No. 8.] Uber die Charakterisierung des allgemeinen C Raumes. 303

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1 No. 8.] fiber die Charakterisierung des allgemeinen C-Raumes. von Hidegoro NAKANO. Mathematical Institute, Tokyo Imperial University, Tokyo. (Comm. by T. TAKAGI M.I.A., Oct. 11, 1941.) Ich habe in einer anderen Abhandlung'' beschrieben : wenn emn normierter teilweisegeordneter Module' 9)1 den Bedingungen genugt : M) II( a '.i ~b~)ii=max(ilait, bii) S) Obere Grenze I as II = Untere Grenze II b II a as < b fur jede beschrankte Menge positiver Elemente {aa}, and uber die Norm vollstandig ist, so kann man IDI durch alle stetigen Funktionen fa(x) (entsprechend a e 1), oiler durch alle, in einem bestimmten.punkt verschwindenden, stetigen Funktionen auf einem bikompakten Hausdorffschen Raum R vollstandig darstellen, and sogar II a II = Max fa(x) 1. Diesen Satz haben wir unter der Voraussetzung bewiesen, lass 1fl emn vollstandiges Element besitzt, and bemerkt, lass man diesen Satz im allgemeinen Falle auch beweisen kann. In dieser Abhandlung wollen wir den Beweis dieses Satzes erganzen, indem wir diesen Satz unter der Voraussetzung beweisen, lass dieser Satz schon besteht, falls cjj emn vollstandiges Element umf asst. 1. Zuerst betrachten wir einen teilweise geordneten Modul 9, der nur den algebraischen Bedingungen 1)-5), nicht notwendig der Limesbedingung 6}3', genugt. Fur jede Teilmenge von 1 bezeichnet man mit Y die Menge aller Elemente b von die zu jedem Element von 3 orthogonal Bind, d. h. b n a = 0 fur alle a e. Definition.1. Eine Teilmenge 3 von 931 heisst eine normale Mannigfaltigkeit in 931, wenn (W)' = 3 ist. Man kann dann leicht einsehen, lass jede normale Mannigf altigkeit mit a, b auch as +,~b fur reelle Zahlen a, 9, a v b, a r b, and x fur x < a enthalt, and folglich ist auch emn teilweisegeordneter Modul. Es ist auch deutlich, lass fur jede Teilmenge von 931 stets 9,3' eine normale Mannigf altigkeit in 931 ist. Definition 2. Fur jede Teilmenge 3 von 931 bezeichnet man mit [3] die, 9,3 umf assende, kleinste, normale Mannigf altigkeit in 931, d, h. [9,3] = (9,3')'. 1) H. Nakano : Uber normierte teilweisegeordnete Moduln, Proc. 17 (1941), ) In dieser Abhandlung verstehen wir unter einem normierten teilweisegeordneten Modul 9 einen derartigen normierter Modul in bezug auf den Korper der reellen Zahlen, lass 1) aus a > b and b > c ja a > c folgt ; 2) a a ; 3) fur je zwei a, b das Element a -' b and a n b in 9)t existiert; 4) aus a > b ja a+c > b+c folgt ; 5) aus a > 0 fur jede positive Zahl a ja as > 0 folgt ; 1)11 all > _ 0, and II a l!==0 dann and nur dann, wenn a=0 ist ; II) II as 11= a I li a II fur jede reelle Zahl a ; and III) aus Ia <_ bi ja II all _<llbii folgt. 3) Vgl.1).

2 302 H. NAKANO. [Vol. 17, Fur zwei normale Mannigfaltigkeiten ~3, C ist der Durchschnitt pc auch eine normale Mannigf altigkeit in, denn es gilt ~3C = [3', ~C']'. Man kann auch leicht einsehen : daf ur, dass fur zwei normale Mannigf altigkeiten P, C 3C= 0 sei, ist notwendig and hinreichend, dass, C zueinander orthogonal Bind, d. h, jedes Element von 13 ist zu alien Elementen von C orthogonal. Definition 3. Fur zwei normale Mannigfaltigkeiten 3, C schreibt man C, wenn C, and ~3 > C, wenn emn derartiges Element a enthalt, dass zu jedem b e C fur eine passende positive Zahl a ja as >_ I b I gilt. 2. Hier betrachten wir einen teilweisegeordneten Modul von stetigen Funktionen. Definition 4. Eine stetige Funktion f (x) auf einem, im kleinen bikompakten, Hausdorffschen Raum R heisst eine C-Funktion auf R, wenn fur jede positive Zahl e die Punktmenge E[x ; I f (x) I > e] stets bikompakt ist. Die Menge alter C-Funktionen auf R genugt deutlich den Bedingungen 1)-5), and ist vollstandig uber die Norm Max I f (x) I, d, h. emn Banachscher Raum mit dieser Norm. Satz 1. Fur eine bikompakte Punktmenge P and eine, von P f remde, abgeschlossene Punktmenge Q in einem, imkleinen bikompakten, Hausdorffschen Raum R gibt es eine derartige C Funktion f (x), dass f (x) =1 in P, f (x) = 0 in Q, and 0 <f(x) < 1 in R ist. Beweis. Da R bikompakt im kleinen ist, kann man lurch Hinzu f ugung eines einzigen Punktes eindeutigerweise den bikompakten Hausdorffschen Raum R +4' erhalten. Dann sind P and Q + beide abgeschlossen in R +, and f remd voneinander. Daher gibt es eine stetige Funktion f (x) auf R+ derart, dass f (x) =1 in P, f (x) = 0 in Q, and 0 _< f (x) _< 1 in R +. Diese Funktion f (x) ist eine C-Funktion in R, and genugt der betreffenden Bedingung. Satz 2. Jeder normalen Mannigf altigkeit ~3 in entsprieht die einzige, regular ofene5~ Punktmenge P in R derart, dass nur aus alien C-Funktionen auf P besteht, d. h. nur aus alien, in der regular abgeschlossenen ' Punktmenge R - P verschwindenden, C-Funktionen au f R. Sotche regular ofene Punktmenge nennen wir die charakteristische Punktmenge der normalen Mannigfaltigkeit. Beweis. Wir lassen jeder C-Funktion g(x) e ~3' die offene Punktmenge Ng = E[x; I g(x) I >,O] entsprechen. Dann mussen jede C-Funktion f (x) e 43 in Ng verschwinden, da Min { 1(x), I g(x) I } = 0 sein soil. Daher verschwinden alle C-Funktionen von ~3 in der offenen Punktmenge 4) Vgl. P. Alexandroff and H. Hoph : Topologie, Berlin, ) Eine offene Punktmenge heisst regular ofen, wenn sie aus alien inneren Punkten einer abgeschlossenen Punktmenge besteht. 6) Eine abgeschlossene Punktmenge heisst regular abgeschlossen, wenn sie die abgeschlossene Hulle einer offenen Punktmenge ist. Daher ist das Komplement einer regular offenen Punktmenge stets regular abgeschlossen, and das Komplement einer regular abgeschlossenen Punktmenge ist regular offen.

3 No. 8.] Uber die Charakterisierung des allgemeinen C Raumes. 303 g Ng. Umgekehrt, wenn eine C-Funktion 1(x) in Ng verschwindet, so ist f (x) offenbar zu V orthogonal, and f olglich f (x) e 13 = (~3')". Setzt man P= R -> Ng, so ist P regular offen, and nach Obigem besteht ~3 g nur aus alien, in R - P verschwindenden, C Funktionen. Zu jedem Punkt y e P gibt es nach Satz 1 eine C Funktion f (x) derart, lass f (y) =1, and f (x) = 0 in R - P ist. Diese C-Funktion f (x) ist offenbar orthogonal zu ~3'. Daher gibt es fur y e P eine G Funktion f (x) in, die am Punkt y nicht verschwindet. Folglich 1st solche 1? eindeutig bestimmt. Satz 3. Fur.jede regular ofene Punktmenge P in R gibt es die einzige, normale Mannigfaltigkeit ~3, die P als die charakteristische Punktmenge besitzt. Beweis. Da P regular offen ist, kann man fur eine passende offene Punktmenge Q schreiben : R - P= Q. Zu jedem Punkt y e Q gibt es nach Satz 1 eine derartige C Funktion f (x), dass f,,(y) =1, f (x) = 0 in R - Q, and 0 < f (x) < 1 in R ist. Bezeichnet man mit C die Menge solcher C-Funktionen fur alle y e Q, so besitzt die normale Mannigf altigkeit C' die regular offene Punktmenge P als die charakteristische Punktmenge. Denn jede C-Funktion von C' verschwindet in Q and f olglich in Q = R - P, and alle, in Q verschwindenden, C-Funktionen gehoren offenbar zu C'. Aus der Definition der charakteristischen Punktmenge f olgt sof ort der Satz 4. Wenn man die charakteristischen Punktmengen von zwei normalen Mannigfaltigkeiten 43, C bzw. mit P, Q bezeichnet, so ist >_ C mit P Q gleichbedeutend. Satz 5, Dafi r, dass zwei normale Mannigfaltigkeiten ~3, C zueinander orthogonal seien, d, h. C = 0, ist notwendig and hinreichend, dass ihre charakteristischen Punktmengen P, Q voneinander f remd sind, d. h. PQ= 0.. Beweis. Wenn C 0 ist, so gibt es eine C-Funktion 1(x) (t 0) e and e C. Sei 1(y) 0 fur einen Punkt y e R, so muss y e P and e Q sein, and f olglich PQ 0. Umgekehrt, wenn PQ 0 ist, so gibt es fur einen Punkt y e PQ nach Satz 1 eine deraritige C-Funktion f (x), dass f (y) 0, f (x) = 0 in R - PQ ist. Daher gehort f (x) zu 3 and C, and f olglich 3C 0. Satz 6. Damit > fur eine normale Mannigf altigkeit ~3 besteht, ist notwendig and hinreichend, dass die abgeschlossene Hulle P der charakteristischen Punktmenge P von ~3 bikompakt ist. Beweis. Es sei eine C-Funktion f (x) auf R. Wenn zu jeder g(x) e ~3 fur eine passende positive Zahl a stets a f (x) > g(x) I gilt, so muss f (x) > e in P fur eine positive Zahl e sein. Denn, wenn fur eine Punktf olge x1, x2,... in P 0 <f(x) n< - 1 n4 g ist, so gibt es nach Satz 1 eine derartige C-Funktion g(x) e ~3, dass g(x) _ i/f (xn), and 0 _<_ gn(x) ~ - i/f (xn) in R ist. Da 3 uber die Norm Max f(x) 1 voll- standig 1st, konvergiert die Reihe g1(x) +g2(x) + nach einer C-Funktion xcr

4 NAKAN0. [Vol. 17, g0(x) E 3, und g0(x) > g(x) = ~/ f (xn) > n2f (xn), was aber nach Voraussetzung unmoglich ist. Da die Punktmenge E[x ; f (x) > ~] P bikompakt ist, muss die abgeschlossene Hulle P bikompakt sein. Umgekehrt, wenn P bikompakt ist, so gibt es nach Satz 1 eine derartige C Funktion f (x)(>_ 0) E, dass f (x) =1 in P ist. Dann gibt es zu jeder C-Funktion g(x) e 13 eine positive Zahl a, namlich a= Max I g(x) 1, damit a f (x) >_ g(x) in R besteht. ^' 3. Nun betrachten wir einen normierten teilweisegeordneten Modul D1, der den Bedingungen M), S) genugt, und uber die Norm vollstandig ist. Wenn B1 emn vollstandiges Element v besitzt, so haben wir schon bewiesen7~, dass man durch alle stetigen Funktionen fa(x), oiler durch alle, in einem bestimmten Punkt verschwindenden, stetigen Funktionen auf einem bikompakten Hausdorffschen Raum R vollstandig darstellen kann, und II a II = Max fa(x) ~. Hierbei kann man auch so sagen, dass man 9 durch alle C-Funktionen auf einem, im kleinen bikompakten, Hausdorffschen Raum vollstandig darstellen kann, innem man im zweiten Falle den bestimmten Punkt aus R weglasst. Solchen, im kleinen bikompakten, Hausdorffschen Raum R nennen wir einen darstellenden Raum von D1, und die C Funktion fa(x) auf R die darstellende C Funktion des Elementes a. Satz 7. Fur zwei darstellende Raume R1i R2 von 9 gibt es eine einzige eineindeutige Zuordnung zwisehen R1 und R2i da, mit fa(x) =ga(y) besteht fur die, demselben Element a entspreehenden, darstellenden C Funktion fa(x) und g(y) bzw. auf R1 und R2i und je zugeordnete Punkte x und y bzw. in R1 und R2. Beweis. Nach Satz 3 entspricht jeder regular offenen Punktmenge P1 in R1 eine einzige normale Mannigf altigkeit in und darselben entspricht nach Satz 2 eine einzige regular offene Punktmenge P2 in R2, und umgekehrt. Die abgeschlossene Hulle P1 ist nach Satz 6 bikompakt dann und nur dann, Wenn P2 bikompakt ist. Fur jeden Punkt x0 e R1 gibt es emn System von Umgebungen { Ua} von x0, sodass alle Ua regular offen, mindestens eins von Ua bikompakt, und x0 =1l Ua 1st. a Jeder Umgebung Ua entspicht eine regular offene Punktmenge Va E R2, und mindestens eins von Va ist bikompakt. Nach Satz 4 ist 11 Va 0 a fur endlich viele a. Da mindestens eins von Va bikompakt ist, gilt auch 11 Va / 0 fur alle a. Nach Satz 5 muss ll Va nur aus einem eina zigen Punkt y0 bestehen. Indem man dem Punkt x0 den y0 entsprechen lasst, erhalt man eine eineindeutige Zuordnung zwischen R1 und R2, und eine regular offene Punktmenge in R1 entspricht sogar einer regular offenen Punktmenge in R2. Daher ist diese Zuordnung zweiseitig stetig. Jedem Element a 1 entspricht die darstellende C-Funktion fa(x) auf R1 und g(y) auf R2. Wenn f a(x0) > 0 an einem Punkt x0 E R1 ist, so gibt es eine regular offene Umgebung U von x0, wormn stets fa(x) _> a 7) Vgl.1).

5 No. 8.] Uber die Charakterisierung des allgemeinen C-Raumes. 305 fur eine positive Zahl e ist. Wenn man mit 3 die normale Mannigf altigkeit in bezeichnet, deren charakteristische Punktmenge U ist, so gilt zu jedem b e ~3 a f a(x) >_ I f b(x) I in U fur eine passende positive Zahl a, and f olglich aa} _>_ I b. Dergleichen gilt mithin auch fur ga(y). Daher muss ga(yo) 0 fur den, dem xo entsprechenden, Punkt Yo E R2 sein. Da dieses Verhaltnis umkehrbar ist, entsprechen die Nullpunkte von fa(x) auch.den Nullpunkten von ga(y), and unlgekehrt. Demzuf olge, wenn f a(xo) - a f b(xo) = 0 fur zwei Elemente a, b and eine Zahl a gilt, so ist auch ga(yo) - agb(yo) = 0. Hieraus f olgt fa(xo) = rga(yo) f Ur jedes a e wenn man eine positive Zahl r passend annimmt. Nach Satz 1 gibt es emn a E P1, fur das f a(xo) =1, and 0< f a(x) < 1 in R1 ist. Entsprechend fa(x), gilt auch 0 < g(y) < 1 in R2 wegen Max I ga(y) I = Max I f a(x) I, and f olglich 1= f a(xo) = rga(yo) < r. Da das ycr2 1 Verhaltnis symetrisch uber R1 and R2 ist, so erhalt man r =1. Die Eindeutigkeit solcher Zuordnung zwischen R1 and R2 kann man leicht aus dem obigen Beweis leicht entnehmen. Hauptsatz. Wenn emn normierter teilweisegeordneter Modul8' Ifl den Bedingungen M), S) genugt, and uber die Norm vollstandig ist, so kann man dureh alle C Funktionen fa(x) (entsprechend a e J1) auf einem, eindeutig bestimmten, im kleinen bikompakten, Hausdorffschen Raum R vollstandig darstellen, and II a II = Max I fa(x) I. Beweis. Jede normale Mannigf altigkeit ~3 in 9 ist offenbar auch emn normierter teilweisegeordneter Modul mit den Bedingungen M), S). 134st auch vollstandig uber die Norm. Daf ur braucht man nur zu beweisen : wenn fur eine Folge von Elementen a1, a2i..., I an I n I b I = 0 (n=1,2,... ), lim II ao - an I = 0 gilt, so ist auch IaoIrHbIO. = Dies f olgt aber sof ort aus II (I ao I n I b I) II _< II ao - an II (n =1, 2,... ), was man erhalt aus IaoIr bi<(iao-an+ianl)rn bi Iao-an1r IbI<Iao-anl. Fur jedes a 931 besitzt die normale Mannigfaltigkeit [a] emn vollstandiges Element a. Daher kann man [a] lurch alle C-Funktionen auf einem, im kleinen bikompakten, Hausdorffschen Raum Ra darstellen. Fur zwei normale Mannigf altigkeit [a], [b] erhalt man lurch den Durchschnitt [a] [b] eine normale Mannigf altigkeit, falls [a] [b] 0. Da [a] >_ [a] [bi ist, gibt es nach Satz 2 die charakteristische Punktmenge R1 von [a] [b] in Ra. Wegen [b] >_ [a] [b], gibt es auch die charakteristische Punktmenge R2 von [a] [b] in Rb. Da R1 and R2 beide darstellende Raume von [a] [b] sind, gibt es nach Satz 7 eine einzige eineindeutige Zuordnung zwischen R1 and R2, damit [a] [b] sick dureh dieselben C Funktionen in R1 and in R2 vollstandig darstellen lasst. Indem man die zugeordneten Punkte in Ra fur alle a E 931 identifiziert, erhalt man einen, im kleinen bikompakten, Hausdorffschen Raum R, and Ra ist eine regular offene Punktmenge in R. Wenn man jedem a E 931 die darstellende C-Funktion fa(x) auf Ra entsprechen lasst, so ist fa(x) auch eine C-Funktion auf R, wobei naturlich. fa(x) = 0 ausserhalb des Raumes Ra 1St. Die Isomorphie zwischen a and fa(x) kann man leicht entnehmen, wenn man fur zwei Elemente 8) Vg1.2).

6 305 H. NAKANO. [Voḷ 17, a, b die I somorphie nur im Raum R is i u i b i betrachtet. Daher kann man durch emn System von C Funktionen auf R vollstandig darstellen, and II a If = Max I fa(x) Nun wollen wir beweisen, lass aus alien C-Funktionen auf R besteht. Fur jedes xl e R gibt es emn Element a e fur das Ra xi ist. Dann gibt es nach Satz 1 fur jeden anderen Punkt x2 E R emn b, f ur das f b(xl) =1 and fb(x2) = 0 ist. Daher f olgt die Behauptung aus dem Satz 8. Es sei emn teilweisegeordneter Modul9' von C-.Funktionen auf einem, im kleinen bikompakten, Hausdorfschen Raum R, d, h. enthalt mit f (x), g(x) auch Max {f(x), g(x)}, Min {f(x), g(x)}, and a f (x) + ~g(x) fur beliebige reelle 7ahlen a, j9. Wenn uber die Norm Ma nx f (x) vollstandig ist, and fur je zwei verschiedene Punkte x1, x2 in R eine derartige C-Funktion f (x) enthalt, doss f (x1) =1 and f (x2) = 0 ist, so besteht f (x) aus alien C-Funktionen auf R. Beweis. Es sei emn Punkt x0 and eine abgeschlossene Punktmenge P x0. enthalt eine C Funktion f (x), fur die f (x0) =1 ist. Fur jede positive Zahl (< 1) ist die Punktmenge EE=E[x; f (x) >_ e] bikompakt. Folglich ist PEE auch bikompakt. Nach Voraussetzung enthalt l fur jeden Punkt y e PEE eine derartige C-Funktion fy(x), lass f(x0) =1 and f (y) = 0 1st. Da f(x) stetig auf R ist, gibt es eine Umgebung Uy von y, wormn f(x) < ist. Da PEE bikompakt ist, kann man PEE lurch endlich viele solche Umgebungen U,,1, U,,2,..., U,, uberdecken. Setzt man f0(x) =Min {f,,1(x),.1,(x),..., f,,(x)} so ist f0(x0) =1, and f0(x) < e in P, and f0(x) gehort zu. Da f0(x) stetig ist, gibt es eine Umgebung U0 von x0i wormn fo(x) < 1 + e ist. Nach Obigem gibt es auch eine C Funktion g0(x) e, fur die 80(x0) =1, and g0(x) < e in R - U0 ist. Setzt man f+(x)=max Min {f0(x), g0(x)}, o}, so ist f+(x0) =1, f+(x) < e in P, 0< f+(x) < 1 + e in R,~ and f+(x) gehort zu. Es sei eine bikompakte Punktmenge P and eine, von P f remde abgeschlossene Punktmenge Q. Fur jeden Punkt y e P enthalt auch nach Obigem eine C-Funktion f,,(x), wobei f,,(y) =1 + 1 e, f,,(x) < e in 2 Q, and 0 < fy(x) < 1 + e in R ist. Da f,,(x) stetig 1st, gibt es eine Umgebung U,, von y, wormn f,,(x) > 1 ist. Da P bikompakt ist, kann man P durch endlich viele solche Umgebungen Uy,, Uy,,..., U,, uberdecken. Setzt man h(x) = Max { fy,(x), fy2(x),..., fy n(x) } so gehort h(x) zu, and h(x)>1 in P, h(x) < e in Q, 0 < h(x) <1+e in R. 9) Vgl.2).

7 No. 8.] Uber, die Charakterisierung des 'allgemeinen C-Raumes. 307 Es sei eine beliebige C Funktion f (x) >_ 0 auf R. Fur jede positive Zahl e gibt es ei'ne Zahlenfolge 0 = ao < al _ a2_1 < ~, and f (x) < an in R. Da die Punktmenge,E[x ; f (x) > ai] (i > 1) bikompakt, and E[x; 1(x) _< ai_i] abgeschlossen ist, gibt es nach Obigem eine C- Funktion hi(x) E, fur die hi(x) > 1 in E[x ; 1(x) > a2] h(x)<-- iin an E[x; f (x) <_ ai_i] (i=1, 2,.., n), and 0 hi(x) < 1 + e in R ist. Setzt man an h(x) _ n i=1 (ai - ai-1) hi(x) so gehort h(x) auch zu, and fur jeden Punkt x E E[x; < 1(x) < aj] j-i j n. E. gilt (ai - ai-i) <_ h(x) < (ai - ai-i) ( (ai -- ai-i), namlich i=1 i=1 ' an i=j+i an < h(x) _< aj -I- e. Daher gilt fur jeden Punk t x E R Da f (x) - h(x) < 2~. uber die Norm Max lf(x)i,vollstandig ist, muss f (x) zu il gehorev. Wenn f (x) eine beliebige C-Funktion auf R ist, so sind.f+(x) = Max {f(x), 0), f_(x) _ - Min {f (x), 0} auch beide C Funktionen auf R, and nach Obigem gehoren beide zu, and f olglich gehort f (x) = f +(x) -f_(x) zu, womit die Behauptung bewiesen ist.