Grundlagen der Finanzwirtschaft

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1 Sonderausgabe für die Donau-Universität Krems mit Auszügen aus Grundlagen der Finanzwirtschaft von Berk, DeMarzo, ISB Grundlagen der Finanzwirtschaft Analyse, Entscheidung und Umsetzung 3., aktualisierte Auflage Jonathan Berk Peter DeMarzo

2 Bibliografische Information der Deutschen ationalbibliothek Die Deutsche ationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen ationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Die Informationen in diesem Buch werden ohne Rücksicht auf einen eventuellen Patentschutz veröffentlicht. Warennamen werden ohne Gewährleistung der freien Verwendbarkeit benutzt. Bei der Zusammenstellung von Texten und Abbildungen wurde mit größter Sorgfalt vorgegangen. Trotzdem können Fehler nicht ausgeschlossen werden. Verlag, Herausgeber und Autoren können für fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Für Verbesserungsvorschläge und Hinweise auf Fehler sind Verlag und Autor dankbar. Alle Rechte vorbehalten, auch die der fotomechanischen Wiedergabe und der Speicherung in elektronischen Medien. Die gewerbliche utzung der in diesem Produkt gezeigten Modelle und Arbeiten ist nicht zulässig. Fast alle Produktbezeichnungen und weitere Stichworte und sonstige Angaben, die in diesem Buch verwendet werden, sind als eingetragene Marken geschützt. Da es nicht möglich ist, in allen Fällen zeitnah zu ermitteln, ob ein Markenschutz besteht, wird das -Symbol in diesem Buch nicht verwendet. Authorized translation from the English language edition, entitled CORPORATE FIACE, 3rd edition by Jonathan Berk, Peter DeMarzo, published by Pearson Education, Inc, Copyright 05. All rights reserved. o part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from Pearson, Inc. GERMA language edition published by PEARSO DEUTSCHLAD GMBH, Copyright Eine Auswahl an Kapiteln aus ISB für die Donau-Universität Krems ISB (E-Book) 06 by Pearson Deutschland GmbH Lilienthalstraße, Hallbergmoos, Germany Alle Rechte vorbehalten A part of Pearson plc worldwide Programmleitung: Martin Milbradt, mmilbradt@pearson.de Lektorat: Elisabeth Prümm, epruemm@pearson.de Fachlektorat: Hermann Locarek-Junge (Dresden) Klaus Röder (Regensburg) Übersetzung: Wolfgang Wurbs (Bad Goisern) Peggy Plötz-Steger (Lützen) AMTRAS / Andrea Schömann (Linz) Korrektorat: Christian Schneider Umschlagillustration: Shutterstock; Copyright: isak55 Herstellung: Claudia Bäurle, cbaeurle@pearson.de Satz: mediaservice, Siegen (

3 4.5 Ewige Renten und endliche Renten Historische Beispiele ewiger Renten Unternehmen begeben bisweilen Anleihen, die sie ewige Anleihen nennen, in Wirklichkeit jedoch nicht ewig laufen. Mitte des Jahres 00 begab beispielsweise die HSBC, die größte Bank Europas, ewige Anleihen in Höhe von USD 3,4 Milliarden, die den Anlegern jedes Jahr ohne Laufzeitbegrenzung einen festen Betrag zusagen. Doch obwohl die Anleihen keine Laufzeitbegrenzung haben, sind sie nicht wirklich echte ewige Anleihen, da HSBC das Recht hat, die Anleihe nach 5,5 Jahren zurückzuzahlen. Die Zahlungen aus der Anleihe könnten daher nicht ewig währen. Ewige Anleihen zählten zu den ersten Anleihen, die je begeben wurden. Die ältesten ewigen Anleihen, aus denen immer noch Zinszahlungen erfolgen, wurden im Jahre 64 von der Hoogheemraadschap Lekdijk Bovendams, einer für die Wartung der Deiche zuständigen holländischen Behörde, begeben. Um sich zu vergewissern, dass aus diesen Anleihen immer noch Zinsen gezahlt werden, kauften William Goetzmann und Geert Rouwenhorst, zwei Professoren der Finanzwirtschaft in Yale, im Juli 003 eine dieser Anleihen und kassierten Zinsen für die letzten 6 Jahre. Bei der Emission der Anleihe im Jahr 648 zahlte diese Anleihe die Zinsen in Carolusgulden. Im Laufe der nächsten 355 Jahre war die Währung der Zinszahlungen erst flämische Pfund, dann holländische Gulden und jetzt Euro. Zurzeit zahlt die Anleihe Zinsen in Höhe von EUR,34 jährlich. Obwohl die holländischen Anleihen die ältesten noch vorhandenen ewigen Anleihen sind, stammen die ersten ewigen Anleihen aus viel früheren Zeiten. Beispielsweise wurden cencus agreements und rentes, Abwandlungen ewiger und endlicher Renten, im zwölften Jahrhundert in Italien, Frankreich und Spanien begeben. Mit diesen Anleihen sollten ursprünglich die Wuchergesetze der katholischen Kirche umgangen werden. Da die Rückzahlung des Kapitalbetrags nicht erforderlich war, galten sie in den Augen der Kirche nicht als Kredite. Durch die heutige Anlage der EUR 00 in der Bank kann praktisch eine ewige Rente geschaffen werden, die EUR 5 pro Jahr auszahlt. Das Gesetz des einheitlichen Preises besagt, dass das gleiche Gut auf jedem Markt den gleichen Preis haben muss. Da die Bank die ewige Rente für EUR 00 verkauft (zu diesem Preis deren Schaffung gestattet), entspricht der Barwert der ewigen EUR 5 pro Jahr den Kosten für die eigene Anlage der EUR 00. Dieses Argument soll nun verallgemeinert werden. Angenommen, ein Betrag P wird auf der Bank angelegt. Jedes Jahr können die erzielten Zinsen, C = r P, abgehoben werden und der Kapitalbetrag P verbleibt auf der Bank. Der Barwert des ewigen Erhalts von C entspricht damit den anfänglichen Kosten P = C : r. Deshalb gilt: Barwert einer ewigen Rente BW ( C ewig) C = (4.7) r Mit anderen Worten ausgedrückt bedeutet dies, dass durch die heutige Anlage des Betrags C : r die Zinsen ( C / r = Cin jedem Zeitraum für immer abgehoben werden können. Somit ist der Barwert der ewigen Rente gleich C : r. Hier ist die Logik hinter unserer Argumentation zu beachten. Zur Bestimmung des Barwertes eines Zahlungsstroms wurden die eigenen Kosten der Schaffung der gleichen Zahlungen auf der Bank berechnet. Dies ist ein äußerst nützlicher und starker Ansatz, der überdies viel einfacher und schneller als die Summierung der unendlichen Terme ist. 7

4 4 Der Zeitwert des Geldes Beispiel 4.7: Schenkung einer ewigen Rente Fragestellung Sie wollen Ihrer Alma Mater eine jährlich stattfindende MBA-Abschlussfeier schenken. Da sie ein denkwürdiges Ereignis sein soll, planen Sie für unbegrenzte Zeit pro Jahr für diese Feier ein. Wie viel müssen Sie für die Schenkung dieser Feier spenden, wenn die Universität 8 % pro Jahr auf ihre Anlagen erzielt und die erste Feier in einem Jahr stattfinden soll? Lösung Der Zeitstrahl für die Cashflows, die Sie zur Verfügung stellen wollen, sieht wie folgt aus: 0 3 Dies ist eine normale ewige Rente von pro Jahr. Die Geldmittel, die der Universität auf ewig gespendet werden müssen, entsprechen dem Barwert dieses Zahlungsstroms. Aus der Formel leiten wir her: BW = C / r = EUR / 008, = EUR heute Wenn Sie heute EUR spenden und wenn die Universität diesen Betrag auf ewig zu 8 % pro Jahr anlegt, verfügen die Absolventen des MBA-Studiengangs jedes Jahr über für ihre Abschlussfeier. Ein häufiger Fehler Einmal zu oft abgezinst Die Formel für die ewige Rente beruht auf der Annahme, dass die erste Zahlung am Ende der ersten Periode (zum Zeitpunkt ) erfolgt. Manchmal haben ewige Renten allerdings Cashflows, die zu einem späteren Zeitpunkt in der Zukunft beginnen. In diesem Fall kann die Formel für die ewige Rente so angepasst werden, dass der Barwert berechnet wird. Dies muss allerdings sorgfältig erfolgen, um einen häufigen Fehler zu vermeiden. Um dies zu verdeutlichen, kehren wir noch einmal zu der im Beispiel 4.7 beschriebenen MBA-Abschlussfeier zurück. Statt des sofortigen Beginns dieser neuen Tradition sei angenommen, dass die erste Feier erst in zwei Jahren (für die Studenten, die gerade ihr Studium angefangen haben) stattfinden wird. Wie würde sich durch diese Verzögerung der erforderliche Spendenbetrag verändern? Jetzt sieht der Zeitstrahl wie folgt aus: 0 3 8

5 4.5 Ewige Renten und endliche Renten Wir müssen den Barwert dieser Cashflows ermitteln, da er der Geldbetrag ist, der heute in der Bank vorhanden sein muss, um die zukünftigen Feiern finanzieren zu können. Wir können die Formel der ewigen Rente jedoch nicht direkt anwenden, da diese Cashflows nicht genau die ewige Rente sind, wie wir sie definiert haben. Insbesondere der Cashflow in der ersten Periode fehlt. Aber schauen Sie sich die Lage zum Termin an - zu diesem Zeitpunkt ist die erste Feier eine Periode entfernt und danach erfolgen die Cashflows periodisch. Aus der Sicht von Zeitpunkt ist dies eine ewige Rente und wir können die Formel anwenden. Aus der vorherigen Berechnung wissen wir, dass wir zum Zeitpunkt EUR benötigen, um für den Beginn der Feiern zum Zeitpunkt ausreichend Geld zu haben. Wir schreiben daher den Zeitstrahl wie folgt um: 0 EUR Das Ziel lässt sich nun einfacher umformulieren: Welcher Betrag muss heute investiert werden, damit in einem Jahr EUR zur Verfügung stehen? Dies lässt sich mit einer einfachen Barwertberechnung lösen: BW = EUR :,08 = EUR 347. heute Ein häufiger Fehler besteht darin, den Betrag von EUR zweimal abzuzinsen, da die erste Feier erst zwei Perioden später stattfindet. An dieser Stelle sei daran erinnert: Mit der Barwertformel für die ewige Rente werden die Cashflows bereits auf eine Periode vor dem ersten Cashflow abgezinst. Hier ist zu beachten, dass dieser häufige Fehler bei ewigen Renten, Annuitäten und auch bei all den anderen, in diesem Kapitel erörterten Sonderfällen auftreten kann. In all diesen Formeln werden die Cashflows auf eine Periode vor dem ersten Cashflow abgezinst. Annuitäten Eine Annuität ist ein Strom von gleichen Cashflows, die in regelmäßigen Abständen gezahlt werden. Der Unterschied zwischen einer Annuität und einer ewigen Rente liegt darin, dass eine Annuität nach einer festgelegten Anzahl von Zahlungen endet. Die meisten Autokredite, Hypotheken und einige Anleihen sind Annuitäten. Die Cashflows einer Annuität werden wie folgt auf einem Zeitstrahl abgebildet. 0 C C C Hierbei ist zu beachten, dass wir genau wie bei der ewigen Rente festlegen, dass die erste Zahlung zum Zeitpunkt in einer Periode von heute an erfolgt. Der Barwert einer Annuität mit Zeiträumen, mit der Zahlung C und einem Zinssatz r ist gleich: C C C C C BW = + + r + + r = ( ) ( ) ( ( + ( + Der Barwert einer Annuität. Zur Bestimmung einer einfacheren Formel verwenden wir den gleichen Ansatz wie bei der ewigen Rente: Wir bestimmen eine Möglichkeit zur Schaffung einer Annuität. Zur Verdeutlichung nehmen wir an, Sie legen EUR 00 auf einem Konto an, das mit 5 % verzinst wird. ach Ablauf eines Jahres verfügen Sie über EUR 05 auf der Bank (die ursprünglichen EUR 00 plus EUR 5 Zinsen). Mithilfe der gleichen Strategie wie bei der ewigen Rente sei nunmehr angenommen, Sie heben die EUR 5 Zinsen vom Konto ab und legen die EUR 00 ein weiteres Mal für ein zweites Jahr an. Auch hier haben Sie nach einem Jahr erneut EUR 05 und können dieses Verfahren wieder- n= n 9

6 4 Der Zeitwert des Geldes holen, also EUR 5 abheben und jedes Jahr wieder EUR 00 anlegen. Bei einer ewigen Rente bleibt das Kapital für immer investiert. Alternativ dazu könnten Sie nach 0 Jahren beschließen, das Konto aufzulösen und den Kapitalbetrag abzuheben. In diesem Fall sieht der Cashflow wie folgt aus: 0 EUR 00 EUR 05 EUR 00 EUR 5 0 EUR 05 EUR 05 EUR 00 EUR 5 EUR 5 EUR 00 So wurde mit der Anfangsinvestition von EUR 00 eine zwanzigjährige Annuität von EUR 5 pro Jahr geschaffen, darüber hinaus erhalten Sie am Ende der 0 Jahre zusätzliche EUR 00. ach dem Gesetz des einheitlichen Preises und da eine Anfangsinvestition von EUR 00 notwendig war, um die Cashflows auf dem Zeitstrahl zu erzielen, beträgt der Barwert dieser Cashflows EUR 00 oder EUR 00 = BW(0-jährige Annuität von EUR 5 pro Jah + BW(EUR 00 in 0 Jahren) Durch Umstellen der Terme erhalten wir BW(0-jährige Annuität von EUR 5 pro Jah = EUR 00 BW(EUR 00 in 0 Jahren) 00 = 00-0 = EUR 6, 3 05, Somit ist der Barwert von EUR 5 für 0 Jahre gleich EUR 6,3. Intuitiv entspricht der Wert der Annuität der Anfangsinvestition auf dem Bankkonto minus dem Barwert des Kapitalbetrags, der nach 0 Jahren noch auf dem Konto verbleibt. Das gleiche Konzept kann auch zur Ableitung der allgemeinen Formel herangezogen werden. Zunächst wird P bei der Bank investiert und in jeder Periode werden nur die Zinsen C = r P abgehoben. ach Zeiträumen wird das Konto aufgelöst. Somit erhalten wir für eine Anfangsinvestition P eine Annuität von C pro Periode über Perioden. Überdies erhalten wir am Ende unseren Anfangsbetrag P zurück. P ist der Gesamtbarwert der beiden Zahlungsströme oder P = BW(Annuität von C über Zeiträume) + BW(P zum Zeitpunkt ) Durch Umstellen der Terme kann der Barwert der Annuität berechnet werden: BW(Annuität von C über Zeiträume) = P BW(P zum Zeitpunkt ) P = P - = P - ( + ( + (4.8) An dieser Stelle sei daran erinnert, dass die periodische Zahlung C den in jeder Periode erzielten Zinsen entspricht, das heißt C = r P oder anders gesagt, wir erhalten durch Auflösen nach P die Anfangskosten bezogen auf C. P = C : r Durch Einsetzen für P in Gleichung 4.8 erhalten wir hier die Formel für den Barwert einer Annuität C für Zeiträume. 30

7 4.5 Ewige Renten und endliche Renten Barwert einer Annuität 3 BW( Annuität von C für Perioden zum Zinssatz = C r ( + (4.9) Beispiel 4.8: Der Barwert einer Annuität aus einem Lotteriegewinn Fragestellung Sie sind der glückliche Gewinner eines Preises von EUR 30 Millionen in der staatlichen Lotterie. Sie können sich nun den Preis entweder (a) in 30 Zahlungen von EUR Million pro Jahr (ab heute) oder (b) mit EUR 5 Millionen heute auszahlen lassen. Welche Option sollten Sie wählen, wenn der Zinssatz 8 % beträgt? Lösung Mit Option (a) erhält der Gewinner das Preisgeld von EUR 30 Millionen, allerdings erst im Laufe der Zeit. Um dies richtig bewerten zu können, muss dieser Betrag auf einen Barwert umgerechnet werden. Der Zeitstrahl sieht wie folgt aus: 0 EUR Million EUR Million 9 EUR Million EUR Million Da die erste Zahlung heute erfolgt, enden die Zahlungen mit dem letzten Betrag in 9 Jahren (nach insgesamt 30 Zahlungen). Die EUR Million zum Zeitpunkt 0 sind bereits als Barwert ausgedrückt, doch muss der Barwert der noch verbleibenden Zahlungen berechnet werden. Dieser Fall gestaltet sich wie eine Annuität von EUR Million pro Jahr über 9 Jahre, sodass die Annuitätenformel verwendet werden kann: BW(9-jährige Annuität von EUR Million) = EUR Million = EUR Million 6, 008, 008, 9 = EUR, 6 Millionen heute Somit ist der Gesamtbarwert der Cashflows gleich EUR Million + EUR,6 Millionen = EUR,6 Millionen. Der Zeitstrahl ist wie folgt: 0 EUR Million EUR,6 Million EUR,6 Million EUR Million 9 EUR Million EUR Million Die Option (b) mit einer Sofortzahlung von EUR 5 Millionen hat einen höheren Wert obwohl der insgesamt gezahlte Geldbetrag nur die Hälfte von Option (a) beträgt. Der Grund für diese Differenz liegt im Zeitwert des Geldes. Verfügt der Gewinner heute über die EUR 5 Millionen, so kann er EUR Million sofort verwenden und die verbleibenden EUR 4 Millionen zu einem Zinssatz von 8 % anlegen. Mit dieser Strategie erzielt der Gewinner EUR 4 Millionen 8 % = EUR, Millionen pro Jahr für immer! Alternativ dazu könnte er heute EUR 5 Millionen EUR,6 Millionen = EUR 3,84 Millionen ausgeben und die verbleibenden EUR,6 Millionen anlegen, wodurch er über die nächsten 9 Jahre EUR Million pro Jahr abheben könnte, bevor das Konto leer ist. 3 Eine frühe Ableitung dieser Formel wird dem Astronomen Edmond Halley zugeschrieben ( Of Compound Interest, nach Halleys Tod von Henry Sherwin, Sherwin s Mathematical Tables, London; W. and J. Mount, T. Page and Son, 76 veröffentlicht). 3

8 4 Der Zeitwert des Geldes Endwert einer Annuität. achdem eine einfache Formel für den Barwert einer Annuität hergeleitet worden ist, kann leicht eine einfache Formel für den Endwert bestimmt werden. Soll der Wert in Jahren in der Zukunft bestimmt werden, so wird der Barwert auf dem Zeitstrahl um Perioden in die Zukunft verschoben, das heißt der Barwert wird über Perioden zum Zinssatz r aufgezinst. Endwert einer Annuität ZW(Annuität) = BW ( + C = r ( + = C + r ( + (( ) (4.0) Diese Formel ist hilfreich, wenn bestimmt werden soll, wie ein Sparkonto im Laufe der Zeit wachsen wird. Im Folgenden soll dieses Ergebnis nun auf die Bewertung eines Rentensparplans angewendet werden. Beispiel 4.9: Annuität aus einem Rentensparplan Fragestellung Ellen ist 35 Jahre alt und hat entschieden, dass es jetzt an der Zeit ist, ernsthaft für das Alter vorzusorgen. Bis sie 65 ist, will sie am Ende jeden Jahres EUR auf ein Rentenkonto einzahlen. Welchen Betrag hat Ellen angespart, wenn sie 65 ist, wenn das Konto eine Rendite von 0 % pro Jahr erzielt? Lösung Wie immer beginnen wir auch hier mit einem Zeitstrahl. In diesem Fall ist es hilfreich, sowohl die Zeitpunkte als auch Ellens Alter zu berücksichtigen: EUR EUR EUR Ellens Sparplan sieht wie eine Annuität von EUR pro Jahr über 30 Jahre aus. (Hinweis: Wenn man statt auf die Zeitpunkte und das Alter nur auf das Alter schaut, wird man leicht verwirrt. Ein häufiger Fehler ist zu glauben, dass es nur = 9 Zahlungen sind. Wenn man sowohl die Zeitpunkte als auch das Alter aufschreibt, lässt sich dieses Problem vermeiden.) Um den Betrag zu bestimmen, den Ellen im Alter von 65 Jahren auf dem Konto haben wird, berechnen wir den Endwert dieser Annuität: 30 ZW = EUR (,0 ) 0,0 = EUR ,49 = EUR,645 Millionen im Alter von 65 Geometrisch wachsende Cashflows Bis hierher wurden nur Zahlungsströme berücksichtigt, die in jeder Periode den gleichen Cashflow aufweisen. Wird jedoch stattdessen davon ausgegangen, dass die Cashflows in jeder Periode mit einer konstanten Wachstumsrate zunehmen, kann auch eine einfache Formel für den Barwert des zukünftigen Zahlungsstroms abgeleitet werden. 3

9 4.5 Ewige Renten und endliche Renten Geometrisch wachsende ewige Rente. Eine geometrisch wachsende ewige Rente ist ein Strom von Zahlungen, die für immer in regelmäßigen Abständen auftreten und mit einer konstanten Rate wachsen. So weist beispielsweise eine wachsende ewige Rente mit einer Anfangszahlung von EUR 00, die um eine Rate von 3 % steigt, den folgenden Zeitstrahl auf: EUR 00 EUR 00,03 EUR 03 EUR 03,03 EUR 06,09 EUR 06,09,03 EUR 09,7 Eine wachsende ewige Rente weist gewöhnlich mit einer ersten Zahlung C und einer Wachstumsrate g die folgende Reihe von Zahlungsströmen auf: C g) C ( g) C ( g) C ( Wie im Fall der ewigen Rente mit gleichmäßigen Cashflows legen wir auch hier fest, dass die erste Zahlung zum Zeitpunkt erfolgt. Hierbei ist auch eine zweite wichtige Festlegung zu berücksichtigen: Die erste Zahlung wächst nicht, das heißt die erste Zahlung ist gleich C, obwohl sie erst in einer Periode erfolgt. Es gilt, dass der Cashflow in Periode n nur n Wachstumsperioden durchläuft. Durch Einsetzen der Cashflows aus dem oben stehenden Zeitstrahl in die allgemeine Formel für den Barwert eines Zahlungsstroms erhalten wir: C C( + g) C( + g) BW = + + ( + 3 ( + ( + C( + g) +... = ( + Gilt g r, wachsen die Cashflows noch schneller, als sie diskontiert werden: Jeder Term in der Summe wird größer statt kleiner. In diesem Fall ist die Summe unendlich. Was bedeutet ein unendlicher Barwert? An dieser Stelle sei daran erinnert, dass der Barwert die Kosten der eigenen Schaffung der Cashflows darstellt. Ein unendlicher Barwert bedeutet, dass es unabhängig davon, mit wie viel Geld man beginnt, unmöglich ist, auf ewig eine Wachstumsrate g beizubehalten und diese Cashflows selbst nachzubilden. Geometrisch wachsende ewige Renten dieser Art können in der Praxis nicht gegeben sein, da niemand bereit wäre, eine solche zu einem endlichen Preis anzubieten. Ein Versprechen, einen Betrag zu zahlen, der immer schneller wächst als der Zinssatz, würde wahrscheinlich nicht eingehalten oder von einem klugen Käufer geglaubt werden. Die einzigen umsetzbaren geometrisch wachsenden ewigen Renten sind diejenigen, bei denen die geometrische Wachstumsrate geringer als der Zinssatz ist, sodass jeder nachfolgende Term in der Summe niedriger als der vorherige Term und die Gesamtsumme endlich ist. Demzufolge nehmen wir an, dass bei einer geometrisch wachsenden ewigen Rente gilt g < r. Zur Ableitung der Formel für den Barwert einer geometrisch wachsenden ewigen Rente wird die gleiche Logik wie für eine normale ewige Rente herangezogen: Es wird der Betrag berechnet, der heute eingezahlt werden müsste, um die ewige Rente selbst nachzubilden. Im Fall einer normalen ewigen Rente wurde eine ewige konstante Zahlung geschaffen, indem die erzielten Zinsen in jedem Jahr abgehoben wurden und der Kapitalbetrag erneut investiert wurde. Um den Betrag zu erhöhen, der jedes Jahr abgehoben werden kann, muss der in jedem Jahr wieder angelegte Kapitalbetrag steigen. Deshalb wird weniger als der volle Betrag der in jeder Periode erzielten Zinsen abgehoben, um die verbleibenden Zinsen zur Erhöhung des Kapitalbetrags zu verwenden. Betrachten wir dazu einen konkreten Fall: Sie wollen eine ewige Rente schaffen, die um % jährlich wächst. Dazu legen Sie EUR 00 in ein Bankkonto an, auf das 5 % Zinsen gezahlt werden. Am Ende des ersten Jahres sind auf dem Konto EUR 05: die ursprünglichen EUR 00 plus EUR 5 Zinsen. Wenn nur EUR 3 abgehoben werden, können EUR 0 wieder angelegt werden, das sind % mehr als der ursprüngliche Betrag. Dieser Betrag steigt dann im folgenden Jahr auf EUR 0,05 = EUR 07,0. Dann können EUR 3,0 = EUR 3,06 abgehoben werden, wonach ein Kapitalbetrag n= n- n 33

10 4 Der Zeitwert des Geldes von EUR 07,0 EUR 3,06 = EUR 04,04 verbleibt. Hierbei ist zu beachten, dass EUR 0,0 = EUR 04,04. Das heißt, sowohl der abgehobene Betrag als auch der reinvestierte Kapitalbetrag steigen in jedem Jahr um %. Auf einem Zeitstrahl sehen diese Cashflows wie folgt aus: 0 EUR 00 EUR 05 EUR 0 EUR 3 EUR 07,0 EUR 04,04 EUR 3,06 EUR 3,0 3 EUR 09,4 EUR 06, EUR 3, EUR 3 (,0) Durch die Einhaltung dieser Strategie wurde eine geometrisch wachsende ewige Rente geschaffen, die mit EUR 3 beginnt und pro Jahr um % wächst. Diese geometrisch wachsende ewige Rente muss über einen EUR 00 entsprechenden Barwert verfügen. Dieses Argument kann nun verallgemeinert werden. Im Fall einer ewigen Rente mit gleichen Zahlungen wird ein Betrag P bei der Bank eingezahlt und die Zinsen werden in jedem Jahr abgehoben. Da der Kapitalbetrag P immer auf der Bank bleibt, könnte dieses Muster auf ewig beibehalten werden. Soll der in jedem Jahr von der Bank abgehobene Betrag um g steigen, so muss auch der Kapitalbetrag auf der Bank um den gleichen Faktor g wachsen. Das heißt, anstelle der Wiederanlage von P im zweiten Jahr sollte P( + g) = P + gp wieder angelegt werden. Um den Kapitalbetrag um gp zu erhöhen, kann nur C = rp gp = P(r g) abgehoben werden. Durch Auflösen dieser Gleichung nach P, den auf das Konto eingezahlten Anfangsbetrag, erhalten wir den Barwert einer geometrisch wachsenden ewigen Rente mit dem anfänglichen Cashflow C: Barwert einer geometrisch wachsenden ewigen Rente C BW (geometrisch wachsende ewige Rente) = r - g (4.) Um ein intuitives Verständnis für die Formel für eine geometrisch wachsende ewige Rente zu entwickeln, beginnen wir mit der Formel für eine ewige Rente. Im Fall weiter oben musste ein ausreichender Geldbetrag bei der Bank eingezahlt werden, um sicherzustellen, dass die erzielten Zinsen den Cashflows der regelmäßigen ewigen Rente entsprechen. Im Fall einer geometrisch wachsenden ewigen Rente muss ein höherer Betrag bei der Bank eingezahlt werden, da auch das Wachstum der Cashflows finanziert werden muss. Aber wie viel mehr muss eingezahlt werden? Wenn die Bank Zinsen von 5 % zahlt, so kann, wenn sichergestellt werden soll, dass der Kapitalbetrag um % pro Jahr steigt, nur die Differenz abgehoben werden, also 5 % % = 3 %. Somit ist der Barwert der ewigen Rente nicht mehr gleich dem ersten Cashflow geteilt durch den Zinssatz, sondern nunmehr ist es der erste Cashflow geteilt durch die Differenz zwischen dem Zinssatz und der Wachstumsrate. Beispiel 4.0: Schenkung einer geometrisch wachsenden ewigen Rente Fragestellung In Beispiel 4.7 plante ein Absolvent, seiner Universität Geld für die Finanzierung einer jährlich stattfindenden MBA-Abschlussfeier in Höhe von zu spenden. Bei einem Zinssatz von 8 % pro Jahr entsprach die erforderliche Spende dem Barwert von BW = : 0,08 = EUR heute Bevor der Verband der MBA-Studenten die Spende angenommen hat, bat er den Spender, die Spende so zu erhöhen, dass die Auswirkungen der Inflation auf die Kosten der Feier in zukünftigen Jahren berücksichtigt werden. Auch wenn der Betrag von für die Feier im nächsten Jahr ausreichend ist, werden nach den Schätzungen der Studenten die Kosten für die Feier danach um 4 % pro Jahr steigen. Wie viel müsste heute gespendet werden, um dieser Bitte nachzukommen? 34

11 4.5 Ewige Renten und endliche Renten Lösung 0 3,04,04 Die Kosten für die Feier im nächsten Jahr betragen, danach steigen die Kosten pro Jahr für immer um 4 %. Aus dem Zeitstrahl erkennen wir die Form einer geometrisch wachsenden ewigen Rente. Zur Finanzierung der wachsenden Kosten muss der heutige Barwert von BW = : (0,08 0,04) = EUR heute zur Verfügung gestellt werden. Der Spender muss somit die Höhe seiner Spende verdoppeln! Geometrisch wachsende Annuität. Eine geometrisch wachsende Annuität ist ein Strom von in regelmäßigen Abständen gezahlten, geometrisch wachsenden Cashflows. Es handelt sich um eine geometrisch wachsende Rente, die schließlich doch endet. Auf dem folgenden Zeitstrahl wird eine geometrisch wachsende Annuität mit einem anfänglichen Cashflow C, der in jeder Periode bis zur Periode mit der Wachstumsrate g wächst, dargestellt: 0 C C ( g) C ( g) Die weiter oben angewendeten Grundsätze treffen noch immer zu:. Der erste Cashflow entsteht zum Ende der ersten Periode und. der erste Cashflow nimmt nicht zu. Damit spiegelt der letzte Cashflow nur Wachstumsperioden wider. Der Barwert einer über Perioden geometrisch wachsenden Annuität mit dem anfänglichen Cashflow C, der Wachstumsrate g und dem Zinssatz r ist durch die folgende Gleichung gegeben: Barwert einer geometrisch wachsenden Annuität g BW = C - + r - g + r (4.) Da die Annuität nur eine endliche Anzahl von Termen hat, funktioniert Gleichung 4. auch, wenn g > r. 4 Das Verfahren zur Ableitung dieses einfachen Ausdrucks des Barwerts einer geometrisch wachsenden Annuität ist gleich dem Verfahren für eine normale Annuität. 4 Gleichung 4. funktioniert nicht bei g = r, aber in diesem Fall heben sich Wachstum und Diskontierung auf und der Barwert entspricht dem Erhalt aller Cashflows zu Termin : BW = C : ( +. 35

12 4 Der Zeitwert des Geldes Beispiel 4.: Vorsorgesparen mit einer geometrisch wachsenden Annuität Fragestellung In Beispiel 4.9 wollte Ellen pro Jahr EUR für ihre Rente sparen. Obwohl EUR der Höchstbetrag ist, den sie im ersten Jahr sparen kann, erwartet sie, dass ihr Gehalt jedes Jahr steigt, sodass sie ihre Sparbeträge um 5 % pro Jahr erhöhen kann. Wie viel wird Ellen bei diesem Plan gespart haben, wenn sie 65 Jahre alt ist, wenn sie Zinsen von 0 % pro Jahr auf ihre Ersparnisse erzielt? Lösung Ihr neuer Sparplan wird durch den folgenden Zeitstrahl dargestellt: EUR EUR (,05) EUR (,05) 9 Dieses Beispiel beinhaltet eine geometrisch wachsende Annuität über 30 Jahre mit einer Steigerungsrate von 5 % und einem anfänglichen Cashflow von EUR Der Barwert dieser geometrisch wachsenden Annuität ist gegeben durch: BW = EUR ,.,, 0, = EUR , 0463 = EUR heute Der von Ellen vorgesehene Sparplan entspricht einem heutigen Betrag von EUR auf der Bank. Um den Betrag zu bestimmen, über den sie im Alter von 65 Jahren verfügen wird, müssen wir diesen Betrag um 30 Jahre in die Zukunft verschieben: EW = EUR ,0 30 = EUR,65 Millionen in 30 Jahren Im Alter von 65 Jahren wird Ellen mithilfe des neuen Sparplans EUR,65 Millionen gespart haben. Diese Summe ist beinahe EUR Million höher als die Summe, die sie ohne die zusätzliche jährliche Steigerung der Sparbeträge erzielt hätte. Die Formel für die geometrisch wachsende Annuität umfasst alle anderen Formeln in diesem Abschnitt. Um aufzuzeigen, wie die anderen Formeln aus dieser hergeleitet werden, betrachten wir zunächst eine geometrisch wachsende ewige Rente. Es handelt sich um eine geometrisch wachsende Annuität mit =. Wenn g < r, so gilt: + g + r < + g, daher 0, wenn + r Wenn gilt =, so lautet die Formel für eine geometrisch wachsende Annuität: C g BW = - + r - g + r C C = ( - 0) = r-g r - g 36

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