. w H = θ H E[θ] w L = θ L u(θ H )=const u(θ L )=const t L = 0 t H t 60 / 62

61 Existiert dieses Gw immer? Es sei λ = Pr(θ = θ H ) ausreichend hoch um Erwartungen wie gezeichnet zu erzeugen. Dann wird: jeder Spieler einen poolenden Vertrag (w p,t p ) akzeptieren, θ H E[θ] w + (w p,t p ) u(θ H )=const es keine positiven Profite geben, kein separierendes Gw existieren, aber wir wissen, daß auch kein poolendes Gw existiert!! θ L t L = 0 u(θ L )=const t H t 61 / 62

62 Zusammenfassung Aussiebemodell mit Wettbewerb Wenn ein Gw existiert, dann ist es ein separierendes Gw. Wenn ein Gw existiert, dann ist es beschränkt Pareto-effizient (Second-Best). Alle Renten gehen an die Arbeiter. Der niedrig-qualifizierte Typ ist immer ohne Aussieben besser gestellt. Der hochqualifizierte Typ ist möglicherweise ohne Aussieben besser gestellt. Es ist möglich, daß kein Gw existiert. 62 / 62