Mathematik Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME

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1 Mathematik Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME

2 Hans Benker Mathematik Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME

3 Prof. Dr. Hans Benker Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Naturwissenschaftliche Fakultät II Institut für Mathematik Halle (Saale) Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.

4 Vorwort Das vorliegende Buch soll kein weiteres Werk über Mathematik im klassischen Sinne sein, da es hiervon bereits eine große Anzahl gibt. Die Berechnung mathematischer Probleme per Hand, wie in vielen Mathematiklehrbüchern praktiziert wird, ist nicht mehr zeitgemäß und auch bei den meisten praktischen Aufgabenstellungen ohne Computer nicht möglich. Bei mathematischen Problemen werden im heutigen Computerzeitalter hauptsächlich Mathematiksysteme (z.b. MAPLE, MATHEMATICA, MATHCAD, MATHCAD PRIME, MATLAB und MuPAD) oder andere Programmsysteme (wie z.b. EXCEL) eingesetzt, um anfallende Berechnungen mit vertretbarem Aufwand bewältigen zu können. MATHCAD und MATHCAD PRIME werden bevorzugt eingesetzt, weil sie mit anderen Systemen wie MuPAD und EXCEL zusammenarbeiten und C- und Fortran- Programme einbinden können, hervorragende Fähigkeiten bei numerischen Berechnungen besitzen, sich durch zahlreiche Zusatzpakete erweitern lassen, die als Erweiterungspakete und Elektronische Bücher bezeichnet werden. Diese existieren für wichtige Gebiete aus Technik, Natur- und auch Wirtschaftswissenschaften. Das vorliegende Buch ist folgendermaßen aufgebaut: Die erste Aufgabe (Teil I) des Buches besteht darin, Struktur, Arbeitsweise und Fähigkeiten von MATHCAD und MATHCAD PRIME kurz und übersichtlich darzustellen, so dass auch Einsteiger in der Lage sind, beide problemlos einzusetzen. Da Berechnungen mathematischer Probleme auf Computern nicht ohne Mathematikkenntnisse möglich sind, besteht die Hauptaufgabe (Teil II und III) des Buches in einer Einführung in Grundgebiete und Vorstellung wichtiger Spezialgebiete der Mathematik, wobei die Anwendbarkeit von MATHCAD und MATHCAD PRIME im Vordergrund steht: Neben mathematischen Grundlagen werden zusätzlich wichtige Spezialgebiete wie Differenzengleichungen, Differentialgleichungen, Optimierung, Transformationen, Simulationen, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik vorgestellt, die für zahlreiche praktische Problemstellungen erforderlich sind. Theoretische Grundlagen und Näherungsmethoden (numerische Methoden) werden so behandelt, wie es für den Einsatz von MATHCAD und MATHCAD PRIME erforderlich ist: Auf Beweise und ausführliche theoretische Abhandlungen wird verzichtet. Notwendige Formeln und Methoden werden an Beispielen illustriert und erläutert. Bemerkung Da die behandelten mathematischen Gebiete nicht nur zu Grundlagen für Ingenieure und Naturwissenschaftler gehören, kann das Buch auch für die Wirtschaftsmathematik herangezogen und allgemein als Nachschlagewerk benutzt werden, wenn Fragen mathematischer Natur in Bezug auf die Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRIME auftreten. Das Buch ist aus Lehrveranstaltungen und Computerpraktika entstanden, die der Autor an der Universität Halle gehalten hat, und wendet sich sowohl an Studenten und Lehrkräfte der Mathematik, Ingenieur- und Natur- und Wirtschaftswissenschaften von Fachhochschulen und Universitäten als auch in der Praxis tätige Mathematiker, Ingenieure, Naturwissenschaftler und Wirtschaftswissenschaftler.

5 VI Vorwort Im Folgenden werden Hinweise zum Aufbau des Buches gegeben: Kursiv werden geschrieben: wichtige Begriffe, Anzeigen und Fehlermeldungen im Arbeitsblatt, Untersymbolleisten und Gruppen in Registerkarten. Fett werden geschrieben: Anweisungen und Operatoren der Programmierung, Dialogfenster und Menüs, Internetadressen, Registerkarten, Schlüsselwörter, Symbolleisten, Vordefinierte (integrierte) Funktionen, Überschriften und Bezeichnungen von Abbildungen, Beispielen und Namen von Vektoren und Matrizen. In GROSSBUCHSTABEN werden geschrieben: Namen von Erweiterungspaketen und Elektronischen Büchern, Vordefinierte Variablen Programm-, Datei- und Verzeichnisnamen. Abbildungen und Beispiele werden folgendermaßen gekennzeichnet: Sie werden in jedem Kapitel mit 1 beginnend nummeriert, wobei die Kapitelnummer vorangestellt ist. So bezeichnen z.b. Abb.4.2 und Beisp.3.8 die Abbildung 2 aus Kapitel 4 bzw. das Beispiel 8 aus Kapitel 3. Beispiele enden mit dem Symbol, wenn sie vom nachfolgenden Text abzugrenzen sind. Folgende Darstellungen werden verwendet: Einzelne Menüs einer Menüfolge von MATHCAD werden mittels Pfeil getrennt, der gleichzeitig für einen Mausklick steht. Wichtige Bemerkungen, Hinweise und Erläuterungen beginnen mit Bemerkung und enden mit dem Symbol, wenn sie vom nachfolgenden Text abzugrenzen sind. Wichtige Erklärungen zu Anwendungen von MATHCAD und MATHCAD PRIME sind zwecks schnellerem Auffinden mittels der Pfeile bzw. gekennzeichnet und bei größerem Erklärungsumfang mittels folgender Pfeile abgeschlossen: bzw.

6 Vorwort VII Für die Unterstützung bei der Erstellung des Buches möchte ich danken: Frau Hestermann-Beyerle und Frau Kolmar-Thoni vom Springer-Verlag Berlin Heidelberg für die Aufnahme des Buchvorschlags in das Verlagsprogramm und die gute Zusammenarbeit. Frau Mona Zeftel von PTC in Needham (USA) für die kostenlose Bereitstellung der neuen Versionen von MATHCAD und MATHCAD PRIME, für die Teilnahme an den Beta-Tests und die Hilfe bei Unklarheiten. Meiner Gattin Doris, die großes Verständnis für meine Arbeit aufgebracht hat. Meiner Tochter Uta für die Hilfe bei Computerfragen. Über Fragen, Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge würde sich der Autor freuen. Sie können an folgende -Adresse gesendet werden: Halle, Frühjahr 2013 Hans Benker

7 Inhaltsverzeichnis Teil I: Einführung in MATHCAD und MATHCAD PRIME 1 Einleitung Mathematiksysteme Anwendung der Computeralgebra Anwendung der Numerischen Mathematik (Numerik) Fähigkeiten MATHCAD und MATHCAD PRIME Vergleich Einsatzgebiete Aufbau von MATHCAD und MATHCAD PRIME Benutzeroberfläche (Desktop) Kern Erweiterungspakete Extension Packs E-Books Arbeitsweise von MATHCAD und MATHCAD PRIME Interaktive Arbeit Vektororientierung Berechnungen Zusammenarbeit mit anderen Systemen Benutzeroberfläche (Desktop) von MATHCAD und MATHCAD PRIME Benutzeroberfläche von MATHCAD Menüleiste Symbolleisten Lineal Arbeitsblatt (Worksheet) Statusleiste Benutzeroberfläche von MATHCAD PRIME Multifunktionsleiste (Menüband) Arbeitsblatt (Worksheet) Statusleiste Arbeitsblatt (Worksheet) von MATHCAD und MATHCAD PRIME Allgemeine Eigenschaften Cursor Eingabe und Korrektur mathematischer Ausdrücke Zeichenfolgen (Zeichenketten) und Text Zeichenfolgen (Zeichenketten) Zeichenfolgenfunktionen (Zeichenkettenfunktionen) Texteingabe Textausgabe Grafiken Gestaltung von Arbeitsblättern Verwaltung von Arbeitsblättern Hilfen für MATHCAD und MATHCAD PRIME Hilfesystem... 29

8 X Inhaltsverzeichnis 6.2 Hilfen im Internet Weitere Hilfemöglichkeiten Zahlen in MATHCAD und MATHCAD PRIME Zahlenformate Reelle Zahlen Exakte (symbolische) Darstellung Dezimaldarstellung Komplexe Zahlen Rechenoperationen mit Zahlen Konstanten in MATHCAD und MATHCAD PRIME Variablen in MATHCAD und MATHCAD PRIME Einfache und indizierte Variablen Bereichsvariablen Vordefinierte Variablen Funktionen in MATHCAD und MATHCAD PRIME Vordefinierte Funktionen Definition von Funktionen Datenverwaltung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Datendateien und Felder (Arrays) Sortierfunktionen Lesen von Daten Schreiben von Daten Berechnungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Grundlagen Vorgehensweise bei Berechnungen Rechenbereiche und Rechenmodus Lösungsblöcke Exakte (symbolische) Berechnungen Symbolisches Gleichheitszeichen Schlüsselwörter Numerische (näherungsweise) Berechnungen Numerisches Gleichheitszeichen Vordefinierte Numerikfunktionen Genauigkeit Fehlerarten Rundungsfunktionen Anwendung als Taschenrechner Berechnungen mit Maßeinheiten Steuerung von Berechnungen Automatikmodus und manueller Modus Abbruch von Berechnungen Programmierung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Boolesche Operatoren Prozedurale (strukturierte) Programmierung Zuweisungen Verzweigungen... 65

9 Inhaltsverzeichnis XI Schleifen Prozedurale (strukturierte) Programme Programmstruktur Fehlersuche Programmbeispiele Teil II: Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRIME in Grundgebieten der Mathematik 14 Mathematische Funktionen Elementare und höhere mathematische Funktionen Eigenschaften mathematischer Funktionen Approximation mathematischer Funktionen Interpolation Quadratmittelapproximation (Methode der kleinsten Quadrate) Mathematische Funktionen in MATHCAD und MATHCAD PRIME Darstellung mathematischer Funktionen Vordefinierte elementare mathematische Funktionen Weitere vordefinierte mathematische Funktionen Definition mathematischer Funktionen Untersuchung mathematischer Funktionen Vordefinierte Interpolationsfunktionen Vordefinierte Funktionen zur Quadratmittelapproximation Grafische Darstellungen Ebene Kurven und Kurvendiskussion Kurven im dreidimensionalen Raum (Raumkurven) Flächen im dreidimensionalen Raum Grafische Darstellung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Punktgrafiken Ebene Kurven Raumkurven Flächen Umformung und Berechnung mathematischer Ausdrücke Mathematische Ausdrücke Umformung von Ausdrücken mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Vereinfachung algebraischer Ausdrücke Partialbruchzerlegung gebrochenrationaler Ausdrücke Potenzierung Multiplikation Faktorisierung Substitution Umformung trigonometrischer Ausdrücke Berechnung von Ausdrücken mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Matrizen und Vektoren Matrizen Vektoren Matrizen und Vektoren in MATHCAD und MATHCAD PRIME Eingabe in das Arbeitsblatt

10 XII Inhaltsverzeichnis Zugriff auf Matrixelemente und Vektorkomponenten Vektorisierung Vordefinierte Matrix- und Vektorfunktionen Rechenoperationen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Addition und Multiplikation Transponierung Inversion Skalar-, Vektor- und Spatprodukt Determinanten Eigenwerte und Eigenvektoren Problemstellung Berechnung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Gleichungen Arten von Gleichungen Allgemeine nichtlineare Gleichungen Polynomgleichungen Lineare Gleichungen Exakte Lösung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Nichtlineare Gleichungen Polynomgleichungen Lineare Gleichungen Numerische Lösung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Lösungsblock in MATHCAD Lösungsblock in MATHCAD PRIME Berechnung verallgemeinerter Lösungen Ungleichungen Differentialrechnung Ableitungen Gewöhnliche und partielle Ableitungen Berechnung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Taylorentwicklung Problemstellung Berechnung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Fehlerrechnung Fehlerarten Schranken für Messfehler Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRIME Grenzwerte Problemstellung Berechnung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Integralrechnung Einfache Integrale Mehrfache Integrale Berechnung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Unbestimmte Integrale Bestimmte Integrale Uneigentliche Integrale Mehrfache Integrale

11 Inhaltsverzeichnis XIII 22 Reihen (Summen) und Produkte Zahlenreihen Endliche Zahlenreihen (Summen) Unendliche Zahlenreihen Berechnung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Funktionenreihen Taylorreihen mit MATCAD und MATHCAD PRIME Fourierreihen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Zahlenprodukte mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Bereichssummen und -produkte mit MATHCAD und MATHCAD PRIME. 185 Teil III: Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRIME in Spezialgebieten der Mathematik 23 Vektoranalysis Felder Skalar- und Vektorfelder Felder in MATHCAD und MATHCAD PRIME Gradient, Rotation und Divergenz Berechnungsformeln Eigenschaften Berechnung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Kurven- und Oberflächenintegrale Transformationen z-transformation Problemstellung Berechnung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Laplacetransformation Problemstellung Berechnung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Fouriertransformation Einsatz von Transformationen zur Lösung von Gleichungen Differenzengleichungen Problemstellung Lineare Differenzengleichungen Exakte Lösung mit Ansatz Exakte Lösung mit z-transformation Lösung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Differentialgleichungen Problemstellung Gewöhnliche Differentialgleichungen Anfangswertaufgaben Randwertaufgaben Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen Exakte Lösung mit Ansatz Exakte Lösung mit Laplacetransformation Lösung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME

12 XIV Inhaltsverzeichnis Exakte Lösung Numerische Lösung Partielle Differentialgleichungen Mathematische Optimierung Problemstellung Minimum und Maximum Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRIME Extremwertaufgaben Aufgabenstellung Lösung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Lineare Optimierungsaufgaben Aufgabenstellung Lösung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Nichtlineare Optimierungsaufgaben Aufgabenstellung Lösung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Kombinatorik Problemstellung Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRIME Berechnung von Fakultät und Binomialkoeffizienten Berechnung von Permutationen,Variationen und Kombinationen Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufällige Ereignisse Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeiten Verteilungsfunktionen Diskrete Verteilungsfunktionen Stetige Verteilungsfunktionen Erwartungswert (Mittelwert) und Streuung (Varianz) Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRIME Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen Simulation Zufallszahlen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Monte-Carlo-Simulation Beispiel mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Statistik Untersuchung von Massenerscheinungen Grundgesamtheit und Stichprobe Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRIME Beschreibende Statistik Urliste und Verteilungstafel Grafische Darstellungen Empirische statistische Maßzahlen Beschreibende Statistik mit MATHCAD und MATHCAD PRIME Erstellung von Listen und Tafeln Erstellung von Grafiken

13 Inhaltsverzeichnis XV Berechnung von Maßzahlen Schließende Statistik Schätz- und Testtheorie Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRIME Korrelation und Regression Korrelationsanalyse Regressionsanalyse Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRIME Wirtschaftsmathematik Problemstellung Grundaufgaben Finanzmathematik Elementare (klassische) Methoden der Finanzmathematik Moderne Methoden der Finanzmathematik Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRIME Berechnung von Grundaufgaben Berechnung von Aufgaben der Finanzmathematik Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis