2 Formale Systeme. 2.1 Definition und Eigenschaften

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1 2 Formale Systeme Wenn es sich darum handelt, die Grundlagen einer Wissenschaft zu untersuchen, so hat man ein System von Axiomen aufzustellen, welche eine genaue und vollständige Beschreibung derjenigen Beziehungen enthalten, die zwischen den elementaren Begriffen jener Wissenschaft stattfinden. Die aufgestellten Axiome sind zugleich die Definitionen jener elementaren Begriffe, und jede Aussage innerhalb des Bereiches der Wissenschaft, deren Grundlagen wir prüfen, gilt uns nur dann als richtig, falls sie sich mittelst einer endlichen Anzahl logischer Schlüsse aus den aufgestellten Axiomen ableiten lässt. David Hilbert [93] 2.1 Definition und Eigenschaften In Kapitel 1 haben wir die axiomatische Methode als die Grundlage der modernen mathematischen Beweisführung identifiziert und gezeigt, wie sie das Bild der Mathematik im Laufe der Zeit verändert hat. Im modernen Sinne wird das Führen eines Beweises als der Prozess verstanden, Sätze durch die Anwendung wohldefinierter Schlussregeln aus einer kleinen Menge a priori festgelegter Grundannahmen, den Axiomen, abzuleiten. Erst durch den präzisen deduktiven Charakter dieser Vorgehensweise konnte sich die Mathematik zu der exakten Wissenschaft entwickeln, wie wir sie heute kennen. Formale Systeme wurden mit dem Ziel geschaffen, die axiomatische Methode in eine strenge Form zu bringen. Was wir darunter im Detail zu verstehen haben, wollen wir anhand eines konkreten Beispiels, des Beispielkalküls E, herausarbeiten. Der Begriff des Kalküls wird ab jetzt häufiger auftauchen; wir werden ihn im Rest des Buchs als Synonym für den Begriff des formalen Systems verwenden. Dem Kalkül E nähern wir uns in mehreren Schritten, in denen nacheinander die Syntax, die Axiome und Schlussregeln sowie die Semantik von E festgelegt werden. D. W. Hoffmann, Grenzen der Mathematik, DOI / _2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

2 72 2 Formale Systeme Ab jetzt werden wir es fortwährend mit zwei verschiedenen Sprachebenen zu tun haben. Die eine ist die Ebene der Kalkülsprache, die andere die gewöhnliche Sprache der Mathematik. Letztere wird auch als Meta-Ebene bezeichnet, weil wir sie verwenden können, um über ein formales System zu sprechen. Auf dieser Ebene bewegen wir uns außerhalb des Systems und können unser volles mathematisches Instrumentarium einsetzen, um seine Axiome und Schlussregeln zu analysieren und auf bestimmte Eigenschaften hin zu untersuchen. Auf der Ebene der Kalkülsprache (Objektebene) besitzen wir diese Bewegungsfreiheit nicht. Die Syntax und die Semantik der formulierbaren Aussagen werden hier durch ein präzises Regelwerk in ein starres Korsett gepresst. Die Vermischung von Objekt- und Meta- Ebene ist eine häufige Ursache von Verständnisschwierigkeiten im Bereich der mathematischen Logik und zugleich der Ausgangspunkt vieler augenscheinlicher Paradoxa. Um eine klare Trennung beider Ebenen herbeizuführen, werden alle Formeln der Kalkülsprache in einer serifenlosen Schrift dargestellt (z. B. s(0)=s(0)). Insbesondere dann, wenn die betrachteten Kalküle einen mächtigen Sprachumfang besitzen, wird die unterschiedliche Schriftwahl helfen, gewöhnliche mathematische Aussagen von den Formeln des Kalküls zu unterscheiden. An verschiedenen Stellen dieses Buchs werden immer wieder Formeln in gemischter Schreibweise auftreten, in denen einzelne Formelbestandteile durch griechische Buchstaben ersetzt sind (z. B. s(s(0)) = σ). Ein solcher Ausdruck heißt Formelschema und ist selbst keine Formel der Kalkülsprache. Erst durch die Substitution des Platzhalters σ durch einen passenden Teilausdruck entsteht eine wohlgeformte Zeichenkette (z. B. s(s(0)) = s(0)). Syntax Die Syntax definiert, nach welchen Regeln die Ausdrücke (Formeln) aufgebaut sein müssen, die sich innerhalb des Kalküls erzeugen und manipulieren lassen. Eine Formel ist in diesem Stadium nichts weiter als eine Folge von bedeutungsleeren Symbolen, die in einer festgelegten Art und Weise miteinander kombiniert werden dürfen. In den Formeln des Beispielkalküls E werden ausschließlich die Symbole 0, s, =, >, (, ) und vorkommen. Die Menge dieser Symbole ist das Alphabet von E. Natürlich entspricht nicht jede Sequenz von Alphabetzeichen einer Formel. Als Formeln gelten nur wohlgeformte Zeichenketten, d. h. Zeichenketten, die nach bestimmten Bildungsregeln aufgebaut sind. Die Menge aller Formeln heißt die Sprache von E. Für die Sprache des Beispielkalküls E vereinbaren wir die folgenden Bildungsregeln: 0 ist ein Term. Ist σ ein Term, dann ist es auch s(σ). Sind σ,τ Terme, so sind die folgenden Ausdrücke Formeln:,,, Terme sind die Grundbausteine der kalküleigenen Kunstsprache. In symbolischer Form repräsentieren sie die Objekte, über die wir in E sprechen können. Durch die wiederholte Anwendung der ersten beiden Bildungsregeln lassen sich die nachstehenden Terme erzeugen: 0,s(0),s(s(0)),s(s(s(0))),s(s(s(s(0)))),... Die dritte Bildungsregel definiert, wie Terme zu Formeln kombiniert werden können. Unter anderem gehören die folgenden Formeln zur Sprache von E: (0 = 0),(0 > 0), (0 = 0),(s(s(0)) = 0), (0 = s(0)),... Axiome und Schlussregeln Die Axiome und die Schlussregeln von E sind in Tabelle 2.1 zusammengefasst. Ausgehend von einem einzigen Axiom stehen 6 Schlussregeln zur Verfügung, die zur Ableitung neuer Theoreme genutzt werden

3 2.1 Definition und Eigenschaften 73 können. Für jede ableitbare Formel ϕ schreiben wir ϕ und nennen ϕ ein Theorem von E. Der Ausdruck ϕ ist damit nichts anderes als die symbolische Schreibweise für die Aussage: ϕ ist in E beweisbar. Beachten Sie bei der Betrachtung der Schlussregeln, dass die Variablen lediglich Platzhalter sind, die durch beliebige Terme substituiert werden können. So lassen sich aus dem Formelschema unter anderem die folgenden Instanzen bilden: Substitution 1: S := [σ s(s(0)),τ 0] S = (s(s(s(0))) > 0) Substitution 2: S := [σ s(0),τ s(s(0))] S = (s(s(0)) > s(s(0))) Mit den geleisteten Vorarbeiten sind wir in der Lage, den Kalkül zum Leben zu erwecken und durch die systematische Anwendung von Schlussregeln neue Theoreme abzuleiten. Beispiel 1: Ableitung von (s(s(s(s(0)))) > s(s(0))) 1. (0 = 0) (A1) 2. (s(0)=s(0)) (S1, 1) 3. (s(s(0)) = s(s(0))) (S1, 2) 4. (s(s(s(0))) > s(s(0))) (S2, 3) 5. (s(s(s(s(0)))) > s(s(0))) (S3, 4) Beispiel 2: Ableitung von (s(s(0)) = s(s(s(0)))) 1. (0 = 0) (A1) 2. (s(0)=s(0)) (S1, 1) 3. (s(s(0)) = s(s(0))) (S1, 2) 4. (s(s(s(0))) > s(s(0))) (S2, 3) 5. (s(s(0)) = s(s(s(0)))) (S5, 4) Axiome (Kalkül E) (0 = 0) (A1) Schlussregeln (Kalkül E) (s(σ)=s(τ)) (τ = σ) (τ > σ) (S1) (S2) (S3) (S4) (S5) (S6) Tabelle 2.1: Axiome und Schlussregeln des Beispielkalküls E. Alle Schlussregeln sind nach einem einheitlichen Schema aufgebaut. Über dem Mittelstrich ist die Prämisse notiert. Sie beschreibt, auf welche Formeln die Schlussregel angewendet werden darf. Die unter dem Mittelstrich notierte Aussage ist die Konklusion, d. h. die Schlussfolgerung, die aus der Prämisse abgeleitet werden kann. Beide Beispiele verdeutlichen den symbolischen Charakter, den Beweise in formalen Systemen besitzen. Dank der präzisen Ausformulierung der Axiome und der Schlussregeln ist es nunmehr möglich, Theoreme auf der syntaktischen Ebene abzuleiten, ohne den einzelnen Formelbestandteilen eine Bedeutung zuzumessen; das Führen eines Beweises kommt der symbolischen Manipulation von Zeichenketten gleich.

4 74 2 Formale Systeme Beweisbare Aussagen Unbeweisbare Aussagen Jetzt ist der Weg frei, um den Begriff des Beweises mit mathematischer Präzision zu erfassen. Interpretation (s(s(s(s(0)))) > s(s(0))) (s(s(0)) = s(s(s(0)))) > 2 Wahre Aussagen 1 1 (0 > s(0)) (s(0) > s(0)) 0 > 1 Falsche Aussagen Syntaktische Ebene Semantische Ebene Abbildung 2.1: Eine Interpretation weist den Formeln eines Kalküls eine Bedeutung zu. In diesem Beispiel werden die Terme als natürliche Zahlen, das Zeichen = als die Gleichheit und das Zeichen > als die Größer-Relation auf den natürlichen Zahlen interpretiert. Das Symbol hat in allen Kalkülen die gleiche Bedeutung und steht für die logische Negation (Verneinung). Definition 2.1 (Beweis) Ein formaler Beweis ist eine Kette von Formeln ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ n, die nach den folgenden Konstruktionsregeln gebildet wird: ϕ i ist ein Axiom oder ϕ i entsteht aus den vorangegangenen Gliedern der Beweiskette durch die Anwendung einer Schlussregel. Die letzte Formel dieser Kette ist das bewiesene Theorem. Semantik Nachdem wir die Sprache festgelegt und mit den Axiomen und den Schlussregeln die Grundlage für die Ableitung neuer Theoreme geschaffen haben, ist es Zeit, den Kalkül mit einer Semantik zu versehen. Die Semantik bestimmt, wie wir die einzelnen Bestandteile einer Formel zu interpretieren haben, und verleiht den Formeln hierdurch eine Bedeutung. Erst die Wahl einer konkreten Interpretation berechtigt uns dazu, von wahren und von falschen Formeln zu sprechen (Abbildung 2.1). Behalten Sie dabei stets im Auge, dass der Wahrheitswert der meisten Formeln von der gewählten Interpretation abhängt. Je nachdem, für welche Interpretation wir uns entscheiden, kann eine Formel einmal einer wahren und ein anderes Mal einer falschen Aussage entsprechen. Von besonderem Interesse sind Interpretationen, in denen alle Theoreme eines Kalküls wahre Aussagen sind. Eine solche Interpretation heißt Modell. In Kapitel 7 werden wir uns im Rahmen der Modelltheorie ausführlich mit dem Aufbau, den Eigenschaften und der systematischen Konstruktion von Modellen befassen. Bevor wir die Semantik für den Beispielkalkül E festlegen, vereinbaren wir die folgende Schreibweise: n := s(s(...s(0)...)) (2.1) }{{} n-mal Die nachstehenden Beispiele zeigen, dass sich die meisten Formeln von

5 2.1 Definition und Eigenschaften 75 E jetzt deutlich kompakter schreiben lassen: (4 > 2) steht für (s(s(s(s(0)))) > s(s(0))) (2 = 3) steht für (s(s(0)) = s(s(s(0)))) (0 > 1) steht für (0 > s(0)) Mithilfe der eingeführten Schreibweise legen wir die Interpretation der Formeln von E wie folgt fest: n) entspricht der natürlichen Zahl n N (n = m) entspricht der Aussage n = m (n > m) entspricht der Aussage n > m (n = m) entspricht der Aussage n m (n > m) entspricht der Aussage n m Weiter oben haben wir mit der Beweisbarkeitsrelation eine Schreibweise eingeführt, mit der die Ableitbarkeit einer Formel ausgedrückt werden kann. In analoger Weise werden wir die Modellrelation = verwenden, um die Wahrheit einer Aussage zu äußern. Offensichtlich gelten die folgenden Beziehungen: =(4 > 2) = (2 = 3) =(0 > 1) = (1 > 0) Allgemein lässt sich die Modellrelation = wie folgt definieren: =(n = m) : n = m (2.2) =(n > m) : n > m (2.3) = ϕ : = ϕ (2.4) Die Definition stellt sicher, dass für keine Formel ϕ gleichzeitig = ϕ und = ϕ gelten kann. Diese Eigenschaft trägt der festen Semantik des Negationsoperators Rechnung und wird von jeder Modellrelation erfüllt. In unserem Beispiel gilt aber noch mehr. Die Beziehung (2.4) stellt sicher, dass für jede Formel ϕ immer entweder = ϕ oder = ϕ gilt. Diese besondere Eigenschaft ist deshalb erfüllt, weil wir die Wahrheit und Falschheit einer Formel in unserem Beispiel bewusst an eine ganz bestimmte Interpretation der Symbole geknüpft haben. In dieser Standardinterpretation entspricht jede Formel ϕ einer arithmetischen Aussage, die entweder wahr oder falsch ist, so dass entweder = ϕ oder

6 76 2 Formale Systeme = ϕ gelten muss. In der später diskutierten Aussagenlogik und Prädikatenlogik wird dies nicht mehr der Fall sein, da wir die Untersuchung dort auf beliebige Interpretationen ausweiten werden. Mit = ϕ werden wir dann ausdrücken, dass ϕ allgemeingültig ist, d. h., in jeder möglichen Interpretation wahr ist und nicht nur in einer ganz bestimmten. Ist eine Formel ϕ für manche Interpretationen wahr und für andere falsch, so gilt das gleiche auch für ϕ. In diesem Fall ist keine der Formeln ϕ oder ϕ allgemeingültig und es gilt weder = ϕ noch = ϕ. Wir halten fest: Satz 2.1 Es gilt niemals gleichzeitig = ϕ und = ϕ. Achten Sie darauf, die Negationsvollständigkeit nicht mit der Vollständigkeit und die Widerspruchsfreiheit nicht mit der Korrektheit zu verwechseln. Jeder Begriff beschreibt eine andere Eigenschaft formaler Systeme. In der angelsächsischen Literatur herrscht eine genauso scharfe Abgrenzung zwischen den Begriffen. Ein negationsvollständiger Kalkül wird dort als negation complete und ein vollständiger Kalkül als complete bezeichnet. Ein widerspruchsfreier Kalkül heißt consistent und ein korrekter Kalkül heißt sound. Sowohl in der deutschsprachigen als auch in der englischsprachigen Literatur wird die Negationsvollständigkeit mitunter als syntaktische Vollständigkeit und die Vollständigkeit als semantische Vollständigkeit bezeichnet. Wenn die Gefahr einer Verwechslung ausgeschlossen ist, wird gerne auf den Zusatz syntaktisch und semantisch verzichtet und dann nur noch von der Vollständigkeit eines Kalküls gesprochen. Achten Sie bei dem Begriff der Vollständigkeit also immer darauf, ob er sich auf die syntaktische oder auf die semantische Ebene bezieht. In beiden Fällen ist seine Bedeutung eine völlig andere. Aus = ϕ folgt nicht in allen Logiken = ϕ. Die Beweisbarkeitsrelation und die Modellrelation = sind die Grundlage für die Definition wichtiger Kalküleigenschaften, die uns durch alle Kapitel dieses Buchs begleiten werden. Behalten Sie die Begriffe gut in Erinnerung! Definition 2.2 Ein formales System (Kalkül) heißt widerspruchsfrei, wenn aus ϕ stets ϕ folgt, negationsvollständig, wenn aus ϕ stets ϕ folgt, korrekt, wenn aus ϕ stets = ϕ folgt, vollständig, wenn aus = ϕ stets ϕ folgt. Demnach ist ein Kalkül genau dann widerspruchsfrei, wenn es nicht möglich ist, eine Formel ϕ zusammen mit ihrer Negation ϕ abzuleiten. Negationsvollständig ist ein Kalkül genau dann, wenn für jede Formel immer mindestens eine der beiden Alternativen ϕ oder ϕ deduziert werden kann. Von besonderem Interesse sind Kalküle, die sowohl widerspruchsfrei als auch negationsvollständig sind. Nur in diesen Kalkülen gilt, dass für jede Formel immer genau eine der beiden Alternativen ϕ oder ϕ abgeleitet werden kann. Die Widerspruchsfreiheit und die Negationsvollständigkeit sind syntaktische Eigenschaften, da in ihrer Definition keinerlei Gebrauch von der

7 2.1 Definition und Eigenschaften 77 Bedeutung der einzelnen Symbolen gemacht wird. Im Gegensatz hierzu sind die Korrektheit und die Vollständigkeit semantische Eigenschaften; sie stellen einen Bezug zwischen der Beweisbarkeit und der Wahrheit einer Aussage her. Ein Kalkül ist korrekt, wenn alle seine Theoreme wahre Aussagen sind, und es ist vollständig, wenn jede wahre Aussage auch ein Theorem ist, d. h., wenn sich jede wahre Formel durch die Anwendung endlich vieler Schlussregeln aus den Axiomen ableiten lässt. Es entsteht der natürliche Wunsch, sowohl korrekte als auch vollständige Kalküle zu definieren, da nur in ihnen der Unterschied zwischen der Beweisbarkeit und der Wahrheit einer Aussage verschwindet. Zwischen den syntaktischen Begriffen der Widerspruchsfreiheit und der Negationsvollständigkeit sowie den semantischen Begriffen der Korrektheit und der Vollständigkeit lassen sich zwei wichtige Zusammenhänge herstellen: Satz 2.2 Ist ein Kalkül vollständig und gilt für alle Formeln immer entweder = ϕ oder = ϕ, so ist er auch negationsvollständig. Ist ein Kalkül korrekt, so ist er auch widerspruchsfrei. Die erste Aussage folgt direkt aus der Tatsache, dass zu jeder Formel ϕ entweder ϕ selbst oder deren Negation ϕ eine wahre Aussage ist (es gilt nach Voraussetzung entweder = ϕ oder = ϕ). Damit ist in einem vollständigen Kalkül immer mindestens eine der beiden Formeln ableitbar und der Kalkül damit negationsvollständig. Die zweite Aussage folgt aus der Tatsache, dass sich in einem korrekten Kalkül nur wahre Aussagen beweisen lassen. Da immer nur eine der beiden Formeln ϕ und ϕ wahr sein kann, ist immer auch nur eine der beiden Formeln ableitbar und der Kalkül damit widerspruchsfrei. Damit ist es an der Zeit, einen erneuten Blick auf das Beispielkalkül E zu werfen und zu untersuchen, welche der in Definition 2.2 eingeführten Eigenschaften erfüllt sind und welche nicht. Aus der genaueren Analyse der Axiome und der Schlussregeln lassen sich die nachstehenden Schlussfolgerungen ziehen: E ist korrekt und widerspruchsfrei. Die Korrektheit folgt aus der speziellen Bedeutung, die wir den Formeln aus E zugewiesen haben. Mit der vorgenommenen Interpretation wird das (einzige) Axiom (A1) zu einer wahren Aussage über

8 78 2 Formale Systeme die natürlichen Zahlen, und die Schlussregeln sind so gestaltet, dass aus einer wahren Aussage wiederum eine wahre Aussage folgt. Nach Satz 2.2 ist der Kalkül damit erst recht widerspruchsfrei. E ist weder negationsvollständig noch vollständig. Negationsvollständig wäre der Kalkül nur dann, wenn sich für jede Formel ϕ mindestens eine der Formeln ϕ und ϕ ableiten lässt. Es ist aber weder (0 > 0) noch (0 > 0) ein Theorem von E. Damit ist der Kalkül negationsunvollständig und nach Satz 2.2 erst recht unvollständig. Wir wollen versuchen, den Kalkül E um zusätzliche Schlussregeln anzureichern. Hierzu sind in Tabelle 2.2 drei Kalkülerweiterungen zusammengefasst, die wir jetzt nacheinander untersuchen werden. Unsere besondere Aufmerksamkeit werden wir darauf richten, in welcher Weise sich die eingeführten Kalküleigenschaften verändert haben. Wir beginnen mit der Diskussion des Kalküls E 2, das sich von E lediglich durch die Hinzunahme der Schlussregel (S7) unterscheidet (Tabelle 2.2 links). Auf den ersten Blick geht durch die neue Regel die Eigenschaft der Korrektheit verloren, da wir (S7) verwenden können, um aus der Prämisse (n > n) die Konklusion (n > n) abzuleiten. Über den natürlichen Zahlen interpretiert, repräsentiert die erste Formel eine wahre Aussage, die zweite aber ganz offensichtlich eine falsche. Wir wollen nun versuchen, den Widerspruch innerhalb von E 2 sichtbar zu machen. Um mithilfe der Regel (S7) eine falsche Aussage herzuleiten, müssen wir für eine beliebige natürliche Zahl n zunächst die Formel (n > n) beweisen. Anschließend können wir mit der Schlussregel (S7) das Theorem (n > n) ableiten und hätten damit eine Formel ϕ gefunden, für die sich sowohl ϕ als auch ϕ beweisen lassen. Der Kalkül E 2 wäre hierdurch als widersprüchlich entlarvt. Ein gezielter Blick auf die Schlussregeln zeigt, dass wir die Formel (n > n) aber gar nicht innerhalb von E 2 ableiten können. Die immer noch nicht vorhandene Negationsvollständigkeit verhindert hier, dass sich eine falsche Aussage beweisen lässt. Damit bleibt E 2 trotz der Hinzunahme der semantisch inkorrekten Schlussregel (S7) korrekt und nach Satz 2.2 auch widerspruchsfrei. Als nächstes betrachten wir den Kalkül E 3, der aus E 2 durch die erneute Hinzunahme einer Schlussregel entsteht (Tabelle 2.2 Mitte). Durch die neue Regel (S8) wird E 3 in der Tat vollständig, d. h., jede wahre Aussage, die sich in der begrenzten Sprache unserer Beispielkalküle

9 2.1 Definition und Eigenschaften 79 Axiome (Kalkül E 2 ) Axiome (Kalkül E 3 ) Axiome (Kalkül E 4 ) (0 = 0) (A1) (0 = 0) (A1) (0 = 0) (A1) Schlussregeln (Kalkül E 2 ) Schlussregeln (Kalkül E 3 ) Schlussregeln (Kalkül E 4 ) (s(σ)=s(τ)) (S1) (s(σ)=s(τ)) (S1) (s(σ)=s(τ)) (S1) (S2) (S2) (S2) (S3) (S3) (S3) (S4) (S4) (S4) (τ = σ) (S5) (τ = σ) (S5) (τ = σ) (S5) (τ > σ) (S6) (τ > σ) (S6) (τ > σ) (S6) (τ > σ) (S7) (τ > σ) (S7) (S8) (S8) Tabelle 2.2: Axiome und Schlussregeln der Kalküle E 2, E 3 und E 4 formulieren lässt, ist ein Theorem von E 3. Nach Satz 2.2 ist E 3 damit automatisch auch negationsvollständig. Gleichzeitig hat E 3 durch die Hinzunahme von (S8) die nötige Ausdrucksstärke erlangt, um den oben geschilderten Widerspruch innerhalb des Kalküls nachvollziehen zu können. Der folgende Beweis demonstriert, wie sich mit (0 > 0) und (0 > 0) ein komplementäres Formelpaar ableiten lässt: 1. (0 = 0) (A1) 2. (0 > 0) (S8, 1) 3. (0 > 0) (S7, 2)

10 80 2 Formale Systeme Axiome (Kalkül E 5 ) (0 = 0) (A1 ) Schlussregeln (Kalkül E 5 ) (s(σ)=s(τ)) (τ = σ) (τ > σ) (S1 ) (S2 ) (S3 ) (S4 ) (S5 ) (S6 ) E 3 ist somit widersprüchlich und nach Satz 2.2 erst recht inkorrekt. Entfernen wir die problematische Schlussregel (S7), so gelangen wir auf direktem Weg zu E 4 (Tabelle 2.2 rechts). Obwohl dieser Kalkül eine Regel weniger besitzt, bleibt die Vollständigkeit erhalten; dafür sind alle Widersprüche verschwunden. Mit E 4 haben wir genau das vor uns, wonach wir gesucht haben: Einen vollständigen und korrekten Kalkül, in dem sich jede wahre Aussage durch die Anwendung von endlich vielen Schlussregeln aus den Axiomen ableiten lässt. Als vorletztes Beispiel betrachten wir den Kalkül E 5, dessen Axiome und Schlussregeln in Tabelle 2.3 zusammengefasst sind. Von dem korrekten und vollständigen Kalkül E 4 unterscheidet er sich dadurch, dass alle Prämissen und Konklusionen negiert auftauchen. E 5 verhält sich hierdurch vollständig komplementär zu E 4, d. h., eine Aussage ϕ lässt sich in E 5 genau dann ableiten, wenn seine Negation in E 4 ableitbar ist. Der Kalkül ist der perfekte Lügner; jedes seiner Theoreme entspricht einer falschen Aussage, und jede falsche Aussage ist zudem ein Theorem. Damit ist E 5 weder korrekt noch vollständig, besitzt aber weiterhin die syntaktischen Eigenschaften der Widerspruchsfreiheit und Negationsvollständigkeit. E 5 ist der Beweis dafür, dass die Schlussrichtungen in Satz 2.2 nicht umgekehrt werden dürfen. Satz 2.3 (S8 ) Nicht jeder negationsvollständige Kalkül ist vollständig. Nicht jeder widerspruchsfreie Kalkül ist korrekt. Tabelle 2.3: Axiome und Schlussregeln des Kalküls E 5 Alle formalen Systeme basieren auf demselben Kerngedanken, Theoreme durch die Anwendung fest definierter Schlussregeln aus den Axiomen herzuleiten. Erst aus der Nähe betrachtet werden die großen Unterschiede in ihren Erscheinungsformen sichtbar. Einige Kalküle, zu denen auch die bisher besprochenen gehören, besitzen wenige Axiome und erlangen ihre Aussagekraft durch ein umfangreiches Repertoire an Schlussregeln. Andere sind reich an Axiomen und kommen dafür mit wenigen Schlussregeln aus. Nicht selten verfügen solche Kalküle über unendlich viele Axiome, die aus einem oder mehreren Axiomenschemata erzeugt werden. Was wir darunter im Detail zu verstehen haben, klärt ein Blick auf Tabelle 2.4. Der dargestellte Kalkül E 6 verfügt neben dem bekannten Axiom (A1) über sieben Schemata, aus denen eine unendliche Anzahl weiterer Axiome gewonnen werden kann. Dagegen gibt es mit dem Modus

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