+ = + = (Sh. Hau-Rechnungen: Methode des falschen Ansatzes!)

Transkript

1 3 Geschichte der Algebra 3.1 Babylonier Aufgabe 1: Der Flächeninhalt eines Quadrats vermindert um die Seite des Quadrats ist 14, 30 (= 14* ) Lösung: Nimm die Hälfte von 1, das ist 0; 30. Multipliziere 0; 30 mit 0; 30, das ist 0; 15. Addiere 0; 15 zu 14, 30; das ist 14, 30; 15. Das ist das Quadrat von 9; 30. Nun addiere 0; 30 zu 9; 30. Das Ergebnis ist 30, das ist die Seite des Quadrats. x px q = p p x= + q + (. Lösung wäre negativ und wurde daher nicht in Betracht gezogen.) p= 1 p = 0; 30 p = 015 ; p + q = 015 ; + 14, 30 = 14, 3015 ; = ( 9; 30) p p + q 0; 30 9; = + = Aufgabe : Rechteck: x y = 1, x+y = a Lösungsweg: (x-y)² = (x+y)² - 4xy 3. Ägypter Aufgabe: Der Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreiecks beträgt 0 und die eine Seite ist ½ mal der Länge der anderen Seite. (Sh. Hau-Rechnungen: Methode des falschen Ansatzes!) 1

2 3.3 Gleichungen bei den Griechen Lineare Gleichungen: x a : b = c : x c a b Quadratische Gleichungen: a : x = x : b a x b Pythagoreische Tripel: m 1 m + 1 m + = (m) + (m 1) = (m + 1) (wenn m ungerade) (wenn m gerade) (Vgl. auch Plimpton 3!) Euklid, Buch II, Proposition 4: Teilt man eine Strecke, wie es gerade trifft, so ist das Quadrat aus der ganzen Strecke den Quadraten über den Abschnitten und zweimal den Rechtecken aus den Abschnitten zusammen gleich. (a+b) = a + ab + b b a a b

3 Proposition 11: Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. Es sei die Strecke AB gegeben. Gesucht ist der Punkt H auf AB mit AB AH = AH ² Bzw. Fl HBDK = Fl AHGF Wir setzen a = AB und x = AH. Also: a (a - x) = x bzw. a² - ax = x² Wir zeichnen das Quadrat ABDC. Es sei E ist der Mittelpunkt von AC. Wir tragen auf der Verlängerung der Strecke AC die Strecke EB von E aus ab und erhalten so den Punkt F : EB = EF. Für den gesuchten Punkt H gilt nun AF = AH, d.h. durch Zeichnen des Quadrats AFGH erhält man den gesuchten Punkt H. Rechnung: EB = EF = a 5 x = AF = AH = a ( 5 1) Probe: a a a x= a ( 5 1) = ( 3 5) a a ( a x) = ( 3 5) Medietäten ( Mittelwerte ) ( ) ( ) ( ) a a a x = 5 1 = = Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel drückten die Griechen nicht durch Formeln aus, sondern durch Proportionen, die in unserer Schreibweise folgendermaßen angeschrieben werden können (b a) : (c b) = a : a (b a) : (c b) = a : b (b a) : (c b) = a : c (Rechnen Sie nach!) Nach diesen Vorbildern wurden noch weitere Medietäten untersucht wie etwa: (b a) : (c b) = c: a, (b a) : (c b) = c: b, (c a) : (b a) = c: a, usw. 3

4 3.4 Chinesische Mathematik Anfänge der chinesischen Mathematik reichen bereits bis ca v.chr. zurück (einfache pythagoreische Tripel, Näherungswert für π). 3. Jht. n.chr.: Liu Hui schrieb Neun Bücher über Mathematik, die für mehrere Jahrhunderte als offizielle Schulbücher, insb. als Grundlage für Beamtenprüfungen, in Gebrauch waren. Sie enthielten insb. lineare Gleichungen, Proportionen, Flächeninhalte, Volumina, den Satz des Pythagoras (natürlich nicht unter diesem Namen). 13. Jht.: Chin-Kiu-Shao: numerische Lösungen von Gleichungen bis Grad 10 Yang-Hui: Pascal sches Dreieck: 4

5 3.5 Mathematik der Inder Erste Anfänge vermutlich um etwa 700 v.chr., Quellen (kommentierte Spätausgaben) um ca. 300 n.chr.: Quadrat, Rechteck, Pythagoreischer Lehrsatz, Wurzeln, π, und insbesondere das Hindu-Arabisches Zahlensystem. (Die Araber waren nur für die Ausbreitung verantwortlich.) Verwendung der Null ("o möglicherweise von ouden [griech.] = nichts, oder von einer Eindellung im Sand, nachdem ein calculus (=Rechenstein) entfernt worden war.) Aryabhata (~500): Gleichungen, π Brahmagupta (7.Jht.) setzt systematische Untersuchung von Gleichungen fort, insb. beschäftigte er sich mit der so genannten "Pell schen Gleichung : x ay = 1 (wobei er sich nur für ganzzahlige Lösungen interessierte); darüber hinaus: Astronomie, Trigonometrie Bhaskara (~1. Jht.): Diophantische Gleichungen, quadratische Gleichungen, auch negative Lösungen wurden bereits akzeptiert. 3.6 Maya Mittelamerikanische Hochkultur (südliches Mexiko, Honduras, Guatemala), ab etwa 3000 v.chr. Posititonssystem mit Basis 0, Kalender (18 Monate zu 0 Tagen, 5 Schalttage ) 5

6 3.7 Arabische (islamische) Mathematik Die bei der Ableitung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen angewandte Methode der Ergänzung auf ein vollständiges Quadrat wurde bereits vom arabischen Mathematiker Al-Khwarizmi (780?-850?) angewandt, von dessen Namen das Wort Algorithmus abgeleitet ist. Auch der Titel seines Hauptwerks, al-jabr wa l muqabalah lebt heute noch im Wort Algebra fort. Al-Khwarizmi wirkte am Haus der Weisheit in Bagdad (siehe unten). Eine Aufgabe aus diesem Buch lautet: Ein Quadrat und 10 seiner Wurzeln ist gleich 39 Einheiten. In heutiger Schreibweise lautet diese Gleichung: x² + 10x = 39 x x + 5x + 5x = 39 x 5 5 Durch Ergänzung zu einem vollständigen Quadrat erkennt man, dass man bei der Gleichung auf beiden Seiten 5 Einheiten dazugeben muss: 5 5x 5 x x 5x = = 64 x 5 x² + 10x + 5 = = 64 (x + 5)² = 64 x + 5 = 8 x = 3 6

7 Die zweite Lösung, eine negative Zahl, konnte mit dieser geometrischen Methode natürlich nicht gefunden werden. Negative Zahlen waren Al-Khwarizmi auch noch nicht bekannt. Daher musste er auch mehrere Typen von quadratischen Gleichungen gesondert untersuchen. In heutiger Schreibweise sind dies folgende Gleichungen: ax = b ax² = bx ax² + bx = c ax² = b ax² = bx +c ax² + c = bx (Auch Variable für Koeffizienten waren Al-Khwarizmi noch nicht bekannt; daher findet man in seinem Buch die Lösungsmethoden stets in konkrete Aufgaben verpackt.) Neben anderen Mathematikern aus diesem Kulturkreis ist vor allem Umar al Khayyam (1. Jht) zu erwähnen. Von ihm stammt eine systematische Behandlung der Gleichungen bis 3. Grades. (Geschichte Bagdads: siehe Anhang A!) 3.8 Europäisches Mittelalter Boetius (um 500 n.chr.): lehrbuchartige Zusammenfassung des Quadriviums, aufbauend auf griechischen Autoren (Euklid, Archimedes, ) Gerbert von Aurillac (später Papst Silvester II, um 1000): förderte die Einführung des Hindu-Arabischen Dezimalsystems Nach dem Fall Toledos (1085) kam das reiche griechische Erbe in Form arabischer Übersetzungen nach Europa (Übersetzerschulen) Als ein Vorläufer der Cossisten kann bezeichnet werden: Leonardo von Pisa (oder Leonardo Pisano, ~ ~150), auch genannt Fibonacci (= der Sohn des Bonacci): Buch: Liber Abaci (= Das Buch des Abacus ); weit verbreitet, trug sehr dazu bei, dass die hindu-arabische Zahlenschreibweise die römischen Zahlzeichen verdrängte, obwohl anfangs der Widerstand, insb. des Klerus gegen diese heidnischen Symbole, groß war. Berühmtes Problem: Kaninchen-Problem --> Fibonacci-Folge: 1, 1,, 3, 5, 8,., a n+1 = a n + a n-1 (Diese Zahlen können auch an Hawaii-Ananas, Sonnenblumen, und vielen anderen Gelegenheiten in der Natur entdeckt werden!) Practica Geometriae (Geometrie und Trigonometrie) 7

8 Thomas Bradwardine (um 1300, Oxford): baut auf Boetius, Euklid und Archimedes auf. In Abhandlung De continuo Fragen des Infinitesimalen (insb. in Hinblick auf stetige Vorgänge) Nicolas Oresme (14. Jht, Paris): Tractatus de latitudine formarum : graphische Darstellung von Abhängigkeiten (vgl. später: Funktionsbegriff!), damit auch erste Ansätze von Koordinaten: latitudo (=Ordinaten) in Abhängigkeit von longitudo (=Abszisse, meist: Zeit). Könnte Grundlage für Descartes gewesen sein. Algorismus proportionum : auf Bradwardine aufbauend, Ansätze von gebrochenen Exponenten, in heutiger Schreibweise etwa = 4 8= 4 Kann als Vorläufer zu Logarithmen (insb. für Michael Stifel) angesehen werden. 3.9 Renaissance Rückbesinnung auf die griechische Antike (wird nun positiv gesehen im Gegensatz zum mittelalterlichen Klerus, der die Griechen als unerlöste Heiden betrachtet hat). Nach der Erfindung des Buchdruckes (um 1450) werden auch etliche klassische Werke herausgegeben: Euklid, Archimedes, Pappos, Heron Diophantos, Viele Manuskripte wurden von Gelehrten aus Konstantinopel mitgebracht, als sie vor der drohenden Einnahme der Stadt nach Westen, insb. Italien, emigrierten. Im späten Mittelalter: Aufkommen von Maschinen in kleinen Fabriken, Bergwerken, Einsatz von Pumpen, Aufzügen, Wasserkraft, Windmühlen, Bau ozeantauglicher Schiffe, Konstruktion von Uhren, Untersuchung von Flugbahnen von Projektilen Allgemeine Bewunderung von Ingenieurskunst, Meisterwerke der Mechanikerkunst wurden geschaffen (z. B. Glockenspiele in Kombination mit Uhren an Kirchen und öffentlichen Bauten), die Uhr wurde als ein Modell des Universums betrachtet; Beginn der Theoretischen Mechanik, Forcieren von angewandter Mathematik. Kooperationen zwischen Kunst und Naturwissenschaft/Technik/Mathematik: -> Künstleringenieure wie etwa Leonardo da Vinci ( ); Perspektive, Goldener Schnitt Nicolaus Copernicus ( ): heliozentrisches Weltbild: wurde zwar auch schon von Aristarch von Samos (3. Jht. v. Chr.) propagiert, setzte sich aber bis dato nicht durch (Standardwerk: Ptolemaios Almagest). Erst Copernicus schaffte dies unter Mitwirkung von Tycho Brahe, Johannes Kepler und Gaileo Galilei, gegen den massiven Widerstand der Kirche. Ausweitung der Handelsbeziehungen (Hanse, Fugger, Medici) und Entwicklung des Bankwesens, insb. in Italien (daher viele italienische Ausdrücke wie Konto, p.a., 8

9 u.v.a.). Daher Bedarf an Umrechnungen von Maßen und Währungen (Bedarf an Bruchrechnung: eine Elle in der Stadt A ist p/q mal der Elle in Stadt B; im Bankwesen: Zinseszinsrechnung). Die Cossisten Die Algebraiker und Rechenmeister des Mittelalters sahen ihre Hauptaufgabe darin, das Rechnen zu vereinfachen und Abkürzungen und Zeichen einzuführen. In Anschluß an diese Zeichen oder Dinge (französisch "la cause = das Ding oder die Sache", italienisch "cosa") nannte man die Algebra jetzt "Coß" und ihre Anhänger die "Cossisten". Neben der Verbreitung des Rechnens mit Hilfe gedruckter Bücher und Schulen besteht ihr Verdienst in der schrittweisen Weiterentwicklung der mathematischern Symbolik. ( +, -,, ) Luca Pacioli (~ ): Erste systematische Schreibweise für Zahlen, Variable und deren Potenzen Nicolas Chuquet ( ): andere Potenzschreibweise Pedro Nunes ( ): Einfluss von Pacioli Adam Ries, geboren 149 in Staffelstein (Franken). Er war Rechenmeister in Erfurt, später am Bergamt in Annaberg, wo er 1559 starb. Neben seinem Beruf erteilte er Rechenunterricht und bildete sich in der Rechenkunst weiter aus. Sein Rechenbüchlein (1518) zeichnet sich dadurch aus, dass es in deutscher Sprache verfasst, mit einfacher Schreibweise und mit Anleitungen versehen ist. Gleichungen löste er meistens noch mit dem Dreisatz. - Bekannt ist, dass das Rechenbuch von Ries über ein Jahrhundert hindurch ein sehr beliebtes Volksrechenbuch gewesen ist. Das Wissen im Rechnen eignete sich Ries durch eigenen Fleiß an. (Siehe Anhang B!) Christoff Rudolff, geboren um 1500 in Jauer in Schlesien. Er studierte an der Universität Wien. Sehr bekannt wurde seine Algebra von 156, die kurz "Coß" genannt wurde. Sie bringt außer dem gewöhnlichen Rechnen auch die Potenz- und Wurzelrechnung, ferner die Progressionen (Reihen). Auch dieses Buch erfreute sich großer Beliebtheit. Es war das erste deutsche Lehrbuch der Algebra. Er führte das Wurzelzeichen ein. Michael Stifel, geboren 1487 in Eßlingen, wo er später ins Augustinerkloster eintrat. Nachdem die Reformation sich durchgesetzt hatte, trat er 15 aus dem Kloster aus und ging nach Wittenberg. Seine letzten Jahre verbrachte er als Privatgelehrter der Mathematik in Jena, wo er 1567 starb. Wie sein 1544 veröffentlichtes Werk "Arithmetica integra" zeigt, war Stifel der bedeutendste der Cossisten, weil er eigene Wege ging. So trug er wesentlich zur Klarstellung der negativen und der irrationalen 9

10 Zahlen bei (obwohl er die negativen Zahlen als absurde Zahlen bezeichnete). Er formulierte die Potenzgesetze, im Zuge dessen er das Wort Exponent neu einführte. Er setzte a = 1 fest und arbeitete auch mit Potenzen mit negativen Exponenten. Die Wurzelgesetze wurden durch seine Schreibweise übersichtlicher. Weiters finden wir bei ihm auch das Binomialgesetz sowie einen Ausblick auf die Logarithmen. François Viète (= Franciscus Vieta, 1540/1603). Zunächst war er Rechtsanwalt in seiner Vaterstadt Fontenay-le-Comte. Im Jahre 1571 verlegte er seine Praxis nach Paris. Neben seinem eigentlichen Beruf betrieb er ausgedehnte und erfolgreiche Studien in der Mathematik. Besonders nahm er sich der Rechnung mit (durch Buchstaben bezeichneten) Variablen an. Er pflegte sie in komplizierten Klammerausdrücken und in den Gleichungen. Für die quadratische Gleichung fand er den nach ihm benannten Satz. Schließlich trat er für eine starke Verknüpfung der Algebra mit der Geometrie ein, die durch Descartes erst ihre Krönung fand. Simon Stevin (1548/160) ist in Brügge (Flandern) geboren. Zuerst war er als Steuerbeamter tätig und befaßte sich mit dem kaufmännischen Rechnen. Nach zehnjähriger Wanderschaft durch Deutschland, Polen und Norwegen ging er nach Leiden. Dort verfaßte er ein Rechenbuch (1585), das auch in Frankreich veröffentlicht und geschätzt wurde. Er tritt für die Einführung der dezimalen Schreibweise tatkräftig ein, die zuerst im byzantinischen Aufgaben im 15. Jahrhundert benutzt worden sind. Auch Zins- und Zinseszins-Tabellen stellte er zusammen. In der Algebra schloß er sich allen Neuerungen an, sogar den imaginären Größen Gleichungen dritten und vierten Grades Der Bolognese Scipione del Ferro ( ) entwickelte Anfang des 16. Jahrhunderts eine Methode zur Lösung Gleichungen dritten Grades ohne quadratisches Glied (d.h. die reduzierte kubische Gleichung, x 3 + bx = c). Da die Mathematiker aus jener Zeit einen guten Teils ihres Einkommen aus dem Lösen mathematischer Probleme für kommerzielle Anwendungen erzielten, veröffentlichte er seine Lösungsmethode aber nie, sondern gab sie erst am Sterbebett an seinen Studenten Annibale dalla Nave (welcher auch sein Schwiegersohn war) und Antonio Maria Fior weiter. Letzterer, ein nur durchschnittlich begabter Rechenmeister, verblüffte aber mit diesem Wissen seine Kollegen konnte sich damit ein beträchtliches Einkommen sichern. Im Jahre 1534 gab Niccolò Fontana ( ), genannt Tartaglia 1 bekannt, er könne kubische Gleichungen ohne linearen Term (also: x 3 + ax² = c) lösen. Fior forderte ihn daher zu einem öffentlichen mathematischen Wettstreit heraus, bei 1 der Stotterer, aufgrund einer Verwundung als Kind in Kriegswirren hatte er einen schwer verletzten Unterkiefer 10

11 welchem er Tartaglia 30 reduzierte kubische Gleichungen vorlegte. Tartaglia, dem offenbar die Lösung der oben erwähnten reduzierten kubischen Gleichung in der Zwischenzeit ebenfalls gelungen war, gewann den Wettstreit, indem er alle 30 Gleichungen lösen konnte, während Fior angeblich kein einziges von Tartaglias Problemen zu lösen imstande war. Auch der in Mailand lebende Mathematiker Gerolamo Cardano (lat. Hieronymus Cardanus; ) hörte von Tartaglias Triumph und bat ihm, seine Lösung auch an ihn weiterzugeben, was dieser aber erst 1539 machte, unter der Auflage, das Cardano diese Lösung nie veröffentlichen dürfe. Cardano gelang nach weiterer Forschung die Rückführung einer allgemeinen kubischen Gleichung auf die reduzierte Form, wodurch das Problem kubischer Gleichungen gelöst war. Sein Schüler Lodovico Ferrari ( ) führte die Forschungen fort und fand eine Methode zur Lösung von Gleichungen vierten Grades, welchen aber zur damaligen Zeit keine große Beachtung geschenkt wurde, da sie nicht in den kaufmännischen Problemen auftraten. (Ferrari wurde durch seine Arbeiten ziemlich wohlhabend, starb aber dennoch jung an einer Arsenvergiftung, welche gerüchtehalber seine Schwester veranlasst haben soll.) Da Cardano durch sein Versprechen an Tartaglia seine Arbeiten nicht veröffentlichen durfte, fuhren er und Ferrari nach Bologna, um in den Originalpapieren von Scipione del Ferro nachzuforschen, ob nicht dieser auch schon die Lösung kannte (was angesichts der sonst mäßigen mathematischen Leistungen von Fior nahe lag). Sie fanden auch das Originalmanuskript und die Lösung von Scipione del Ferro, welche analog zu jener Tartaglias war. Cardano veröffentlichte nun in seinem Buch ars magna die Lösung der reduzierten kubischen Gleichung und gibt als Urheber Scipione del Ferro und als Wiederentdecker Tartaglia an. Weiters veröffentlichte er in seiner ars magna die von ihm entdeckte allgemeine Lösung kubischer Gleichung sowie die von Ferrari entdeckte Lösung Gleichungen vierten Grades. Tartaglia war ob dieses Bruchs des Versprechens von Cardano und Ferrari sehr verärgert, und es begann ein jahrelanger Streit zwischen den drei Mathematikern. In seinem eigenen Buch Questi e inventioni diverse legte er seine Ansicht des Streits dar und veröffentlichte seine Lösung in Form eines Gedichts, nachfolgend die ersten 9 Zeilen in einer deutschen Übersetzung. Wenn der Kubus mit den Coßen angefügt gleich ist irgendeiner diskreten Zahl, finde mir zwei andere, Differenzen in jener [Zahl]. Danach halte, das aus Gewohnheit, dass ihr Produkt immer gleich sei dem drittel Kubus der eindeutigen Coßen, Der Rest dann, im Generellen, 11

12 ihrer Seiten des Kubus, gut subtrahiert wird kommen deine wichtigste Coß. Diese Zeilen bedeuten nichts anderes als die poetische Umschreibung der reduzierten kubischen Gleichung (Kubus, mit den angefügten Cossen (d.h. bx) ist gleich einer diskreten Zahl c): x 3 + bx = c Zu jener diskreten Zahl c soll nun eine Differenz zweier anderer Zahlen gefunden werden, d.h, es sind Zahlen gesucht mit: r s = c Das Produkt dieser Zahlen r und s sei nun immer gleich dem Kubus von b/3: b r s= 3 3 Die Seiten des Kubus bedeuten nichts anderes als die Dritte Wurzeln jener gefunden Zahlen r und s. Diese sind dann nur noch zu subtrahieren, und man erhält die gesuchte Lösung: 3 3 r s = x Es stellt sich nun nur noch die Frage, wie man die Zahlen r und s bestimmen kann. Zuvor wollen wir ein wenig nachvollziehen, wie die Lösung des Problems überhaupt zustande gekommen sein könnte. Ähnlich der Lösung der quadratischen Gleichungen nach Al-Khwarizmi wollte man die kubische Gleichung durch Ergänzen auf einen vollständigen Würfel lösen, was aber leider nicht so einfach ist, da es zwei Unbekannte dabei gibt. Zu einem Würfel mit der Seitenlänge x stellte man sich 3 gleiche Quader vor, deren eine Seite x ist, und deren beide andere Seiten wir mit u und t bezeichnen. Auf den vollen Würfel (t 3 ) fehlt aber noch ein anderer Würfel, nämlich u 3. x 3 + 3tux + u 3 = t 3 Diese Gleichung kann aber auch als reduzierte kubische Gleichung angesehen werden, indem man u 3 auf die rechte Seite bringt: 1

13 x 3 + 3tux = t 3 - u 3 x 3 + bx = c Man erhält also: 3tu = b bzw. t 3 - u 3 = c Diese Gleichungen führen auf eine quadratische Gleichung in Lösung ja schon seit Al-Khwarizmi bekannt war: 3 t (bzw. 3 u ), deren t 3 u 3 = c und b 3 1 b t u = u = 3 3 t 3 t b = c 3 t 3 t 6 - c t 3 = b c c b t = (Die. Lösung wurde nicht in Betracht gezogen.) c c b c c b u = t c = + + c= c c b c c b x= t u= Diese Formel ist bekannt unter dem Namen Cardano sche Formel. Beispiel: x 3 + 6x = 0 6 r s = 0, r s= = 8 3 s + 0s = 8 s = r = u= 3 3 r = , v= u = 3 + 1, v= 3-1 x= s =

14 Doch bei manchen Gleichungen treten während des Lösungsweges unerwartete Schwierigkeiten auf, obwohl man am Ende doch eine Lösung findet. Einen solchen Fall nannte man Casus irreducibilis, hier ein Beispiel dazu: x 3-15x = x= = 3( 1 3 ) ( 1) ( 1) ( 1) = + + = = + + = Wir sehen also, dass in diesem Fall die Wurzel aus minus eins auftritt. Da man sich eine solche Zahl nicht vorstellen konnte, nannte man sie imaginäre Zahl. Raffaele Bombelli (* 156 in Bologna, 157 vermutlich in Rom) verwendete in seinem Buch, der 157 erschienenen L' Algebra diese imaginären Zahlen und entsprechende Erweiterungen der Lösungstheorien Tartaglias und Cardanos. (Für +i und -i wurde damals die Schreibweise "più di meno", also mehr als weniger e "meno di meno", also weniger als weniger verwendet). Auch Cardano stieß auf imaginäre Zahlen, als er folgende Aufgabe löste: Die Zahl 10 ist so in Summanden zu zerlegen, dass ihr Produkt 30 ist. 10 = x + y, x y = 30 x = 5 + 5, y = 5-5 Probe: (5 + 5) + (5-5) = 10 (5 + 5) (5-5) = 5 ( 5) = 5 (-5) = 30 Cardano s Schlussfolgerung (wie bei Bombelli): Offenbar kann man mit 5 genau so rechnen wie mit anderen Zahlen ein Schritt zur Akzeptanz dieser eingebildeten Zahlen, wenngleich es bis zur vollen Akzeptanz noch bis C.F. Gauß gedauert hat. Reduktion einer allgemeinen Gleichung dritten Grades Um eine allgemeine Gleichung der Form x 3 + ax + bx = c zu lösen, muss zuerst substituiert werden, und zwar x durch x-a/3. Dadurch erhält man eine Gleichung der Form x 3 + px = q mit den entsprechenden Koeffizienten p, q die sich aus a, b und c berechnen. 14

15 Die Lösung der Gleichungen vierten Grades durch Lodovico Ferrari Um eine allgemeine Gleichung der Form x 4 + ax 3 + bx + cx = d zu lösen, wurde versucht, so wie bei der Gleichung dritten Grades, auf eine reduzierte Form zu kommen. Dazu wird x substituiert durch x-b/4 und man erhält nach längerem Rechnen schließlich eine Gleichung der Form: x 4 + px + q = rx x 4 +qx +q = rx px +qx (x +q) = (q-p)x + rx Danach wird ein Parameter k eingeführt, mit dem Ziel die rechte Seite zu einem vollständigen Quadrat zu machen: (x +q+k) = (q-p)x + rx +kx +qk +k (x +q+k) = (q-p+k)x + rx + qk + k Damit auf der rechten Seite ein vollständiges Quadrat steht, muss die Diskriminante der quadratischen Gleichung (in x) Null ergeben: r 4(q-p+k)(qk+k ) = 0 Man erhält also eine kubische Gleichung in k, die wiederum mit den oben erwähnten Methoden zu lösen ist. Anschließend muss noch etliche Male zurückeingesetzt werden, bis man schließlich die gesuchten Werte für x erhält Gleichungen vom Grad 5 Leonhard Euler ( ), Joseph-Louis Lagrange ( ) und andere versuchten die Gleichung 5. Grades zu einer Gleichung 4. Grades zu reduzieren, aber ohne Erfolg. Carl Friedrich Gauss ( ) und andere vermuteten, dass es möglicherweise keine Formel geben kann, die nur die Koeffizienten der Gleichung, die vier Grundrechnungsarten und Wurzeln (= Lösung durch Radikale ) geben könnte. Andererseits bewies er den "Fundamentalsatz der Algebra : Jede algebraische Gleichung mit komplexen Koeffizienten besitzt mindestens eine komplexe Lösung. 15

16 Folgerung: Jede algebraische Gleichung n-ten Grades mit komplexen Koeffizienten besitzt in C genau n Lösungen (unter Berücksichtigung der Vielfachheit). Paolo Ruffini ( ) gab einen ersten, aber noch etwas lückenhaften Beweis, dass es für die allgemeine Gleichung 5. Grades keine Lösungsformel mit Radikalen geben kann. Niels Henrik Abel ( ) gab den ersten präzisen Beweis. Evariste Galois ( ) zeigte, dass dies für alle Gleichungen vom Grad 5 gilt. Er zeigte dies durch Untersuchung von Permutationsgruppen der Lösungen: Galois-Theorie. Daher kann er als Begründer der Gruppentheorie und damit der modernen Algebra bezeichnet werden. Näheres siehe: Und über sein aufregendes Leben: siehe Anhang C! Eine der Konsequenzen der Galois-Theorie ist auch, dass es für die drei klassischen Probleme der Antike keine Lösung mit Zirkel und Lineal geben kann! Man kann sich zumindest plausibel machen, dass etwa 3 nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar sein kann, wenn man anfangs nur die rationalen Zahlen zugrunde legt. Geht man also von Punkten (mit rationalen Koordinaten) aus, so bedeutet die Verwendung eines Lineals das Aufstellen einer linearen Gleichung mit rationalen Koeffizienten. Der Verwendung eines Zirkels (mit rationalem Radius und mit Mittelpunkt mit rationalen Koordinaten) entspricht einer Gleichung. Grades mit rationalen Koeffizienten. Der Schnitt zweier solcher Geraden liefert eine rationale Lösung, der Schnitt eines solchen Kreises mit einer Geraden bzw. einem anderen Kreis liefert Ausdrücke mit Quadratwurzeln und rationalen Zahlen. Lässt man jetzt auch diese Zahlen als Koeffizienten zu, so ergeben sich in weiterer Folge (d.h. bei weiteren Konstruktionsschritten) Quadratwurzeln aus Quadratwurzeln usw., also nur Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten, aber niemals 3. Eine genauere und elegantere Erklärung (mit Hilfe von Erweiterungskörpern) findet man in Kaiser/Nöbauer, S. 190f (. Auflage). Dort wird auch die Winkeldreiteilung erörtert, die man aber ebenso wie das obige Problem auf Schulniveau heruntertransformieren kann. 16

17 Anhang A Geschichte Bagdads (Quelle: Wikipedia) Bagdad (persisch für "gottgegeben" im Sinne von "Gottesgeschenk") wurde im Jahr 76 von dem abbasidischen Kalifen al-mansur als neue Hauptstadt des islamischen Reichs gegründet (Name: Madīnat as-salām, arabisch, Stadt des Friedens ). Sie entstand nur wenige Kilometer östlich der alten Hauptstadt des Sassanidenreiches, Ktesiphon. Innerhalb von vier Jahren entstanden der Kalifenpalast (Bāb adh-dhahab oder al-kubba al-kadra) und die Hauptmoschee am westlichen Tigrisufer. Aufgrund der günstig gewählten Lage am Knotenpunkt zahlreicher Handelsstraßen und der fruchtbaren Anbaugebiete in ihrer Nähe zum Tigris (Didschla) florierte die neu gegründete Stadt schnell. Als al-mansurs Sohn al-mahdi den Thron bestieg, hatte Bagdad bereits eine Fläche von 15 Quadratkilometern. Wie ein arabischer Historiker berichtet, besaß Bagdad zur Zeit des Kalifen al-ma'mun öffentliche Bäder. Es war Zentrum der Wissenschaften und Künste, kurzum, es war die Glanzzeit Bagdads. Zwischenzeitlich verlegte der Kalif al-mu'tasim, um seine Armee von der Bevölkerung fernzuhalten, die Hauptstadt nach Samarra ( und ), doch auch als das Kalifat an Macht verloren hatte und zuerst die Buyiden-Dynastie ( ) und später die Seldschuken ( ) das islamische Reich beherrschten, blieb sie eine der wichtigsten Städte der islamischen Welt, bis sie 158 von den Mongolen unter Hülägü erobert wurde, die am 10. Februar 158 den letzten Kalifen Al- Mustasim töteten und nach Augenzeugenberichten unvorstellbare Gräueltaten anrichteten, Quellen berichten von einer Pyramide aus Totenschädeln. Viel gewichtiger war aber die im Gefolge der Eroberung Bagdads und des Zweistromlandes sowohl von den verteidigenden Mamlucken als auch den Mongolen begangene Zerstörung der hochkomplexen Bewässerungssysteme des Landes, die durch die Vertreibung der lokalen Bevölkerung (und dem damit verbunden Verlust des Wissens über den Betrieb und die Instandhaltung des Bewässerungssystems) noch verstärkt wurde. Die Desertifikation Mesopotamiens setzte ein, und Bagdad, zuvor zumindest zweitgrößte Stadt der Welt, versank zusammen mit dem Rest Mesopotamiens in der Bedeutungslosigkeit. Bis heute hat sich der Irak von der Zerstörung der Bewässerungssysteme nicht erholt. Seit dem 16. Jahrhundert stritten sich die Herrscher Persiens und der Türkei mehrfach um die Stadt. Im Jahre 165 zählte Bagdad nur noch ungefähr Einwohner. Bagdad blieb unter osmanischer Herrschaft und wurde die Hauptstadt der Provinz Bagdad, einer der drei Provinzen, aus denen der spätere Irak entstand. 191 wurde unter britischer Kontrolle das Königreich Irak errichtet; 193 folgte die formelle und 1946 die vollständige Unabhängigkeit. Die Einwohnerzahl der Stadt stieg von schätzungsweise (1900) auf (1950), vor allem durch Zuwanderer 17

18 aus dem schiitischen Süden, die, in der Hauptstadt angekommen, unter massiver Wohnungsnot litten. Erst unter der Herrschaft General Quassems wurde durch den Bau der damals geradezu vorbildlichen Satellitenstadt Madinat al-thaura ("Stadt der Revolution"), später Saddam City, dann Sadr-City, etwas Abhilfe verschafft. Vor allem während des Wirtschaftsbooms der 1970er Jahre stieg die Bevölkerungszahl weiter rasant an. Den Löwenanteil der Zuwanderer stellten schiitische Araber, die in Slums in prekärsten Verhältnissen hausten. Im Gefolge der Eroberung Bagdads durch die US-amerikanischen Streitkräfte im Dritten Golfkrieg 003 wurden zahlreiche historisch wertvolle Kulturgüter der Stadt durch Kampfhandlungen oder Plünderungen vernichtet oder beschädigt; insbesondere wurde die Nationalbibliothek mit tausenden wertvollen alten Manuskripten durch einen Brand völlig zerstört und das Nationalmuseum geplündert. Die eintreffenden US-Truppen griffen nicht ein. Der Großteil der Stücke wurde aber relativ schnell wieder ausfindig gemacht und befinden sich wieder im Irak. Das Haus der Weisheit Das Haus der Weisheit (arabisch: Bayt al Hikmah) ist eine Art Akademie, die im Jahr 85 von dem Abbasiden-Herrscher Al-Ma'mun in Bagdad gegründet wurde. Als Vorbild des Hauses der Weisheit diente die wesentlich ältere Akademie von Gundishapur (eine Stadt im Südwesten des heutigen Iran). Die Gründung des Hauses hängt eng mit der Geschichte der Papierherstellung zusammen. In Bagdad baute man zu dieser Zeit eine Papiermühle. Auf dem Suq al- Warraqin, dem Papiermakt, gab es 100 Papiergeschäfte, von denen manches, von Lehrern und Schriftstellern betrieben, ein eigenes kleines Wissenschafts- und Literaturzentrum war. Die berühmtesten Papierhändler waren Ahmad ibn Abi Tahir ( ) und Abu'l Faraj Muhammad ibn Ishaq (gest. 995). Im Haus der Weisheit arbeiteten 90 Menschen an wissenschaftlichen Übersetzungen vor allem aus dem Griechischen in die Arabische Sprache. Al-Ma'mun schickte dafür einen Gelehrten seines Hofs nach Byzanz und bat den griechischen Kaiser, ihm mathematische Werke (u. a. die des Euklid) zu übergeben. Im Haus wurden alle Werke der Antike übersetzt, die aufzufinden waren. Unter anderem von Galen, Hippokrates, Platon, Aristoteles, Ptolemäus oder Archimedes. Unter der Leitung des Christen Hunayn ibn Ishaq entwickelten sie ebenso eine Technik des konzeptionellen anstelle des wörtlichen Übersetzens. In Bagdad arbeiten nach Aussagen des Historikers al-qufiti in der Epoche des Aufbau des Hauses 37 Christen, 8 Sabäer und 9 Juden. Sie waren aufgrund ihrer Fachkenntnisse sowie Sprachkenntnisse wichtig für den Aufbau des Hauses. Unter den Mitarbeitern waren der Arzt Hunayn ibn Ishaq und der Astronom Thabit Ibn Qurra. 18

19 Neben dem Übersetzungszentrum zählt man zum Haus der Weisheit auch ein Observatorium, eine Akademie und eine reichhaltige Bibliothek sowie ein Krankenhaus. Nach dem Vorbild der Institution wurden ähnliche Einrichtungen in Córdoba und Sevilla geschaffen. Der Kalif Al-Hakim ließ um 1000 ein Haus der Weisheit in Kairo einrichten. 19

20 Anhang B Adam Ries Der Aufbau des Rechenbrettes Auf dem Rechenbrett befinden sich mindestens vier waagerechte Linien, wobei diese von unten nach oben die Wertigkeit 1, 10, 100 und 1000 haben. Um Verwechslungen vorzubeugen befindet sich auf der Tausenderlinie ein Kreuz. Die Bereiche zwischen den Linien tragen die Bezeichnung "spacium" bzw. "spacio" und besitzen die Wertigkeit 5, 50 und 500. In der Regel findet man auf dem Abakus zwei senkrechte Linien, die das Rechenbrett in sog. "bancire" teilen und zur Abgrenzung von Zahlen dienen. Das Auslegen einer Zahl (Numeratio) Eine Zahl wird auf dem Rechenbrett durch Rechenpfennige ausgelegt. Liegen etwa zwei Rechenpfennig auf der Einerlinie, so bedeutet dies die Zahl, liegen die beiden Pfennige hingegen auf der Zehnerlinie, so stellen sie die Zahl 0 dar. Wird nun zusätzlich ein Rechenstein in den 500er spacium gelegt, so erhält man die Zahl 50. 0

21 Rechenregeln - Elevatio und Resolvatio Elevatio ist das Erhöhen von Rechensteinen (Bündeln). Erhöhung aus einer Linie "Liegen fünff rechenpfennig auff einer Linien so hebe die auff/ leg eine in das spacium darüber..." Erhöhung aus einem Spacio "Hastu aber zwen pfennig in einem spacio so heb die auff vnd leg einen auff die linie darüber." Resolvatio ist das Aufbündlung von Rechensteinen. Aufbündelung aus einer Linie "Heb ihn auff leg einen in das nechst spacium darunder vund 5 auff die linie vnder dem spacio" Aufbündelung aus einem Spacio "Ligt aber ein pfennig in einem spacio... so leg dafür 5 pfennig auff die linien darunder" 1

22 Addition Die Addition zweier Zahlen läuft in vier Schritten ab und wird am Beispiel der Addition von 194 und 76 gezeigt 1. Numeratio Auflegen der beiden Zahlen in die beiden ersten Bankiere,. Addieren Zusammenschieben der Rechenpfennige in das dritte Bankier, 3. Elevatio Höherlegen eines Rechenpfennigs, sobald 5 auf einer Linie oder in einem Spacio liegen. 4. Ergebnis ablesen = 70 Subtraktion Die Subtraktion zweier Zahlen läuft analog zur Addition ab. Allerdings kann es passieren, dass nicht genügend Rechenpfennige auf einer Linie oder in einem Spacio vorhanden sind. Ist dies der Fall, so müssen mittels Resolution Rechenpfennige auf höheren Linien oder Spacio umgewandelt werden. Beispiel 1 (ohne Resolvation): 87-1 =?

23 1. Numeratio Auflegen des Minuenden in das erste Bankier, Hinweis: Es macht sich anfangs gut, dem Subtrahenden in das zweite Bankier zu legen.. Subtraktion Entfernen der Anzahl Rechenpfennige, wie der Subtrahend angibt. 3. Ergebnis ablesen 87-1 = 66 Beispiel (mit Resolution): =? 1. Numeratio Auflegen des Minuenden in das erste Bankier, Hinweis: Es macht sich gut, dem Subtrahenden anfangs in das zweite Bankier zu legen.. Resolution Resolution so, daß mindestens genau so viele Rechenpfennige im Minuenden-Spacio liegen, wie der Subtrahend angibt. 3. Subtraktion Entfernen der Anzahl Rechenpfennige, wie der Subtrahend angibt. 4. Ergebnis ablesen = 44 3

24 Multiplikation Die Multiplikation zweier Zahlen wird zurückgeführt auf die mehrfache Addition. Dabei nutzt man alle Rechenvorteile. Eine Multiplikation mit 10 etwa bedeutet, dass die aufgelegten Rechenpfennige eine Linie bzw. ein Spacio nach oben geschoben werden. Beispiel 1: 38 * 13 =? 1. Numeratio Auflegen des ersten Faktors, Hinweis: Es macht sich gut, den ersten Faktor nochmals in das zweite Bankier zu legen.. Multiplikation von 38 mit 100 Die Rechenpfennige werden Zeilen nach oben geschoben, 3. Multiplikation von 38 mit 0 Unter Nutzung der Rechenpfennige im zweiten Bankier werden diese verdoppelt, und eine Zeile nach oben geschoben und zu den vorhandenen Rechenpfennigen gezählt, Hinweis: Es kann bereits hier eleviert werden. 4. Multiplikation von 38 mit 3 Nach erneutem Auslegen der Zahl 38 wird diese verdreifacht (dreimaliges Auslegen) und zu den vorhandenen Rechenpfennigen geschoben Hinweis: Auch hier kann eleviert werden. 4

25 5. Elevation und Ablesen des Ergebnisses 38 * 13 = 4674 Division Die Division wird bei Ries auf Subtraktion zurückgeführt, dass heißt, auf ein mehrfaches Subtrahieren des Divisors vom Dividenden. Dabei wird die Anzahl der Subtraktionen in einem Bankier gemerkt und stellt dann das Ergebnis dar. Ein einfaches Beispiel (9 : 3 =?) soll verdeutlichen: 1. Numeratio Auflegen des Dividenden, Merken des Divisors. Subtraktion von 3 Rechenpfennigen Drei Rechenpfennige werden aus dem Dividenden entfernt und dafür ein Rechenpfennig auf die Einerlinie gelegt, 3. Resolution Resolution, so dass weiter Rechenpfennige von der Einerlinie entfernt werden können. 5

26 4. Ergebnis ablesen Im dritten Bankier steht das Ergebnis der Division. Sollte ein Rest übrig bleiben, so wurde dieser früher auf die hohe Kante des Abakus gelegt. Bei Division von mehrstelligen Zahlen ist in Analogie zur Multiplikation zur Verfahren. Es wird also über mehrfache Resolution versucht, möglichst früh den Divisor abzuziehen. Hier ein erläuterndes Beispiel (76 : 3 =?): 1. Numeratio Auflegen des Dividenden, Merken des Divisors. Resolution des 50er-Spacio Es wird der 50er-Spacio resolviert, um anschließend 30 abzuziehen. 3. Subtraktion von 30 Bei der Subtraktion wird das 10fache des Divisors abgezogen. Es muss also ein Rechenpfennig auf die Zehnerlinie gelegt werden! 6

27 4. Resolution des 5er-Spacio und Subtraktion von 3 5. Ergebnis ablesen 76 : 3 = 1 7

28 Anhang C EVARISTE GALOIS ( ) Historischer Hintergrund Die Jahrzehnte vor und während Galois Lebzeiten sehr spannungsgeladen, da sehr wechselvoll und instabil: Ludwig XVI und sein verschwenderischer Hof saugten das Volk aus, bis sich schließlich der ganze Unmut 1789 in der französischen Revolution entlud. In den folgenden Jahren etablierte sich ein brutales Regime, unter dem Tausende auf der Guillotine ihr Leben ließen. Napoleon beendete die Schreckenszeit der Revolution, ohne die Ziele der Revolution zu negieren, krönte sich aber 1804 zum Kaiser und brachte somit Frankreich wieder die Monarchie zurück. Nach anfänglichen militärischen Erfolgen, die den Franzosen das Gefühl der Grande Nation vermittelten, gab es Niederlagen (Russland 181 und Völkerschlacht bei Leipzig 1813). Napoleon musste abdanken und wurde auf die Insel Elba verbannt. Auf dem Wiener Kongress sollte schließlich Europa nach den Wirren der napoleonischen Kriege neu geordnet werden; es erfolgte die Einsetzung König Ludwigs XVIII, (ein Bruder von Ludwig XVI), was den liberalen Teil der Bevölkerung natürlich enttäuschte. Daher verwundert es nicht, dass der aus seiner Verbannung nach Frankreich zurückkehrende Napoleon hinreichend viele Anhänger vorfand, eine Armee aufstellte, in Paris einmarschierte und Ludwig XVIII ins Exil fliehen musste. Napoleons Herrschaft - sie wird auch die Herrschaft der 100 Tage genannt endet mit der Niederlage bei Waterloo. Napoleon wird abermals und nun endgültig verbannt. Ludwig XVIII konnte aus dem Exil wieder auf den Thron zurückkehren. Frankreich war gespalten: Es gab Vergeltungen gegen Bonapartisten, jeder misstraute jedem, vieles wurde als Gefahr für einen Umsturz (oder Chance je nachdem) gesehen. Verleumdungen und Bespitzelungen waren häufig. Als 180 der Thronfolger ermordet wurde, kam es zu einem Aufschwung der Ultraroyalisten und 184 bestieg ein solcher, nämlich Karl X, den Thron. Nach anfänglichem Aufschwung erlebte Frankreich ab 186 eine wirtschaftliche Talfahrt, die schließlich zur Staatskrise führte. Im Jahre 187 brachten Wahlen eine Mehrheit für Liberale, was aber von Karl X ignoriert wurde. Neuwahlen 1830: bestätigten den Sieg der Liberalen, was jedoch Karl abermals ignorierte. Die Folge waren Straßenkämpfe; Karl musste abdanken und fliehen. Abgeordnete beriefen Louis Philippe, Herzog von Orleans (eine Nebenlinie der Bourbonen), auf den Thron. Anfangs wurde er als Bürgerkönig bezeichnet, später aber gab er sich immer autoritärer, bis er in der Revolution von 1848 ebenfalls abdanken und ins Exil fliehen musste. 8

29 Was für ein Mensch war Evariste Galois? Wie war er politisch einzuordnen? Galois wurde 1811 in Bourg-la-Reine, einem Ort nahe Paris (heute ein Vorort von Paris) geboren. Seine Eltern waren sehr intelligent und gebildet. Bis knapp vor seinem 1. Geburtstag wurde Galois zu Hause von seiner Mutter unterrichtet. In diesem Alter beherrschte er bereits Latein und Griechisch. Der Vater, ein Unterstützer Napoleons während der 100 Tage, wurde Bürgermeister von Bourg-la- Reine. Nach dem Abdanken Napoleons stellte er sein Bürgermeisteramt zur Verfügung, wurde aber darin bestätigt und diente ebenso loyal dem neuen Staatsoberhaupt, König Ludwig XVIII, und das trotz der liberalen Einstellung, die sein Sohn von seinen Eltern übernahm. Evariste Galois trat 183 mit nicht ganz 1 Jahren ins Lycee Louis le Grand in Paris ein. Spätestens ab diesem Zeitpunkt divergieren die Biographien, was auch beträchtlich zur Bildung von Legenden beitrug. Das weit verbreitete Buch von E. T. Bell über Mathematiker-Biographien bezeichnet die Schule mehr als ein Gefängnis. Ein anderer Biograph relativiert dies dadurch, dass das Gebäude wegen seiner vergitterten Fenster einem Gefängnis ähnelte, aber den Lehrern mehrheitlich kein schlechtes Zeugnis ausstellte von Ausnahmen abgesehen. Vor allem lobt er den Geist der Schule, die damals sehr bekannt war: Victor Hugo und Robespierre besuchten ebenfalls diese Schule. (Sie existiert übrigens noch heute!) Aber offensichtlich gab es sehr wohl zumindest einige Lehrer, die den Schülern das Leben nicht gerade leicht machten. Es gab auch eine Revolte gegen den Direktor, die mit dem Ausschluss für einige Schüler endete, aber nicht für Galois. [Die Schüler verdächtigten den Direktor, dass er vor hatte, wieder die konservativen Jesuiten in die Schule zu bringen. Deshalb weigerten sie sich, beim Gottesdienst zu singen.] Galois war anfangs ein sehr guter Schüler, bekam in den ersten zwei Jahren durchwegs sehr gute Zensuren und gewann Auszeichnungen in Latein. Mit 15 Jahren fiel ihm ein Buch des berühmten Mathematikers Legendre in die Hand. Von da an vernachlässigte er die anderen Fächer. (Es ist nicht ganz klar, ob er sich auf die Mathematik stürzte weil ihm unmittelbar davor in anderen Fächern ungerechte Beurteilungen - zumindest aus seiner Sicht - widerfahren sind, oder ob die schlechten Zensuren erst nach der Konzentration auf die Mathematik und als Konsequenz dieser Fokussierung gegeben wurden.) Jedenfalls las er von da an lieber die Werke berühmter Mathematiker wie Lagrange und anderen großen Mathematikern. Er war sich voll bewusst, dass er ein Genie ist, was allerdings seinen Charakter veränderte - auch seine Mutter bemerkte dies mit Sorge -, und er wurde als Sonderling abgestempelt. Galois Mathematiklehrer riet ihm er solle sich sich nur auf Mathematik konzentrieren, was seinen Wunsch nach der Ecole Polytechnique aus mathematischen und weltanschaulichen Gründen nährte. 9

30 Durch die elterlich Erziehung bildete sich in Galois eine geradezu fanatische Abneigung gegen Tyrannei, was später zu Bewunderung der Studenten an der Ecole Polytechnique führte, die wie er für Freiheit, für freie Meinungsäußerung, gegen Obrigkeiten waren. Damit war er all jenen ein Dorn im Auge, die die Errungenschaften der Revolution wieder rückgängig machen und das Gottesgnadenkönigtum und den korrupten Klerus zurückbringen wollten. Galois trat zur Aufnahmeprüfung an, ein Jahr früher als üblich und ohne den sonst üblichen Vorbereitungskurs, und fiel durch. Er versuchte es beim nächsten Mal wieder und fiel wieder durch. Galois führte viele Überlegungen nur im Kopf aus und auf Grund seiner inzwischen bockigen Art weigerte er sich der Aufforderung zu folgen, seine Gedankengänge ausführlicher an der Tafel zu erklären. Was für die Prüfer möglicherweise wirklich notwendig gewesen wäre, um Galois Gedankenflügen folgen zu können, erschien Galois als ein vorsätzliche Schikane. Bei der zweiten Prüfung soll er sogar vor Wut einen Tafelschwamm nach einem Prüfer geworfen haben! Aber nicht nur Galois, sondern auch andere empfanden die negative Beurteilung Galois als Ungerechtigkeit. Schließlich konnte Galois im Alter von 17 Jahren bereits seine erste wissenschaftliche Veröffentlichung vorweisen, den Beweis eines Satzes über periodische Kettenbrüche. Galois mathematische Leistungen Galois beschäftigte sich mit der Frage der Auflösung von Gleichungen, genauer: um die Lösbarkeit und die Darstellung der Lösungen von Gleichungen vom Grad größer oder gleich 5 durch Formeln, die nur aus den 4 Grundrechnungsarten und Wurzeln und den Koeffizienten der gegebenen Gleichung bestehen (wie dies für Gleichungen bis 4. Grades möglich ist). Die Formel von Cardano für Gleichungen dritten Grades sind bereits um so viel komplizierter als diejenigen für Gleichungen zweiten Grades, dass sie nur von theoretischem Interesse sind und man in der Praxis andere Methoden (Näherungsmethoden) verwendet. Schließlich hat man ebenfalls bereits um die Mitte des 16. Jahrhunderts Gleichungen 4. Grades lösen können, und abermals hat die Kompliziertheit der Lösungsmethode gegenüber der Gleichung dritten Grades um ein Vielfaches zugenommen. Als die Mathematiker nun daran gingen, eine Lösungsformel für Gleichungen fünften Grades zu entwickeln, war es klar, dass diese wieder um ein Vielfaches komplizierter sein wird als die für Gleichungen 4. Grades, und man war daher auch gar nicht sonderlich verwundert, als sich keine Erfolge einstellten. Erst Ende des 18. Jahrhunderts wurde erstmals der Verdacht geäußert, dass es möglicherweise eine solche Formel gar nicht geben könnte. Berühmte Mathematiker wie Lagrange beschäftigten sich damit und leisteten damit Vorarbeit für Galois Erkenntnisse. Ein ebenfalls jung (mit 9 Jahren) verstorbenes Genie, der Norweger Niels Henrik Abel, konnte erstmals den Unmöglichkeitsbeweis für Gleichungen vom 5. Grad erbringen. Etwas vor Abel lieferte bereits Paolo Ruffini einen wenngleich lückenhaften Beweis. 30

31 Aufbauend auf Ideen von Lagrange und Ruffini untersuchte Galois die Lösbarkeit einer Gleichung höheren Grades, indem er eine bestimmte Gleichung (die sog. Resolvente) untersuchte, die aus den Lösungen der gegebenen Gleichung besteht, und er dabei vor allem jene Permutationen (=Vertauschungen) betrachtete, die diese Resolvente unverändert ließen. In dieser Beziehung baute er wie gesagt bereits auf andere Mathematiker vor ihm auf. Neu hingegen war, dass er die Permutationen, wie wir heute sagen würden, zu einer Menge zusammenfasste und diese Menge auf ihre Eigenschaften, ihre Struktur, untersuchte. Damit entwickelte er die ersten Schritte der so genannten Gruppentheorie, allgemeiner: Strukturmathematik. Während man bis ins 19. Jahrhundert unter Algebra das Auflösen von Gleichungen verstand, bedeutet Algebra heute so viel wie Strukturmathematik. Und dabei spielt die Gruppe eine ganz zentrale Rolle, denn einerseits ist der Begriff der Gruppe die Grundlage für weiteren Begriffen (Ring, Körper, Vektorraum,...) und für weitere mathematische Teildisziplinen (lineare Algebra, Funktionalanalysis,...), die dann ihrerseits innerhalb und außerhalb der Mathematik zahlreiche Anwendungen besitzen. Andererseits hat der Gruppenbegriff und die Algebra insgesamt auch unmittelbare außermathematische Anwendungen: etwa Codierungstheorie, Symmetriegruppen (von Kristallen, organischen Molekülen,...), u.v.a. Galois tragischer Höhepunkt Man hört bzw. liest häufig, dass Evariste Galois unmittelbar vor dem verhängnisvollem Duell, in der Nacht davor, seine wesentlichen Erkenntnisse niedergeschrieben hat. Das stimmt aber nicht. Er verfasste seine ersten Abhandlungen zu diesem Thema bereits mit 17Jahren (also etwa 3-4 Jahre vor seinem Tod). Nur wurden seine Arbeiten von der wissenschaftlichen Community nicht gebührend zur Kenntnis genommen. Leider waren seine Gedanken so hoch und für die meisten selbst großen Mathematiker seiner Zeit nicht verständlich, was durch seine Arroganz, insb. seine Weigerung, seine Gedanken ausführlicher darzulegen, noch verschärft wurde. Im Detail: Galois Manuskripte wurden einesteils zuerst auf die lange Bank geschoben und danach verschlampt. Eine Krankheit des einen berühmten Gutachters, Cauchy, verhinderte, dass diese Arbeit in einer Sitzung der Akademie wie geplant zur Sprache kam. Bei der nächsten Sitzung präsentierte Cauchy eine seiner eigenen neuen Arbeiten, aber nicht die von Galois. Statt dessen versuchte Cauchy Galois zu überzeugen, dass er eine verbesserte (ausführlichere) Version vorlegen soll. Mitte des Jahres 1831 musste Cauchy aus Frankreich fliehen. Galois reichte wieder ein. Er sandte die Arbeit an Fourier. Aber dieser starb wenige Wochen später, und man weiß nicht, ob er die Arbeit gelesen hat. Der ebenso berühmte Mathematiker Poisson forderte Galois auf, eine weitere, verbesserte Version 31

32 vorzulegen, aber inzwischen hat sich Galois nur mehr von allen Seiten verfolgt und betrogen gefühlt und reagierte mit immer stärkerem Trotz. Vieles mag bei all dem eine Rolle gespielt haben: Galois knapper Stil, seine ungewöhnlichen Ansätze, aber auch seine arrogante Art, die sich ein arrivierter Wissenschaftler wohl auch heute nicht so ohne weiteres von einem nicht einmal 0- Jährigen gefallen ließe. Und eine Verkettung einer Menge unglücklicher Umstände. Auch heute kann es bei manchen wissenschaftlichen Zeitschriften bis 3 Jahre dauern, bis eine Arbeit publiziert wird. Aber das ist eher die Ausnahme. Meistens geht es schneller, und wenn es länger dauern sollte, würde man heute in aller Höflichkeit urgieren. Aber es kommt schon vereinzelt vor, dass sich auch heute manchmal jemand beklagt, seine wissenschaftlichen Erkenntnisse würden von der wissenschaftlichen Community aus böser Absicht nicht zur Kenntnis genommen, weil er (noch) nicht zu dieser Community gehört bzw. weil man ihn nicht aufkommen lassen will. Diese Menschen mögen subjektiv dieses Gefühl haben, aber wenn mehrere Wissenschaftler aus verschiedenen Ländern die eingereichten Erkenntnisse einheitlich negativ beurteilen, so vermute ich doch eher, dass die Gutachter in den Erkenntnissen Fehler oder Ungereimtheiten entdeckt haben und nicht kollektiv irren bzw. kollektiv intrigieren. Doch nun zu Galois tragischem Tod. Der Legende nach ist er in einem Duell wegen einer zwielichtigen Dame gestorben. (Genauer gesagt: einen Tag danach.) Etwas kritischere Biographien unterstellen aber, dass die wahren Hintergründe des Duells politischer Art waren. Schließlich war Galois wegen politischer Agitationen zweimal im Arrest und war wie viele seiner Kommilitonen den Konservativen ein Dorn im Auge. Noch genauere Recherchen ergaben, dass die große Liebe Galois, die Tochter des für die Gefangenen zuständigen Arztes, die später sehr gut geheiratet hat, woraus geschlossen werden kann, dass sie weder moralisch noch politisch dubios gewesen sein kann. Auch eine Provokation durch einen anderen politischen Gegenspieler gilt heute als nicht sehr glaubwürdig. Die derzeit plausibelste Annahme ist ein inszenierter Selbstmord. Er dürfte wohl am Leben, an seinen wissenschaftlichen Misserfolgen verzweifelt sein, er dürfte sich von den Menschen und vom Schicksal insgesamt verfolgt gefühlt haben und wollte nicht mehr leben. Aber er wollte mit seinem Tod wenigstens noch irgend etwas bewirken: Wenn man den Selbst mord als Duell und zwar als ein aus politischen Gründen aufoktroyiertes Duell darstellte, dann sollte es als Initialzündung für eine Revolte dienen. Doch auch damit hatte Galois Pech, denn zur selben Zeit fand das Begräbnis einer bekannten Persönlichkeit statt, sodass sein Tod und die Umstände kaum registriert wurden. 3