Projekttage 2009 Ergebnisprotokoll der Gruppe»Konkrete Kunst«

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1 Projekttage 2009 Ergebnisprotokoll der Gruppe»Konkrete Kunst«Betreuer: Jan Wörler. Stud, Hilfskraft: Christina Schallenmüller Teilnehmer: Teresa Angermüller, Tobias Bleifuß, Rüdiger Kapfmann, Anne Schubert, Michael Trapp. 1. Hinführung: Das Museum im Kulturspeicher im Alten Hafen in Würzburg, unweit der Diskothek Das Boot, beheimatet mit der Sammlung Peter C. Ruppert einer der bedeutendsten Sammlungen Konkreter Kunst in Europa. Die Werke dieser Kunstgattung bestehen meist aus klar strukturierten Farbflächen und formen. Es sind keine Anlehnungen an die reale Welt zu erkennen; Konkrete Kunst ist aber auch nicht abstrakt. Sie steht autonom für sich selbst: ein rotes Quadrat ist ein rotes Quadrat. Allein die Wirkung dieser Farbfläche auf den Betrachter und ihr Zusammenspiel mit dem umgebenden Raum ist das, was die Kunstschaffenden dieser Gattung interessiert. Aufgabe der Projektgruppe war es, anhand einer Vielzahl von Kunstwerken herauszuarbeiten, wie Konkrete Kunst mit Mathematik zusammenhängt oder zusammenhängen kann. Es galt, die Mathematik in den Werken aufzudecken. Als Endprodukt sollte eine mathematische Führung durch den Kulturspeicher herauskommen, die Schülerinnen und Schülern der gymnasialen Oberstufe den Zusammenhang zwischen Konkreter Kunst und Mathematik an einigen Werken näherbringen soll. 2. François Morellet: Zufällige Verteilung von Vierecken, den geraden und ungeraden Zahlen eines Telefonbuchs folgend 50% grau, 50% gelb Detailansicht Einführung Das Bild zeigt Quadrate derselben Größe, die alle entweder grau oder gelb gefüllt sind. Laut Bildtitel sollen die Farben zufällig verteilt sein und beide einen Anteil von 50% bilden.

2 Bei längerer Betrachtung sind zwei mögliche Probleme aufgefallen: Sind die Farben wirklich zufällig verteilt? Kann man wirklich jeweils von einem Anteil von 50% ausgehen? Zufällig? Um die Frage zu klären, ob die Farben wirklich zufällig verteilt sind, wurde zunächst geklärt, welche Zahlen des Telefonbuchs benutzt wurden. Ausschließen kann man vermutlich Seitenzahlen und Vorwahlen, weil diese zu regelmäßig sind. Übrig bleibt also nur noch die Rufnummer. Es ist nicht entscheidend, ob man die Quersumme der Rufnummer, die gesamte Rufnummer (was der Betrachtung der letzten Ziffer gleich käme) oder eine sonstige beliebige Ziffer betrachtet. Wichtig ist nur, ob die Rufnummer an sich wirklich zufällig ist. Ob dies aber wirklich gegeben ist, ist schwer zu überprüfen, weil weder das Telefonbuch von Paris aus dem Jahre 1962, noch Informationen über die damalige Rufnummervergabe vorliegen. Für die weitere Betrachtung wird jedoch davon ausgegangen, dass die Rufnummern zufällig vergeben wurden. Doch auch nach der Annahme, dass die Rufnummern zufällig waren, muss man noch prüfen, ob die Nummern auch zufällig ausgewählt wurden. Durch Interviews mit dem Künstler weiß man, dass er die Zahlen von seiner Familie auswählen ließ, um eine persönliche Präferenz auszuschließen. Man kann also zumindest davon ausgehen, dass die Zahlen halbwegs zufällig ausgewählt wurden. Unter der Annahme, dass die ausgewählten Zahlen wirklich zufällig waren, kann man nun auch folgern, dass die Farben zufällig verteilt sind. 50:50? Weiterhin zu klären bleibt, ob der Künstler mit der Behauptung, dass 50% seines Bildes grau und die andere Hälfte gelb sind, recht hat. Aufschluss über diese Frage sollten sowohl eine stochastische Betrachtung, als auch eine Simulation geben. Natürlich könnte man die Quadrate auch einfach abzählen, was jedoch sehr zeitaufwendig und nicht besonders mathematisch ist. Stochastische Betrachtung Zur stochastischen Betrachtung verwendet man ein einfaches Zufallsexperiment, bei dem die Ergebnisse 0 und 1 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit auftreten. Durch Wiederholung dieses Experiments erhält man eine Binomialverteilung. Der Erwartungswert für beide Ergebnisse ist Für die Varianz ergibt sich Nun kann man mit Hilfe der Tschebyshow-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass das Ergebnis nicht innerhalb der 0.5% Schranken liegt, welche nötig sind um zumindest gerundet das 50:50-Verhältnis zu wahren: Die Tschebyshow-Ungleichung erweist sich später jedoch als sehr ungenaue Schranke, weil man

3 später durch empirische Versuche feststellt, dass die 50:50 Verteilung nur in 3-5% der Fälle nicht gegeben ist. Lösen durch Simulation Die erste Simulation wurde mit Hilfe von Excel durchgeführt. Eine Liste mit Zufallszahlen zwischen 0 und 1 wurde zunächst auf ganze Zahlen gerundet. 0 und 1 repräsentieren jeweils eine der beiden Farben. Jetzt betrachtet man die Anzahl und den Anteil der jeweiligen Farben (die durch Zahlen repräsentiert sind). Nach mehrfacher Wiederholung stellt man fest, dass man nur in sehr seltenen Fällen eine größere Abweichung als 0.5% vom Erwartungswert (=50%) erhält. Eine zweite Möglichkeit zur Simulation stellt ein selbst geschriebenes Java-Applet dar. Mit diesem ist es möglich das Verhältnis der beiden Farben leicht einzustellen und das fertige Bild kann auch grafisch ausgegeben werden. Die Anzahl der Kästchen in einer Farbe wird auch gezählt und der entsprechend Anteil an der Gesamtzahl der Kästchen ausgegeben. Durch die Möglichkeit das Verhältnis der beiden Farben mit einem einfachen Schieberegler bestimmen zu können, kann man auch gut beobachten, wie sich der optische Eindruck bei unterschiedlichen Verhältnissen der Farben verändert. Oben: Zwei Bilder, die im Verhältnis 50:50 berechnet wurden. Unten: Mit einem Schieberegler lässt sich das Verhältnis festlegen.

4 3. Camile Graeser: Translokation B An das Bild Translokation B von Camille Graeser kann man die Frage stellen, wie das rote Quadrat auf den freien Platz in der Reihe oben zurück bewegt werden kann. Gibt es besonders elegante Lösungen? Es war nicht schwer zu erkennen, dass man das Quadrat durch 2 Achsenspiegelungen zum Ursprungsplatz zurück bringen kann: Zuerst spiegelt man es an einer 22.5 Achse zum Quadrat. Nun muss man nur noch eine Achsenspiegelung parallel zu der Unterseite der anderen Quadrate machen, wobei diese durch den Mittelpunkt der Strecke OP geht. Nun ist das Quadrat in seiner Ursprungsposition. Denkt man zurück an die Schule, fällt einem vielleicht ein, dass man zwei Spieglungen durch eine Drehung ersetzen kann. Um den Drehpunkt herauszufinden erstellten wir eine Mittelsenkrechte auf die Strecke OP. Nun verbindet man einen Eckpunkt vom verschobenen Viereck, z. B. den Punkt K, mit den jeweiligen Punkten der Endposition. Nun erstellt man jeweils die Mittelsenkrechten von den Strecken, z. B. an DK. An den Stellen an denen sich diese Mittelsenkrechten mit der Mittelsekrechten von OP schneiden, sind die Drehpunkte. Somit liegen vier Drehpunkte mit den Drehwinkeln 45, 135, 225 und 315 vor, mit denen man das Viereck in die gewünschte Position bringen kann. Dabei lässt sich feststellen, dass sich das Phänomen für den jeweiligen Drehpunkt wiederholt. Da es vier Punkte gibt, kann man alle 90 das Quadrat in die Ursprungsposition zurückbringen. Zudem haben wir darüber diskutiert, ob es weiter Drehpunkte geben kann, haben aber festgestellt, dass dies nicht möglich ist; wir haben ja nur 4 Eckpunkte haben. Verbindet man die Ecken des Ursprungsquadrats mit einem anderen Punkt des verdrehten Quadrats und erstellt deren Mittelsenkrechten, so erhält man dieselben (also keine neuen) Drehpunkte.

5 Konstruktion der Drehpunkte, hier für den Punkt S Drehung des Vierecks um S in die Ursprungsposition

6 4. Chales Bézie: Nr In diesem Bild Nr.1408 von Charles Bézie lässt sich der Bauplan relativ leicht erkennen. In der ersten Spalte sind 81 Balken. In der zweiten wird jeder zweite Balken jetzt weggelassen, in der dritten jeder dritte. Jetzt denkt man vielleicht, dass in der vierten jeder vierte und in der fünften jeder fünfte, aber das stellt sich als Trugschluss heraus. In der vierten ist es jeder fünfte und in der Fünften jeder achte. Aber man kann diese trotzdem leicht in einen Zusammenhang bringen. Die Zahl der ausgelassen Spalten ergibt sich als Summe der aus den beiden hervorgehenden Spalten. Diese Zahlenfolge, die von einem Mathematiker namens Fibonacci entdeckt und nach ihm benannt wurde, spielt eine sehr wichtige Rolle in der Natur z.b. bei der Verzweigung von Ästen. Hat man erst einmal diesen Zusammenhang entdeckt fällt einem auf, dass auch die Länge der Balken diesem System folgt. 5. Richard Paul Lohse: fünfzehn Farbreihen mit horizontaler und vertikaler Verdichtung Der Künstler erschuf dieses Bild wahrscheinlich, indem er erst eine Reihe aus 15 Farben wählte, diese im ganzen Bild beibehielt und nur den Anfang der Reihe (nicht aber die Reihenfolge selbst) in jeder Zeile veränderte. Nach diesen Regeln ergeben sich bei 15 fest gewählten Farben Möglichkeiten für die Gestaltung des Bildes. Mit einem selbst geschriebenen Computerprogramm, das diese Regeln beachtet, erstellten wir eigene Bilder, die aber aus allen Farben zufällig gewählt wurden. Damit ergab sich ein unvorstellbar große Zahl an Möglichkeiten von.

7 6. Karl Gerstner: Farbfraktal aus der Serie Hommage an Menoît Mandelbrot Zunächst erscheint das Bild als recht chaotische Anordnung von Kreisen und Farben, doch beim genaueren Hinsehen erkennt man, dass ein ausgeklügeltes System dahintersteckt. Wie auch aus dem Titel zu erkennen ist, handelt es sich um ein Fraktal, also um eine immer wiederkehrende Abfolge von bestimmten Formen. Erkennbar ist hier, dass die Aufteilung des großen Kreises in einigen kleineren weitergeführt wird. Zur Farbgebung fällt auf, dass die Farbe jedes Punktes davon abhängt, in wie vielen Kreisen er liegt. Die Farbe wurde wohl nach folgendem Schema gewählt: Weiß, wenn der Punkt auf einem Kreis liegt. Schwarz, wenn der Punkt nur auf 2 Kreisen liegt Mintgrün ( fast weiß ), wenn der Punkt auf 3 Kreisen liegt Tannengrün, wenn der Punkt auf 4 Kreisen liegt Grün, wenn der Punkt auf 5 Kreisen liegt Hellgrün, wenn der Punkt auf 6 Kreisen liegt Will man die Konstruktion des Bildes nachahmen, so steht man nach einigen leichten Berechnungen vor einem ersten ernsthaften Problem: der Kreisradius ( ) kann nur dann über den Satz des Pythagoras berechnet werden, wenn man als rechten Winkel annimmt. Doch darf man das? Ist wirklich Wie lässt sich das zeigen? Die Suche nach einer Lösung gestaltete sich langwierig, führte aber schließlich auf zwei Wegen zum Ziel: Über eine Internetrecherche stießen wir darauf, dass eine ganz ähnliche Problematik auch schon den Griechen Apollonius beschäftigt hat: Wie findet man einen Kreis, der drei gegebene Kreise berührt? Für dieses Problem fand René Descartes eine Formel, mithilfe derer wir berechnen konnten, dass der Radius des Kreises gerade des Radius des großen Außenkreises beträgt. Damit konnten wir schlussfolgern, dass der fragliche rechte Winkel vorhanden sein muss.

8 Ein zweiter Ansatz war es, eine Kurve zu konstruieren, auf der alle Kreismittelpunkte liegen, die sowohl und berühren. Dabei wurde ein Gleichungssystem aufgestellt und mit dem CAS Derive gelöst. Über eine weitere Bedingung findet man auf dieser Kurve die Lage des Mittelpunktes von und schließlich auch seinen Radius. GeoGebra-Konstruktion zum Bild und ein Java-Aplett Durch den Lösungsansatz über die Apollonischen Kreise kann man auf die Idee kommen, dass alle Kreise vom ersten Schritt abhängig sind. Deshalb haben wir eine Simulation erstellt, mit der man den Radius des Kreises K2 verändern kann. Hierbei zeigte sich die Abhängigkeit der Kreise untereinander sehr deutlich:

9 7. Manfred Mohr: Würfel und Hyperwürfel Zu Beginn sah sich die Gruppe drei Bilder dieses Künstlers genauer an: P-407-D, P-197-H und P-360- GG. Dabei wurde klar, dass er eine Vorliebe für Würfel hat. Nicht jedoch nur für dreidimensionale, sondern z. T. auch 4D-Hyperwürfel. Manfred Mohr arbeitet mit diesen Würfeln, indem er sie auf eine Ebene projiziert, bestimmte Raumdiagonalen einzeichnet oder sie zerschneidet und wieder neu kombiniert. Nachdem einem Besuch der Internetseite Manfred Mohrs war es das Ziel der Projektgruppe, den Bauplan hinter den Kunstwerken herauszufinden. Dazu wurde zuerst P-360-GG in Einzelteile zerschnitten und anschließend versucht auf P-197-H nachzulegen. Die Würfelteile mussten dabei zu ganzen Würfeln weiterkonstruiert undr gespiegelt werden. Da schließlich alle Teile außer zweien passten, lässt sich vermuten, dass es ein bestimmtes Schema gibt, welche Teile der Würfel der Künstler für sein Puzzle verwendet. Anschließend wurde versucht, die Bilder mit verschiedenen Modellen nachzustellen. Dazu wählte man sich einen der beiden halben Würfel, konstruierte ihn soweit möglich fertig und projizierte ihn an die Wand. Die dabei entstandenen Schatten wurden dann fotografiert. Eine andere Methode war das Projizieren des dunklen in diesem Fall hellen Quadrats an die Wand. Mit einem kleineren Modell wurde nun versucht, den Ausschnitt aus dem Kunstwerk mit den dicken Linien herzustellen. Durch die Verwendung all dieser Methoden konnte man die Entstehung der Kunstwerke Manfred Mohrs schließlich gut nachvollziehen.