1 F 2, der Körper mit zwei Elementen. Organisatorisches = = = =

Transkript

1 Organisatorisches Name Dr. Thorsten Wörmann Adresse Endenicher Allee 60, Raum N1.017 Homepage Tel. 0228/ Die Übungsgroppen Gruppe Termin Ort A Mo, 14:30-16:00 HS Mineralogie (Schloß) B Mo, 16:00-17:30 MA176 / Hörsaal II (hier) C Mi, 16:00-17:30 HS Mineralogie (Schloß) D entfällt E Mo, 14:30-16:00 Geologie / Steinmann Geologie ÜR Anmeldung zu den Übungsgruppen: Über Ecampus (Passwort: mathegeo) Ausgabe der Übungsblätter in der Vorlesung und online auf meiner Homepage Bearbeitungszeit: Eine Woche. Abgabe in den Übungsgruppen Korrekturzeit: Eine Woche, danach Besprechung der Aufgaben in den Übungsgruppen Bonusaufgaben: Für die (wöchentlichen) Bonusaufgaben auf Ecampus können Sie insgesamt maximal 5 Zusatzpunkte für die Klausur erhalten. Die Bonusaufgaben sind, nach der Vorlesung, für eine Woche zugänglich. 1 F 2, der Körper mit zwei Elementen Wir betrachten eine Menge bestehend aus zwei Objekten: M := {, } Wir definieren zwei Operationen auf dieser Menge: = = = = = = = = Bei einer Operation wird also jeder möglichen Kombination von Elementen der Menge ein Ergebnis, also wieder ein Element der Menge zugewiesen. Wir wollen nun die Eigenschaften dieser Operationen untersuchen. Zunächst einmal stellen wir fest, daß die Operationen unabhängig von der Reihenfolge sind: Beide Operationen sind kommutativ. Deshalb können wir die Verknüpfungen auch kürzer in den folgenden beiden Tabellen beschreiben:

2 Die Kommutativität können wir auch wie folgt ausdrücken: a b = b a und a b = b a für alle a, b M. Weiter stellen wir fest, daß beide Operationen ein Neutralelement haben, also ein Element, dessen Verknüpfung nichts bewirkt: a = a und a = a für alle a M. Es gilt das Assoziativgesetz für : a b c (a b) c a (b c) = = = = = = = = = = = = = = = = Man sieht also : (a b) c = a (b c) für alle a, b, c M Das alles Nachzurechnen ist etwas langatmig. Um die Assoziativität von einzusehen, versuchen wir mit etwas weniger Arbeit auszukommen. Behauptung: (a b) c = a (b c) für alle a, b, c M Grund: Man sieht a = für alle a M. 1.Fall: a = : Dann ist (a b) c = ( b) c = c = und (b c) =. 2.Fall: a = : Dann ist (a b) c = b c und a (b c) = b c Behauptung: a (b c) = (a b) (a c) Grund: 1.Fall: a =. Dann sind beide Seiten. 2. Fall: a = : Dann sind beide Seiten b c. Als besonders nützlich wird sich die folgende Eigenschaft erweisen: Behauptung: Grund: =, = Folgerung: (a b) a = b a a = für alle a M Grund: (a b) a = a (a b) = (a a) b = b = b

3 1.1 Drei Anwendungen Wir betrachten jetzt statt der einzelnen Zeichen und Zeichenketten gleicher Länge aus diesen Symbolen. Zwei Zeichenketten werden stellenweise mit bzw. verknüpft. Diese Verknüpfungen bezeichnen wir wieder mit und. Beispiel: = Wie oben gilt auch für Zeichenketten x, y: x y = y x, (x y) z = x (y z), x x = (Die Zeichenkette die nur aus lauter besteht), x = x. 1.2 One Time Pad Alice möchte Bob eine verschlüsselte Botschaft schicken, die nur Bob entschlüsseln kann. Die Nachricht nennen wir x. Alice generiert einen gleich langen Schlüssel s, den Sie Bob auf sicherem Wege zukommen läßt. Nun berechnet Sie m = x s m kann sie nun über einen unsicheren Kanal (z.b. das Internet) an Bob verschicken. Bob berechnet nach Erhalt der Nachricht: m s Er erhält m s = (x s) s = x (s s) = x = x also die unverschlüsselte Nachricht. Beispiel: Alice x =, s = m = Bob m =, s = m s = = x Bemerkung: Dieses Verfahren ist das einzig mathematisch beweisbar sichere Verschlüsselungsverfahren. 1.3 RAID-5 Wir stellen uns zwei Festplatten gleicher Größe vor, die beide mit Daten bestehend aus Zeichenketten von und bestehen. Wie können wir uns dagegen absichern, daß eine Festplatte defekt wird und die Daten verloren gehen? Dazu nehmen wir noch eine dritte Festplatte und bezeichnen den Inhalt der ersten beiden Platten mit x und y. Auf der dritten Festplatte speichern wir z = x y ab. Fällt jetzt die Platte mit Inhalt x aus, so berechnen wir: y z = y (x y) = y (y x) = (y y) x = x = x Damit ist der Platteninhalt x wieder hergestellt. Analog geht man beim Ausfall der Platte mit Inhalt y vor. Fällt z aus, so kann dies einfach wieder als x y berechnet werden.

4 1.4 Fehler korrigierende Codes Wir wollen eine Nachricht über einen störungsanfälligen Kanal schicken. Wie kann der Empfänger erkennen, ob eine Nachricht einen Fehler enthält und diesen gegebenenfalls korrigieren? Eine Möglichkeit wäre, die Nachricht dreimal abzuschicken und der Empfänger macht eine Mehrheitsentscheidung. Zum einen verdreifacht das das Datenaufkommen, zum anderen weiß der Empfänger nicht, ob an der gleichen Stelle zweimal ein Fehler aufgetreten ist. Ein clevereres Verfahren ist das folgende. Wir nehmen an, daß wir die Symbole m 1, m 2, m 3, m 4 M übertragen wollen. Weiter nehmen wir an, daß bei dieser Übertragung maximal ein Fehler auftritt. Wir generieren p 1, p 2 und p 3 so, daß in jedem Kreis gerade viele stehen: K2 K1 m1 p2 p1 m3 m4 m2 p3 K3 Wir machen das tabellarisch für den Kreis K 1 : m 1 m 2 m 4 p 1 Wie man sieht, ist das mühsam. Kürzer und schneller lassen sich p 1, p 2 und p 3 wie folgt beschreiben (Grund?): p 1 = m 1 m 2 m 4 p 2 = m 1 m 3 m 4 p 3 = m 2 m 3 m 4 (Hierbei gilt die Konvention: a b c := (a b) c). Nun werden m 1,, m 4, p 1,, p 3 übertragen. Der Empfänger ordnet die empfangenen Symbole wieder in die obigen Kreise ein. Nun kann der Empfänger überprüfen, ob die Kreise eine gerade Anzahl von enthalten. Wir sehen uns nun einmal an, was passiert, wenn bei dieser Übertragung maximal ein Fehler auftritt (falsch heißt, daß sich im Kreis eine ungerade Anzahl von befinden, korrekt falls es sich um eine gerade Anzahl handelt).

5 Fehler in K 1 K 2 K 3 m 1 falsch falsch korrekt m 2 falsch korrekt falsch m 3 korrekt falsch falsch m 4 falsch falsch falsch p 1 falsch korrekt korrekt p 2 korrekt falsch korrekt p 3 korrekt korrekt falsch kein Fehler korrekt korrekt korrekt Damit kann der Empfänger erkennen, ob ein Fehler aufgetreten ist und wenn ja, an welcher Stelle.