Schulcurriculum Mathematik Sekundarstufe II

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1 Deutsche Schule Sofia Curriculum Mathematik Sekundarstufe II Präambel Schulcurriculum Mathematik Sekundarstufe II Das Schulcurriculum Mathematik der Deutschen Schule Sofia basiert auf dem Kerncurriculum der KMK in der Fassung vom und tritt am für die Qualifikationsphase in Kraft. Um die im Kerncurriculum genannten zentralen Ziele des Mathematikunterrichts in der Oberstufe erreichen zu können, stützt sich das schulinterne Curriculum auf die Herausbildung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen und die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen (Leitideen): K1 mathematisch argumentieren K2 Probleme mathematisch lösen K3 mathematisch modellieren K4 mathematische Darstellungen verwenden K5 mit Mathematik symbolisch/formal/technisch umgehen L1 Algorithmus und Zahl L2 Messen L3 Raum und Form L4 funktionaler Zusammenhang L5 Daten und Zufall K6 kommunizieren über Mathematik und mithilfe der Mathematik Das Curriculum schließt an die im Kerncurriculum der KMK genannten Eingangsvoraussetzungen für die Qualifikationsphase an. 1

2 Deutsche Schule Sofia Curriculum Mathematik Sekundarstufe II Präambel Die Punkte der Spalten "Kompetenzen" und "Inhalte" verstehen sich als Wissens- und Könnensziele, die im Laufe eines Schuljahres wiederholt aufgegriffen und durch Wiederholungssequenzen gefestigt werden sollen. Die jeweils angegebenen Kompetenzbereiche sind diejenigen, die in der zugeordneten Thematik im Vordergrund stehen und sollen nicht isoliert betrachtet werden. Die Herausbildung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen K1 bis K6 ist bereits in der Sekundarstufe I maßgeblicher Gegenstand der Unterrichtsgestaltung. Da die Deutsche Schule Sofia einen hohen Anteil an nicht deutschmuttersprachlichen Schülerinnen und Schülern hat, kommt den Aspekten des DFU eine besondere Bedeutung zu. Neben der Herausbildung einer kompetenten und sicheren Fachsprache ist ebenso auf orthographische und grammatische Korrektheit im schriftlichen und mündlichen Bereich zu achten. Dies wird durch das Führen und ständige Ergänzen eines Fachvokabulariums unterstützt. Es wird die Operatorenliste der KMK vom Oktober 2012 verwendet, die im Anhang beigefügt ist. Diese Operatoren werden den Schülern bereits in der Sekundarstufe I erläutert und permanent im Unterricht als auch in Klassenarbeiten und fortführend in Klausuren sowie im mündlichen Bereich benutzt. In der Deutschen Schule Sofia wird der CAS-Rechner TI Inspire als Hilfsmittel verwendet. Um einen sicheren und effektiven Umgang der Schülerinnen und Schüler mit dem Gerät zu erreichen, wird der TI Inspire zum Ende des 1. Halbjahres der 10. Klasse im Mathematikunterricht eingeführt. In Hinsicht auf die zu Beginn des 4. Halbjahres der Qualifikationsphase stattfindende schriftliche Abiturprüfung ist die Reihenfolge der Unterrichtsinhalte verbindlich. Die Zeitvorgaben sind hingegen Orientierungswerte für den Umfang der entsprechenden Themengebiete. Die aufgeführten Methoden sind als Empfehlungen zu verstehen und obliegen letztendlich der Entscheidung der Lehrkraft. Das Curriculum ist gültig ab dem Schuljahr 2017/18 für Klasse 11 und ab dem Schuljahr 2018/19 für Klasse 12. 2

3 Deutsche Schule Sofia Curriculum Mathematik Sekundarstufe II Q1 Kompetenzen Inhalte Zeit Methoden Anmerkungen Grundkompetenzen im Umgang mit Funktionen [K2, K4, K5] qualitative und quantitative Beschreibung des Änderungsverhaltens von Funktionen [K3, K4] Entwicklung von Ableitungsgraphen [K1, K4] Wiederholung aus Klasse 10 [L4] ganzrationale Funktionen mittlere und momentane Änderungsrate, Ableitung und Ableitungsfunktion Sekanten- und Tangentensteigung Ableitungsregeln (Potenzen, Summen, konstante Faktoren) Nullstellen, Monotonie, Extremstellen 5 h Wiederholung im Sinne der Eingangsvoraussetzungen für die Qualifikationsphase (KMK ) Gruppenarbeit, Verstehen und Erläutern des Grenzwertbegriffs [K1] propädeutische Bestimmung von Grenzwerten [K1, K5] von Funktionen [K3, K4, K6] Grenzwerte [L1, L4] explizite und rekursive Darstellung von Zahlenfolgen Monotonie und Beschränktheit Grenzwert einer Folge (nicht rechnerisch) Grenzwert bei Funktionen, Verhalten an den Rändern der Definitionsmenge (ganzrat. Funktionen) 5 h, Tabellenkalkulation Beschreibung diskreter Zusammenhänge [K1, K2, K6] von Funktionen [K3, K4, K5] Skizzieren und Zeichnen von Graphen, auch mit Hilfsmitteln [K3, K4] Ganzrationale Funktionen und einf. gebrochen-rat. Funktionen [L4] höhere Ableitungen, Kettenregel Nullstellen, auch näherungsweise Berechnung von Extrem- und Wendestellen (notw. und hinr. Kriterium) Grenzwertverhalten, Symmetrie einfache gebrochen-rationale Funktionen (senkr. und waag. Aysymptoten, Grenzwertverhalten) 20 h 1. Klausur Mitte Oktober Vollständige Funktionsuntersuchungen zu gebr.-rat. Funktionen sind nicht vorgesehen 3

4 Deutsche Schule Sofia Curriculum Mathematik Sekundarstufe II Q1 Sachverhalte [K1, K3, K6] Anwendung [L4] Untersuchung realitätsnaher Probleme mithilfe von Funktionen (Extremwertberechnung, Rekonstruktionen) 10 h Projektorientiertes Arbeiten, Präsentation von Funktionen [K3, K4, K5] Skizzieren und Zeichnen von Graphen, auch mit Hilfsmitteln [K3, K4] Ableitung zusammengesetzter Funktionen [K5] Exponential- und Logarithmusfunktionen [L1, L4] Die Eulersche Zahl e als Grenzwert Exponentialgleichungen und nat. Log. Eigenschaften von e-funktionen ln-funktion als Umkehrfunktion Ableitungen von e- und ln-funktionen Produktregel, Quotientenregel Funktionsscharen Sachverhalte[K1, K3, K6] Anwendung [L4] Untersuchung realitätsnaher Probleme anhand natürlicher Exponentialfunktionen 10 h Schwerpunkt: e-funktionen 2. Klausur Anf. Dezember Beschreibung von diskreten Zusammenhängen [K1, K2, K6] Sachverhalte auch in komplexeren Zusammenhängen [K3, K5, K6] Wachstums- und Zerfallsprozesse [L4] Modell des begrenzten Wachstums und des begrenzten Zerfalls Exkurs: Logistisches Wachstum 10 h 4

5 Deutsche Schule Sofia Curriculum Mathematik Sekundarstufe II Q2 Kompetenzen Inhalte Zeit Methoden Anmerkungen Rekonstruktion von Beständen aus gegebenen mittl. und momentanen Änderungsraten [K1, K2, K6] Bestimmung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Flächen [K4, K5] Bestimmung von Stammfunktionen und Integration mittels Stammfunktion [K5] Einführung in die Integralrechnung [L2, L4] bestimmtes Integral (insbesondere als rekonstr. Bestand) Integralfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Stammfunktion, Integral und Flächeninhalt (Flächen unter einem Funktionsgraphen) Integrationsverfahren (Summe, Faktor) Hauptsatz mit geometrisch anschaulicher Begründung Bestimmung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Flächen [K4, K5] Bestimmung von Stammfunktionen und Integration mittels Stammfunktion [K5] Integralrechnung Fortsetzung [L2, L4] Flächen zwischen Graphen Integrationsverfahren (lin. Substitution) Volumina von Rotationskörpern Uneigentliche Integrale (ins Unendliche reichende Flächen) Nur Rotation um x-achse Sachverhalte [K1, K3, K6] Anwendung [L2, L4] Untersuchung realitätsnaher Probleme mithilfe der Differential- und Intergalrechnung 5 h, Einsatz von Abituraufgaben 1. Klausur Mitte März Untersuchung mehrstufiger Zufallsexperimente [K1, K3, K6] Wahrscheinlichkeitsberechnungen von Ereignissen [K2, K5] Wiederholung aus Klasse 10 [L5] Baumdiagramme und Pfadregeln Verknüpfung von Ereignissen Vierfeldertafeln 5 h Wiederholung im Sinne der Eingangsvoraussetzungen für die Qualifikationsphase (KMK ) Gruppenarbeit 5

6 Deutsche Schule Sofia Curriculum Mathematik Sekundarstufe II Q2 Anwendung wichtiger kombinatorischer Hilfsmittel in realen Kontexten [K2, K5] Kombinatorik [L5] Abzählverfahren, grundlegende Berechnungsformeln 5 h, evtl. Tabellenkalkulation Wahrscheinlichkeitsberechnungen von Ereignissen [K2, K5] Charakterisierung von Zufallsexperimenten mithilfe von Zufallsgrößen [K3] Beschreibung und Nutzung von Binomialverteilungen in Anwendungskontexten [K2, K3] Verstehen und Anwenden: Aufstellen und Testen von Hypothesen [K2, K3] Verstehen und Berechnen: Fehler der 1. und 2. Art [K2, K3] Wahrscheinlichkeitsrechnung [L5] Unabhängigkeit von Ereignissen und bedingte Wahrscheinlichkeit Zufallsgrößen, Def. Wahrscheinlichkeitsverteilung Bernoulli-Ketten und Formel von Bernoulli Binomialverteilung Erwartungswert, Varianz, Standardabw. Konfidenzintervalle, Irrtumswkt. Alternativtest und Signifikanztest 25 h Normalverteilung nach dem schriftlichen Abitur 2. Klausur Mitte Mai Sachverhalte[K1, K3, K6] Anwendung [L5] Untersuchung realitätsnaher Probleme anhand stochastischer Aufgabenstellungen 5 h Einsatz von Abituraufgaben, projektorientiertes Arbeiten 6

7 Deutsche Schule Sofia Curriculum Mathematik Sekundarstufe II Q3 Kompetenzen Inhalte Zeit Methoden Anmerkungen Anwenden von Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme [K2, K5] geometrische Interpretation der Ergebnisse [K4, K6] Lineare Gleichungssysteme [L3] Wiederholung aus Klasse 9 Gauß-Algorithmus Anwendung (auch außerhalb der Geometrie) 10 h Wiederholung im Sinne der Eingangsvoraussetzungen für die Qualifikationsphase (KMK ) dort in L3 vektorielle bzw. analytische Beschreibung von geometrischen Objekten [K2, K4] Untersuchung von Lagebeziehungen [K4, K5] Analyt. Geometrie: Geraden und Ebenen [L3] Wiederholung aus Klasse 10: Vektoren im zwei- und dreidimensionalen Raum, Ortsvektoren, vektorielle Geradengleichungen, Betrag eines Vektors Lagebeziehungen von Geraden lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren Vektorprodukt, Skalarprodukt und dessen geometrische Bedeutung Ebenengleichungen in Parameter-, Koordinaten- und Normalenform Darstellung von Ebenen im Koordinatensystem (Spurpunkte und Spurgeraden) Lagebeziehungen: Ebene Ebene, Gerade- Ebene Exkurs: Geraden- und Ebenenscharen 25 h Wiederholung im Sinne der Eingangsvoraussetzungen für die Qualifikationsphase (KMK ) dort in L1 und L3 Einsatz einer dynamischen Geometriesoftware 1. Klausur Mitte Oktober 7

8 Deutsche Schule Sofia Curriculum Mathematik Sekundarstufe II Q3 Bestimmung von Längen, Abständen, Winkelgrößen, Flächen- und Rauminhalten mithilfe von Vektoren [K2, K4, K5] von Funktionen [K3, K4, K5] Skizzieren und Zeichnen von Graphen, auch mit Hilfsmitteln [K3, K4] Analytische Geometrie: Winkel und Abstände [L2] Winkel zwischen Vektoren Winkel zwischen Geraden, Ebenen und zwischen Gerade und Ebene Abstandsberechnungen: Punkt-Punkt, Gerade-Gerade, Punkt-Gerade, Punkt-Ebene, Gerade-Ebene 25 h Projektorientiertes Arbeiten, Präsentation 2. Klausur Anfang Dezember Analyse mathematischer Problemstellungen und selbständiges Entwickeln von Lösungswegen in komplexerer Form [K1 bis K6] Komplexwiederholung Abituraufgaben aus Analysis, analytischer Geometrie und Stochastik Projektorientiertes Arbeiten, Präsentation 8

9 Deutsche Schule Sofia Curriculum Mathematik Sekundarstufe II Q4 Kompetenzen Inhalte Zeit Methoden Anmerkungen Schriftliche Abiturprüfung Beschreibung diskreter Zusammenhänge [K1, K2, K6] von Funktionen [K3, K4, K5] Skizzieren und Zeichnen von Graphen, auch mit Hilfsmitteln [K3, K4] Gebrochen-rationale und Logarithmusfunktionen [L4] Eigenschaften von Logarithmusfunktionen waagerechte, senkrechte und schiefe Asymptoten bei gebr.-rat. Funktionen Anwendungsbezogene Fragestellungen, Anwendung der Diff.- und Integralrechnung Vollständige Funktionsuntersuchungen zu gebr.-rat. Funktionen sind nicht vorgesehen Beschreibung diskreter Zusammenhänge [K1, K2, K6] von Funktionen [K3, K4, K5] Skizzieren und Zeichnen von Graphen, auch mit Hilfsmitteln [K3, K4] Differentialgleichungen im Sachkontext der Wachstumsmodelle [L4] Differentialgleichungen für natürliches und beschränktes Wachstum Exkurs: logistisches Wachstum Klausur Mitte April Sachverhalte [K1, K3, K6] Wahrscheinlichkeitsrechnung [L5] Gauß sche Glockenkurve Normalverteilung Exkurs: Exponentialverteilung Projektorientiertes Arbeiten Mündliche Abiturprüfung 9

10 Deutsche Schule Sofia Curriculum Mathematik Sekundarstufe II Operatoren Operatoren für das Fach Mathematik (KMK, Stand Oktober 2012) Operator Definition Beispiel Anforderungsbereich I angeben, nennen beschreiben Objekte, Sachverhalte, Begriffe oder Daten ohne nähere Erläuterungen, Begründungen und ohne Darstellung von Lösungsansätzen oder Lösungswegen aufzählen Strukturen, Sachverhalte oder Verfahren in eigenen Worten unter Berücksichtigung der Fachsprache sprachlich angemessen wiedergeben Geben Sie drei Punkte an, die in der Ebene E liegen. Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f im Diagramm. Beschreiben Sie Ihren Lösungsweg. belegen die Gültigkeit einer Aussage anhand eines Beispiels veranschaulichen Belegen Sie, dass es Funktionen mit der geforderten Eigenschaft gibt. erstellen Sachverhalte, Zusammenhänge, Methoden oder Daten in übersichtlicher, fachlich sachgerechter oder vorgegebener Form darstellen Erstellen Sie eine Wertetabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung. vereinfachen zeichnen, graphisch darstellen Anforderungsbereich II komplexe Terme oder Gleichungen auf eine Grundform oder eine leichter weiter zu verarbeitende Form bringen eine maßstäblich hinreichend exakte graphische Darstellung anfertigen Vereinfachen Sie den Funktionsterm der Ableitungsfunktion so weit wie möglich. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem mit geeigneten Längeneinheiten. anwenden eine bekannte Methode auf eine neue Problemstellung beziehen Wenden Sie das Verfahren der Polynomdivision an. begründen Sachverhalte unter Nutzung von Regeln und mathematischen Beziehungen auf Gesetzmäßigkeiten bzw. kausale Zusammenhänge zurückführen Begründen Sie, dass die Funktion f mindestens einen Wendepunkt hat. berechnen Ergebnisse von einem Ansatz ausgehend durch Rechenoperationen gewinnen; gelernte Algorithmen ausführen Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A. bestimmen ermitteln Zusammenhänge oder Lösungswege aufzeigen und unter Angabe von Zwischenschritten die Ergebnisse formulieren Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von f in Abhängigkeit vom Parameter k. darstellen Sachverhalte, Zusammenhänge, Methoden oder Verfahren in fachtypischer Weise strukturiert wiedergeben Stellen Sie die Beziehung zwischen den Werten der Integralfunktion und dem Verlauf des Graphen von f dar. entscheiden sich bei Alternativen eindeutig und begründet auf eine Möglichkeit festlegen Entscheiden Sie, welche der Geraden die Tangente an den Graphen im Punkt P ist. 10

11 Deutsche Schule Sofia Curriculum Mathematik Sekundarstufe II Operatoren erklären Sachverhalte mit Hilfe eigener Kenntnisse verständlich und nachvollziehbar Erklären Sie das Auftreten der beiden Lösungen. machen und begründet in Zusammenhänge einordnen erläutern einen Sachverhalt durch zusätzliche Informationen veranschaulichen Erläutern Sie die Aussage des Satzes anhand eines Beispiels. gliedern Sachverhalte unter Benennung des verwendeten Ordnungsschemas in Gliedern Sie den von Ihnen entwickelten Lösungsweg. mehrere Bereiche aufteilen herleiten die Entstehung oder Entwicklung von gegebenen oder beschriebenen Leiten Sie die gegebene Funktionsgleichung der interpretieren, deuten prüfen skizzieren Sachverhalten oder Gleichungen aus anderen Sachverhalten darstellen Phänomene, Strukturen oder Ergebnisse auf Erklärungsmöglichkeiten untersuchen und diese unter Bezug auf eine gegebene Fragestellung abwägen Fragestellungen, Sachverhalte, Probleme nach bestimmten fachlich üblichen bzw. sinnvollen Kriterien bearbeiten die wesentlichen Eigenschaften eines Objektes, eines Sachverhaltes oder einer Struktur graphisch (eventuell auch als Freihandskizze) darstellen Stammfunktion her. Bestimmen Sie das Integral und interpretieren Sie den Zahlenwert geometrisch. Prüfen Sie, ob die beiden Graphen Berührpunkte haben. Skizzieren Sie für die Parameterwerte -1, 0 und 1 die Graphen der jeweiligen Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Untersuchen Sie die Lagebeziehung der beiden Geraden. untersuchen Eigenschaften von Objekten oder Beziehungen zwischen Objekten anhand fachlicher Kriterien nachweisen vergleichen Gemeinsamkeiten, Ähnlichkeiten und Unterschiede darstellen Vergleichen Sie die beiden Lösungsverfahren. zeigen, Aussagen unter Nutzung von gültigen Schlussregeln, Berechnungen, Zeigen Sie, dass die beiden gefundenen Vektoren nachweisen Herleitungen oder logischen Begründungen bestätigen orthogonal sind. Anforderungsbereich III auswerten Daten, Einzelergebnisse oder andere Elemente in einen Zusammenhang stellen, ggf. zu einer Gesamtaussage zusammenführen und Schlussfolgerungen ziehen beurteilen, zu Sachverhalten eine selbstständige Einschätzung unter Verwendung von bewerten Fachwissen und Fachmethoden formulieren und begründen beweisen Aussagen im mathematischen Sinne ausgehend von Voraussetzungen unter Verwendung von bekannten Sätzen und von logischen Schlüssen verifizieren verallgemeinern aus einem beispielhaft erkannten Sachverhalt eine erweiterte Aussage formulieren widerlegen Aussagen im mathematischen Sinne unter Verwendung von logischen Schlüssen, ggf. durch ein Gegenbeispiel falsifizieren zusammenfassen den inhaltlichen Kern unter Vernachlässigung unwesentlicher Details wiedergeben Werten Sie die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Parameter k aus. Beurteilen Sie das beschriebene Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Extremstelle. Beweisen Sie, dass die Diagonalen eines Parallelogramms einander halbieren. Verallgemeinern Sie die für die unterschiedlichen Parameter gezeigten Eigenschaften. Widerlegen Sie die folgende Behauptung: Fassen Sie die Eigenschaften der Funktionen der Funktionenschar f k zusammen. 11