Theoretische Physik II für Lehramtskandidaten und Studenten mit Wahlfach Physik - Übungen zur Vorlesung -

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1 Theoretische Physik II für Lehramtskandidaten und Studenten mit Wahlfach Physik - Übungen zur Vorlesung - Prof. Dr. H.-J. Kull Fraunhofer Institut für Lasertechnik und Lehr- und Forschungsgebiet Laserphysik Institut für Theoretische Physik A Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen 8. März 00

2 Übungen zur Theoretischen Physik II für Lehramtskandidaten, WS 01/0 1 Blatt 1 1. Bestimmen Sie die Gradientenfelder der folgenden skalaren Felder: a) f = y z + z 3 x 3 + x 4 y 4, insbesondere an den Stellen (0, 0, 1), (1,, 3), b) f = x sin (yz), c) f = ax + by + cz und g = ax by cz, a, b, c konstant.. Bestimmen Sie die Quellen der Gradientenfelder der folgenden skalaren Felder: a) f = sin (k r), k konstant, b) f = e αr, α konstant. 3. Zeichnen Sie die Vektorfelder A = x 1 e 1 + x e und B = x e 1 x 1 e, und bestimmen Sie deren Quellen und Wirbel. 4. Zeigen Sie unter Verwendung eines kartesischen Koordinatensystems die Gültigkeit der folgenden Beziehungen: a) (αa) = α a + a α, b) (a b) = a b + b a b a a b, c) (a b) = b a + b ( a) + a b + a ( b). 5. Berechnen Sie a und a für: a) a = a 0 e i k r, a 0, k konstant, b) a = r α r, r 0, α konstant. 6. Seien Ω ein konstanter Vektor und v = Ω r. Dann gilt Ω = 1 v. Leiten Sie diese Beziehung her.

3 Übungen zur Theoretischen Physik II für Lehramtskandidaten, WS 01/0 Blatt 1. Zeigen Sie mit Hilfe des Gaußschen Satzes, daß der Wirbelfluß eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Oberfläche verschwindet.. Zeigen Sie mit Hilfe des Stokesschen Satzes, daß die Rotation eines Gradientenfeldes verschwindet. 3. Zeigen Sie mit Hilfe von Integralsätzen, daß die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes verschwindet. 4. Bestimmen Sie a in Kugelkoordinaten, indem Sie den Gaußschen Satz auf ein Volumenelement dv = r sin ϑ dr dϕ dϑ anwenden. 5. * Seien ϕ und ψ je zweimal stetig differenzierbare skalare Felder und V ein Volumen mit geschlossener Oberfläche F (V ). Dann gilt: dv (ϕ ψ ψ ϕ) = df (ϕ ψ ψ ϕ). (Greenscher Satz) V F (V ) Leiten Sie diese Identität mit Hilfe des Gaußschen Satzes her. 6. Seien A = 1 B r und C ein Kreis mit Radius R 0 um den Koordinatenursprung in der Ebene senkrecht zu B. Berechnen Sie a) direkt, b) mit Hilfe des Stokesschen Satzes. C dr A 7. * Bestimmen Sie (i) direkt und (ii) mit Hilfe des Stokesschen Satzes 1 r dr für die Fälle: a) C ist ein Kreis um den Koordinatenursprung, b) C ist ein Rechteck mit den Seiten a und b, c) C ist eine beliebige geschlossene Kurve. C

4 Übungen zur Theoretischen Physik II für Lehramtskandidaten, WS 01/0 3 Blatt 3 1. Im Bohrschen Atommodell wird der Grundzustand eines Waserstoffatoms durch ein Elektron, das auf einer klassischen Kreisbahn mit dem Drehimpuls mvr = um das Proton umläuft, beschrieben. a) Wie groß ist der Bahnradius (Bohrscher Radius) (in cm)? b) Wie groß ist die elektrische Feldstärke, die vom Proton auf das Elektron ausgeübt wird (in V/cm)? c) Wie groß sind die kinetische Energie, die potentielle Energie und die Gesamtenergie (in ev)?. Bestimmen Sie das Potential und die elektrische Feldstärke einer homogen geladenen Kugel mit der Gesamtladung Q und dem Radius R durch Auswertung der Integraldarstellung des Potetials. 3. Zeigen Sie, daß die Delta-Funktion die folgenden Eigenschaften besitzt: a) δ(x) = δ( x), δ(ax) = 1 a δ(x), a konstant. b) Sei g(x) eine Funktion, die in den Punkten x i, i = 1,,... einfache Nullstellen besitzt und sonst ungleich Null ist. Dann gilt: δ(g(x)) = i 1 g (x i ) δ(x x i); g(x i ) = 0, g (x i ) 0. c) Sei ξ i (x j ) eine allgemeine Koordinatentransformation der kartesische Koordinaten x j. Dann gilt: δ(x i x i) = 1 δ(ξ i ξ J i), J = det x i ξ j. i i 4. Die folgenden Ladungsverteilungen besitzen jeweils die Gesamtladung Q. Drücken Sie die dreidimensionalen Ladungsdichten durch die Deltafunktion in den angegebenen Koordinaten aus: a) N gleiche Punktladungen in kartesischen Koordinaten, b) homogen geladene Kugeloberfläche mit Radius R in Kugelkoordinaten, c) homogen geladener Kreis mit Radius a in Zylinderkoordinaten, d) homogen geladene Kreisfläche mit Radius a in Zylinderkoordinaten.

5 Übungen zur Theoretischen Physik II für Lehramtskandidaten, WS 01/0 4 Blatt 4 1. Zwei Dipole mit den Momenten p 1 und p seien im Abstand a voneinander drehbar um ihre Schwerpunkte gelagert. a) Wie groß ist ihre Wechselwirkungsenergie? Betrachten Sie die Spezialfälle p 1 p und p 1 p, und bestimmen Sie jeweils die Gleichgewichtslage aus der Bedingung minimaler Wechselwirkungsenergie. b) Mit welcher Kraft ziehen sich die Dipole an? c) Berechnen Sie die Drehmomente, die jeweils auf die Dipole wirken, für den Fall, daß p 1 senkrecht und p parallel zur Verbindungslinie der Dipole stehen. d) Berechnen Sie für die Anordnung aus c) das Drehmoment, das zwischen den beiden Dipolen wirkt. Zeigen Sie, daß das gesamte Drehmoment der Anordnung verschwindet.. Ein Dipol mit dem Moment p befinde sich in einem homogenen elektrischen Feld. Die positive Ladung besitze eine unendlich große Masse, die negative Ladung die Masse m. Der Abstand der Ladungen sei a. Wählen Sie den Winkel zwischen dem Dipolmoment und dem elektrischen Feld als verallgemeinerte Koordinate, und geben Sie die zugehörige Lagrangefunktion an. Bestimmen Sie daraus die Bewegungsgleichung für Drehungen des Dipols. 3. Geben Sie für die Ladungsverteilung ρ(r) = q δ(r a e x ) q δ(r + a e x ) + q δ(r b e y ) + q δ(r + b e y ) alle Momente bis zum Quadrupolmoment an. Untersuchen Sie die Spezialfälle a = 0 und a = b. 4. Mit welcher Energie (in ev ) ist ein Elektron im Abstand 3,6 Å von einer geerdeten Metallplatte infolge seiner Influenzladung gebunden?

6 Übungen zur Theoretischen Physik II für Lehramtskandidaten, WS 01/0 5 Blatt 5 1. Eine Punktladung q befinde sich im Abstand a vom Mittelpunkt einer geerdeten Metallkugel mit Radius R. Bestimmen Sie den Abstand a ihrer Bildladung vom Kugelmittelpunkt. Wie groß ist die Bildladung q?. Eine im Unendlichen ruhende Punktladung q werde von ihrer Influenzladung auf einer geerdeten Metallkugel mit Radius R angezogen. a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Punktladung im Abstand r(t) vom Kugelmittelpunkt. b) Welcher Strom I(t) fließt in der Zuleitung zur Kugel, wenn sich die Ladung im Abstand r(t) befindet? 3. In einen Plattenkondensator (Plattenabstand d, Fläche A, Ladung Q) wird eine Glasplatte der Dicke δ < d mit der Dielektrizitätskonstanten ε eingeschoben. Um welchen Faktor ändert sich dadurch seine Kapazität? 4. Berechnen Sie die Kapazität pro Länge C/L eines Zylinderkondensators mit Innenradius a und Außenradius b. Zeigen Sie, daß sich im Grenzfall b a a die Kapazität eines Plattenkondensators mit der Plattenfläche A = πal und dem Plattenabstand d = b a ergibt.

7 Übungen zur Theoretischen Physik II für Lehramtskandidaten, WS 01/0 6 Blatt 6 1. Berechnen Sie die Kraft pro Längeneinheit, die ein unendlich langer gerader Draht auf einen parallelen Draht im Abstand a ausübt, wenn im ersten Draht der Strom I 1 und im zweiten Draht der Strom I fließt.. Die Grenzfläche x = 0 zwischen zwei Dielektrika mit den Dielektrizitätskonstanten ε 1 für x < 0 und ε für x > 0 besitze die Flächenladung σ. Das elektrische Feld im Halbraum x<0 sei E 1 = E 1 (cos θ 1, sin θ 1, 0). a) Bestimmen Sie das elektrische Feld E im Halbraum x>0. b) Geben Sie für den Fall σ =0 das Brechungsgesetz für die Feldlinien an, indem Sie tan θ berechnen. 3. In einem Laserresonator sind nur die Schwingungszustände des Strahlungsfeldes möglich, die die Randbedingungen an den Wänden erfüllen. Eine monochromatische Lösung ( e iωnt ) der Wellengleichung, die den Randbedingungen genügt, nennt man Normalmode des Strahlungsfeldes, die zugehörige Frequenz ω n Eigenfrequenz. Für einen optischen Resonator der Länge L mit planparallelen metallischen Spiegeln bei x = 0 und x = L lauten die Randbedingungen E(x = 0) = E(x=L) = 0. a) Zeigen Sie, daß die Lösungen der eindimensionalen Wellengleichung, x E(x, t) 1 c t E(x, t) = 0, zu diesen Randbedingungen stehende Wellen sind. b) Berechnen Sie den Frequenzabstand ν = ω benachbarter Normalmoden. π c) Berechnen Sie die Anzahl der Normalmoden einer Polarisationsrichtung in einem Frequenzintervall dν ν.

8 Übungen zur Theoretischen Physik II für Lehramtskandidaten, WS 01/0 7 Blatt 7 1. Durch eine lange Platte mit rechteckigem Querschnitt (Breite b, Höhe h) fließe senkrecht zum Plattenquerschnitt ein Strom I mit Stromdichte j = q n v. Die Platte befinde sich in einem zur Plattenoberfläche senkrecht gerichteten Magnetfeld B. Welche elektrische Spannung ergibt sich zwischen den zu j parallelen Seitenflächen?. Wie groß ist die in einer kreisförmigen Leiterschleife mit Radius R induzierte Spannung, die in einem homogenen Magnetfeld B mit der Frequenz ω um ihren Durchmesser rotiert, wenn die Rotationsachse mit B den Winkel α bildet? 3. Berechnen Sie das Magnetfed eines vom Strom I durchflossenen Kreisringes mit Radius R auf seiner senkrecht zur Kreisfläche durch den Kreismittelpunkt verlaufenden Symmetrieachse.

9 Übungen zur Theoretischen Physik II für Lehramtskandidaten, WS 01/0 8 Blatt 8 1. Berechnen Sie die mittlere Energie Ē eines idealen Gases von N Teilchen in einem Volumen V bei der Temperatur T.. Berechnen Sie die mittlere Energie Temperatur T. Ē eines harmonischen Oszillators bei der 3. Bestimmen Sie das Transmissionsvermögen T einer planparallelen Schicht der Dicke d mit Brechungsindex n im Vakuum (n Vakuum = 1) für senkrecht einfallendes Licht der Frequenz ω. a) Diskutieren Sie T als Funktion der Schichtdicke d und des Parameters F = 4R/(1 R), wobei R die Reflexivität an einer Grenzfläche bezeichnet. b) Welche Bedingung muß für d und n erfüllt sein, damit die Schicht vollständig transparent ist? 4. Berechnen Sie die mittlere Photonenzahl n im Maximum der Planckschen Verteilung für die spektrale Energiedichte der Wärmestrahlung.

10 Übungen zur Theoretischen Physik II für Lehramtskandidaten, WS 01/0 9 Blatt 9 1. Ein Operator ist unitär, falls U + =U 1. Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften eines unitären Operators U: a) Die Eigenwerte von U sind komplexe Zahlen mit dem Betrag 1. b) Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind zueinander orthogonal. c) Eine Orthonormalbasis wird von U in eine Orthonormalbasis abgebildet. d) Das Produkt U V mit einem zweiten unitären Operator V ist ebenfalls unitär. e) Für ε 0 gelte U =I i εf. Der Operator F ist hermitesch. (I: Einheitsoperator, ε IR). Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften eines hermiteschen Operators A: a) Die Eigenwerte von A sind reell. b) Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind zueinander orthogonal. c) U =e ia ist unitär. 3. Ein Operator habe die Matrixdarstellung ( 0 i M = i 0 ). a) Ist M hermitesch? Bestimmen Sie die Eigenwerte von M und die auf den Betrag 1 normierten Eigenvektoren. b) Berechnen Sie die Matrizen der Projektionsoperatoren auf die von den Eigenvektoren gebildeten Unterräume.

11 Übungen zur Theoretischen Physik II für Lehramtskandidaten, WS 01/0 10 Blatt Geben Sie die Erwartungswerte der Spinoperatoren S x, S y und S z eines Spin- 1 - Teilchens im Zustand + x an.. Ein Strahl von Spin- 1 -Teilchen befinde sich im Zustand + x und passiere a) zuerst einen Projektor auf den Zustand + y und danach einen Projektor auf den Zustand + z, b) zuerst einen Projektor auf den Zustand + z und danach einen Projektor auf den Zustand + y. Geben Sie die Operatoren in y- und in z-darstellung an. Berechnen Sie jeweils den resultierenden Zustandsvektor in z-darstellung. 3. Geben Sie den Operator + z + x in z-darstellung an. 4. Bestimmen Sie die Eigenvektoren und die Eigenwerte des Spinoperators S n eines Spin- 1 -Teilchens für einen beliebigen Einheitsvektor n.

12 Übungen zur Theoretischen Physik II für Lehramtskandidaten, WS 01/0 11 Blatt Ein Spin- 1 -System befinde sich im Eigenzustand des Operators S n mit Eigenwert, wobei der Einheitsvektor n in der xz-ebene liegt und mit der z-achse den Winkel θ bildet. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung von S x den Eigenwert zu erhalten? b) Berechnen Sie das Schwankungsquadrat S x = ( S x S x ). Betrachten Sie hierbei insbesondere die Spezialfälle θ = 0; π ; π.. An einem Strahl von Spin- 1 -Teilchen im Zustand + z werden nacheinander folgende Messungen durchgeführt: i) Selektion der Teilchen mit Spin + in Richtung des Einheitvektors n = (sin θ, 0, cos θ). ii) Selektion der Teilchen mit Spin in z-richtung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Teilchen beide Messungen passiert? Für welchen Winkel θ ist diese Wahrscheinlichkeit am größten? Hinweis: Benutzen Sie zur Lösung von (1) und () die Ergebnisse aus Blatt 10 (4). 3. A und B seien hermitesche Operatoren mit dem Kommutator [A, B] = ic. Zeigen Sie: C ist hermitesch, C ist reell. 4. Ein System mit den Observablen aus (3) befinde sich im Zustand ψ, für den gilt (Zustand minimaler Unschärfe). C > 0 und A B = 1 C a) Geben Sie zwei Bedingungen an, die ψ erfüllen muß, damit (1) gilt. b) Zeigen Sie damit, daß der Zustand minimaler Unschärfe der folgenden Eigenwertgleichung genügt: ( A A + i ) B B ψ = ( A A + i ) B B ψ. (1) c)* Bestimmen Sie für die x-komponenten des Ortsoperators X und des Impulsoperators P den Zustand minimaler Unschärfe, indem Sie die Eigenwertgleichung aus b) in Ortsdarstellung lösen.

13 Übungen zur Theoretischen Physik II für Lehramtskandidaten, WS 01/0 1 Blatt 1 1. Ein Elektron mit dem magnetischen Moment µ = γs, γ = q, befinde sich in mc einem Magnetfeld mit den Komponenten B x = B 1 cos ωt, B y = B 1 sin ωt, B z = B 0. Die Frequenz ω werde gleich der Frequenz gewählt, mit der ein klassisches Elektron im Magnetfeld B 0 auf einer Kreisbahn umläuft: ω = q B 0 mc = γ B 0. Zur Zeit t 0 =0 sei der Spin des Elektrons im Zustand z. Aufgrund der resonanten Anregung durch das Magnetfeld klappt der Spin mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in den Zustand + z um. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, den Spin zur Zeit t im Zustand + z zu finden.. Ein harmonisch gebundenes Teilchen (Masse m, Frequenz ω) befinde sich im Grundzustand mit der Wellenfunktion ψ 0 (x) = A 0 e x ( σ mω 0, A 0 = π ) ( ) 1 1 4, σ 0 =. mω Zur Zeit t=0 breche die Feder. Berechenen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, daß das Teilchen zur Zeit t>0 (i) den Impuls p besitzt und (ii) sich am Ort x befindet. 3. Bestimmen Sie die Wellenfunktion eines Teilchens mit Masse m und Energie E, das sich von x= nach x=+ über eine Potentialstufe { 0 für x < 0 V (x) = V 0 für x 0 mit 0 < V 0 < E bewegt. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten für Reflexion bzw. Transmission? 4. Ein Teilchen befinde sich in einem Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden im nten stationären Zustand. Berechnen Sie den Erwartungswert der Energie und die Standardabweichung. Das Teilchen besizte die Masse m = 1g und die Geschwindigkeit v = 1cm/s. Der Potentialtopf habe die Länge L = 10cm. In welchem Quantenzustand n befindet sich das Teilchen?